LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I. ÁP SUẤT KHÍ THEO MÔ HÌNH ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ

1. Tác dụng của một phân tử khí lên thành bình

a) Mô hình bài toán

Xét một lượng khí gồm N phân tử chứa trong một bình hình lập phương có cạnh $l$, trong hệ tọa độ vuông góc Oxyz.

Một phân tử khối lượng m chuyển động thẳng đều theo phương song song với trục Ox với vận tốc $\vec{v}$ từ thành bình EFGH tới va chạm đàn hồi và trực diện với thành bình ABCD.

Điều kiện:

• Phân tử khí lí tưởng có khối lượng m
• Chuyển động với tốc độ v theo phương Ox
• Va chạm giữa phân tử và thành bình là hoàn toàn đàn hồi

b) Thiết lập công thức áp suất do một phân tử gây ra

Bước 1: Tính động lượng trước và sau va chạm

Do độ lớn của vận tốc tức thời và tốc độ tức thời của một chuyển động có độ lớn bằng nhau nên:

Sau khi va chạm, phân tử chuyển động theo chiều ngược lại với tốc độ có cùng độ lớn v (do va chạm đàn hồi).

Bước 2: Tính độ biến thiên động lượng của phân tử

$$|\Delta \vec{p}| = |-mv – (+mv)| = |-2mv| = 2mv$$

Bước 3: Tính động lượng truyền cho thành bình

Theo định luật bảo toàn động lượng, động lượng mà phân tử truyền cho thành bình trong một lần va chạm:

$$\Delta p = 2mv$$

Bước 4: Tính thời gian giữa hai lần va chạm liên tiếp

Sau lần va chạm đầu với thành bình ABCD, phân tử chuyển động tự do (không va chạm với phân tử khác), đi tới thành bình đối diện EFGH, va chạm rồi quay lại.

Quãng đường phân tử đi được giữa hai lần va chạm liên tiếp với thành ABCD: $$s = 2l$$

Thời gian giữa hai lần va chạm: $$\Delta t = \frac{2l}{v}$$

Bước 5: Tính áp lực do phân tử tác dụng lên thành bình

Áp dụng công thức: $$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2mv}{\frac{2l}{v}} = \frac{mv^2}{l}$$

Bước 6: Tính áp suất do một phân tử gây ra

Diện tích thành bình ABCD: $S = l^2$

Áp suất do một phân tử gây lên thành bình:

$$\boxed{p_m = \frac{F}{S} = \frac{mv^2}{l^3}}$$

2. Áp suất khí do N phân tử gây lên thành bình

a) Tổng quát hóa cho N phân tử

Trong bình chứa N phân tử, mỗi phân tử có cùng khối lượng m nhưng tốc độ chuyển động theo phương Ox lần lượt là $v_{x1}, v_{x2}, v_{x3}, …, v_{xN}$.

Áp suất do N phân tử gây lên thành bình:

$$p = \frac{m}{l^3}(v_{x1}^2 + v_{x2}^2 + v_{x3}^2 + … + v_{xN}^2)$$

b) Định nghĩa trung bình bình phương tốc độ

Đặt trung bình bình phương tốc độ theo phương Ox:

$$\overline{v_x^2} = \frac{v_{x1}^2 + v_{x2}^2 + v_{x3}^2 + … + v_{xN}^2}{N}$$

Khi đó: $$p = \frac{Nm\overline{v_x^2}}{l^3}$$

c) Xét chuyển động theo 3 phương

Các phân tử khí không chỉ chuyển động theo phương Ox mà chuyển động hỗn loạn về mọi hướng. Vận tốc $\vec{v}$ của mỗi phân tử có thể phân tích thành 3 thành phần theo 3 phương Ox, Oy, Oz.

Do các phương Ox, Oy, Oz là bình đẳng (không có phương nào ưu tiên hơn), nên:

$$\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}$$

Mà: $v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$

Suy ra: $\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} = 3\overline{v_x^2}$

Do đó: $$\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$$

d) Công thức áp suất khí

Thay vào biểu thức áp suất:

$$p = \frac{Nm}{l^3} \cdot \frac{1}{3}\overline{v^2} = \frac{Nm\overline{v^2}}{3l^3}$$

Vì $V = l^3$ (thể tích bình) và mật độ phân tử $\eta = \frac{N}{V}$, ta có:

$$\boxed{p = \frac{1}{3}\eta m\overline{v^2}}$$

e) Biểu thức áp suất theo động năng trung bình

Động năng trung bình của một phân tử: $$E_đ = \frac{1}{2}m\overline{v^2}$$

Suy ra: $m\overline{v^2} = 2E_đ$

Thay vào công thức áp suất:

$$\boxed{p = \frac{2}{3}\eta E_đ}$$

3. Ý nghĩa của công thức áp suất

Từ công thức $p = \frac{1}{3}\eta m\overline{v^2}$, ta thấy:

Kết luận: Áp suất khí tỉ lệ thuận với khối lượng phân tử, mật độ phân tử và trung bình của bình phương tốc độ phân tử.

II. MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐỘNG NĂNG PHÂN TỬ VÀ NHIỆT ĐỘ

1. Thiết lập công thức

a) Từ phương trình trạng thái khí lí tưởng (Clapeyron)

$$pV = nRT$$

Trong đó:

• n: số mol khí
• R = 8,31 J/(mol.K): hằng số khí lí tưởng
• T: nhiệt độ tuyệt đối (K)

b) Liên hệ với công thức áp suất theo động năng

Từ $p = \frac{2}{3}\eta E_đ$, ta có:

$$pV = \frac{2}{3}\eta V \cdot E_đ = \frac{2}{3}N \cdot E_đ$$

(vì $\eta V = N$: tổng số phân tử)

So sánh với $pV = nRT$:

$$\frac{2}{3}N \cdot E_đ = nRT$$

c) Biến đổi để tìm Eđ

Số phân tử trong n mol khí: $N = n \cdot N_A$

(với $N_A = 6,02 \times 10^{23}$: số Avogadro)

Suy ra: $$\frac{2}{3} \cdot n \cdot N_A \cdot E_đ = nRT$$

$$E_đ = \frac{3RT}{2N_A} = \frac{3}{2} \cdot \frac{R}{N_A} \cdot T$$

2. Hằng số Boltzmann

Đặt: $$\boxed{k = \frac{R}{N_A} = \frac{8,31}{6,02 \times 10^{23}} = 1,38 \times 10^{-23} \text{ J/K}}$$

k được gọi là hằng số Boltzmann.

3. Công thức động năng trung bình của phân tử

$$\boxed{E_đ = \frac{3}{2}kT}$$

Trong đó:

• $E_đ$: động năng trung bình của một phân tử (J)
• k = 1,38 × 10⁻²³ J/K: hằng số Boltzmann
• T: nhiệt độ tuyệt đối (K)

4. Ý nghĩa vật lí

a) Động năng trung bình tỉ lệ thuận với nhiệt độ

$$E_đ \sim T$$

• Nhiệt độ càng cao → động năng trung bình của phân tử càng lớn → phân tử chuyển động càng nhanh
• Điều này phù hợp với quan niệm: nhiệt độ là thước đo mức độ chuyển động hỗn loạn của các phân tử

b) Động năng trung bình không phụ thuộc bản chất khí

Công thức $E_đ = \frac{3}{2}kT$ cho thấy:

Các chất khí có bản chất khác nhau, khối lượng phân tử khác nhau, nhưng ở cùng nhiệt độ thì có động năng trung bình của phân tử bằng nhau.

Ví dụ: Ở nhiệt độ 300 K, khí H₂ (M = 2 g/mol) và khí O₂ (M = 32 g/mol) đều có cùng động năng trung bình: $$E_đ = \frac{3}{2} \times 1,38 \times 10^{-23} \times 300 = 6,21 \times 10^{-21} \text{ J}$$

III. GIẢI THÍCH CÁC ĐỊNH LUẬT CHẤT KHÍ

1. Giải thích định luật Boyle (quá trình đẳng nhiệt)

Yêu cầu: Chứng tỏ công thức áp suất phù hợp với định luật Boyle.

Chứng minh:

Từ công thức: $p = \frac{1}{3}\eta m\overline{v^2} = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}$

Suy ra: $$pV = \frac{Nm\overline{v^2}}{3}$$

Khi T = const (quá trình đẳng nhiệt):

• Động năng trung bình $E_đ = \frac{3}{2}kT$ = const
• Suy ra $\frac{1}{2}m\overline{v^2}$ = const
• Do đó $m\overline{v^2}$ = const

Với N không đổi (khối lượng khí không đổi): $$pV = \frac{Nm\overline{v^2}}{3} = \text{hằng số}$$

Kết luận: Đây chính là nội dung định luật Boyle: pV = const khi T không đổi.

2. Giải thích quá trình đẳng tích

Yêu cầu: Giải thích tại sao áp suất trong quá trình đẳng tích của một lượng khí xác định tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối.

Giải thích:

Từ công thức: $p = \frac{2}{3}\eta E_đ$

Thay $E_đ = \frac{3}{2}kT$:

$$p = \frac{2}{3}\eta \cdot \frac{3}{2}kT = \eta kT$$

Khi V = const (quá trình đẳng tích):

• Mật độ phân tử $\eta = \frac{N}{V}$ = const (vì N và V đều không đổi)
• k là hằng số

Suy ra: $$p = \eta k \cdot T = (\text{hằng số}) \cdot T$$

$$\frac{p}{T} = \eta k = \text{hằng số}$$

Kết luận: Trong quá trình đẳng tích, áp suất tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối.

IV. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC QUAN TRỌNG

V. CÁC HẰNG SỐ CẦN NHỚ

Mối liên hệ: $$k = \frac{R}{N_A}$$

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI

DẠNG 1: Tính động năng trung bình của phân tử

Phương pháp:

1. Đổi nhiệt độ sang Kelvin: T(K) = t(°C) + 273
2. Áp dụng công thức: $E_đ = \frac{3}{2}kT$
3. Với k = 1,38 × 10⁻²³ J/K

Ví dụ mẫu 1:

Câu hỏi: Tính động năng trung bình của phân tử khí ở nhiệt độ 27°C.

Lời giải:

Bước 1: Đổi nhiệt độ sang Kelvin $$T = 27 + 273 = 300 \text{ K}$$

Bước 2: Áp dụng công thức $$E_đ = \frac{3}{2}kT = \frac{3}{2} \times 1,38 \times 10^{-23} \times 300$$ $$E_đ = 6,21 \times 10^{-21} \text{ J}$$

Đáp số: $E_đ = 6,21 \times 10^{-21}$ J

Ví dụ mẫu 2:

Câu hỏi: Ở nhiệt độ nào thì động năng trung bình của phân tử khí bằng 5,175 × 10⁻²¹ J?

Lời giải:

Bước 1: Từ công thức $E_đ = \frac{3}{2}kT$, suy ra: $$T = \frac{2E_đ}{3k} = \frac{2 \times 5,175 \times 10^{-21}}{3 \times 1,38 \times 10^{-23}}$$ $$T = \frac{10,35 \times 10^{-21}}{4,14 \times 10^{-23}} = 250 \text{ K}$$

Bước 2: Đổi sang độ Celsius $$t = T – 273 = 250 – 273 = -23°C$$

Đáp số: T = 250 K hay t = −23°C

DẠNG 2: Tính tốc độ căn quân phương của phân tử

Phương pháp:

Từ công thức động năng: $$E_đ = \frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}kT$$

Suy ra tốc độ căn quân phương: $$v_{rms} = \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$$

Hoặc: $$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

Trong đó:

• m: khối lượng một phân tử (kg)
• M: khối lượng mol (kg/mol)

Ví dụ mẫu:

Câu hỏi: Tính tốc độ căn quân phương của phân tử khí oxi (O₂) ở nhiệt độ 27°C. Biết khối lượng mol của O₂ là 32 g/mol.

Lời giải:

Bước 1: Đổi đơn vị

• T = 27 + 273 = 300 K
• M = 32 g/mol = 0,032 kg/mol

Bước 2: Áp dụng công thức $$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3 \times 8,31 \times 300}{0,032}}$$ $$v_{rms} = \sqrt{\frac{7479}{0,032}} = \sqrt{233718,75} \approx 483 \text{ m/s}$$

Đáp số: $v_{rms} \approx 483$ m/s

DẠNG 3: Tính áp suất khí theo mật độ phân tử và động năng

Phương pháp:

Áp dụng công thức: $$p = \frac{2}{3}\eta E_đ$$

hoặc: $$p = \frac{1}{3}\eta m\overline{v^2}$$

Ví dụ mẫu:

Câu hỏi: Một bình chứa khí có mật độ phân tử η = 2,5 × 10²⁵ phân tử/m³. Biết động năng trung bình của mỗi phân tử là 6 × 10⁻²¹ J. Tính áp suất khí trong bình.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$p = \frac{2}{3}\eta E_đ = \frac{2}{3} \times 2,5 \times 10^{25} \times 6 \times 10^{-21}$$ $$p = \frac{2}{3} \times 15 \times 10^{4} = 10^5 \text{ Pa} = 1 \text{ atm}$$

Đáp số: p = 10⁵ Pa = 1 atm

DẠNG 4: So sánh động năng và tốc độ của các phân tử khí khác nhau

Phương pháp:

• Động năng trung bình chỉ phụ thuộc T: $E_đ = \frac{3}{2}kT$ → Cùng nhiệt độ → cùng động năng trung bình
• Tốc độ căn quân phương phụ thuộc cả T và m: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ → Cùng nhiệt độ, khối lượng phân tử nhỏ hơn → tốc độ lớn hơn

Ví dụ mẫu:

Câu hỏi: So sánh động năng trung bình và tốc độ căn quân phương của phân tử H₂ và O₂ ở cùng nhiệt độ. Biết $M_{H_2} = 2$ g/mol, $M_{O_2} = 32$ g/mol.

Lời giải:

So sánh động năng trung bình:

Vì $E_đ = \frac{3}{2}kT$ chỉ phụ thuộc T, nên ở cùng nhiệt độ: $$E_{đ(H_2)} = E_{đ(O_2)}$$

So sánh tốc độ căn quân phương:

$$\frac{v_{H_2}}{v_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$$

Vậy $v_{H_2} = 4v_{O_2}$

Kết luận: Ở cùng nhiệt độ, H₂ và O₂ có động năng trung bình bằng nhau, nhưng tốc độ căn quân phương của H₂ lớn gấp 4 lần O₂.

Những lỗi thường gặp cần tránh

Thầy Phạm Trần Quốc Anh

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Vật Lý THPT

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ STEM, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 9+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lê Quí Đôn