Lớp 12 · Toán
Bài 3
Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số
Tiệm cận ngang · Tiệm cận đứng · Tiệm cận xiên
1
Đường tiệm cận ngang
▼
Định nghĩa
Đường thẳng $y = y_0$ được gọi là tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu thỏa mãn ít nhất một trong hai điều kiện:
$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = y_0$ hoặc $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = y_0$
Ý nghĩa hình học
Khi $x$ tiến ra vô cùng, điểm trên đồ thị tiến sát đường thẳng $y = y_0$ (khoảng cách giữa chúng dần về $0$). Đồ thị "ép sát" vào đường nằm ngang.
Hình 1: Đồ thị tiến sát đường thẳng $y = y_0$ khi $x \to \pm\infty$
💡 Ví dụ 1 – Hàm phân thức bậc 1/bậc 1
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x + 3}{x - 1}$
B1.Chia cả tử và mẫu cho $x$ rồi cho $x \to \pm\infty$:
$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x + 3}{x - 1} = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{2 + \dfrac{3}{x}}{1 - \dfrac{1}{x}} = \dfrac{2 + 0}{1 - 0} = 2$
Vậy đồ thị có một tiệm cận ngang $y = 2$.
⚡ Quy tắc nhanh – Hàm phân thức $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$
So sánh bậc của tử và mẫu:
• Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu ⟹ TCN: $y = 0$.
• Bậc tử bằng bậc mẫu ⟹ TCN: $y = \dfrac{a}{b}$ (hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu).
• Bậc tử lớn hơn bậc mẫu ⟹ không có TCN.
• Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu ⟹ TCN: $y = 0$.
• Bậc tử bằng bậc mẫu ⟹ TCN: $y = \dfrac{a}{b}$ (hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu).
• Bậc tử lớn hơn bậc mẫu ⟹ không có TCN.
2
Đường tiệm cận đứng
▼
Định nghĩa
Đường thẳng $x = x_0$ được gọi là tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty$ hoặc $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty$
Ý nghĩa hình học
Khi $x$ tiến gần đến $x_0$ (từ bên trái hoặc bên phải), giá trị $f(x)$ tiến ra vô cùng. Đồ thị "chạy dọc" theo đường thẳng đứng $x = x_0$.
Hình 2: Đồ thị tiến sát đường thẳng đứng $x = x_0$ khi $x \to x_0$
💡 Ví dụ 2 – Tìm tiệm cận đứng
Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2 - x}{x + 3}$
B1.Hàm số xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$. Xét giới hạn khi $x \to -3$:
B2.Khi $x \to (-3)^+$: mẫu $x + 3 \to 0^+$, tử $2 - x \to 5 > 0$ ⟹ $\lim = +\infty$
B3.Khi $x \to (-3)^-$: mẫu $x + 3 \to 0^-$, tử $\to 5 > 0$ ⟹ $\lim = -\infty$
Vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x = -3$.
⚠ Sai lầm thường gặp
Với hàm phân thức $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$: đường thẳng $x = x_0$ là TCĐ khi và chỉ khi $Q(x_0) = 0$ và $P(x_0) \neq 0$.
Nếu $P(x_0) = 0$ thì phải rút gọn trước. Ví dụ $y = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$ (với $x \neq 1$) — đồ thị là đường thẳng $y = x + 1$ thiếu điểm tại $x = 1$, không có TCĐ.
Nếu $P(x_0) = 0$ thì phải rút gọn trước. Ví dụ $y = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$ (với $x \neq 1$) — đồ thị là đường thẳng $y = x + 1$ thiếu điểm tại $x = 1$, không có TCĐ.
3
Đường tiệm cận xiên
▼
Định nghĩa
Đường thẳng $y = ax + b$ (với $a \neq 0$) được gọi là tiệm cận xiên (TC xiên) của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu:
$\lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$ hoặc $\lim\limits_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$
🔧 Công thức tính $a$ và $b$
Khi chưa biết tiệm cận xiên, tính theo công thức:
• $a = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ (hoặc $x \to -\infty$)
• $b = \lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - ax]$ (hoặc $x \to -\infty$)
Lưu ý: Nếu $a = 0$ thì đồ thị có tiệm cận ngang chứ không phải tiệm cận xiên.
• $a = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ (hoặc $x \to -\infty$)
• $b = \lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - ax]$ (hoặc $x \to -\infty$)
Lưu ý: Nếu $a = 0$ thì đồ thị có tiệm cận ngang chứ không phải tiệm cận xiên.
Hình 3: Đồ thị tiến sát đường thẳng xiên $y = ax + b$ khi $x \to \pm\infty$
💡 Ví dụ 3 – Hàm đã tách sẵn
Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = x - 1 + \dfrac{3}{x + 1}$
B1.Hàm đã có dạng $f(x) = (ax + b) + \text{phần dư}$ với $ax + b = x - 1$
B2.$\lim\limits_{x \to \pm\infty} [f(x) - (x - 1)] = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{3}{x + 1} = 0$
Vậy đồ thị có tiệm cận xiên $y = x - 1$.
💡 Ví dụ 4 – Chia đa thức (cách nhanh)
Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 + x - 3}{x - 1}$
B1.Thực hiện phép chia $x^2 + x - 3$ cho $x - 1$:
$\dfrac{x^2 + x - 3}{x - 1} = x + 2 - \dfrac{1}{x - 1}$
B2.Khi $x \to \pm\infty$: $\dfrac{-1}{x - 1} \to 0$, nên $f(x) - (x + 2) \to 0$
Vậy đồ thị có tiệm cận xiên $y = x + 2$ (và tiệm cận đứng $x = 1$).
⚡ Quy tắc nhanh – Khi nào có TC xiên?
Với hàm phân thức $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$: đồ thị có TC xiên khi và chỉ khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng $1$. Khi đó dùng phép chia đa thức:
$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = ax + b + \dfrac{R(x)}{Q(x)}$
⟹ TC xiên là $y = ax + b$.
4
Tìm tiệm cận của hàm phân thức
▼
🔧 Quy trình tìm tất cả tiệm cận của $y = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$
Bước 1 — Tiệm cận đứng: Tìm các giá trị $x_0$ mà $Q(x_0) = 0$ và $P(x_0) \neq 0$. Mỗi giá trị như vậy cho một TCĐ $x = x_0$.
Bước 2 — Tiệm cận ngang / xiên: So sánh bậc:
• $\deg P < \deg Q$ ⟹ TCN $y = 0$.
• $\deg P = \deg Q$ ⟹ TCN $y = \dfrac{a}{b}$ (tỉ số hệ số bậc cao nhất).
• $\deg P = \deg Q + 1$ ⟹ TC xiên $y = ax + b$ (chia đa thức).
• $\deg P > \deg Q + 1$ ⟹ không có TCN, không có TC xiên.
Bước 2 — Tiệm cận ngang / xiên: So sánh bậc:
• $\deg P < \deg Q$ ⟹ TCN $y = 0$.
• $\deg P = \deg Q$ ⟹ TCN $y = \dfrac{a}{b}$ (tỉ số hệ số bậc cao nhất).
• $\deg P = \deg Q + 1$ ⟹ TC xiên $y = ax + b$ (chia đa thức).
• $\deg P > \deg Q + 1$ ⟹ không có TCN, không có TC xiên.
💡 Ví dụ 5 – Phân thức bậc 1/bậc 1
Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x + 2}$
B1.TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$
B2.TCĐ: $x = -2$ (vì mẫu = 0 tại $x = -2$, tử $= -3 \neq 0$)
B3.TCN: bậc tử = bậc mẫu = 1 nên TCN $y = \dfrac{2}{1} = 2$
Vậy đồ thị có TCĐ $x = -2$ và TCN $y = 2$.
💡 Ví dụ 6 – Phân thức bậc 2/bậc 1
Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - 3x + 4}{2x + 1}$
B1.TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{2}\right\}$
B2.TCĐ: $x = -\dfrac{1}{2}$ (mẫu $= 0$, tử $= \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2} + 4 = \dfrac{23}{4} \neq 0$)
B3.Bậc tử (2) lớn hơn bậc mẫu (1) đúng 1 ⟹ có TC xiên. Chia đa thức:
$\dfrac{x^2 - 3x + 4}{2x + 1} = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{7}{4} + \dfrac{23}{4(2x + 1)}$
B4.TC xiên: $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{7}{4}$
Vậy đồ thị có TCĐ $x = -\dfrac{1}{2}$ và TC xiên $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{7}{4}$. Không có TCN.
5
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp các loại tiệm cận
| Loại tiệm cận | Dạng | Điều kiện |
|---|---|---|
| Tiệm cận ngang | $y = y_0$ | $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = y_0$ (hữu hạn) |
| Tiệm cận đứng | $x = x_0$ | $\lim\limits_{x \to x_0^\pm} f(x) = \pm\infty$ |
| Tiệm cận xiên | $y = ax + b\,(a \neq 0)$ | $\lim\limits_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$ |
| Bậc tử < bậc mẫu | TCN: $y = 0$ | Chỉ có TCN |
| Bậc tử = bậc mẫu | TCN: $y = \dfrac{a}{b}$ | $a, b$ là hệ số bậc cao nhất |
| Bậc tử = bậc mẫu + 1 | TC xiên: $y = ax + b$ | Chia đa thức để tìm |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
⚠ Sai lầm thường gặp
• Tìm TCĐ chỉ bằng giải $Q(x) = 0$ mà quên kiểm tra $P(x)$ có bằng $0$ hay không tại đó.
• Nhầm TCN với TC xiên khi $a = 0$. TC xiên đòi hỏi $a \neq 0$.
• Viết nhầm dạng phương trình: TCĐ là $x = x_0$ (đường thẳng đứng), TCN là $y = y_0$ (đường thẳng ngang). Không lẫn lộn.
• Khi cả $\lim\limits_{x \to +\infty}$ và $\lim\limits_{x \to -\infty}$ đều bằng $y_0$, đồ thị chỉ có 1 TCN ($y = y_0$), không phải 2.
• Với hàm phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu từ $2$ trở lên: không có TCN và cũng không có TC xiên.
• Nhầm TCN với TC xiên khi $a = 0$. TC xiên đòi hỏi $a \neq 0$.
• Viết nhầm dạng phương trình: TCĐ là $x = x_0$ (đường thẳng đứng), TCN là $y = y_0$ (đường thẳng ngang). Không lẫn lộn.
• Khi cả $\lim\limits_{x \to +\infty}$ và $\lim\limits_{x \to -\infty}$ đều bằng $y_0$, đồ thị chỉ có 1 TCN ($y = y_0$), không phải 2.
• Với hàm phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu từ $2$ trở lên: không có TCN và cũng không có TC xiên.
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Đường tiệm cận!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh