Lớp 12 · Toán
Bài 11
Nguyên Hàm
Khái niệm · Tính chất · Bảng công thức · Các dạng toán nguyên hàm
1
Khái niệm nguyên hàm
▼
Định nghĩa – Nguyên hàm
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $K$. Hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu:
$F'(x) = f(x), \ \forall x \in K$
Nói cách khác, $F(x)$ là "hàm ngược" của phép đạo hàm: lấy đạo hàm của $F(x)$ thu lại được $f(x)$.
Hiểu trực quan
Đạo hàm biến $F(x)$ thành $f(x) = F'(x)$. Ngược lại, nguyên hàm đi từ $f(x)$ về $F(x)$. Đây là hai phép toán nghịch đảo của nhau.
💡 Ví dụ 1
Cho $f(x) = 2x + 3$. Trong hai hàm $F(x) = x^2 + 3x$ và $G(x) = x^2 - 3x$, hàm nào là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$?
B1.Lấy đạo hàm: $F'(x) = 2x + 3$ và $G'(x) = 2x - 3$.
B2.Vì $F'(x) = 2x + 3 = f(x)$ với mọi $x$, nên $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$.
B3.$G'(x) = 2x - 3 \neq 2x + 3$, nên $G(x)$ KHÔNG là nguyên hàm của $f(x)$.
Cách kiểm tra một hàm có là nguyên hàm hay không: lấy đạo hàm rồi so với $f(x)$.
2
Họ các nguyên hàm
▼
Họ nguyên hàm & ký hiệu
Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ thì với mọi hằng số $C$, $F(x) + C$ cũng là nguyên hàm (vì $(F(x)+C)' = F'(x) = f(x)$). Ngược lại, mọi nguyên hàm của $f(x)$ đều có dạng $F(x) + C$.
$\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C$
$F(x) + C$ ($C \in \mathbb{R}$) gọi là họ các nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$.
Chú ý
• Để tìm họ nguyên hàm, chỉ cần tìm một nguyên hàm $F(x)$ rồi cộng thêm $C$.
• Nếu $f(x)$ liên tục trên $K$ thì $f(x)$ có nguyên hàm trên $K$.
• Khi đề không nói rõ khoảng $K$, ta mặc định tìm nguyên hàm trên tập xác định của $f(x)$.
• Biểu thức $f(x)\,dx$ là vi phân của $F(x)$: $dF(x) = F'(x)\,dx = f(x)\,dx$.
• Nếu $f(x)$ liên tục trên $K$ thì $f(x)$ có nguyên hàm trên $K$.
• Khi đề không nói rõ khoảng $K$, ta mặc định tìm nguyên hàm trên tập xác định của $f(x)$.
• Biểu thức $f(x)\,dx$ là vi phân của $F(x)$: $dF(x) = F'(x)\,dx = f(x)\,dx$.
💡 Ví dụ 2
Tìm một nguyên hàm của $f(x) = x^5$ trên $\mathbb{R}$, từ đó tính $\displaystyle\int x^5\,dx$.
B1.Thử đạo hàm: $\left(\dfrac{x^6}{6}\right)' = \dfrac{6x^5}{6} = x^5$.
B2.Vậy $F(x) = \dfrac{x^6}{6}$ là một nguyên hàm của $x^5$.
B3.Họ nguyên hàm: $\displaystyle\int x^5\,dx = \dfrac{x^6}{6} + C$.
3
Tính chất cơ bản của nguyên hàm
▼
Hai tính chất cơ bản
Cho $f(x), g(x)$ liên tục trên $K$ và $k$ là hằng số khác $0$:
$\displaystyle\int k\cdot f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$
$\displaystyle\int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$
Hai tính chất này cho phép "tách" nguyên hàm của biểu thức phức tạp thành các nguyên hàm đơn giản hơn.
$\displaystyle\int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$
⚠ Lưu ý sai lầm phổ biến
KHÔNG có công thức cho tích/thương: $\displaystyle\int f(x)\cdot g(x)\,dx \neq \int f(x)\,dx \cdot \int g(x)\,dx$. Để tính nguyên hàm của tích phải dùng kỹ thuật riêng hoặc khai triển về tổng.
💡 Ví dụ 3 & 4
VD3: Biết $\displaystyle\int x^3\,dx = \dfrac{x^4}{4} + C$, tính a) $\displaystyle\int 4x^3\,dx$; b) $\displaystyle\int \left(-\dfrac{2}{3}x^3\right)dx$.
VD4: Tính a) $\displaystyle\int (x^2 + 2x)\,dx$; b) $\displaystyle\int (6x^5 - 2x)\,dx$.
VD4: Tính a) $\displaystyle\int (x^2 + 2x)\,dx$; b) $\displaystyle\int (6x^5 - 2x)\,dx$.
VD3a.$\displaystyle\int 4x^3\,dx = 4\cdot\dfrac{x^4}{4} + C = x^4 + C$.
VD3b.$\displaystyle\int \left(-\dfrac{2}{3}x^3\right)dx = -\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{x^4}{4} + C = -\dfrac{x^4}{6} + C$.
VD4a.$\displaystyle\int (x^2 + 2x)\,dx = \dfrac{x^3}{3} + x^2 + C$.
VD4b.$\displaystyle\int (6x^5 - 2x)\,dx = 6\cdot\dfrac{x^6}{6} - 2\cdot\dfrac{x^2}{2} + C = x^6 - x^2 + C$.
4
Bảng nguyên hàm các hàm thường gặp
▼
Hàm lũy thừa
Với $\alpha \neq -1$: $\displaystyle\int x^\alpha\,dx = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$. Trường hợp đặc biệt $\alpha = -1$: $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$.
Mẹo nhớ: tăng số mũ lên $1$ rồi chia cho số mũ mới. Công thức chỉ dùng khi $\alpha \neq -1$ (nếu $\alpha = -1$ thì mẫu $= 0$, vô nghĩa).
Mẹo nhớ: tăng số mũ lên $1$ rồi chia cho số mũ mới. Công thức chỉ dùng khi $\alpha \neq -1$ (nếu $\alpha = -1$ thì mẫu $= 0$, vô nghĩa).
| $f(x)$ | $\displaystyle\int f(x)\,dx$ |
|---|---|
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x + C$ |
| $x^\alpha \ (\alpha \neq -1)$ | $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x| + C$ |
| $e^x$ | $e^x + C$ |
| $a^x \ (0 < a \neq 1)$ | $\dfrac{a^x}{\ln a} + C$ |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ |
| $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $\tan x + C$ |
| $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ | $-\cot x + C$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
⚠ Chú ý dấu
Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$ (có dấu trừ); nguyên hàm của $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ là $-\cot x$ (cũng có dấu trừ). Rất dễ nhầm dấu!
💡 Ví dụ 5, 6, 7
VD5: $\displaystyle\int \sqrt[3]{x}\,dx$ ($x>0$); $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^4}\,dx$; $\displaystyle\int \left(3x^2 + \dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)dx$.
VD6: $\displaystyle\int (\sin x - \cos x)\,dx$; $\displaystyle\int \left(3\sin x + \dfrac{1}{\sin^2 x}\right)dx$.
VD7: $\displaystyle\int 3^x\,dx$; $\displaystyle\int (3e^x + 2^x)\,dx$.
VD6: $\displaystyle\int (\sin x - \cos x)\,dx$; $\displaystyle\int \left(3\sin x + \dfrac{1}{\sin^2 x}\right)dx$.
VD7: $\displaystyle\int 3^x\,dx$; $\displaystyle\int (3e^x + 2^x)\,dx$.
VD5a.$\displaystyle\int x^{1/3}\,dx = \dfrac{x^{4/3}}{4/3} + C = \dfrac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C$.
VD5b.$\displaystyle\int x^{-4}\,dx = \dfrac{x^{-3}}{-3} + C = -\dfrac{1}{3x^3} + C$.
VD5c.$\displaystyle\int \left(3x^2 + 2x^{-1/2}\right)dx = x^3 + 4\sqrt{x} + C$.
VD6a.$\displaystyle\int (\sin x - \cos x)\,dx = -\cos x - \sin x + C$.
VD6b.$\displaystyle\int \left(3\sin x + \dfrac{1}{\sin^2 x}\right)dx = -3\cos x - \cot x + C$.
VD7a.$\displaystyle\int 3^x\,dx = \dfrac{3^x}{\ln 3} + C$.
VD7c.$\displaystyle\int (3e^x + 2^x)\,dx = 3e^x + \dfrac{2^x}{\ln 2} + C$.
5
Công thức mở rộng (dạng ax+b) & các dạng toán
▼
Công thức mở rộng với $ax + b$
$\displaystyle\int (ax+b)^n\,dx = \dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{ax+b}\,dx = \dfrac{1}{a}\ln|ax+b| + C$
$\displaystyle\int \cos(ax+b)\,dx = \dfrac{1}{a}\sin(ax+b) + C$
$\displaystyle\int \sin(ax+b)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax+b) + C$
$\displaystyle\int e^{ax+b}\,dx = \dfrac{1}{a}e^{ax+b} + C$
Đừng quên hệ số $\dfrac{1}{a}$! Đây là lỗi rất hay gặp.
$\displaystyle\int \dfrac{1}{ax+b}\,dx = \dfrac{1}{a}\ln|ax+b| + C$
$\displaystyle\int \cos(ax+b)\,dx = \dfrac{1}{a}\sin(ax+b) + C$
$\displaystyle\int \sin(ax+b)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax+b) + C$
$\displaystyle\int e^{ax+b}\,dx = \dfrac{1}{a}e^{ax+b} + C$
Dạng phân thức
• Chia đa thức khi bậc tử $\geq$ bậc mẫu.
• Tách phân thức: $\dfrac{1}{x(x-a)} = \dfrac{1}{a}\left(\dfrac{1}{x-a} - \dfrac{1}{x}\right)$ (nhớ hệ số $\dfrac{1}{a}$).
• $\displaystyle\int \dfrac{1}{(ax+b)^n}\,dx = -\dfrac{1}{a(n-1)(ax+b)^{n-1}} + C$.
• Tách phân thức: $\dfrac{1}{x(x-a)} = \dfrac{1}{a}\left(\dfrac{1}{x-a} - \dfrac{1}{x}\right)$ (nhớ hệ số $\dfrac{1}{a}$).
• $\displaystyle\int \dfrac{1}{(ax+b)^n}\,dx = -\dfrac{1}{a(n-1)(ax+b)^{n-1}} + C$.
Dạng căn thức
Viết căn thành lũy thừa hữu tỷ: $\displaystyle\int \sqrt{x}\,dx = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + C$; $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sqrt{x} + C$; $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{ax+b}}\,dx = \dfrac{2}{a}\sqrt{ax+b} + C$.
Dạng lượng giác – biến tích thành tổng
$\sin A\sin B = \dfrac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$;
$\cos A\cos B = \dfrac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]$;
$\sin A\cos B = \dfrac{1}{2}[\sin(A-B) + \sin(A+B)]$.
$\cos A\cos B = \dfrac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]$;
$\sin A\cos B = \dfrac{1}{2}[\sin(A-B) + \sin(A+B)]$.
💡 Ví dụ – Phân thức (chia đa thức)
Tính $\displaystyle I = \int \dfrac{2x^2 - 7x + 5}{x - 3}\,dx$.
B1.Chia đa thức: $2x^2 - 7x + 5 = (x-3)(2x-1) + 2$, nên $\dfrac{2x^2 - 7x + 5}{x-3} = 2x - 1 + \dfrac{2}{x-3}$.
B2.$I = \displaystyle\int \left(2x - 1 + \dfrac{2}{x-3}\right)dx = x^2 - x + 2\ln|x-3| + C$.
💡 Ví dụ – Lượng giác (biến tích thành tổng)
Tìm nguyên hàm của $f(x) = \sin 5x \cdot \sin 2x$.
B1.$2\sin 5x\sin 2x = \cos 3x - \cos 7x$, nên $f(x) = \dfrac{1}{2}(\cos 3x - \cos 7x)$.
B2.$\displaystyle\int f(x)\,dx = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin 3x}{3} - \dfrac{\sin 7x}{7}\right) + C = \dfrac{\sin 3x}{6} - \dfrac{\sin 7x}{14} + C$.
💡 Ví dụ – Bài toán điều kiện ban đầu
Cho $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x) = e^x + 2x$ thỏa $F(0) = \dfrac{3}{2}$. Tìm $F(x)$.
B1.$\displaystyle\int (e^x + 2x)\,dx = e^x + x^2 + C$, nên $F(x) = e^x + x^2 + C$.
B2.$F(0) = 1 + 0 + C = \dfrac{3}{2} \Rightarrow C = \dfrac{1}{2}$.
B3.Vậy $F(x) = e^x + x^2 + \dfrac{1}{2}$.
Ứng dụng thực tế (chuyển động)
• Vận tốc là nguyên hàm của gia tốc: $v(t) = \displaystyle\int a(t)\,dt$.
• Quãng đường là nguyên hàm của vận tốc: $s(t) = \displaystyle\int v(t)\,dt$.
Biết đạo hàm và một giá trị ban đầu → tìm được hàm nhờ nguyên hàm + điều kiện ban đầu để xác định $C$.
• Quãng đường là nguyên hàm của vận tốc: $s(t) = \displaystyle\int v(t)\,dt$.
Biết đạo hàm và một giá trị ban đầu → tìm được hàm nhờ nguyên hàm + điều kiện ban đầu để xác định $C$.
6
Sai lầm thường gặp
▼
| Sai lầm | Đính chính |
|---|---|
| Dùng $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ cho $\alpha = -1$ | Khi $\alpha = -1$ mẫu $= 0$, vô nghĩa. Phải dùng $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$. |
| Quên trị tuyệt đối trong $\ln$ | Đúng là $\ln|x|$ và $\dfrac{1}{a}\ln|ax+b|$. Bỏ trị tuyệt đối thì log có thể âm → vô nghĩa. |
| Quên hằng số $C$ | Luôn cộng $+C$ vào cuối kết quả nguyên hàm. |
| Nhầm $\displaystyle\int \sin x\,dx = \cos x$ | Đúng là $-\cos x + C$ (có dấu trừ). Tương tự $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x + C$. |
| Tách tích như $\int fg = \int f\cdot\int g$ | SAI. Nguyên hàm của tích không bằng tích các nguyên hàm. |
| Quên chia cho $a$ ở $(ax+b)^n$ | $\displaystyle\int (2x+1)^3\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(2x+1)^4}{4} + C = \dfrac{(2x+1)^4}{8} + C$. |
| Dùng chung $C$ trên hai khoảng rời nhau | Trên mỗi khoảng xác định, hằng số $C$ có thể khác nhau (xét riêng từng khoảng). |
| Tách $\dfrac{1}{x(x-a)}$ thiếu hệ số $\dfrac{1}{a}$ | Đúng là $\dfrac{1}{x(x-a)} = \dfrac{1}{a}\left(\dfrac{1}{x-a} - \dfrac{1}{x}\right)$. |
| Không kiểm tra lại kết quả | Sau khi tính $\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C$, lấy $F'(x)$ xem có bằng $f(x)$ không. |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
7
Tổng kết
▼
📋 Ghi nhớ nhanh
Quy trình giải một bài nguyên hàm
1. Biến đổi $f(x)$ về dạng dùng được công thức (khai triển, viết căn thành lũy thừa, chia đa thức, biến tích thành tổng…).
2. Tách bằng tính chất tổng/hiệu và hằng số nhân.
3. Áp dụng bảng công thức cho từng hạng tử, nhớ hệ số $\dfrac{1}{a}$ với dạng $ax+b$.
4. Cộng $+C$. Nếu có điều kiện ban đầu $F(x_0)$ thì thay vào tìm $C$.
5. Kiểm tra lại bằng cách lấy đạo hàm kết quả.
2. Tách bằng tính chất tổng/hiệu và hằng số nhân.
3. Áp dụng bảng công thức cho từng hạng tử, nhớ hệ số $\dfrac{1}{a}$ với dạng $ax+b$.
4. Cộng $+C$. Nếu có điều kiện ban đầu $F(x_0)$ thì thay vào tìm $C$.
5. Kiểm tra lại bằng cách lấy đạo hàm kết quả.
1
—
Điểm: 0/26
🎯
Luyện tập Nguyên hàm!
26 câu · 7 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/26
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh