Lớp 12 · Toán
Bài 7
Hệ Trục Toạ Độ Trong Không Gian
Hệ toạ độ $Oxyz$ · Toạ độ điểm · Toạ độ vectơ
1
Hệ trục toạ độ $Oxyz$
▼
Định nghĩa
Trong không gian, xét ba trục $Ox, Oy, Oz$ đôi một vuông góc với nhau tại gốc $O$ chung. Gọi $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên ba trục $Ox, Oy, Oz$.
Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục toạ độ Descartes vuông góc $Oxyz$, gọi tắt là hệ toạ độ $Oxyz$.
• $O$ là gốc toạ độ.
• Ba mặt phẳng $(Oxy), (Oyz), (Ozx)$ là các mặt phẳng toạ độ, đôi một vuông góc với nhau.
Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục toạ độ Descartes vuông góc $Oxyz$, gọi tắt là hệ toạ độ $Oxyz$.
• $O$ là gốc toạ độ.
• Ba mặt phẳng $(Oxy), (Oyz), (Ozx)$ là các mặt phẳng toạ độ, đôi một vuông góc với nhau.
Hình 1: Hệ trục toạ độ $Oxyz$ với ba vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$
Tính chất ba vectơ đơn vị
• Đôi một vuông góc: $\vec{i} \perp \vec{j}$, $\vec{j} \perp \vec{k}$, $\vec{i} \perp \vec{k}$.
• Cùng độ dài bằng $1$: $|\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1$.
• Cùng độ dài bằng $1$: $|\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1$.
💡 Ví dụ 1 – Lập hệ toạ độ từ hình lập phương
Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $1$. Có thể lập hệ toạ độ $Oxyz$ với $O \equiv B'$ và $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ là $\overrightarrow{B'A'}, \overrightarrow{B'C'}, \overrightarrow{B'B}$ không?
Hình 2: Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $1$
B1.Ba vectơ $\overrightarrow{B'A'}, \overrightarrow{B'C'}, \overrightarrow{B'B}$ đều có điểm đầu chung $B'$.
B2.Ba cạnh $B'A', B'C', B'B$ cùng xuất phát từ đỉnh $B'$ của hình lập phương nên đôi một vuông góc.
B3.Hình lập phương cạnh $1$ ⟹ $|\overrightarrow{B'A'}| = |\overrightarrow{B'C'}| = |\overrightarrow{B'B}| = 1$.
Thoả mãn cả hai điều kiện ⟹ có thể lập hệ toạ độ $Oxyz$ như đề bài.
2
Toạ độ của một điểm
▼
Định nghĩa
Trong không gian $Oxyz$, với điểm $M$ bất kì, tồn tại duy nhất bộ ba số $(x; y; z)$ sao cho:
$\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$
Bộ ba $(x; y; z)$ là toạ độ của điểm $M$, viết $M(x; y; z)$. Trong đó: $x$ là hoành độ, $y$ là tung độ, $z$ là cao độ.
Gốc toạ độ: $O = (0; 0; 0)$.
Gốc toạ độ: $O = (0; 0; 0)$.
💡 Ví dụ 2 – Đọc toạ độ điểm từ hình hộp
Một hình hộp chữ nhật có các cạnh song song trục toạ độ, $\overrightarrow{OM} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 3\vec{k}$. Tìm toạ độ điểm $M$.
Hình 3: Xác định toạ độ điểm $M$ qua quy tắc hình hộp
→Đối chiếu $\overrightarrow{OM} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 3\vec{k}$ với $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.
→Suy ra $x = 3, y = 4, z = 3$.
Vậy $M(3; 4; 3)$.
Hình chiếu vuông góc của $M(x;y;z)$
Lên các trục: $Ox$: $(x;0;0)$; $Oy$: $(0;y;0)$; $Oz$: $(0;0;z)$.
Lên các mặt phẳng: $(Oxy)$: $(x;y;0)$; $(Oyz)$: $(0;y;z)$; $(Ozx)$: $(x;0;z)$.
Mẹo nhớ: Chiếu lên trục → giữ 1 toạ độ của trục đó, hai toạ độ kia bằng $0$. Chiếu lên mặt phẳng → giữ 2 toạ độ của mặt đó, toạ độ còn lại bằng $0$.
Lên các mặt phẳng: $(Oxy)$: $(x;y;0)$; $(Oyz)$: $(0;y;z)$; $(Ozx)$: $(x;0;z)$.
Mẹo nhớ: Chiếu lên trục → giữ 1 toạ độ của trục đó, hai toạ độ kia bằng $0$. Chiếu lên mặt phẳng → giữ 2 toạ độ của mặt đó, toạ độ còn lại bằng $0$.
3
Toạ độ của một vectơ
▼
Định nghĩa
Trong không gian $Oxyz$, với vectơ $\vec{a}$ tuỳ ý, tồn tại duy nhất bộ ba số $(x; y; z)$ sao cho:
$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$
Bộ ba $(x; y; z)$ là toạ độ của vectơ $\vec{a}$, viết $\vec{a} = (x; y; z)$.
Nhận xét quan trọng
• Toạ độ của $\vec{a}$ cũng là toạ độ điểm $M$ thoả $\overrightarrow{OM} = \vec{a}$.
