Menu Học Tập

Bài tập Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian (25 bài tập)

Lớp 12 · Toán Bài 16

Công Thức Tính Góc Trong Không Gian

Góc giữa hai đường thẳng · Đường thẳng & mặt phẳng · Hai mặt phẳng

1
Góc giữa hai đường thẳng
▼
Ý tưởng xây dựng công thức
Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn hoặc vuông ($0°$ đến $90°$), trong khi góc giữa hai VTCP có thể là góc tù. Vì vậy khi chuyển đổi phải lấy giá trị tuyệt đối của cosin.
Công thức – Góc giữa hai đường thẳng
Cho $\Delta$, $\Delta'$ có VTCP $\vec{u} = (a; b; c)$ và $\vec{u'} = (a'; b'; c')$:
$\cos(\Delta, \Delta') = \dfrac{|aa' + bb' + cc'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \cdot \sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}$
Quy ước
Trong bài học này, khi không có chỉ định khác, góc tính theo đơn vị độ và làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.
💡 Ví dụ 1
Tính góc giữa $\Delta: \begin{cases} x=3+t \\ y=1+t \\ z=2 \end{cases}$ và $\Delta': \begin{cases} x=1+s \\ y=4 \\ z=-2+s \end{cases}$.
B1.VTCP: $\vec{u} = (1; 1; 0)$, $\vec{u'} = (1; 0; 1)$. B2.$\cos(\Delta, \Delta') = \dfrac{|1\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}$. Vậy $(\Delta, \Delta') = 60°$.
2
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
▼
Mối liên hệ then chốt
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng phụ với góc giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng. Do đó sin của góc cần tìm bằng cosin của góc giữa hai vectơ (lấy trị tuyệt đối).
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, VTCP u, VTPT n
Hình minh hoạ: đường thẳng $\Delta$ với VTCP $\vec{u}$ và mặt phẳng $(P)$ với VTPT $\vec{n}$
Công thức – Góc đường thẳng & mặt phẳng
Đường thẳng $\Delta$ có VTCP $\vec{u} = (a; b; c)$, mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n} = (A; B; C)$:
$\sin(\Delta, (P)) = \dfrac{|aA + bB + cC|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \cdot \sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
⚠ Chú ý cực kỳ quan trọng
Công thức này dùng sin, KHÔNG phải cos. Đây là lỗi rất hay gặp — nhớ phân biệt: góc đường thẳng – mặt phẳng dùng sin, còn hai đường thẳng / hai mặt phẳng dùng cos.
💡 Ví dụ 2
Tính góc giữa trục $Oy$ và mặt phẳng $(P): x + y + \sqrt{2}z + 3 = 0$.
B1.Trục $Oy$ có VTCP $\vec{j} = (0; 1; 0)$; $(P)$ có VTPT $\vec{n} = (1; 1; \sqrt{2})$. B2.$\sin(Oy, (P)) = \dfrac{|0 + 1 + 0|}{1 \cdot \sqrt{1+1+2}} = \dfrac{1}{2}$. Vậy góc giữa $Oy$ và $(P)$ bằng $30°$.
3
Góc giữa hai mặt phẳng
▼
Ý tưởng xây dựng công thức
Tương tự góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng luôn không lớn hơn $90°$ nên cosin phải lấy giá trị tuyệt đối.
Công thức – Góc giữa hai mặt phẳng
Hai mặt phẳng $(P), (Q)$ có VTPT $\vec{n} = (A; B; C)$, $\vec{n'} = (A'; B'; C')$:
$\cos((P), (Q)) = \dfrac{|AA' + BB' + CC'|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} \cdot \sqrt{A'^2+B'^2+C'^2}}$
💡 Ví dụ 3
Tính góc giữa $(P): x + y + z + 1 = 0$ và $(Q): x - y + z - 2 = 0$.
B1.VTPT: $\vec{n} = (1; 1; 1)$, $\vec{n'} = (1; -1; 1)$. B2.$\cos((P), (Q)) = \dfrac{|1 - 1 + 1|}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \dfrac{1}{3}$. Vậy $((P), (Q)) \approx 70{,}5°$.
💡 Ví dụ 4 – Tìm VTPT bằng tích có hướng
Cho $A(0;0;3)$, $B(0;-2;0)$, $C(0;2;0)$, $D(2;0;0)$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(ABD)$ và $(ACD)$.
B1.$(ABD)$: $\vec{BD}=(2;2;0)$, $\vec{AD}=(2;0;-3)$ → $[\vec{BD},\vec{AD}]=(-6;6;-4)$, chọn $\vec{n}=(-3;3;-2)$. B2.$(ACD)$: $\vec{AC}=(0;2;-3)$, $\vec{AD}=(2;0;-3)$ → $[\vec{AC},\vec{AD}]=(-6;-6;-4)$, chọn $\vec{m}=(3;3;2)$. B3.$\cos = \dfrac{|(-3)(3)+(3)(3)+(-2)(2)|}{\sqrt{22}\cdot\sqrt{22}} = \dfrac{4}{22} = \dfrac{2}{11}$. Vậy $((ABD), (ACD)) \approx 79{,}5°$.
4
Bài toán thực tế
▼
🔧 Phương pháp giải
Bước 1: Chọn hệ trục $Oxyz$ phù hợp (gốc tại điểm đặc biệt, trục theo hướng tự nhiên).
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm quan trọng từ dữ liệu đề bài.
Bước 3: Lập các vectơ cần thiết (VTCP/VTPT), tính tích có hướng nếu cần.
Bước 4: Áp dụng công thức tính góc tương ứng.
Bước 5: Trả lời theo ngữ cảnh thực tế.
Ngữ cảnh thường gặp
Kiến trúc, thiết kế, kỹ thuật: mái nhà nghiêng, đáy bể nghiêng, đường dốc, góc quan sát… Thường quy về góc giữa hai mặt phẳng (mặt nghiêng và mặt nằm ngang).
💡 Ví dụ – Mái nhà nghiêng
Mái nhà đặt trên ba cột cao $7$ m, $6$ m, $5$ m; ba chân cột là tam giác đều cạnh $4$ m trên mặt sàn. Mái nghiêng so với sàn một góc bao nhiêu?
B1.Chọn $O$ là trung điểm $AC$: $A(0;-2;0)$, $C(0;2;0)$, $B(2\sqrt{3};0;0)$. Đỉnh cột: $A'(0;-2;7)$, $B'(2\sqrt{3};0;6)$, $C'(0;2;5)$. B2.Mặt sàn $(ABC)$ có VTPT $(0;0;1)$. B3.$\vec{A'B'}=(2\sqrt{3};2;-1)$, $\vec{A'C'}=(0;4;-2)$ → $[\vec{A'B'},\vec{A'C'}]=(0;4\sqrt{3};8\sqrt{3})$, chọn VTPT mái $(0;1;2)$. B4.$\cos = \dfrac{|0+0+2|}{1\cdot\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$. Vậy mái nghiêng so với sàn một góc $\approx 26{,}6°$.
5
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp 3 công thức tính góc
Loại gócHàmCông thức
Hai đường thẳngcos$\cos = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{u'}|}{|\vec{u}|\,|\vec{u'}|}$
Đường thẳng & mặt phẳngsin$\sin = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}$
Hai mặt phẳngcos$\cos = \dfrac{|\vec{n}\cdot\vec{n'}|}{|\vec{n}|\,|\vec{n'}|}$
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
⚠ Nhớ kỹ
Chỉ góc đường thẳng – mặt phẳng dùng sin; hai loại còn lại dùng cos. Cả ba công thức đều có trị tuyệt đối ở tử số (vì góc luôn từ $0°$ đến $90°$).
📚 Ôn lại đầy đủ Lý thuyết, các dạng toán, công thức & mẹo giải nhanh Bài 16 Công thức tính góc trong không gian trên edus.vn →
1
—
Điểm: 0/25
🎯

Luyện tập Công thức tính góc!

25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập Toán 12 Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (25 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện (26 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu (26 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian (27 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng (27 bài tập) ( 20/05 )