Lớp 12 · Toán
Bài 13
Ứng Dụng Hình Học Của Tích Phân
Diện tích hình phẳng · Thể tích vật thể · Khối tròn xoay
1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị
▼
Công thức diện tích
Cho $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$. Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ (với $a < b$):
$S = \displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$
Hình minh hoạ: hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, trục hoành và $x=a$, $x=b$
Hiểu dấu trị tuyệt đối & cách tính
• Khi $f(x) \geq 0$ thì $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ chính là diện tích. Khi $f(x)$ đổi dấu, phần đồ thị dưới trục hoành cho tích phân âm, nhưng diện tích luôn dương — vì vậy phải lấy trị tuyệt đối.
• Thực hành: giải $f(x) = 0$ để tìm nghiệm trong $[a; b]$, rồi tách cận tại các nghiệm để bỏ dấu trị tuyệt đối.
• Thực hành: giải $f(x) = 0$ để tìm nghiệm trong $[a; b]$, rồi tách cận tại các nghiệm để bỏ dấu trị tuyệt đối.
💡 Ví dụ 1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^3$, trục hoành và $x = 0$, $x = 2$.
Trên $[0; 2]$: $x^3 \geq 0$ nên $|x^3| = x^3$.
$S = \displaystyle\int_0^2 x^3\,dx = \dfrac{x^4}{4}\Big|_0^2 = 4 - 0 = 4$.
💡 Ví dụ 2 – Hàm đổi dấu (tách cận)
Tính diện tích giới hạn bởi $y = \sin x$, trục hoành và $x = 0$, $x = 2\pi$.
Trên $[0; \pi]$: $\sin x \geq 0$; trên $[\pi; 2\pi]$: $\sin x \leq 0$.
$S = \displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x)\,dx$.
$\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx = -\cos x\Big|_0^{\pi} = 2$; $\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}(-\sin x)\,dx = \cos x\Big|_{\pi}^{2\pi} = 2$.
Vậy $S = 2 + 2 = 4$.
🔧 Phương pháp (Dạng 1)
Nếu đề thiếu cận, tìm cận bằng cách giải $f(x) = 0$. Hai cách phá trị tuyệt đối:
Cách 1: xét dấu $f(x)$ trên $[a; b]$, phá trị tuyệt đối rồi tính.
Cách 2: tách cận tại các nghiệm $\alpha, \beta$ rồi cộng các trị tuyệt đối: $S = \big|\int_a^\alpha f\big| + \big|\int_\alpha^\beta f\big| + \big|\int_\beta^b f\big|$.
Cách 1: xét dấu $f(x)$ trên $[a; b]$, phá trị tuyệt đối rồi tính.
Cách 2: tách cận tại các nghiệm $\alpha, \beta$ rồi cộng các trị tuyệt đối: $S = \big|\int_a^\alpha f\big| + \big|\int_\alpha^\beta f\big| + \big|\int_\beta^b f\big|$.
2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
▼
Công thức diện tích
Cho $f(x), g(x)$ liên tục trên $[a; b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$, $y = g(x)$ và $x = a$, $x = b$:
$S = \displaystyle\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$
Hình minh hoạ: hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f(x)$ và $y=g(x)$
Chú ý & cách phá trị tuyệt đối
• Nếu hiệu $f(x) - g(x)$ không đổi dấu trên $[a; b]$ thì $\displaystyle\int_a^b |f - g|\,dx = \left|\int_a^b (f - g)\,dx\right|$ — tính nhanh hơn.
• Giải $f(x) = g(x)$ để tìm hoành độ giao điểm; nếu có giao điểm trong đoạn thì tách cận tại đó.
• Giải $f(x) = g(x)$ để tìm hoành độ giao điểm; nếu có giao điểm trong đoạn thì tách cận tại đó.
💡 Ví dụ 3
Tính diện tích giới hạn bởi $y = 4 - x^2$, $y = x^2$ và $x = -1$, $x = 1$.
$(4 - x^2) - x^2 = 4 - 2x^2 > 0$ trên $[-1; 1]$ (không đổi dấu) → bỏ trị tuyệt đối.
$S = \displaystyle\int_{-1}^1 (4 - 2x^2)\,dx = \left(4x - \dfrac{2x^3}{3}\right)\Big|_{-1}^1 = \dfrac{10}{3} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{20}{3}$.
💡 Ví dụ 4
Tính diện tích giới hạn bởi $y = \sin x$, $y = \cos x$ và $x = 0$, $x = \dfrac{\pi}{4}$.
Trên $[0; \pi/4]$: $\cos x \geq \sin x$ nên $|\sin x - \cos x| = \cos x - \sin x$.
$S = \displaystyle\int_0^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\,dx = (\sin x + \cos x)\Big|_0^{\pi/4} = \sqrt{2} - 1$.
🔧 Phương pháp (Dạng 2)
Giải $f(x) = g(x)$ tìm giao điểm. Nếu có nhiều giao điểm trong đoạn → tách cận tại từng giao điểm. Trên mỗi khoảng, xác định hàm nào nằm trên để phá trị tuyệt đối.
3
Thể tích vật thể (công thức tổng quát)
▼
Công thức thể tích
Vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc $Ox$ tại $x = a$ và $x = b$. Gọi $S(x)$ là diện tích thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc $Ox$ tại hoành độ $x$ (giả sử $S(x)$ liên tục). Khi đó:
$V = \displaystyle\int_a^b S(x)\,dx$
Ý tưởng trực quan
"Cộng dồn" diện tích tất cả các lát mỏng từ $x = a$ đến $x = b$ để ra thể tích. Tích phân chính là phép cộng dồn liên tục này.
💡 Ví dụ 5 – Khối lăng trụ
Lăng trụ có diện tích đáy $S$, chiều cao $h$.
Mỗi thiết diện đều bằng đáy: $S(x) = S$.
$V = \displaystyle\int_0^h S\,dx = Sx\Big|_0^h = Sh$ — đúng công thức đã biết.
💡 Ví dụ 6 – Khối chóp đáy vuông
Chóp đều đáy hình vuông cạnh $L$, chiều cao $h$.
Đặt đỉnh tại $O$. Thiết diện tại $x$ là hình vuông cạnh $a = \dfrac{L}{h}x$ (Thales).
$S(x) = a^2 = \dfrac{L^2}{h^2}x^2$.
$V = \displaystyle\int_0^h \dfrac{L^2}{h^2}x^2\,dx = \dfrac{L^2}{h^2}\cdot\dfrac{h^3}{3} = \dfrac{1}{3}L^2 h$.
Tổng quát: thể tích chóp $= \dfrac{1}{3}\cdot$(diện tích đáy)$\cdot$(chiều cao).
🔧 Phương pháp (Dạng 3) – Diện tích thiết diện hay dùng
• Tam giác đều cạnh $a$: $S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
• Hình vuông cạnh $a$: $S = a^2$.
• Hình tròn bán kính $r$: $S = \pi r^2$.
Tìm $S(x)$ theo $x$ rồi thay vào $V = \int_a^b S(x)\,dx$.
• Hình vuông cạnh $a$: $S = a^2$.
• Hình tròn bán kính $r$: $S = \pi r^2$.
Tìm $S(x)$ theo $x$ rồi thay vào $V = \int_a^b S(x)\,dx$.
4
Thể tích khối tròn xoay
▼
Công thức thể tích khối tròn xoay
Cho $f(x)$ liên tục và không âm trên $[a; b]$. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$, trục hoành và $x = a$, $x = b$ quanh trục $Ox$, mỗi thiết diện là hình tròn bán kính $f(x)$, diện tích $\pi f^2(x)$. Do đó:
$V = \pi \displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx$
Hình minh hoạ: khối tròn xoay khi quay $y=f(x)$ quanh trục $Ox$
💡 Ví dụ 7
Quay quanh $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}$, trục hoành, $x = 0$, $x = 1$.
$V = \pi\displaystyle\int_0^1 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi\int_0^1 x\,dx = \pi\cdot\dfrac{x^2}{2}\Big|_0^1 = \dfrac{\pi}{2}$.
💡 Ví dụ 8 – Khối cầu bán kính $R$
Quay nửa hình tròn $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ ($-R \le x \le R$) quanh $Ox$.
$V = \pi\displaystyle\int_{-R}^{R} (R^2 - x^2)\,dx = \pi\left(R^2 x - \dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_{-R}^{R}$.
$= \pi\left(\dfrac{2R^3}{3} + \dfrac{2R^3}{3}\right) = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ — đúng công thức thể tích khối cầu.
⭐ Mở rộng – Khối xoay giữa hai đồ thị
Với hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$ và $y = g(x)$ (giả sử $0 \le g(x) \le f(x)$ trên $[a; b]$), quay quanh $Ox$:
$V = \pi\displaystyle\int_a^b \big[f^2(x) - g^2(x)\big]\,dx$
🔧 Phương pháp (Dạng 4)
Nếu đề thiếu cận, giải $f(x) = 0$ để tìm giao điểm với trục $Ox$, bổ sung cận. Nhớ bình phương hàm số và không quên thừa số $\pi$.
5
Bài toán thực tế
▼
🔧 Phương pháp (Dạng 5)
Với các bài thiết kế, trang trí có hình dạng parabol:
Bước 1: Gắn hệ tọa độ phù hợp (gốc $O$ ở đỉnh parabol hoặc tâm đối xứng).
Bước 2: Viết phương trình parabol dạng $y = ax^2 + bx + c$ dựa vào các điểm/đỉnh đã biết.
Bước 3: Áp dụng tích phân để tính diện tích / thể tích.
Bước 1: Gắn hệ tọa độ phù hợp (gốc $O$ ở đỉnh parabol hoặc tâm đối xứng).
Bước 2: Viết phương trình parabol dạng $y = ax^2 + bx + c$ dựa vào các điểm/đỉnh đã biết.
Bước 3: Áp dụng tích phân để tính diện tích / thể tích.
Lưu ý đổi đơn vị
Nếu đặt hệ tọa độ theo dm mà đề hỏi cm² thì nhân với $100$ ($1\,\text{dm}^2 = 100\,\text{cm}^2$); $1\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2$. Luôn kiểm tra đơn vị ở kết quả cuối.
💡 Ví dụ minh hoạ
Một hoa văn parabol cao $4$ cm, rộng $5$ cm. Đặt $y = ax^2 + bx$ qua $O(0;0)$, $x=5$ và đỉnh ở $x=2{,}5$ với $y=4$ → $y = -\dfrac{16}{25}x^2 + \dfrac{16}{5}x$. Diện tích một cánh: $\displaystyle\int_0^5 y\,dx = \dfrac{40}{3}\ \text{cm}^2$.
6
Sai lầm thường gặp
▼
| Sai lầm | Đính chính |
|---|---|
| Quên trị tuyệt đối: viết $S = \int_a^b f(x)\,dx$. | Đúng là $S = \int_a^b |f(x)|\,dx$. Nếu $f$ đổi dấu mà bỏ trị tuyệt đối, phần âm triệt tiêu phần dương → sai. |
| Quên thừa số $\pi$ trong thể tích tròn xoay. | Đúng là $V = \pi\int_a^b f^2(x)\,dx$ — đây là lỗi phổ biến nhất. |
| Quên bình phương: viết $V = \pi\int_a^b f(x)\,dx$. | Phải bình phương: $V = \pi\int_a^b f^2(x)\,dx$. |
| Tam giác đều cạnh $a$ lấy $S = a^2$. | Diện tích tam giác đều là $S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$. |
| Dùng $\pi\int f^2$ cho khối xoay giữa hai đồ thị. | Với $0 \le g \le f$: $V = \pi\int_a^b [f^2(x) - g^2(x)]\,dx$. |
| Chọn nhầm nghiệm ngoài đoạn / quên đổi đơn vị. | Chỉ lấy nghiệm thuộc đoạn xét; kiểm tra đơn vị ($1\,\text{dm}^2=100\,\text{cm}^2$). |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
7
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức
| Bài toán | Công thức |
|---|---|
| Diện tích – một đồ thị | $S = \int_a^b |f(x)|\,dx$ |
| Diện tích – hai đồ thị | $S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$ |
| Thể tích vật thể (thiết diện) | $V = \int_a^b S(x)\,dx$ |
| Khối tròn xoay quanh $Ox$ | $V = \pi\int_a^b f^2(x)\,dx$ |
| Khối xoay giữa hai đồ thị | $V = \pi\int_a^b [f^2(x) - g^2(x)]\,dx$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚
Ôn lại đầy đủ Lý thuyết, các dạng toán, công thức & mẹo giải nhanh Bài 13 Ứng dụng hình học của tích phân trên edus.vn
→
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Ứng dụng tích phân!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh