Menu Học Tập

Bài tập Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện (26 bài tập)

Lớp 12 · Toán Bài 18

Xác Suất Có Điều Kiện

Xác suất có điều kiện · Công thức nhân · Sơ đồ hình cây

1
Khái niệm xác suất có điều kiện
▼
Vì sao cần xác suất có điều kiện?
Trong thực tế, ta thường cập nhật xác suất của một biến cố khi biết thêm một thông tin. Ví dụ: xác suất ngày mai mưa nếu biết hôm nay không mưa; xác suất một người thọ $80$ tuổi nếu biết người đó đã sống đến $60$ tuổi (rất quan trọng với các công ty bảo hiểm).
Định nghĩa & công thức
Cho hai biến cố $A, B$. Xác suất của $A$ khi biết $B$ đã xảy ra gọi là xác suất của $A$ với điều kiện $B$, ký hiệu $P(A \mid B)$. Với $P(B) > 0$:
$P(A \mid B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}$
trong đó $AB$ (hay $A \cap B$) là biến cố "cả $A$ và $B$ cùng xảy ra".
Cách nhớ
Khi biết $B$ đã xảy ra, ta thu hẹp không gian mẫu về phạm vi của $B$. Xác suất của $A$ được tính lại trong "không gian mới" này: $P(A \mid B) = \dfrac{n(AB)}{n(B)}$.
💡 Ví dụ 1
Hộp có $15$ bi xanh, $10$ bi đỏ. Bình lấy $1$ viên (không trả lại), rồi An lấy $1$ viên. $A$: "An được bi xanh", $B$: "Bình được bi xanh". Tính $P(A \mid B)$.
Cách 1.Nếu $B$ xảy ra, còn $24$ viên với $14$ xanh: $P(A \mid B) = \dfrac{14}{24} = \dfrac{7}{12}$. Cách 2.$P(B) = \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}$; $P(AB) = \dfrac{15\cdot14}{25\cdot24} = \dfrac{7}{20}$. $P(A \mid B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} = \dfrac{7/20}{3/5} = \dfrac{7}{12}$. Hai cách cho cùng kết quả.
2
Biến cố độc lập & bảng 2×2
▼
Xác suất có điều kiện với hai biến cố độc lập
Nếu $A, B$ độc lập (với $P(A) > 0, P(B) > 0$) thì:
$P(A \mid B) = P(A)$  và  $P(B \mid A) = P(B)$
Vì $A, B$ độc lập nên $P(AB) = P(A)\cdot P(B)$, do đó $P(A \mid B) = \dfrac{P(A)P(B)}{P(B)} = P(A)$.
Ý nghĩa
Nếu hai biến cố độc lập thì điều kiện của biến cố này không làm thay đổi xác suất của biến cố kia. Đây cũng là một cách kiểm tra tính độc lập.
Bảng dữ liệu thống kê 2×2
Bảng gồm hai dòng, hai cột biểu diễn tần số theo hai tiêu chí phân loại — công cụ rất tiện để tính xác suất có điều kiện từ dữ liệu thực tế bằng cách thu hẹp không gian mẫu về một dòng/cột.
💡 Ví dụ 3 – Dây an toàn & tai nạn
Khảo sát $10\,000$ vụ tai nạn: có thắt dây — $10$ tử vong, $7\,990$ sống; không thắt dây — $20$ tử vong, $1\,980$ sống. Tính $P(\text{tử vong} \mid \text{không thắt})$ và $P(\text{tử vong} \mid \text{có thắt})$.
a)Không thắt: $2\,000$ người, $20$ tử vong → $P = \dfrac{20}{2000} = 0{,}01$. b)Có thắt: $8\,000$ người, $10$ tử vong → $P = \dfrac{10}{8000} = 0{,}00125$. c)$\dfrac{0{,}01}{0{,}00125} = 8$: người không thắt dây có nguy cơ tử vong gấp $8$ lần. Việc thắt dây an toàn giúp giảm đáng kể nguy cơ tử vong khi tai nạn.
3
Công thức nhân xác suất
▼
Công thức nhân xác suất
Từ $P(A \mid B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}$, nhân hai vế với $P(B)$:
$P(AB) = P(B)\cdot P(A \mid B) = P(A)\cdot P(B \mid A)$
Cho phép tính xác suất giao của hai biến cố khi biết một xác suất và một xác suất có điều kiện.
Chú ý & trường hợp đặc biệt
• Công thức đúng với mọi $A, B$ (nếu $P(B) = 0$ thì $P(AB) = 0$ vì $AB \subseteq B$).
• Nếu $A, B$ độc lập thì $P(A \mid B) = P(A)$, công thức nhân trở thành $P(AB) = P(A)\cdot P(B)$ — công thức quen thuộc đã học ở lớp 11.
💡 Ví dụ 4
Hộp có $7$ bút xanh, $5$ bút đen. Sơn lấy $1$ chiếc (không trả lại), rồi Tùng lấy $1$ chiếc. Tính xác suất Sơn lấy được bút đen và Tùng lấy được bút xanh.
B1.$A$: "Sơn lấy đen", $P(A) = \dfrac{5}{12}$. B2.Sau khi Sơn lấy đen, còn $11$ bút ($7$ xanh): $P(B \mid A) = \dfrac{7}{11}$. B3.$P(AB) = P(A)\cdot P(B \mid A) = \dfrac{5}{12}\cdot\dfrac{7}{11} = \dfrac{35}{132}$.
4
Sơ đồ hình cây
▼
Sơ đồ hình cây là gì?
Công cụ trực quan mô tả bài toán nhiều giai đoạn (lấy bi hai lần, kiểm tra qua nhiều khâu…):
• Mỗi nhánh là một kết cục ở một giai đoạn.
• Trên mỗi nhánh ghi xác suất tương ứng (nhánh đầu là xác suất thường, nhánh sau là xác suất có điều kiện).
Hai quy tắc tính
• Xác suất một lộ trình (từ gốc đến lá) $=$ tích các xác suất trên các nhánh của lộ trình đó (công thức nhân).
• Xác suất một biến cố $=$ tổng xác suất các lộ trình dẫn đến biến cố đó.
$P(B) = P(A)\,P(B \mid A) + P(\overline{A})\,P(B \mid \overline{A})$
Sơ đồ hình cây hai giai đoạn với các nhánh A, A-ngang và B, B-ngang
Hình minh hoạ: sơ đồ hình cây hai giai đoạn (gốc $O$ → $A, \overline{A}$ → $B, \overline{B}$)
💡 Ví dụ – Sơ đồ cây cho Ví dụ 4
Hộp $7$ xanh, $5$ đen; lấy hai lần không trả lại.
NhánhÝ nghĩaXác suất
$O \to$ ĐSơn lấy đen$\dfrac{5}{12}$
$O \to$ XSơn lấy xanh$\dfrac{7}{12}$
Đ $\to$ XTùng xanh | Sơn đen$\dfrac{7}{11}$
X $\to$ ĐTùng đen | Sơn xanh$\dfrac{5}{11}$
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
Lộ trình $O \to$ Đ $\to$ X có xác suất $\dfrac{5}{12}\cdot\dfrac{7}{11} = \dfrac{35}{132}$.
5
Bài toán hai giai đoạn & ứng dụng
▼
🔧 Quy trình giải bằng sơ đồ cây (2 giai đoạn)
Giai đoạn 1: từ gốc $O$ vẽ hai nhánh $A, \overline{A}$, ghi $P(A), P(\overline{A})$.
Giai đoạn 2: từ mỗi nút vẽ tiếp hai nhánh $B, \overline{B}$, ghi các xác suất có điều kiện.
Tính: $P($ lộ trình $) = $ tích các nhánh; $P($ biến cố $) = $ tổng các lộ trình dẫn tới nó.
Rất hữu ích cho "điều kiện dây chuyền": hôm sau phụ thuộc hôm nay, sản phẩm qua nhiều khâu, xét nghiệm y tế…
💡 Ví dụ – Phương tiện đi làm
Hôm nay đi buýt thì hôm sau đi xe máy với xác suất $0{,}4$; hôm nay đi xe máy thì hôm sau đi buýt với xác suất $0{,}7$. Thứ Hai đi buýt. Tính xác suất thứ Tư đi xe máy.
B1.Thứ Ba: xe máy $P(A) = 0{,}4$; xe buýt $P(\overline{A}) = 0{,}6$. B2.Thứ Tư xe máy: nếu thứ Ba xe máy $P(B \mid A) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$; nếu thứ Ba xe buýt $P(B \mid \overline{A}) = 0{,}4$. B3.$P(B) = 0{,}4\cdot0{,}3 + 0{,}6\cdot0{,}4 = 0{,}12 + 0{,}24 = 0{,}36$.
💡 Ví dụ – Xét nghiệm y tế
$5\%$ dân số mắc bệnh X. Người mắc bệnh: xét nghiệm không dương tính với xác suất $0{,}02$. Người không mắc: xét nghiệm dương tính với xác suất $0{,}03$. Tính $P(W)$ = "không bệnh & dương tính" và $P(Y)$ = "có bệnh & không dương tính".
→$P(W) = P(\overline{B})\cdot P(D \mid \overline{B}) = 0{,}95\cdot0{,}03 = 0{,}0285$. →$P(Y) = P(B)\cdot P(\overline{D} \mid B) = 0{,}05\cdot0{,}02 = 0{,}001$. $P(W) = 2{,}85\%$ là tỉ lệ "báo động giả" — cao hơn cả tỉ lệ mắc bệnh, nên cần xét nghiệm thêm để xác nhận.
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức
Nội dungCông thức
Xác suất có điều kiện$P(A \mid B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}$ (với $P(B) > 0$)
Thu hẹp không gian mẫu$P(A \mid B) = \dfrac{n(AB)}{n(B)}$
Công thức nhân$P(AB) = P(B)\,P(A \mid B) = P(A)\,P(B \mid A)$
Hai biến cố độc lập$P(A \mid B) = P(A)$; $P(AB) = P(A)\,P(B)$
Sơ đồ cây – một lộ trìnhtích các xác suất trên các nhánh
Sơ đồ cây – một biến cốtổng xác suất các lộ trình dẫn tới nó
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
⚠ Lỗi thường gặp
• Nhầm $P(A \mid B)$ với $P(B \mid A)$ — hai giá trị này nói chung khác nhau.
• Đọc nhầm dòng/cột trong bảng $2\times2$ — sẽ dẫn đến kết luận ngược hoàn toàn, hãy luôn xác định rõ tiêu chí của từng dòng/cột.
📚 Ôn lại đầy đủ Lý thuyết, các dạng toán, công thức & mẹo giải nhanh Bài 18 Xác suất có điều kiện trên edus.vn →
1
—
Điểm: 0/26
🎯

Luyện tập Xác suất có điều kiện!

26 câu · 5 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập Toán 12 Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (25 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu (26 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian (25 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian (27 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng (27 bài tập) ( 20/05 )