Lớp 12 · Toán
Bài 4
Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Hàm bậc ba · Phân thức nhất biến · Phân thức bậc 2/bậc 1
1
Sơ đồ khảo sát hàm số
▼
🔧 Sơ đồ 3 bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = f(x)$
Bước 1 — Tập xác định: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.
Bước 2 — Sự biến thiên:
• Tính đạo hàm $y'$. Tìm các điểm tại đó $y' = 0$ hoặc $y'$ không xác định.
• Xét dấu $y'$ để xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến.
• Tìm cực trị (nếu có).
• Tính các giới hạn tại vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
• Lập bảng biến thiên.
Bước 3 — Vẽ đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên, xác định thêm các điểm đặc biệt (giao với trục tọa độ, tâm đối xứng, …) rồi vẽ đồ thị.
Bước 2 — Sự biến thiên:
• Tính đạo hàm $y'$. Tìm các điểm tại đó $y' = 0$ hoặc $y'$ không xác định.
• Xét dấu $y'$ để xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến.
• Tìm cực trị (nếu có).
• Tính các giới hạn tại vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
• Lập bảng biến thiên.
Bước 3 — Vẽ đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên, xác định thêm các điểm đặc biệt (giao với trục tọa độ, tâm đối xứng, …) rồi vẽ đồ thị.
Chú ý khi vẽ đồ thị
• Xác định giao điểm với trục tung ($x = 0$) và trục hoành ($y = 0$) nếu việc tìm không quá phức tạp.
• Tận dụng tâm đối xứng hoặc trục đối xứng của đồ thị để vẽ chính xác hơn.
• Đánh dấu các điểm cực trị, điểm uốn nếu có.
• Tận dụng tâm đối xứng hoặc trục đối xứng của đồ thị để vẽ chính xác hơn.
• Đánh dấu các điểm cực trị, điểm uốn nếu có.
2
Hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$
▼
Tính chất quan trọng
• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
• $y' = 3ax^2 + 2bx + c$. Xét $\Delta'_{y'} = b^2 - 3ac$:
– Nếu $\Delta' > 0$: hàm có hai cực trị.
– Nếu $\Delta' \leq 0$: hàm đơn điệu trên $\mathbb{R}$ (đồng biến nếu $a > 0$, nghịch biến nếu $a < 0$).
• Tâm đối xứng (điểm uốn): $I\left(-\dfrac{b}{3a};\ y\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)$, là nghiệm của phương trình $y'' = 0$.
• Đồ thị không có tiệm cận.
• $y' = 3ax^2 + 2bx + c$. Xét $\Delta'_{y'} = b^2 - 3ac$:
– Nếu $\Delta' > 0$: hàm có hai cực trị.
– Nếu $\Delta' \leq 0$: hàm đơn điệu trên $\mathbb{R}$ (đồng biến nếu $a > 0$, nghịch biến nếu $a < 0$).
• Tâm đối xứng (điểm uốn): $I\left(-\dfrac{b}{3a};\ y\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)$, là nghiệm của phương trình $y'' = 0$.
• Đồ thị không có tiệm cận.
💡 Ví dụ 1 – Hàm bậc ba có cực trị
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = -x^3 + 3x^2 - 2$
B1.Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
B2.$y' = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$
B3.$y(0) = -2$ (cực tiểu); $y(2) = -8 + 12 - 2 = 2$ (cực đại)
B4.Dấu $y'$: $-, +, -$ trên các khoảng $(-\infty;0), (0;2), (2;+\infty)$
B5.Giới hạn: $\lim\limits_{x \to -\infty} y = +\infty$; $\lim\limits_{x \to +\infty} y = -\infty$
B6.Tâm đối xứng: $x = -\dfrac{3}{3 \cdot (-1)} = 1$, $y(1) = -1 + 3 - 2 = 0$ ⟹ $I(1;\,0)$
B7.Giao với trục tung: $(0;\,-2)$
Đồ thị đi xuống — lên — xuống, nhận $I(1;\,0)$ làm tâm đối xứng.
Hình 1: Đồ thị hàm số $y = -x^3 + 3x^2 - 2$ với CĐ $(2;\,2)$, CT $(0;\,-2)$, tâm đối xứng $I(1;\,0)$
💡 Ví dụ 2 – Hàm bậc ba đơn điệu trên $\mathbb{R}$
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$
B1.$D = \mathbb{R}$. $y' = 3x^2 - 6x + 4$
B2.$\Delta'_{y'} = 9 - 12 = -3 < 0$ và hệ số $3 > 0$ ⟹ $y' > 0, \forall x$
B3.Hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$, không có cực trị
B4.$\lim\limits_{x \to -\infty} y = -\infty$; $\lim\limits_{x \to +\infty} y = +\infty$
B5.Tâm đối xứng: $x = -\dfrac{-3}{3} = 1$, $y(1) = 1 - 3 + 4 + 1 = 3$ ⟹ $I(1;\,3)$
Đồ thị đi lên đều, nhận $I(1;\,3)$ làm tâm đối xứng.
3
Hàm phân thức $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$
▼
Tính chất quan trọng
Cho hàm số $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ với $c \neq 0$ và $ad - bc \neq 0$. Khi đó:
• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$.
• $y' = \dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2}$ cùng dấu với $ad - bc$ trên $D$.
• Hàm số luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định, không có cực trị.
• Tiệm cận đứng: $x = -\dfrac{d}{c}$. Tiệm cận ngang: $y = \dfrac{a}{c}$.
• Tâm đối xứng: giao điểm hai tiệm cận $I\left(-\dfrac{d}{c};\ \dfrac{a}{c}\right)$.
• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$.
• $y' = \dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2}$ cùng dấu với $ad - bc$ trên $D$.
• Hàm số luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định, không có cực trị.
• Tiệm cận đứng: $x = -\dfrac{d}{c}$. Tiệm cận ngang: $y = \dfrac{a}{c}$.
• Tâm đối xứng: giao điểm hai tiệm cận $I\left(-\dfrac{d}{c};\ \dfrac{a}{c}\right)$.
💡 Ví dụ 3 – Hàm phân thức nhất biến
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \dfrac{x + 2}{x - 1}$
B1.$D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
B2.$y' = \dfrac{1 \cdot (x-1) - (x+2) \cdot 1}{(x-1)^2} = \dfrac{-3}{(x-1)^2} < 0,\ \forall x \neq 1$
B3.Hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$. Không có cực trị.
B4.$\lim\limits_{x \to 1^+} y = +\infty$, $\lim\limits_{x \to 1^-} y = -\infty$ ⟹ TCĐ: $x = 1$
B5.$\lim\limits_{x \to \pm\infty} y = 1$ ⟹ TCN: $y = 1$
B6.Giao trục tung: $(0;\,-2)$; giao trục hoành: $(-2;\,0)$
B7.Tâm đối xứng: $I(1;\,1)$ (giao hai tiệm cận)
Đồ thị gồm hai nhánh "hyperbol", đối xứng qua $I(1;\,1)$.
Hình 2: Đồ thị hàm số $y = \dfrac{x+2}{x-1}$ với TCĐ $x = 1$, TCN $y = 1$, tâm đối xứng $I(1;\,1)$
4
Hàm phân thức $y = \dfrac{ax^2+bx+c}{px+q}$
▼
Tính chất quan trọng
Cho hàm số $y = \dfrac{ax^2 + bx + c}{px + q}$ với $a \neq 0$, $p \neq 0$, tử không chia hết cho mẫu. Khi đó:
• Bước đầu tiên: chia đa thức để viết lại $y = \alpha x + \beta + \dfrac{\gamma}{px + q}$.
• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{q}{p}\right\}$.
• Tiệm cận đứng: $x = -\dfrac{q}{p}$. Tiệm cận xiên: $y = \alpha x + \beta$ (không có TCN).
• Đạo hàm: $y' = \alpha - \dfrac{\gamma p}{(px + q)^2}$. Giải $y' = 0$ để tìm cực trị.
• Tâm đối xứng: giao điểm hai tiệm cận.
• Bước đầu tiên: chia đa thức để viết lại $y = \alpha x + \beta + \dfrac{\gamma}{px + q}$.
• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{q}{p}\right\}$.
• Tiệm cận đứng: $x = -\dfrac{q}{p}$. Tiệm cận xiên: $y = \alpha x + \beta$ (không có TCN).
• Đạo hàm: $y' = \alpha - \dfrac{\gamma p}{(px + q)^2}$. Giải $y' = 0$ để tìm cực trị.
• Tâm đối xứng: giao điểm hai tiệm cận.
💡 Ví dụ 4 – Hàm phân thức bậc 2/bậc 1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 + x - 3}{x - 1}$
B1.$D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Chia đa thức: $y = x + 2 - \dfrac{1}{x - 1}$
B2.$y' = 1 + \dfrac{1}{(x-1)^2} > 0,\ \forall x \neq 1$
B3.Hàm đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$. Không có cực trị.
B4.$\lim\limits_{x \to 1^+} y = -\infty$, $\lim\limits_{x \to 1^-} y = +\infty$ ⟹ TCĐ: $x = 1$
B5.$\lim\limits_{x \to \pm\infty}[y - (x+2)] = \lim\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac{-1}{x-1} = 0$ ⟹ TC xiên: $y = x + 2$
B6.Tâm đối xứng: giao hai tiệm cận $I(1;\,3)$
Đồ thị có hai nhánh, một đi sát TCĐ và TC xiên ở góc trên, nhánh kia ở góc dưới.
Hình 3: Đồ thị hàm số
5
Bài toán thực tế
▼
🔧 Quy trình 3 bước
Bước 1 — Mô hình hoá: Từ dữ liệu thực tế, lập hàm số $f$ mô tả đại lượng cần khảo sát theo biến độc lập (kèm điều kiện thực tế của biến).
Bước 2 — Khảo sát: Tính $f'$, xét dấu để biết hàm đồng biến/nghịch biến trên miền điều kiện. Tính giới hạn tại các đầu mút (kể cả $+\infty$) để tìm tiệm cận hoặc ngưỡng.
Bước 3 — Kết luận theo ý nghĩa thực tiễn: Trả lời câu hỏi đặt ra (đại lượng tăng/giảm thế nào, có ngưỡng giới hạn không, đạt cực trị ở đâu…), kèm đơn vị.
Bước 2 — Khảo sát: Tính $f'$, xét dấu để biết hàm đồng biến/nghịch biến trên miền điều kiện. Tính giới hạn tại các đầu mút (kể cả $+\infty$) để tìm tiệm cận hoặc ngưỡng.
Bước 3 — Kết luận theo ý nghĩa thực tiễn: Trả lời câu hỏi đặt ra (đại lượng tăng/giảm thế nào, có ngưỡng giới hạn không, đạt cực trị ở đâu…), kèm đơn vị.
💡 Ví dụ 5 – Lợi nhuận sản xuất
Một hộ dệt vải lụa mỗi ngày sản xuất $x$ mét vải ($1 \leq x \leq 18$). Chi phí: $C(x) = x^3 - 3x^2 - 20x + 500$ (nghìn đồng). Giá bán $220$ nghìn/mét. Tìm $x$ để lợi nhuận tối đa.
B1.Doanh thu: $B(x) = 220x$. Lợi nhuận: $L(x) = B(x) - C(x) = -x^3 + 3x^2 + 240x - 500$
B2.$L'(x) = -3x^2 + 6x + 240$. $L'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 80 = 0 \Leftrightarrow x = 10$ (loại $x = -8$)
B3.$L(1) = -258$; $L(10) = -1000 + 300 + 2400 - 500 = 1200$; $L(18) = -1040$
B4.$L'$ đổi dấu $+ \to -$ tại $x = 10$ nên $L$ đạt cực đại tại $x = 10$
Vậy mỗi ngày sản xuất $10$ mét vải sẽ cho lợi nhuận tối đa $1\,200$ nghìn đồng = $1{,}2$ triệu đồng.
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp các dạng đồ thị
| Dạng hàm | Đặc điểm | Tâm đối xứng |
|---|---|---|
| Bậc ba | 2 cực trị (nếu $\Delta'_{y'} > 0$); không có TC | Điểm uốn $y'' = 0$ |
| Bậc ba đơn điệu | Không có cực trị (nếu $\Delta'_{y'} \leq 0$) | Điểm uốn $y'' = 0$ |
| $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ | Đơn điệu, không cực trị; TCĐ + TCN | Giao 2 TC: $\left(-\dfrac{d}{c};\,\dfrac{a}{c}\right)$ |
| $\dfrac{ax^2+bx+c}{px+q}$ | Có thể có cực trị; TCĐ + TC xiên | Giao 2 TC |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
⚠ Sai lầm thường gặp
• Tìm tâm đối xứng hàm bậc 3 bằng cách giải $y' = 0$ — sai. Phải giải $y'' = 0$.
• Viết "đồng biến trên $(-\infty;a) \cup (a;+\infty)$" — sai. Phải viết "trên từng khoảng".
• Nhầm "tiếp tuyến tại điểm $M$" với "tiếp tuyến đi qua điểm $M$". Tại điểm: $M \in (C)$, dùng $y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0)$. Đi qua: $M$ có thể không thuộc $(C)$, phải lập hệ phương trình.
• Hàm $\dfrac{ax^2+bx+c}{px+q}$ vẫn đi tìm TCN — sai. Hàm này có TC xiên, không có TCN.
• Trong bài toán thực tế, quên đặt điều kiện cho biến (độ dài $> 0$, sản lượng nguyên dương…).
• Viết "đồng biến trên $(-\infty;a) \cup (a;+\infty)$" — sai. Phải viết "trên từng khoảng".
• Nhầm "tiếp tuyến tại điểm $M$" với "tiếp tuyến đi qua điểm $M$". Tại điểm: $M \in (C)$, dùng $y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0)$. Đi qua: $M$ có thể không thuộc $(C)$, phải lập hệ phương trình.
• Hàm $\dfrac{ax^2+bx+c}{px+q}$ vẫn đi tìm TCN — sai. Hàm này có TC xiên, không có TCN.
• Trong bài toán thực tế, quên đặt điều kiện cho biến (độ dài $> 0$, sản lượng nguyên dương…).
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Khảo sát và vẽ đồ thị!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh