Menu Học Tập

Bài tập Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian (27 bài tập)

Lớp 12 · Toán Bài 15

Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian

VTCP · PT tham số & chính tắc · Hai đường vuông góc · Vị trí tương đối

1
Vectơ chỉ phương của đường thẳng
▼
Định nghĩa – Vectơ chỉ phương
Một vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương (viết tắt VTCP) của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $\Delta$.
Nói ngắn gọn: VTCP là vectơ "chỉ hướng" cho đường thẳng.
Hai chú ý quan trọng
① Một đường thẳng được xác định duy nhất khi biết một điểm đi qua và một VTCP. Đây là "cặp đôi" nền tảng cho mọi phương trình đường thẳng.
② Nếu $\vec{u}$ là VTCP của $\Delta$ thì với mọi $k \neq 0$, vectơ $k\vec{u}$ cũng là VTCP. Một đường thẳng có vô số VTCP, đều cùng phương.
Ứng dụng: VTCP cồng kềnh như $(10; -14; -4)$ có thể rút gọn thành $(5; -7; -2)$ — vẫn đúng vì cùng phương.
Các cách xác định VTCP của đường thẳng $d$
• Từ PT tham số/chính tắc: đọc trực tiếp hệ số đi với $t$.
• $d$ qua hai điểm $A, B$: VTCP là $\vec{AB}$.
• $d \parallel \Delta$: VTCP của $\Delta$ cũng là VTCP của $d$.
• $d \perp (P)$: VTPT của $(P)$ là VTCP của $d$.
• $d \parallel (P)$ hoặc $d \subset (P)$: VTCP $\vec{u}_d \perp \vec{n}_P$, tức $\vec{u}_d \cdot \vec{n}_P = 0$.
• $d$ là giao tuyến của $(P), (Q)$: $\vec{u} = [\vec{n_P}, \vec{n_Q}]$.
• Biết $\vec{n_1}, \vec{n_2}$ đều vuông góc $d$: $\vec{u} = [\vec{n_1}, \vec{n_2}]$.
💡 Ví dụ 1 – VTCP trong hình hộp
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Chỉ ra các VTCP của đường thẳng $BC'$ (điểm đầu, cuối là đỉnh hình hộp).
$BC'$ đi qua $B$ và $C'$. Trong hình hộp, $BC' \parallel AD'$ (hai đường chéo của hai mặt đối diện $BCC'B'$ và $ADD'A'$). Vậy các VTCP của $BC'$ là: $\vec{BC'}$, $\vec{C'B}$, $\vec{AD'}$, $\vec{D'A}$.
2
Phương trình tham số của đường thẳng
▼
Định nghĩa – Phương trình tham số
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(x_0; y_0; z_0)$ và có VTCP $\vec{u} = (a; b; c)$ có phương trình tham số:
$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \ (t \in \mathbb{R})$
Mỗi giá trị $t$ cho tọa độ một điểm thuộc $\Delta$, và ngược lại.
Chú ý & mẹo đọc
• Điều kiện: $a, b, c$ không đồng thời bằng $0$ (vì $\vec{u} \neq \vec{0}$).
• Mẹo đọc: phần hằng số (không chứa $t$) cho tọa độ điểm đi qua; hệ số đi cùng $t$ cho tọa độ VTCP.
💡 Ví dụ 2
Cho $\Delta: \begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = 1 \\ z = 2t \end{cases}$   a) Chỉ ra điểm thuộc $\Delta$ và VTCP. b) Viết PT tham số của $\Delta'$ qua $A(2;1;0)$, VTCP $\vec{v}=(3;0;2)$.
a)Viết đủ: $y = 1 + 0\cdot t$, $z = 0 + 2t$. Vậy điểm $M(-1; 1; 0)$, VTCP $\vec{u} = (3; 0; 2)$. b)$\Delta': \begin{cases} x = 2 + 3s \\ y = 1 \\ z = 2s \end{cases} \ (s \in \mathbb{R})$.
3
Phương trình chính tắc của đường thẳng
▼
Định nghĩa – Phương trình chính tắc
Đường thẳng $\Delta$ qua $A(x_0; y_0; z_0)$, VTCP $\vec{u} = (a; b; c)$ với $a, b, c$ đều khác $0$, có phương trình chính tắc:
$\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c}$
⚠ Chú ý cực kỳ quan trọng
PT chính tắc chỉ tồn tại khi cả ba thành phần $a, b, c$ đều khác $0$. Nếu có thành phần bằng $0$, đường thẳng không có PT chính tắc — chỉ viết được PT tham số.
Lỗi phổ biến: cố viết $\dfrac{y - y_0}{0}$ — vô nghĩa vì mẫu bằng $0$.
💡 Ví dụ 3 & 4
VD3: Đọc điểm & VTCP của $\Delta: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z+2}{1}$.
VD4: Viết PT tham số & chính tắc của $\Delta$ qua $M(1;-2;4)$, VTCP $\vec{u}=(3;-5;1)$.
VD3.Viết lại $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-0}{3} = \dfrac{z-(-2)}{1}$ → điểm $A(1; 0; -2)$, VTCP $\vec{u} = (2; 3; 1)$. VD4.Tham số: $\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = -2 - 5t \\ z = 4 + t \end{cases}$   Chính tắc: $\dfrac{x-1}{3} = \dfrac{y+2}{-5} = \dfrac{z-4}{1}$.
💡 Ví dụ 5 – Trường hợp KHÔNG có PT chính tắc
Viết PT tham số của $\Delta$ qua $M(-1;4;5)$, vuông góc mặt phẳng $(\alpha): 3x + 2y = 0$.
$(\alpha)$ có VTPT $\vec{n} = (3; 2; 0)$. Vì $\Delta \perp (\alpha)$ nên $\vec{n}$ là VTCP của $\Delta$. $\Delta: \begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = 4 + 2t \\ z = 5 \end{cases}$ VTCP có thành phần thứ ba bằng $0$ nên $\Delta$ không có PT chính tắc.
💡 Ví dụ 6 – Đường thẳng song song mặt phẳng
Viết PT tham số của $\Delta$ qua $M(1; 2; -1)$, vuông góc đường thẳng $d: \dfrac{x}{2} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z}{2}$ và song song mặt phẳng $(P): x - y + z + 3 = 0$.
B1.$d$ có VTCP $\vec{u_d} = (2; 1; 2)$; $(P)$ có VTPT $\vec{n_P} = (1; -1; 1)$. B2.Gọi $\vec{u} = (a; b; c)$ là VTCP của $\Delta$. Điều kiện: • $\Delta \perp d \Rightarrow \vec{u}\cdot\vec{u_d} = 2a + b + 2c = 0$. • $\Delta \parallel (P) \Rightarrow \vec{u}\cdot\vec{n_P} = a - b + c = 0$ (VTCP vuông góc VTPT). B3.$\vec{u}$ vuông góc cả $\vec{u_d}$ và $\vec{n_P}$ nên chọn $\vec{u} = [\vec{u_d}, \vec{n_P}] = (1\cdot1 - 2\cdot(-1);\ 2\cdot1 - 2\cdot1;\ 2\cdot(-1) - 1\cdot1) = (3; 0; -3)$. →Rút gọn: $\vec{u} = (1; 0; -1)$. B4.PT tham số qua $M(1; 2; -1)$: $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 \\ z = -1 - t \end{cases}$ Kiểm tra: $\vec{u}\cdot\vec{u_d} = 2 + 0 - 2 = 0$ ✓ và $\vec{u}\cdot\vec{n_P} = 1 - 0 - 1 = 0$ ✓. (VTCP có thành phần giữa bằng $0$ nên $\Delta$ không viết được PT chính tắc.)
4
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
▼
Đường thẳng qua hai điểm
Cho hai điểm phân biệt $A(x_1; y_1; z_1)$, $B(x_2; y_2; z_2)$. Đường thẳng $AB$ nhận $\vec{AB} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1;\ z_2 - z_1)$ làm VTCP.
PT tham số: $\begin{cases} x = x_1 + (x_2-x_1)t \\ y = y_1 + (y_2-y_1)t \\ z = z_1 + (z_2-z_1)t \end{cases}$
PT chính tắc (khi $x_1 \neq x_2$, $y_1 \neq y_2$, $z_1 \neq z_2$): $\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} = \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{z-z_1}{z_2-z_1}$
💡 Ví dụ 6
Viết PT tham số & chính tắc của đường thẳng qua $A(1; 2; -1)$ và $B(2; 4; 0)$.
B1.$\vec{AB} = (2-1;\ 4-2;\ 0-(-1)) = (1; 2; 1)$. B2.Tham số (qua $A$): $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = -1 + t \end{cases}$ B3.Chính tắc: $\dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-2}{2} = \dfrac{z+1}{1}$.
5
Hai đường thẳng vuông góc
▼
Điều kiện hai đường thẳng vuông góc
Cho $\Delta_1, \Delta_2$ có VTCP $\vec{u_1} = (a_1; b_1; c_1)$, $\vec{u_2} = (a_2; b_2; c_2)$. Khi đó:
$\Delta_1 \perp \Delta_2 \Leftrightarrow \vec{u_1}\cdot\vec{u_2} = 0 \Leftrightarrow a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$
Chỉ cần tính tích vô hướng hai VTCP — bằng $0$ thì hai đường thẳng vuông góc.
💡 Ví dụ 7
CMR $\Delta_1: \begin{cases} x=1+2t \\ y=-1-3t \\ z=2-t \end{cases}$ và $\Delta_2: \begin{cases} x=2+s \\ y=1-2s \\ z=3+8s \end{cases}$ vuông góc.
$\vec{u_1} = (2; -3; -1)$, $\vec{u_2} = (1; -2; 8)$. $\vec{u_1}\cdot\vec{u_2} = 2\cdot1 + (-3)(-2) + (-1)\cdot8 = 2 + 6 - 8 = 0$. Vậy $\Delta_1 \perp \Delta_2$.
6
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
▼
Hai đường thẳng trong không gian có 4 vị trí: song song, trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau.
Vị tríĐiều kiện ($\Delta_1$ qua $A_1$, VTCP $\vec{u_1}$; $\Delta_2$ qua $A_2$, VTCP $\vec{u_2}$)
$\Delta_1 \parallel \Delta_2$$\vec{u_1}$ cùng phương $\vec{u_2}$ và $A_1 \notin \Delta_2$
$\Delta_1 \equiv \Delta_2$$\vec{u_1}$ cùng phương $\vec{u_2}$ và $A_1 \in \Delta_2$
$\Delta_1$ cắt $\Delta_2$$[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \neq \vec{0}$ và $\vec{A_1 A_2}\cdot[\vec{u_1}, \vec{u_2}] = 0$
$\Delta_1$ chéo $\Delta_2$$\vec{A_1 A_2}\cdot[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \neq 0$
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
🔧 Cách 1 – Quy trình bằng tích có hướng
Bước 1: Xác định $A_1, \vec{u_1}$ và $A_2, \vec{u_2}$.
Bước 2: Tính $[\vec{u_1}, \vec{u_2}]$. Nếu $= \vec{0}$ → hai VTCP cùng phương → song song/trùng (kiểm tra $A_1 \in \Delta_2$ để phân biệt).
Bước 3: Nếu $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \neq \vec{0}$, tính $\vec{A_1 A_2}\cdot[\vec{u_1}, \vec{u_2}]$: bằng $0$ → cắt nhau; khác $0$ → chéo nhau.
🔧 Cách 2 – Dùng hệ phương trình (tìm được giao điểm)
Viết hai đường thẳng dạng tham số với hai tham số khác nhau ($t$ và $s$), cho tương ứng $x, y, z$ bằng nhau → hệ 3 PT 2 ẩn.
• Nghiệm duy nhất → cắt nhau (tìm được giao điểm).
• Vô số nghiệm → trùng nhau.
• Vô nghiệm + $\vec{u_1}$ cùng phương $\vec{u_2}$ → song song.
• Vô nghiệm + $\vec{u_1}$ không cùng phương $\vec{u_2}$ → chéo nhau.
⚠ Lỗi phổ biến
Phải dùng hai tham số khác nhau ($t$ và $s$) cho hai đường thẳng — tuyệt đối không dùng chung một tham số $t$.
💡 Ví dụ 8 – Vuông góc & chéo nhau
CMR $\Delta_1: \begin{cases} x=1+t \\ y=2-t \\ z=-1+2t \end{cases}$ và $\Delta_2: \dfrac{x-4}{3} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z}{-1}$ vuông góc và chéo nhau.
B1.$A_1(1;2;-1)$, $\vec{u_1}=(1;-1;2)$;   $A_2(4;-1;0)$, $\vec{u_2}=(3;1;-1)$. ⊥$\vec{u_1}\cdot\vec{u_2} = 1\cdot3 + (-1)\cdot1 + 2\cdot(-1) = 0$ → $\Delta_1 \perp \Delta_2$. B2.$[\vec{u_1}, \vec{u_2}] = (-1; 7; 4) \neq \vec{0}$;   $\vec{A_1 A_2} = (3; -3; 1)$. B3.$\vec{A_1 A_2}\cdot[\vec{u_1}, \vec{u_2}] = 3(-1) + (-3)(7) + 1\cdot4 = -20 \neq 0$. Vậy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau.
7
Các dạng nâng cao (tham số hóa)
▼
Ý tưởng cốt lõi – Tham số hóa điểm
Nếu điểm $M$ nằm trên $\Delta: \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$ thì tọa độ $M$ biểu diễn theo $t$: $M(x_0 + at;\ y_0 + bt;\ z_0 + ct)$. Sau đó dùng điều kiện bài toán (vuông góc, thuộc mặt phẳng…) để lập phương trình tìm $t$, từ đó có tọa độ cụ thể của $M$.
Một số tình huống điển hình
① $d$ qua $M_0$, vuông góc và cắt $\Delta$: tham số hóa $H \in \Delta$, dùng $\vec{M_0 H} \perp \vec{u_\Delta}$ tìm $H$ → $d$ qua $M_0, H$.
② $d$ qua $M_0$ và cắt cả $d_1, d_2$: tham số hóa $M_1 \in d_1$, $M_2 \in d_2$, dùng điều kiện $M_0, M_1, M_2$ thẳng hàng.
③ Đường vuông góc chung của $d_1, d_2$ chéo nhau: tham số hóa $M \in d_1$, $N \in d_2$, dùng $\vec{MN} \perp \vec{u_1}$ và $\vec{MN} \perp \vec{u_2}$.
④ Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng: tìm giao điểm và hình chiếu của một điểm khác trên đường thẳng.
💡 Ví dụ – Đường thẳng qua điểm, cắt $d_1$, vuông góc $d_2$
Cho $d_1: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y+1}{2} = \dfrac{z}{-1}$, $d_2: \dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z+3}{2}$. Viết PT $\Delta$ qua $A(1;0;2)$, cắt $d_1$, vuông góc $d_2$.
B1.Gọi $I = \Delta \cap d_1$, tham số hóa $I(1+t;\ -1+2t;\ -t)$. B2.$\vec{AI} = (t;\ 2t-1;\ -t-2)$ là VTCP của $\Delta$. B3.$\Delta \perp d_2$ ($\vec{u_{d_2}} = (1;2;2)$): $t + 2(2t-1) + 2(-t-2) = 0 \Leftrightarrow 3t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 2$. B4.$\vec{AI} = (2; 3; -4)$. Vậy $\Delta: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z-2}{-4}$.
8
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức
Nội dungCông thức / Cách dùng
PT tham số$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$ (qua $A$, VTCP $(a;b;c)$)
PT chính tắc$\dfrac{x-x_0}{a} = \dfrac{y-y_0}{b} = \dfrac{z-z_0}{c}$ (cần $a,b,c \neq 0$)
VTCP qua 2 điểm$\vec{AB} = (x_2-x_1;\ y_2-y_1;\ z_2-z_1)$
Hai đường vuông góc$\vec{u_1}\cdot\vec{u_2} = a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$
Cắt / chéo nhau$\vec{A_1A_2}\cdot[\vec{u_1},\vec{u_2}] = 0$ → cắt; $\neq 0$ → chéo
Song song / trùng$\vec{u_1}$ cùng phương $\vec{u_2}$; xét $A_1 \in \Delta_2$ để phân biệt
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚 Ôn lại đầy đủ Lý thuyết, các dạng toán, công thức & mẹo giải nhanh Bài 15 Phương trình đường thẳng trong không gian trên edus.vn →
1
—
Điểm: 0/27
🎯

Luyện tập Phương trình đường thẳng!

27 câu · 6 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập Toán 12 Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (25 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện (26 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu (26 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian (25 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng (27 bài tập) ( 20/05 )