Lớp 12 · Toán
Bài 2
Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
Định nghĩa · GTLN, GTNN trên đoạn · Bài toán tối ưu
1
Định nghĩa GTLN, GTNN
▼
Định nghĩa
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$.
• Số $M$ là giá trị lớn nhất của $f$ trên $D$ nếu:
– $f(x) \leq M$ với mọi $x \in D$
– Tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = M$
Kí hiệu: $M = \max\limits_{x \in D} f(x)$.
• Số $m$ là giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $D$ nếu:
– $f(x) \geq m$ với mọi $x \in D$
– Tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = m$
Kí hiệu: $m = \min\limits_{x \in D} f(x)$.
• Số $M$ là giá trị lớn nhất của $f$ trên $D$ nếu:
– $f(x) \leq M$ với mọi $x \in D$
– Tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = M$
Kí hiệu: $M = \max\limits_{x \in D} f(x)$.
• Số $m$ là giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $D$ nếu:
– $f(x) \geq m$ với mọi $x \in D$
– Tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = m$
Kí hiệu: $m = \min\limits_{x \in D} f(x)$.
Chú ý quan trọng
• Khi nói GTLN, GTNN mà không kèm tập $D$ thì ngầm hiểu xét trên tập xác định.
• Phải tồn tại $x_0 \in D$ mà tại đó hàm đạt GTLN (hoặc GTNN); nếu không, hàm không có GTLN (hoặc GTNN).
• Phân biệt với cực đại, cực tiểu: cực trị là khái niệm địa phương (chỉ so sánh trong lân cận), còn GTLN/GTNN là khái niệm toàn cục (so sánh trên toàn $D$).
• Phải tồn tại $x_0 \in D$ mà tại đó hàm đạt GTLN (hoặc GTNN); nếu không, hàm không có GTLN (hoặc GTNN).
• Phân biệt với cực đại, cực tiểu: cực trị là khái niệm địa phương (chỉ so sánh trong lân cận), còn GTLN/GTNN là khái niệm toàn cục (so sánh trên toàn $D$).
Hình 1: Đồ thị hàm số trên đoạn – tung độ cao nhất là GTLN, thấp nhất là GTNN
💡 Ví dụ 1 – Hàm chứa căn
Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = \sqrt{4 - x^2}$
B1.Tập xác định: $4 - x^2 \geq 0 \Leftrightarrow -2 \leq x \leq 2$, nên $D = [-2;\,2]$
B2.Vì $4 - x^2 \geq 0$ với mọi $x \in D$ nên $y = \sqrt{4 - x^2} \geq 0$. Dấu "=" xảy ra khi $x = \pm 2$
B3.Vì $4 - x^2 \leq 4$ với mọi $x \in D$ nên $y \leq 2$. Dấu "=" xảy ra khi $x = 0$
Vậy $\min\limits_{[-2;\,2]} y = 0$ (tại $x = \pm 2$); $\max\limits_{[-2;\,2]} y = 2$ (tại $x = 0$).
2
Tìm GTLN, GTNN trên đoạn $[a;b]$
▼
Định lý quan trọng
Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ thì hàm số luôn đạt GTLN và GTNN trên đoạn đó. Tức là tồn tại $x_1, x_2 \in [a;b]$ sao cho $f(x_1) = \max$, $f(x_2) = \min$.
🔧 Quy tắc 3 bước tìm GTLN, GTNN trên đoạn $[a;b]$
Bước 1: Tìm các điểm $x_1, x_2, \ldots, x_n \in (a;b)$ tại đó $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định (gọi là điểm tới hạn).
Bước 2: Tính các giá trị $f(x_1), f(x_2), \ldots, f(x_n)$ và cả hai đầu mút $f(a), f(b)$.
Bước 3: So sánh tất cả các giá trị trên: số lớn nhất là $\max\limits_{[a;b]} f$; số nhỏ nhất là $\min\limits_{[a;b]} f$.
Bước 2: Tính các giá trị $f(x_1), f(x_2), \ldots, f(x_n)$ và cả hai đầu mút $f(a), f(b)$.
Bước 3: So sánh tất cả các giá trị trên: số lớn nhất là $\max\limits_{[a;b]} f$; số nhỏ nhất là $\min\limits_{[a;b]} f$.
⚠ Lưu ý cực kỳ quan trọng
• BẮT BUỘC phải tính giá trị tại hai đầu mút $a$ và $b$! Đây là sai lầm phổ biến nhất.
• Chỉ lấy các điểm tới hạn thuộc khoảng mở $(a;b)$, không kể đầu mút.
• Nếu hàm đồng biến trên $[a;b]$ thì $\min = f(a)$, $\max = f(b)$.
• Nếu hàm nghịch biến trên $[a;b]$ thì $\min = f(b)$, $\max = f(a)$.
• Chỉ lấy các điểm tới hạn thuộc khoảng mở $(a;b)$, không kể đầu mút.
• Nếu hàm đồng biến trên $[a;b]$ thì $\min = f(a)$, $\max = f(b)$.
• Nếu hàm nghịch biến trên $[a;b]$ thì $\min = f(b)$, $\max = f(a)$.
💡 Ví dụ 2 – Hàm bậc bốn trên đoạn
Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 5$ trên đoạn $[0;\,3]$
B1.$y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)$
B2.$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm 1$. Trong khoảng $(0;3)$ chỉ có $x = 1$
B3.Tính giá trị tại điểm tới hạn $x = 1$ và 2 đầu mút $x = 0, x = 3$:
• $y(0) = 0 - 0 + 5 = 5$
• $y(1) = 1 - 2 + 5 = 4$
• $y(3) = 81 - 18 + 5 = 68$
B4.So sánh ba giá trị $5, 4, 68$ → lớn nhất là $68$, nhỏ nhất là $4$
Vậy $\max\limits_{[0;3]} y = 68$ (tại $x = 3$); $\min\limits_{[0;3]} y = 4$ (tại $x = 1$).
💡 Ví dụ 3 – Hàm bậc ba trên đoạn
Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = 2x^3 - 6x + 3$ trên đoạn $[-1;\,2]$
B1.$y' = 6x^2 - 6 = 6(x - 1)(x + 1)$
B2.$y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$. Trong $(-1;\,2)$ chỉ có $x = 1$ (vì $x = -1$ là đầu mút)
B3.Tính giá trị tại $x = 1$ và hai đầu mút $x = -1, x = 2$:
• $y(-1) = -2 + 6 + 3 = 7$
• $y(1) = 2 - 6 + 3 = -1$
• $y(2) = 16 - 12 + 3 = 7$
Vậy $\max\limits_{[-1;2]} y = 7$ (tại $x = -1$ và $x = 2$); $\min\limits_{[-1;2]} y = -1$ (tại $x = 1$).
Hình 2: Bảng biến thiên minh hoạ – so sánh tại điểm tới hạn và đầu mút
3
Tìm GTLN, GTNN trên khoảng hoặc nửa khoảng
▼
Khác biệt với trường hợp đoạn đóng
• Trên khoảng mở $(a;b)$ hoặc nửa khoảng như $[a;+\infty)$, $(0;+\infty)$..., hàm số có thể không có GTLN hoặc GTNN.
• Phải lập bảng biến thiên trên toàn miền và tính giới hạn tại các đầu mút (kể cả $\pm\infty$).
• Nếu bảng biến thiên cho thấy hàm tiến tới $+\infty$ (hoặc $-\infty$) mà không đạt được, thì không có GTLN (hoặc GTNN).
• Phải lập bảng biến thiên trên toàn miền và tính giới hạn tại các đầu mút (kể cả $\pm\infty$).
• Nếu bảng biến thiên cho thấy hàm tiến tới $+\infty$ (hoặc $-\infty$) mà không đạt được, thì không có GTLN (hoặc GTNN).
🔧 Quy trình thực hiện
Bước 1: Tính $f'(x)$, giải $f'(x) = 0$ tìm điểm tới hạn trong miền xét.
Bước 2: Tính giá trị $f$ tại các điểm tới hạn; tính giới hạn $f$ tại các đầu mút mở (kể cả $\pm\infty$).
Bước 3: Lập bảng biến thiên, từ đó đọc GTLN và GTNN (nếu có).
Bước 2: Tính giá trị $f$ tại các điểm tới hạn; tính giới hạn $f$ tại các đầu mút mở (kể cả $\pm\infty$).
Bước 3: Lập bảng biến thiên, từ đó đọc GTLN và GTNN (nếu có).
💡 Ví dụ 4 – Hàm phân thức trên khoảng vô hạn
Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của hàm số $y = x + \dfrac{4}{x}$ trên khoảng $(0;\,+\infty)$
B1.$y' = 1 - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2 - 4}{x^2}$
B2.$y' = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2$ (vì $x > 0$)
B3.Tính giá trị và giới hạn:
• $y(2) = 2 + 2 = 4$
• $\lim\limits_{x \to 0^+} y = \lim\limits_{x \to 0^+}\left(x + \dfrac{4}{x}\right) = +\infty$
• $\lim\limits_{x \to +\infty} y = +\infty$
B4.BBT: $y$ giảm trên $(0;2)$, tăng trên $(2;+\infty)$. Hàm đạt giá trị nhỏ nhất bằng $4$ tại $x = 2$, không bị chặn trên.
Vậy $\min\limits_{(0;+\infty)} y = 4$ tại $x = 2$. Hàm số không có GTLN (vì tiến đến $+\infty$).
4
Bài toán tối ưu thực tế
▼
🔧 Phương pháp 3 bước
Bước 1: Từ tình huống thực tế, gọi biến (đặt điều kiện dương, trong khoảng hợp lệ). Thiết lập hàm mục tiêu theo biến đó (thể tích, diện tích, chi phí…).
Bước 2: Tính đạo hàm hàm mục tiêu, tìm điểm tới hạn trong miền điều kiện.
Bước 3: Lập bảng biến thiên, kết luận giá trị của biến để đạt mục tiêu yêu cầu, rồi trả lời theo đơn vị ban đầu.
Bước 2: Tính đạo hàm hàm mục tiêu, tìm điểm tới hạn trong miền điều kiện.
Bước 3: Lập bảng biến thiên, kết luận giá trị của biến để đạt mục tiêu yêu cầu, rồi trả lời theo đơn vị ban đầu.
⚠ Lưu ý
• Luôn ghi rõ điều kiện thực tế của biến (độ dài $> 0$, thời gian $\geq 0$, ...).
• Kết quả tìm được phải thỏa mãn điều kiện; nếu không, loại nghiệm.
• Trả lời bằng câu hoàn chỉnh kèm đơn vị (cm, cm², cm³, giờ…).
• Kết quả tìm được phải thỏa mãn điều kiện; nếu không, loại nghiệm.
• Trả lời bằng câu hoàn chỉnh kèm đơn vị (cm, cm², cm³, giờ…).
💡 Ví dụ 5 – Bài toán hộp không nắp
Từ một tấm bìa hình vuông cạnh $24$ cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành hộp không nắp. Tính độ dài cạnh hình vuông bị cắt để thể tích hộp lớn nhất.
Hình 3: Cắt bốn hình vuông cạnh $x$ ở bốn góc rồi gập thành hộp
B1.Gọi $x$ (cm) là cạnh hình vuông bị cắt, $0 < x < 12$. Đáy hộp là hình vuông cạnh $(24 - 2x)$ cm, chiều cao $x$ cm.
B2.Thể tích: $V(x) = x(24 - 2x)^2$ với $x \in (0;\,12)$
B3.$V'(x) = (24-2x)^2 + x \cdot 2(24-2x)(-2) = (24-2x)\big[(24-2x) - 4x\big] = (24-2x)(24-6x)$
B4.$V'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 12$ (loại) hoặc $x = 4$ (nhận)
B5.$V(4) = 4 \cdot 16^2 = 1024$ cm³. BBT cho thấy $V$ tăng rồi giảm, $V(4)$ là GTLN.
Vậy cạnh hình vuông cắt là $4$ cm, khi đó thể tích lớn nhất là $1024$ cm³.
5
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp
| Trường hợp | Điểm xét | Lưu ý |
|---|---|---|
| Đoạn $[a;b]$ | Điểm tới hạn trong $(a;b)$ + 2 đầu mút | Luôn tồn tại GTLN, GTNN (nếu $f$ liên tục) |
| Khoảng mở $(a;b)$ | Điểm tới hạn + giới hạn tại $a, b$ | Có thể không tồn tại GTLN hoặc GTNN |
| Đồng biến trên $[a;b]$ | $\min = f(a)$, $\max = f(b)$ | Đạt tại đầu mút |
| Nghịch biến trên $[a;b]$ | $\min = f(b)$, $\max = f(a)$ | Đạt tại đầu mút (ngược lại) |
| Bài toán thực tế | Lập hàm mục tiêu + điều kiện | Trả lời kèm đơn vị |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
⚠ Sai lầm thường gặp
• Quên tính giá trị tại đầu mút $a, b$ khi tìm GTLN, GTNN trên $[a;b]$.
• Nhầm cực đại với GTLN (cực đại địa phương, GTLN toàn cục).
• Trên khoảng mở, không tính giới hạn tại đầu mút mở → kết luận sai về việc có/không có GTLN, GTNN.
• Trong bài toán thực tế, không đặt điều kiện cho biến (như độ dài $> 0$).
• Lấy điểm tới hạn nằm ngoài miền xét.
• Nhầm cực đại với GTLN (cực đại địa phương, GTLN toàn cục).
• Trên khoảng mở, không tính giới hạn tại đầu mút mở → kết luận sai về việc có/không có GTLN, GTNN.
• Trong bài toán thực tế, không đặt điều kiện cho biến (như độ dài $> 0$).
• Lấy điểm tới hạn nằm ngoài miền xét.
1
—
Điểm: 0/27
🎯
Luyện tập GTLN, GTNN của hàm số!
27 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/27
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh