Lớp 12 · Toán
Bài 19
Công Thức Xác Suất Toàn Phần & Công Thức Bayes
Phân hoạch theo nguyên nhân · Sơ đồ hình cây · Cập nhật xác suất hậu nghiệm
1
Công thức xác suất toàn phần
▼
Dẫn dắt
Để tính xác suất của một biến cố $B$, ta thường phân hoạch không gian mẫu theo một biến cố "nguyên nhân" (biến cố $A$ và biến cố đối $\overline{A}$), rồi tổng hợp lại.
Ví dụ: tính xác suất bán hết vé buổi ca nhạc ngoài trời → phân theo thời tiết "trời mưa" ($A$) và "trời không mưa" ($\overline{A}$). Mỗi trường hợp có xác suất bán hết vé khác nhau.
Ví dụ: tính xác suất bán hết vé buổi ca nhạc ngoài trời → phân theo thời tiết "trời mưa" ($A$) và "trời không mưa" ($\overline{A}$). Mỗi trường hợp có xác suất bán hết vé khác nhau.
Định lý – Công thức xác suất toàn phần
Cho hai biến cố $A$ và $B$. Khi đó:
$P(B) = P(A)\cdot P(B \mid A) + P(\overline{A})\cdot P(B \mid \overline{A})$
💡 Cách hiểu trực quan
Xác suất của $B$ bằng tổng hai "đóng góp":
• Đóng góp từ trường hợp $A$ xảy ra: $P(A)\cdot P(B \mid A)$.
• Đóng góp từ trường hợp $\overline{A}$ xảy ra: $P(\overline{A})\cdot P(B \mid \overline{A})$.
Hai phần cần xác định: cặp $P(A), P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ và cặp xác suất có điều kiện $P(B \mid A), P(B \mid \overline{A})$.
• Đóng góp từ trường hợp $A$ xảy ra: $P(A)\cdot P(B \mid A)$.
• Đóng góp từ trường hợp $\overline{A}$ xảy ra: $P(\overline{A})\cdot P(B \mid \overline{A})$.
Hai phần cần xác định: cặp $P(A), P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ và cặp xác suất có điều kiện $P(B \mid A), P(B \mid \overline{A})$.
💡 Ví dụ 1 – Ông An đi làm
Ông An đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay đi xe buýt thì hôm sau đi xe máy với xác suất $0{,}4$. Nếu hôm nay đi xe máy thì hôm sau đi xe buýt với xác suất $0{,}7$. Thứ Hai ông đi xe buýt. Tính xác suất thứ Tư ông đi xe máy.
Gọi $A$: "thứ Ba đi xe máy"; $B$: "thứ Tư đi xe máy". Cần tính $P(B)$.
B1.Thứ Hai đi xe buýt → thứ Ba đi xe máy với xác suất $0{,}4$. Vậy $P(A) = 0{,}4$.
B2.$P(\overline{A}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$ (thứ Ba đi xe buýt).
B3.$P(B \mid A)$: thứ Tư đi xe máy biết thứ Ba đi xe máy. Nếu hôm nay đi xe máy thì hôm sau đi xe buýt $0{,}7$, nên đi xe máy $1 - 0{,}7 = 0{,}3$. Vậy $P(B \mid A) = 0{,}3$.
B4.$P(B \mid \overline{A})$: thứ Tư đi xe máy biết thứ Ba đi xe buýt. Nếu hôm nay đi xe buýt thì hôm sau đi xe máy $0{,}4$. Vậy $P(B \mid \overline{A}) = 0{,}4$.
B5.$P(B) = 0{,}4\cdot0{,}3 + 0{,}6\cdot0{,}4 = 0{,}12 + 0{,}24 = 0{,}36$.
Vậy xác suất thứ Tư ông An đi làm bằng xe máy là $0{,}36$.
2
Minh họa bằng sơ đồ hình cây
▼
Quy ước trên cây
• Nhánh $OA$, $O\overline{A}$: ghi $P(A)$ và $P(\overline{A})$.
• Nhánh $AB$, $A\overline{B}$: ghi $P(B \mid A)$ và $P(\overline{B} \mid A)$.
• Nhánh $\overline{A}B$, $\overline{A}\,\overline{B}$: ghi $P(B \mid \overline{A})$ và $P(\overline{B} \mid \overline{A})$.
• Nhánh $AB$, $A\overline{B}$: ghi $P(B \mid A)$ và $P(\overline{B} \mid A)$.
• Nhánh $\overline{A}B$, $\overline{A}\,\overline{B}$: ghi $P(B \mid \overline{A})$ và $P(\overline{B} \mid \overline{A})$.
Sơ đồ hình cây cho công thức xác suất toàn phần (hai nhánh $A$ và $\overline{A}$, mỗi nhánh rẽ tiếp $B$ và $\overline{B}$)
Quy tắc tính trên cây
• Xác suất một lộ trình (từ gốc đến lá) = tích các xác suất trên lộ trình.
• Xác suất biến cố $B$ = tổng xác suất các lộ trình dẫn đến $B$.
• Xác suất biến cố $B$ = tổng xác suất các lộ trình dẫn đến $B$.
Có hai lộ trình dẫn đến $B$: $O \to A \to B$ và $O \to \overline{A} \to B$.
Áp dụng cho Ví dụ 1: $P(B) = \underbrace{0{,}4\cdot0{,}3}_{O\to A\to B} + \underbrace{0{,}6\cdot0{,}4}_{O\to\overline{A}\to B} = 0{,}36$.
Kết quả khớp với cách tính bằng công thức ở Thẻ 1.
3
Phân biệt P(A|B) và P(B|A)
▼
Vì sao cần phân biệt?
Hai xác suất $P(A \mid B)$ và $P(B \mid A)$ có ý nghĩa rất khác nhau, dù cùng liên quan đến hai biến cố $A, B$.
Ví dụ y học
Gọi $A$ = "người đó mắc bệnh $X$", $B$ = "xét nghiệm dương tính":
• $P(B \mid A)$: xác suất dương tính nếu đã mắc bệnh — đây là độ nhạy của xét nghiệm, thường do nhà sản xuất công bố.
• $P(A \mid B)$: xác suất đã mắc bệnh nếu xét nghiệm dương tính — điều mà bệnh nhân thực sự quan tâm.
• $P(B \mid A)$: xác suất dương tính nếu đã mắc bệnh — đây là độ nhạy của xét nghiệm, thường do nhà sản xuất công bố.
• $P(A \mid B)$: xác suất đã mắc bệnh nếu xét nghiệm dương tính — điều mà bệnh nhân thực sự quan tâm.
Vai trò của công thức Bayes
Công thức Bayes cho phép tính $P(A \mid B)$ khi biết $P(B \mid A)$, $P(B \mid \overline{A})$ và $P(A)$ — tức đảo chiều điều kiện từ "chiều xuôi" (nguyên nhân → hệ quả) sang "chiều ngược" (hệ quả → nguyên nhân).
4
Công thức Bayes
▼
Định lý – Công thức Bayes
Cho hai biến cố $A, B$ với $P(B) > 0$:
$P(A \mid B) = \dfrac{P(A)\cdot P(B \mid A)}{P(A)\cdot P(B \mid A) + P(\overline{A})\cdot P(B \mid \overline{A})}$
Chú ý – Liên hệ với xác suất toàn phần
Mẫu số của công thức Bayes chính là $P(B)$ theo công thức xác suất toàn phần. Do đó có thể viết gọn: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A)\cdot P(B \mid A)}{P(B)}$.
Ý nghĩa – Cập nhật niềm tin
Ta có niềm tin ban đầu $P(A) = p$ về khả năng xảy ra của $A$ (xác suất tiên nghiệm). Sau khi quan sát thêm thông tin "$B$ đã xảy ra", ta cập nhật thành $P(A \mid B)$ (xác suất hậu nghiệm). Công thức Bayes giúp tính sự cập nhật này.
💡 Ví dụ 2 – Tổ hợp A00 & đỗ đại học
Tỉnh $X$ có $75\%$ học sinh chọn tổ hợp A00. Nếu chọn A00 thì đỗ đại học với xác suất $0{,}65$; nếu không chọn A00 thì đỗ với xác suất $0{,}75$. Một học sinh đã đỗ đại học. Tính xác suất học sinh đó chọn A00.
Gọi $A$: "chọn A00"; $B$: "đỗ đại học". Cần tính $P(A \mid B)$.
B1.$P(A) = 0{,}75$; $P(\overline{A}) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25$.
B2.$P(B \mid A) = 0{,}65$ (đỗ biết chọn A00); $P(B \mid \overline{A}) = 0{,}75$ (đỗ biết không chọn A00).
B3.Tử số: $P(A)\cdot P(B \mid A) = 0{,}75\cdot0{,}65 = 0{,}4875$.
B4.Mẫu số: $0{,}4875 + 0{,}25\cdot0{,}75 = 0{,}4875 + 0{,}1875 = 0{,}675$.
B5.$P(A \mid B) = \dfrac{0{,}4875}{0{,}675} \approx 0{,}7222$.
Vậy xác suất học sinh đó chọn A00 là khoảng $0{,}7222$ (tức $72{,}22\%$). Xác suất giảm so với tiên nghiệm $0{,}75$ vì nhóm không chọn A00 có tỉ lệ đỗ cao hơn.
5
Ứng dụng trong y tế (xét nghiệm)
▼
Hai loại sai lầm của xét nghiệm
• Dương tính giả: xét nghiệm dương tính nhưng thực tế không mắc bệnh.
• Âm tính giả: xét nghiệm âm tính nhưng thực tế lại mắc bệnh.
• Âm tính giả: xét nghiệm âm tính nhưng thực tế lại mắc bệnh.
💡 Ví dụ 3 – Nghịch lý bệnh hiếm gặp
Xét nghiệm bệnh $Z$: nếu mắc bệnh thì dương tính với xác suất $0{,}92$; nếu không mắc thì dương tính với xác suất $0{,}02$. Ông M dương tính. Tính xác suất ông M thực sự mắc bệnh, biết tỉ lệ dân số mắc bệnh $p = 0{,}3\% = 0{,}003$.
Gọi $A$: "ông M mắc bệnh $Z$"; $B$: "dương tính". Cần tính $P(A \mid B)$.
B1.$P(A) = 0{,}003$; $P(\overline{A}) = 0{,}997$.
B2.$P(B \mid A) = 0{,}92$; $P(B \mid \overline{A}) = 0{,}02$ (dương tính giả).
B3.Tử số: $0{,}003\cdot0{,}92 = 0{,}00276$.
B4.Mẫu số: $0{,}00276 + 0{,}997\cdot0{,}02 = 0{,}00276 + 0{,}01994 = 0{,}02270$.
B5.$P(A \mid B) = \dfrac{0{,}00276}{0{,}02270} \approx 0{,}1216$.
Kết quả bất ngờ: dù xét nghiệm có độ nhạy $92\%$, xác suất ông M thực sự mắc bệnh chỉ $\approx 12{,}16\%$! Vì bệnh hiếm, phần lớn ca dương tính là dương tính giả.
💡 Ví dụ 4 – Kết quả âm tính của bà N
Tỉ lệ dân số mắc bệnh $W$ là $0{,}8\%$. Nếu mắc bệnh thì dương tính với xác suất $0{,}90$; nếu không mắc thì âm tính với xác suất $0{,}96$. Bà N âm tính. a) Xác suất tiên nghiệm không mắc bệnh? b) Xác suất không mắc bệnh sau khi âm tính?
Gọi $A$: "bà N mắc bệnh $W$"; $B$: "dương tính".
a)$P(\overline{A}) = 1 - 0{,}008 = 0{,}992$.
b)Cần tính $P(\overline{A} \mid \overline{B})$ (không mắc bệnh biết âm tính).
B1.$P(\overline{B} \mid \overline{A}) = 0{,}96$ (âm tính khi không mắc); $P(\overline{B} \mid A) = 1 - 0{,}90 = 0{,}10$ (âm tính giả).
B2.Tử số: $0{,}992\cdot0{,}96 = 0{,}95232$.
B3.Mẫu số: $0{,}95232 + 0{,}008\cdot0{,}10 = 0{,}95232 + 0{,}00080 = 0{,}95312$.
B4.$P(\overline{A} \mid \overline{B}) = \dfrac{0{,}95232}{0{,}95312} \approx 0{,}9992$.
Trước xét nghiệm $99{,}2\%$ không mắc; sau khi âm tính tăng lên $99{,}92\%$ — kết quả âm tính gần như chắc chắn bà không mắc bệnh. Với bệnh hiếm, kết quả âm tính đáng tin hơn kết quả dương tính.
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp hai công thức
| Công thức | Dùng khi nào & biểu thức |
|---|---|
| Xác suất toàn phần | Tính $P(B)$ bằng cách phân trường hợp: $P(B) = P(A)P(B\mid A) + P(\overline{A})P(B\mid\overline{A})$ |
| Bayes (dạng đầy đủ) | Đảo chiều điều kiện: $P(A\mid B) = \dfrac{P(A)P(B\mid A)}{P(A)P(B\mid A) + P(\overline{A})P(B\mid\overline{A})}$ |
| Bayes (dạng gọn) | $P(A\mid B) = \dfrac{P(A)P(B\mid A)}{P(B)}$ (mẫu là $P(B)$ ở dòng trên) |
| Tiên nghiệm vs hậu nghiệm | $P(A)$ là niềm tin ban đầu; $P(A\mid B)$ là niềm tin sau khi biết $B$ xảy ra |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
🔑 Mẹo nhận dạng
• Đề hỏi "xác suất xảy ra $B$" và cho dữ kiện theo từng trường hợp → xác suất toàn phần.
• Đề cho chiều xuôi (biết nguyên nhân → tỉ lệ hệ quả) và hỏi chiều ngược (biết hệ quả → thuộc nguyên nhân nào) → Bayes.
• Cụm từ "trong nhóm X, tỉ lệ Y là…" hoặc "nếu gặp X thì xác suất Y là…" thường là $P(Y \mid X)$.
• Đề cho chiều xuôi (biết nguyên nhân → tỉ lệ hệ quả) và hỏi chiều ngược (biết hệ quả → thuộc nguyên nhân nào) → Bayes.
• Cụm từ "trong nhóm X, tỉ lệ Y là…" hoặc "nếu gặp X thì xác suất Y là…" thường là $P(Y \mid X)$.
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Xác suất toàn phần & Bayes!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh