Lý thuyết trọng tâm

I. Vận Tốc Của Vật Dao Động Điều Hòa

1. Phương trình vận tốc

Như chúng ta đã biết, vận tốc tức thời của một vật được xác định bằng đạo hàm của li độ theo thời gian. Trong dao động điều hòa, nếu li độ có phương trình:

$$x = A\cos(\omega t + \varphi)$$

Thì vận tốc được tính bằng cách lấy đạo hàm của $x$ theo $t$:

$$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[A\cos(\omega t + \varphi)]$$

Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp, ta có:

$$v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$$

Đây chính là phương trình vận tốc của vật dao động điều hòa.

Viết dưới dạng hàm cosin:

Sử dụng công thức lượng giác $-\sin\alpha = \cos\left(\alpha + \dfrac{\pi}{2}\right)$, ta có thể viết:

$$v = \omega A\cos\left(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2}\right)$$

Ý nghĩa các đại lượng:

2. Các đặc điểm quan trọng của vận tốc

a) Về sự biến thiên:

• Vận tốc của vật dao động điều hòa cũng biến thiên điều hòa theo thời gian
• Vận tốc có cùng tần số (cùng chu kỳ) với li độ

b) Về pha:

• Vận tốc sớm pha $\dfrac{\pi}{2}$ so với li độ
• Nói cách khác: pha của vận tốc luôn lớn hơn pha của li độ một góc $\dfrac{\pi}{2}$ rad

c) Về giá trị tại các vị trí đặc biệt:

d) Về hướng:

• Vectơ vận tốc luôn cùng chiều với chiều chuyển động của vật
• Khi vật chuyển động theo chiều dương: $v > 0$
• Khi vật chuyển động theo chiều âm: $v < 0$

e) Về sự đổi chiều:

• Vận tốc đổi chiều tại vị trí biên (khi $x = \pm A$)
• Li độ đổi dấu khi qua vị trí cân bằng (khi $x = 0$)

3. Công thức liên hệ giữa vận tốc và li độ

Từ phương trình vận tốc, ta có thể thiết lập mối liên hệ giữa $v$ và $x$ mà không phụ thuộc vào thời gian $t$.

Cách thiết lập:

Ta có:

• $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ → $\cos(\omega t + \varphi) = \dfrac{x}{A}$
• $v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$ → $\sin(\omega t + \varphi) = -\dfrac{v}{\omega A}$

Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$$\left(-\frac{v}{\omega A}\right)^2 + \left(\frac{x}{A}\right)^2 = 1$$

$$\frac{v^2}{\omega^2 A^2} + \frac{x^2}{A^2} = 1$$

Công thức liên hệ:

$$v = \pm\omega\sqrt{A^2 – x^2}$$

Hoặc viết dưới dạng:

$$\frac{x^2}{A^2} + \frac{v^2}{\omega^2 A^2} = 1$$

Công thức tính biên độ:

$$A = \sqrt{x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}}$$

Nhận xét: Phương trình $\dfrac{x^2}{A^2} + \dfrac{v^2}{\omega^2 A^2} = 1$ có dạng phương trình elip. Do đó, đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa $v$ và $x$ là một đường elip.

4. Đồ thị vận tốc theo thời gian

Đồ thị $(v – t)$ biểu diễn sự biến thiên của vận tốc theo thời gian có các đặc điểm sau:

• Dạng đồ thị: Đường hình sin (giống đồ thị li độ nhưng dịch pha)
• Giá trị cực đại: $v_{max} = +\omega A$
• Giá trị cực tiểu: $v_{min} = -\omega A$
• Chu kỳ: Bằng chu kỳ của li độ ($T$)

II. Gia Tốc Của Vật Dao Động Điều Hòa

1. Phương trình gia tốc

Tương tự như vận tốc, gia tốc tức thời của vật được xác định bằng đạo hàm của vận tốc theo thời gian, hoặc đạo hàm cấp hai của li độ theo thời gian.

Từ phương trình vận tốc: $v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$

Ta lấy đạo hàm theo $t$:

$$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}[-\omega A\sin(\omega t + \varphi)]$$

$$a = -\omega^2 A\cos(\omega t + \varphi)$$

Đây là phương trình gia tốc của vật dao động điều hòa.

Viết dưới dạng đơn giản:

Nhận thấy $A\cos(\omega t + \varphi) = x$, nên ta có công thức rất quan trọng:

$$\boxed{a = -\omega^2 x}$$

Công thức này cho thấy: Gia tốc tỉ lệ thuận với li độ và luôn ngược dấu với li độ.

Ý nghĩa các đại lượng:

2. Các đặc điểm quan trọng của gia tốc

a) Về sự biến thiên:

• Gia tốc của vật dao động điều hòa cũng biến thiên điều hòa theo thời gian
• Gia tốc có cùng tần số (cùng chu kỳ) với li độ và vận tốc

b) Về pha:

• Gia tốc ngược pha với li độ (lệch pha $\pi$ rad)
• Gia tốc sớm pha $\dfrac{\pi}{2}$ so với vận tốc
• Nói cách khác: khi li độ cực đại thì gia tốc cực đại về độ lớn nhưng ngược dấu

c) Về giá trị tại các vị trí đặc biệt:

d) Về hướng:

Đặc điểm quan trọng: Vectơ gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng và có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ.

• Khi vật ở phía dương ($x > 0$): $a < 0$ → gia tốc hướng về phía âm (về VTCB)
• Khi vật ở phía âm ($x < 0$): $a > 0$ → gia tốc hướng về phía dương (về VTCB)

e) Tính chất chuyển động nhanh dần – chậm dần:

3. Công thức liên hệ giữa gia tốc và các đại lượng khác

Liên hệ gia tốc và li độ:

$$a = -\omega^2 x$$

Liên hệ gia tốc và vận tốc:

Từ các phương trình:

• $v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$ → $\sin(\omega t + \varphi) = -\dfrac{v}{\omega A}$
• $a = -\omega^2 A\cos(\omega t + \varphi)$ → $\cos(\omega t + \varphi) = -\dfrac{a}{\omega^2 A}$

Áp dụng $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$$\frac{v^2}{\omega^2 A^2} + \frac{a^2}{\omega^4 A^2} = 1$$

Công thức tính biên độ từ vận tốc và gia tốc:

$$A^2 = \frac{v^2}{\omega^2} + \frac{a^2}{\omega^4}$$

Hay:

$$A = \sqrt{\frac{v^2}{\omega^2} + \frac{a^2}{\omega^4}}$$

4. Đồ thị gia tốc theo thời gian

Đồ thị $(a – t)$ biểu diễn sự biến thiên của gia tốc theo thời gian có các đặc điểm sau:

• Dạng đồ thị: Đường hình sin
• Giá trị cực đại: $a_{max} = +\omega^2 A$
• Giá trị cực tiểu: $a_{min} = -\omega^2 A$
• Chu kỳ: Bằng chu kỳ của li độ ($T$)

  

III. Mối Liên Hệ Về Pha Giữa Li Độ, Vận Tốc Và Gia Tốc

1. Bảng tổng hợp so sánh pha

2. Sơ đồ quan hệ pha

    Li độ x ──────(+π/2)──────> Vận tốc v ──────(+π/2)──────> Gia tốc a
         │                                                        ▲
         │                                                        │
         └────────────────────(+π = ngược pha)────────────────────┘

Cách nhớ: Mỗi lần đạo hàm, pha tăng thêm $\dfrac{\pi}{2}$. Đạo hàm 2 lần thì pha tăng $\pi$ (ngược pha).

3. Bảng giá trị tại các vị trí đặc biệt

IV. Tổng Hợp Các Dạng Đồ Thị

Phương pháp giải các dạng bài tập

Dạng 1: Viết phương trình vận tốc và gia tốc từ phương trình li độ

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ phương trình li độ $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, xác định các đại lượng:

• Biên độ $A$
• Tần số góc $\omega$
• Pha ban đầu $\varphi$

Bước 2: Viết phương trình vận tốc bằng cách lấy đạo hàm: $$v = x’ = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$$

Bước 3: Viết phương trình gia tốc bằng cách lấy đạo hàm tiếp: $$a = v’ = -\omega^2 A\cos(\omega t + \varphi)$$

Hoặc sử dụng công thức: $a = -\omega^2 x$

Lưu ý về đơn vị:

• Nếu $A$ có đơn vị cm và $\omega$ có đơn vị rad/s thì:
  • $v$ có đơn vị cm/s
  • $a$ có đơn vị cm/s²

Bài tập mẫu 1:

Một vật dao động điều hòa với phương trình $x = 2\cos\left(\pi t + \dfrac{\pi}{6}\right)$ (cm). Lấy $\pi^2 = 10$.

a) Viết phương trình vận tốc, gia tốc của vật.

b) Xác định vận tốc, gia tốc của vật ở thời điểm $t = 0{,}5$ s.

c) Tính tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật.

Lời giải chi tiết:

Câu a) Viết phương trình vận tốc và gia tốc

Bước 1: Xác định các đại lượng từ phương trình li độ

Từ phương trình: $x = 2\cos\left(\pi t + \dfrac{\pi}{6}\right)$ (cm)

So sánh với dạng tổng quát $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, ta có:

• Biên độ: $A = 2$ cm
• Tần số góc: $\omega = \pi$ rad/s
• Pha ban đầu: $\varphi = \dfrac{\pi}{6}$ rad

Bước 2: Viết phương trình vận tốc

Áp dụng công thức: $v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$

Thay các giá trị vào:

$$v = -\pi \times 2 \times \sin\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right)$$

$$\boxed{v = -2\pi\sin\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right) \text{ (cm/s)}}$$

Bước 3: Viết phương trình gia tốc

Áp dụng công thức: $a = -\omega^2 A\cos(\omega t + \varphi)$

Thay các giá trị vào:

$$a = -\pi^2 \times 2 \times \cos\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right)$$

$$a = -2\pi^2\cos\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right)$$

Thay $\pi^2 = 10$:

$$\boxed{a = -20\cos\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right) \text{ (cm/s}^2\text{)}}$$

Câu b) Tính vận tốc và gia tốc tại $t = 0{,}5$ s

Tính vận tốc tại $t = 0{,}5$ s:

Thay $t = 0{,}5$ s vào phương trình vận tốc:

$$v = -2\pi\sin\left(\pi \times 0{,}5 + \frac{\pi}{6}\right)$$

$$v = -2\pi\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$$

$$v = -2\pi\sin\left(\frac{3\pi + \pi}{6}\right) = -2\pi\sin\left(\frac{4\pi}{6}\right) = -2\pi\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$$

Ta có: $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\left(\pi – \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Do đó:

$$v = -2\pi \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\pi\sqrt{3} \text{ (cm/s)}$$

$$\boxed{v = -\pi\sqrt{3} \approx -5{,}44 \text{ cm/s}}$$

Tính gia tốc tại $t = 0{,}5$ s:

Thay $t = 0{,}5$ s vào phương trình gia tốc:

$$a = -20\cos\left(\pi \times 0{,}5 + \frac{\pi}{6}\right)$$

$$a = -20\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$$

Ta có: $\cos\dfrac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi – \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$

Do đó:

$$a = -20 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 10 \text{ (cm/s}^2\text{)}$$

$$\boxed{a = 10 \text{ cm/s}^2}$$

Câu c) Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại

Tính tốc độ cực đại:

Áp dụng công thức: $v_{max} = \omega A$

$$v_{max} = \pi \times 2 = 2\pi \text{ (cm/s)}$$

$$\boxed{v_{max} = 2\pi \approx 6{,}28 \text{ cm/s}}$$

Tính gia tốc cực đại:

Áp dụng công thức: $a_{max} = \omega^2 A$

$$a_{max} = \pi^2 \times 2 = 2\pi^2 \text{ (cm/s}^2\text{)}$$

Thay $\pi^2 = 10$:

$$\boxed{a_{max} = 20 \text{ cm/s}^2}$$

Dạng 2: Đọc đồ thị để xác định các đại lượng và viết phương trình

Phương pháp giải:

Bước 1: Đọc biên độ A từ đồ thị

• Xác định giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của li độ trên đồ thị
• Biên độ = |giá trị cực đại| = |giá trị cực tiểu|

Bước 2: Đọc chu kỳ T từ đồ thị

• Cách 1: Đo khoảng thời gian giữa hai đỉnh liên tiếp (hoặc hai đáy liên tiếp)
• Cách 2: Đo khoảng thời gian giữa hai điểm liên tiếp có cùng li độ và cùng chiều chuyển động
• Cách 3: Nếu biết thời gian từ VTCB đến biên (hoặc ngược lại), thì đó là T/4

Bước 3: Tính các đại lượng khác

• Tần số: $f = \dfrac{1}{T}$
• Tần số góc: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$

Bước 4: Xác định pha ban đầu φ

• Đọc giá trị li độ $x_0$ tại $t = 0$ từ đồ thị
• Xác định chiều chuyển động tại $t = 0$ (đồ thị đang đi lên hay đi xuống)
• Từ $x_0 = A\cos\varphi$ và chiều chuyển động, suy ra $\varphi$

Bước 5: Viết phương trình dao động, vận tốc, gia tốc

Bài tập mẫu:

Hình 3.4 là đồ thị li độ – thời gian của một vật dao động điều hòa. Sử dụng đồ thị để tính các đại lượng sau:

a) Xác định biên độ, chu kỳ, tần số, tần số góc, pha ban đầu và viết phương trình dao động.

b) Tốc độ của vật ở thời điểm $t = 0$ s.

c) Tốc độ cực đại của vật.

d) Gia tốc của vật tại thời điểm $t = 1{,}0$ s.

Lời giải chi tiết:

Câu a) Xác định các đại lượng và viết phương trình

Bước 1: Đọc biên độ A từ đồ thị

Quan sát đồ thị, ta thấy:

• Giá trị lớn nhất của li độ: $x_{max} = +40$ mm (tại t ≈ 1 s)
• Giá trị nhỏ nhất của li độ: $x_{min} = -40$ mm (tại t ≈ 3 s)

Vậy biên độ $A = 40$ mm.

Bước 2: Đọc chu kỳ T từ đồ thị

Từ đồ thị, ta quan sát các mốc thời gian quan trọng:

Ta thấy: Từ t = 0 (VTCB) đến t = 1 s (biên dương) là khoảng thời gian $\dfrac{T}{4}$.

Do đó: $$\frac{T}{4} = 1 \text{ s} \Rightarrow T = 4 \text{ s}$$

Vậy chu kỳ $T = 4$ s.

Bước 3: Tính tần số f

Áp dụng công thức: $f = \dfrac{1}{T}$

$$f = \frac{1}{4} = 0{,}25 \text{ Hz}$$

Vậy tần số $f = 0{,}25$ Hz.

Bước 4: Tính tần số góc ω

Áp dụng công thức: $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$

$$\omega = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \text{ (rad/s)}$$

Vậy tần số góc $\omega = \dfrac{\pi}{2}$ rad/s.

Bước 5: Xác định pha ban đầu φ

Tại thời điểm $t = 0$, từ đồ thị ta đọc được:

• Li độ: $x_0 = 0$ mm (vật ở VTCB)
• Chiều chuyển động: đồ thị đang đi lên → vật đang chuyển động theo chiều dương

Ta có: $x_0 = A\cos\varphi$

Thay số: $0 = 40 \times \cos\varphi$

Suy ra: $\cos\varphi = 0$ → $\varphi = \pm\dfrac{\pi}{2}$

Để xác định dấu của $\varphi$, ta xét vận tốc ban đầu:

• Vật đang đi theo chiều dương → $v_0 > 0$
• Ta có: $v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$
• Tại $t = 0$: $v_0 = -\omega A\sin\varphi > 0$
• Suy ra: $\sin\varphi < 0$

Kết hợp $\cos\varphi = 0$ và $\sin\varphi < 0$, ta được:

$$\varphi = -\frac{\pi}{2} \text{ rad}$$

Vậy pha ban đầu $\varphi = -\dfrac{\pi}{2}$ rad.

Bước 6: Viết phương trình dao động

Thay các giá trị vào phương trình tổng quát $x = A\cos(\omega t + \varphi)$:

$$\boxed{x = 40\cos\left(\frac{\pi}{2}t – \frac{\pi}{2}\right) \text{ (mm)}}$$

Hoặc viết dưới dạng hàm sin: $x = 40\sin\left(\dfrac{\pi}{2}t\right)$ (mm)

Câu b) Tính tốc độ tại $t = 0$ s

Cách 1: Sử dụng phương trình vận tốc

Viết phương trình vận tốc:

$$v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi) = -\frac{\pi}{2} \times 40 \times \sin\left(\frac{\pi}{2}t – \frac{\pi}{2}\right)$$

$$v = -20\pi\sin\left(\frac{\pi}{2}t – \frac{\pi}{2}\right) \text{ (mm/s)}$$

Tại $t = 0$:

$$v = -20\pi\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -20\pi \times (-1) = 20\pi \text{ (mm/s)}$$

Cách 2: Sử dụng công thức liên hệ

Tại $t = 0$: $x = 0$ (vật ở VTCB)

Áp dụng công thức: $|v| = \omega\sqrt{A^2 – x^2}$

$$|v| = \frac{\pi}{2}\sqrt{40^2 – 0^2} = \frac{\pi}{2} \times 40 = 20\pi \text{ (mm/s)}$$

$$\boxed{\text{Tốc độ tại } t = 0 \text{ là } |v| = 20\pi \approx 62{,}8 \text{ mm/s}}$$

Nhận xét: Tại $t = 0$, vật ở VTCB nên tốc độ đạt giá trị cực đại. Điều này hoàn toàn phù hợp với lý thuyết.

Câu c) Tính tốc độ cực đại

Áp dụng công thức: $v_{max} = \omega A$

$$v_{max} = \frac{\pi}{2} \times 40 = 20\pi \text{ (mm/s)}$$

$$\boxed{v_{max} = 20\pi \approx 62{,}8 \text{ mm/s}}$$

Kiểm tra: Kết quả này trùng với tốc độ tại $t = 0$ (câu b), vì tại thời điểm đó vật đang ở VTCB – nơi vận tốc có độ lớn cực đại.

Câu d) Tính gia tốc tại $t = 1{,}0$ s

Bước 1: Tìm li độ tại $t = 1{,}0$ s

Từ đồ thị, tại $t = 1{,}0$ s, vật đang ở vị trí biên dương: $x = +40$ mm = $+A$

(Hoặc tính từ phương trình: $x = 40\cos\left(\dfrac{\pi}{2} \times 1 – \dfrac{\pi}{2}\right) = 40\cos(0) = 40$ mm)

Bước 2: Tính gia tốc

Áp dụng công thức: $a = -\omega^2 x$

$$a = -\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \times 40 = -\frac{\pi^2}{4} \times 40 = -10\pi^2 \text{ (mm/s}^2\text{)}$$

Lấy $\pi^2 \approx 10$:

$$a \approx -10 \times 10 = -100 \text{ mm/s}^2$$

$$\boxed{a = -10\pi^2 \approx -100 \text{ mm/s}^2}$$

Nhận xét:

• Dấu âm cho thấy gia tốc hướng về phía âm, tức là hướng về VTCB (vì vật đang ở biên dương).
• Tại vị trí biên, gia tốc có độ lớn cực đại: $|a_{max}| = \omega^2 A = \dfrac{\pi^2}{4} \times 40 = 10\pi^2$ mm/s².

Dạng 3: Tính biên độ khi biết vận tốc và gia tốc tại một vị trí

Phương pháp giải:

Cách 1: Sử dụng điều kiện tại VTCB

• Tại VTCB: $x = 0$, $v = v_{max} = \omega A$, $a = 0$
• Từ $v_{max}$ và các điều kiện khác, tìm $\omega$ rồi tính $A$

Cách 2: Sử dụng công thức liên hệ

• $v^2 = \omega^2(A^2 – x^2)$
• $a = -\omega^2 x$
• Kết hợp các phương trình để tìm $A$ và $\omega$

Cách 3: Sử dụng công thức tổng hợp

• $A = \sqrt{x^2 + \dfrac{v^2}{\omega^2}}$
• $\omega = \dfrac{a_{max}}{v_{max}}$

Bài tập mẫu 3:

Một vật dao động điều hòa trên trục Ox. Khi vật qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi vật có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là $40\sqrt{3}$ cm/s². Tính biên độ dao động của vật.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích đề bài và xác định các dữ kiện

Từ đề bài, ta có:

• Tại VTCB: $x_1 = 0$, tốc độ $|v_1| = 20$ cm/s
• Tại vị trí khác: tốc độ $|v_2| = 10$ cm/s, độ lớn gia tốc $|a_2| = 40\sqrt{3}$ cm/s²

Bước 2: Xác định vận tốc cực đại và tần số góc

Tại VTCB, vận tốc có độ lớn cực đại, do đó:

$$v_{max} = 20 \text{ cm/s}$$

Ta có công thức: $v_{max} = \omega A$

Suy ra: $\omega A = 20$ … (1)

Bước 3: Thiết lập phương trình tại vị trí có $|v| = 10$ cm/s

Sử dụng công thức liên hệ vận tốc và li độ:

$$v^2 = \omega^2(A^2 – x^2)$$

Thay $|v| = 10$ cm/s:

$$10^2 = \omega^2(A^2 – x_2^2)$$

$$100 = \omega^2 A^2 – \omega^2 x_2^2$$

Từ (1): $\omega A = 20$ → $\omega^2 A^2 = 400$

Thay vào:

$$100 = 400 – \omega^2 x_2^2$$

$$\omega^2 x_2^2 = 300$$

$$\omega x_2 = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$$ … (2)

Bước 4: Sử dụng điều kiện về gia tốc

Áp dụng công thức: $a = -\omega^2 x$

Độ lớn gia tốc: $|a| = \omega^2 |x|$

Tại vị trí đang xét:

$$|a_2| = \omega^2 |x_2| = 40\sqrt{3}$$

Suy ra: $\omega^2 |x_2| = 40\sqrt{3}$ … (3)

Bước 5: Tìm tần số góc ω

Từ (2): $\omega |x_2| = 10\sqrt{3}$

Từ (3): $\omega^2 |x_2| = 40\sqrt{3}$

Chia (3) cho (2):

$$\frac{\omega^2 |x_2|}{\omega |x_2|} = \frac{40\sqrt{3}}{10\sqrt{3}}$$

$$\omega = 4 \text{ (rad/s)}$$

Bước 6: Tính biên độ A

Từ (1): $\omega A = 20$

$$A = \frac{20}{\omega} = \frac{20}{4} = 5 \text{ (cm)}$$

$$\boxed{A = 5 \text{ cm}}$$

Kiểm tra lại:

• $v_{max} = \omega A = 4 \times 5 = 20$ cm/s ✓
• Từ (2): $|x_2| = \dfrac{10\sqrt{3}}{\omega} = \dfrac{10\sqrt{3}}{4} = 2{,}5\sqrt{3}$ cm
• Kiểm tra: $|a_2| = \omega^2 |x_2| = 16 \times 2{,}5\sqrt{3} = 40\sqrt{3}$ cm/s² ✓

Dạng 4: Xác định vận tốc khi biết li độ (và ngược lại)

Phương pháp giải:

Công thức chính:

$$v = \pm\omega\sqrt{A^2 – x^2}$$

Quy tắc xác định dấu:

• $v > 0$: vật đang chuyển động theo chiều dương (li độ đang tăng)
• $v < 0$: vật đang chuyển động theo chiều âm (li độ đang giảm)

Công thức ngược (tìm li độ khi biết vận tốc):

$$|x| = \sqrt{A^2 – \frac{v^2}{\omega^2}}$$

Bài tập mẫu 4:

Một vật dao động điều hòa với biên độ $A = 5$ cm và tần số $f = 2$ Hz.

a) Tính vận tốc của vật khi li độ $x = 3$ cm và vật đang chuyển động theo chiều dương.

b) Tính li độ của vật khi vận tốc $v = 10\pi$ cm/s.

Lời giải chi tiết:

Câu a) Tính vận tốc khi $x = 3$ cm

Bước 1: Tính tần số góc

$$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2 = 4\pi \text{ (rad/s)}$$

Bước 2: Áp dụng công thức liên hệ

$$v = \pm\omega\sqrt{A^2 – x^2}$$

Thay số:

$$|v| = 4\pi\sqrt{5^2 – 3^2} = 4\pi\sqrt{25 – 9} = 4\pi\sqrt{16} = 4\pi \times 4 = 16\pi \text{ (cm/s)}$$

Bước 3: Xác định dấu của vận tốc

Theo đề bài, vật đang chuyển động theo chiều dương, nên $v > 0$.

$$\boxed{v = +16\pi \approx 50{,}3 \text{ cm/s}}$$

Câu b) Tính li độ khi $v = 10\pi$ cm/s

Bước 1: Sử dụng công thức liên hệ

Từ công thức: $v^2 = \omega^2(A^2 – x^2)$

Suy ra: $x^2 = A^2 – \dfrac{v^2}{\omega^2}$

Bước 2: Thay số

$$x^2 = 5^2 – \frac{(10\pi)^2}{(4\pi)^2} = 25 – \frac{100\pi^2}{16\pi^2} = 25 – \frac{100}{16} = 25 – 6{,}25 = 18{,}75$$

$$|x| = \sqrt{18{,}75} = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{\sqrt{75}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4{,}33 \text{ (cm)}$$

$$\boxed{x = \pm\frac{5\sqrt{3}}{2} \approx \pm 4{,}33 \text{ cm}}$$

Nhận xét: Li độ có thể dương hoặc âm tùy thuộc vào vị trí của vật. Để xác định chính xác dấu, cần biết thêm thông tin về vị trí hoặc chiều chuyển động.

Dạng 5: So sánh đồ thị, xác định mối liên hệ pha

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định dạng đồ thị (li độ, vận tốc hay gia tốc)

Bước 2: Quan sát vị trí các điểm đặc biệt (cực đại, cực tiểu, điểm cắt trục hoành)

Bước 3: So sánh và kết luận về mối quan hệ pha:

• Vận tốc sớm pha $\dfrac{\pi}{2}$ so với li độ
• Gia tốc ngược pha với li độ
• Gia tốc sớm pha $\dfrac{\pi}{2}$ so với vận tốc

Bài tập mẫu 5:

So sánh đồ thị vận tốc (Hình 3.2) với đồ thị li độ (Hình 3.1), hãy cho biết vận tốc sớm pha hay trễ pha bao nhiêu so với li độ. Trong các khoảng thời gian: từ 0 đến $\dfrac{T}{4}$, từ $\dfrac{T}{4}$ đến $\dfrac{T}{2}$, từ $\dfrac{T}{2}$ đến $\dfrac{3T}{4}$, từ $\dfrac{3T}{4}$ đến $T$, vận tốc của dao động điều hòa thay đổi như thế nào?

Lời giải chi tiết:

Phần 1: So sánh pha giữa vận tốc và li độ

Quan sát hai đồ thị (với $\varphi = 0$):

• Đồ thị li độ: Tại $t = 0$, $x = A$ (cực đại)
• Đồ thị vận tốc: Tại $t = 0$, $v = 0$ và ngay sau đó $v < 0$ (đang giảm)

Để vận tốc đạt cực đại, cần thời gian $\dfrac{T}{4}$ sau khi li độ đạt cực đại.

Nói cách khác: Vận tốc sớm pha $\dfrac{\pi}{2}$ (hay $\dfrac{T}{4}$) so với li độ.

Cách kiểm tra khác:

• Khi $x = A$ (cực đại) thì $v = 0$
• Khi $x = 0$ (qua VTCB) thì $|v| = v_{max}$

Đây chính là đặc điểm của hai đại lượng lệch pha $\dfrac{\pi}{2}$.

Phần 2: Sự thay đổi vận tốc trong từng khoảng thời gian

Tóm tắt:

• Khi vật đi từ biên về VTCB: vận tốc tăng dần (nhanh dần)
• Khi vật đi từ VTCB ra biên: vận tốc giảm dần (chậm dần)

Dạng 6: Viết phương trình dao động từ đồ thị vận tốc

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ đồ thị $(v – t)$, xác định:

• Vận tốc cực đại: $v_{max} = \omega A$
• Chu kỳ $T$

Bước 2: Tính tần số góc và biên độ:

• $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$
• $A = \dfrac{v_{max}}{\omega}$

Bước 3: Xác định pha ban đầu của vận tốc $\varphi_v$ từ giá trị $v$ tại $t = 0$

Bước 4: Suy ra pha ban đầu của li độ: $$\varphi_x = \varphi_v – \frac{\pi}{2}$$

Bước 5: Viết phương trình dao động

Bài tập mẫu 6:

Đồ thị vận tốc – thời gian của hai dao động điều hòa được biểu diễn trên hình vẽ. Xác định:

a) Vận tốc cực đại, chu kỳ, tần số góc của mỗi dao động.

b) Biên độ của mỗi dao động.

c) Viết phương trình dao động của vật thứ nhất (biết tại $t = 0$, vật đang ở VTCB và đi theo chiều dương).

Lời giải chi tiết:

Câu a) Xác định $v_{max}$, $T$, $\omega$

Dao động 1:

Từ đồ thị:

• Vận tốc cực đại: $v_{max1} = 4\pi$ cm/s
• Nửa chu kỳ (từ đỉnh đến đáy): $\dfrac{T_1}{2} = 0{,}2$ s → $T_1 = 0{,}4$ s

Tần số góc: $$\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \frac{2\pi}{0{,}4} = 5\pi \text{ (rad/s)}$$

Dao động 2:

Từ đồ thị:

• Vận tốc cực đại: $v_{max2} = 2\pi$ cm/s
• Nửa chu kỳ: $\dfrac{T_2}{2} = 0{,}2$ s → $T_2 = 0{,}4$ s

Tần số góc: $$\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \frac{2\pi}{0{,}4} = 5\pi \text{ (rad/s)}$$

Kết quả:

Câu b) Tính biên độ

Áp dụng công thức: $v_{max} = \omega A$ → $A = \dfrac{v_{max}}{\omega}$

Dao động 1: $$A_1 = \frac{v_{max1}}{\omega_1} = \frac{4\pi}{5\pi} = \frac{4}{5} = 0{,}8 \text{ (cm)}$$

Dao động 2: $$A_2 = \frac{v_{max2}}{\omega_2} = \frac{2\pi}{5\pi} = \frac{2}{5} = 0{,}4 \text{ (cm)}$$

$$\boxed{A_1 = 0{,}8 \text{ cm}; \quad A_2 = 0{,}4 \text{ cm}}$$

Câu c) Viết phương trình dao động của vật 1

Bước 1: Xác định pha ban đầu

Theo đề bài, tại $t = 0$:

• Vật ở VTCB: $x_0 = 0$
• Vật đi theo chiều dương: $v_0 > 0$

Ta có: $x_0 = A\cos\varphi = 0$ → $\cos\varphi = 0$ → $\varphi = \pm\dfrac{\pi}{2}$

Vì $v_0 > 0$ và $v = -\omega A\sin\varphi$:

$-\omega A\sin\varphi > 0$ → $\sin\varphi < 0$ → $\varphi = -\dfrac{\pi}{2}$

Bước 2: Viết phương trình

$$\boxed{x_1 = 0{,}8\cos\left(5\pi t – \frac{\pi}{2}\right) \text{ (cm)}}$$

Hoặc viết dưới dạng: $x_1 = 0{,}8\sin(5\pi t)$ (cm)

Bảng tóm tắt công thức

Thầy Phạm Trần Quốc Anh

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Vật Lý THPT

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ STEM, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 9+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lê Quí Đôn