• Hai vectơ bằng nhau: nếu $\vec{a} = (x;y;z)$ và $\vec{b} = (x';y';z')$ thì $\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow x = x',\ y = y',\ z = z'$.
• Toạ độ ba vectơ đơn vị: $\vec{i} = (1;0;0)$, $\vec{j} = (0;1;0)$, $\vec{k} = (0;0;1)$.
• Hai vectơ bằng nhau: nếu $\vec{a} = (x;y;z)$ và $\vec{b} = (x';y';z')$ thì $\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow x = x',\ y = y',\ z = z'$.
• Toạ độ ba vectơ đơn vị: $\vec{i} = (1;0;0)$, $\vec{j} = (0;1;0)$, $\vec{k} = (0;0;1)$.
💡 Ví dụ 3 – Đọc toạ độ vectơ
Cho $\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} - 5\vec{k}$, $\vec{b} = -3\vec{j} + 4\vec{k}$. Tìm toạ độ $\vec{a}, \vec{b}$.
→$\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} - 5\vec{k}$ ⟹ $\vec{a} = (2; 3; -5)$.
→$\vec{b} = 0\vec{i} - 3\vec{j} + 4\vec{k}$ ⟹ $\vec{b} = (0; -3; 4)$.
Chú ý: hệ số của $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ chính là ba thành phần toạ độ. Thành phần khuyết bằng $0$.
Toạ độ vectơ theo hai đầu mút
Cho $M(x_M; y_M; z_M)$ và $N(x_N; y_N; z_N)$. Khi đó:
$\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M;\ y_N - y_M;\ z_N - z_M)$
Ý nghĩa: Toạ độ $\overrightarrow{MN}$ = toạ độ điểm cuối $N$ trừ toạ độ điểm đầu $M$ (theo từng thành phần). Nhớ: "cuối trừ đầu".
💡 Ví dụ 4 – Toạ độ vectơ và đỉnh lăng trụ
Lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $A(1;0;2)$, $B(3;2;5)$, $A'(5;0;1)$. Tìm $\overrightarrow{AA'}$ và toạ độ $B'$.
Hình 4: Lăng trụ $ABC.A'B'C'$ trong hệ toạ độ $Oxyz$
B1.$\overrightarrow{AA'} = (5-1;\ 0-0;\ 1-2) = (4; 0; -1)$.
B2.Vì $ABB'A'$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AA'} = (4; 0; -1)$.
B3.Gọi $B'(x;y;z)$: $\overrightarrow{BB'} = (x-3;\ y-2;\ z-5) = (4;0;-1)$.
B4.$\Rightarrow x = 7, y = 2, z = 4$.
Vậy $\overrightarrow{AA'} = (4;0;-1)$ và $B'(7; 2; 4)$.
4
Tổng kết
▼
📋 Bảng công thức trọng tâm
| Đối tượng | Công thức |
|---|---|
| Vectơ đơn vị | $\vec{i}=(1;0;0)$, $\vec{j}=(0;1;0)$, $\vec{k}=(0;0;1)$ |
| Toạ độ điểm $M$ | $\overrightarrow{OM} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} \Leftrightarrow M(x;y;z)$ |
| Gốc toạ độ | $O(0;0;0)$ |
| Toạ độ vectơ $\vec{a}$ | $\vec{a} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} \Leftrightarrow \vec{a}=(x;y;z)$ |
| Vectơ theo 2 đầu mút | $\overrightarrow{MN} = (x_N-x_M; y_N-y_M; z_N-z_M)$ |
| Hai vectơ bằng nhau | $\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow$ ba thành phần bằng nhau |
| Chiếu lên $(Oxy)$ | $M(x;y;z) \to (x;y;0)$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
⚠ Sai lầm thường gặp
• Tính $\overrightarrow{MN}$ nhầm thành "đầu trừ cuối" — phải là "cuối trừ đầu": $N - M$.
• Quên thành phần khuyết bằng $0$ (ví dụ $\vec{b} = -3\vec{j} + 4\vec{k}$ có hoành độ $0$).
• Nhầm hình chiếu lên trục với lên mặt phẳng (số toạ độ giữ lại khác nhau).
• Trên tia đối của $Oy$ thì tung độ âm (ví dụ điểm cách $O$ một đoạn $3$ trên tia đối $Oy$ là $(0;-3;0)$).
• Lẫn lộn toạ độ điểm với toạ độ vectơ — nhớ điểm $M(x;y;z)$ có $\overrightarrow{OM} = (x;y;z)$.
• Quên thành phần khuyết bằng $0$ (ví dụ $\vec{b} = -3\vec{j} + 4\vec{k}$ có hoành độ $0$).
• Nhầm hình chiếu lên trục với lên mặt phẳng (số toạ độ giữ lại khác nhau).
• Trên tia đối của $Oy$ thì tung độ âm (ví dụ điểm cách $O$ một đoạn $3$ trên tia đối $Oy$ là $(0;-3;0)$).
• Lẫn lộn toạ độ điểm với toạ độ vectơ — nhớ điểm $M(x;y;z)$ có $\overrightarrow{OM} = (x;y;z)$.
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Hệ trục toạ độ trong không gian!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh