Lý thuyết trọng tâm

I. Động Năng Trong Dao Động Điều Hòa

1. Khái niệm và công thức

Động năng là năng lượng mà vật có được do chuyển động. Trong dao động điều hòa, vật có vận tốc thay đổi liên tục nên động năng cũng thay đổi theo.

Công thức động năng:

$$W_đ = \frac{1}{2}mv^2$$

Trong đó:

• $W_đ$: động năng (J)
• $m$: khối lượng của vật (kg)
• $v$: vận tốc tức thời của vật (m/s)

Biểu diễn theo thời gian:

Ta đã biết vận tốc trong dao động điều hòa: $v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$

Thay vào công thức động năng:

$$W_đ = \frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2(\omega t + \varphi)$$

Sử dụng công thức lượng giác $\sin^2\alpha = \dfrac{1 – \cos 2\alpha}{2}$:

$$W_đ = \frac{1}{4}m\omega^2A^2[1 – \cos 2(\omega t + \varphi)]$$

2. Các đặc điểm của động năng

a) Giá trị cực đại và cực tiểu:

b) Chu kỳ và tần số biến thiên:

Từ biểu thức $W_đ = \dfrac{1}{4}m\omega^2A^2[1 – \cos 2(\omega t + \varphi)]$, ta thấy động năng biến thiên với:

• Tần số góc: $\omega’ = 2\omega$ (gấp đôi tần số góc của li độ)
• Tần số: $f’ = 2f$
• Chu kỳ: $T’ = \dfrac{T}{2}$ (bằng nửa chu kỳ dao động)

Nhận xét quan trọng: Động năng biến thiên tuần hoàn với chu kỳ bằng nửa chu kỳ dao động của vật.

II. Thế Năng Trong Dao Động Điều Hòa

1. Khái niệm và công thức

Thế năng là năng lượng mà vật có được do vị trí của nó (độ biến dạng của lò xo hoặc độ cao so với vị trí cân bằng).

Công thức thế năng:

$$W_t = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$$

Trong đó:

• $W_t$: thế năng (J)
• $m$: khối lượng của vật (kg)
• $\omega$: tần số góc (rad/s)
• $x$: li độ tức thời (m)

Biểu diễn theo thời gian:

Thay $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ vào công thức:

$$W_t = \frac{1}{2}m\omega^2A^2\cos^2(\omega t + \varphi)$$

Sử dụng công thức lượng giác $\cos^2\alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}$:

$$W_t = \frac{1}{4}m\omega^2A^2[1 + \cos 2(\omega t + \varphi)]$$

2. Các đặc điểm của thế năng

a) Giá trị cực đại và cực tiểu:

b) Chu kỳ và tần số biến thiên:

Tương tự động năng, thế năng cũng biến thiên với:

• Chu kỳ: $T’ = \dfrac{T}{2}$
• Tần số: $f’ = 2f$

💡 So sánh với động năng: Thế năng và động năng biến thiên ngược pha với nhau (khi thế năng cực đại thì động năng cực tiểu và ngược lại), nhưng cùng chu kỳ $T/2$.

III. Cơ Năng Trong Dao Động Điều Hòa

1. Định nghĩa và công thức

Cơ năng là tổng của động năng và thế năng của vật dao động.

$$W = W_đ + W_t$$

Tính cơ năng:

$$W = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}m\omega^2x^2$$

Sử dụng hệ thức $v^2 = \omega^2(A^2 – x^2)$:

$$W = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 – x^2) + \frac{1}{2}m\omega^2x^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$$

Công thức cơ năng:

$$\boxed{W = \frac{1}{2}m\omega^2A^2}$$

2. Định luật bảo toàn cơ năng

Trong dao động điều hòa (bỏ qua ma sát), cơ năng được bảo toàn.

Điều này có nghĩa:

• Cơ năng không đổi theo thời gian
• Cơ năng tỉ lệ với bình phương biên độ: $W \sim A^2$

Các dạng công thức tương đương của cơ năng:

$$W = \frac{1}{2}m\omega^2A^2 = \frac{1}{2}mv_{max}^2 = W_{đ(max)} = W_{t(max)}$$

3. Sự chuyển hóa năng lượng trong dao động điều hòa

Trong quá trình dao động, năng lượng liên tục chuyển hóa qua lại giữa động năng và thế năng:

Phân tích chi tiết trong một chu kỳ (với $\varphi = 0$):

4. Vị trí đặc biệt: Động năng bằng thế năng

Khi $W_đ = W_t$, ta có:

$$W_đ = W_t = \frac{W}{2} = \frac{1}{4}m\omega^2A^2$$

Tìm li độ:

Từ $W_t = \dfrac{1}{2}m\omega^2x^2 = \dfrac{1}{4}m\omega^2A^2$

$$x^2 = \frac{A^2}{2}$$

$$\boxed{x = \pm\frac{A}{\sqrt{2}} = \pm\frac{A\sqrt{2}}{2}}$$

Tìm vận tốc:

Từ $W_đ = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{4}m\omega^2A^2$

$$v^2 = \frac{\omega^2A^2}{2}$$

$$\boxed{|v| = \frac{\omega A}{\sqrt{2}} = \frac{v_{max}}{\sqrt{2}}}$$

5. Hệ thức liên hệ giữa động năng, thế năng và cơ năng

Tỉ lệ thế năng so với cơ năng:

$$\frac{W_t}{W} = \frac{\frac{1}{2}m\omega^2x^2}{\frac{1}{2}m\omega^2A^2} = \frac{x^2}{A^2}$$

Tỉ lệ động năng so với cơ năng:

$$\frac{W_đ}{W} = 1 – \frac{W_t}{W} = 1 – \frac{x^2}{A^2} = \frac{A^2 – x^2}{A^2}$$

IV. Cơ Năng Của Con Lắc Lò Xo

1. Cấu tạo con lắc lò xo

Con lắc lò xo gồm:

• Một lò xo có độ cứng $k$, khối lượng không đáng kể
• Một vật nhỏ có khối lượng $m$ gắn vào đầu lò xo

Nếu bỏ qua ma sát, con lắc lò xo dao động điều hòa.

2. Thế năng của con lắc lò xo

Thế năng của con lắc lò xo là thế năng đàn hồi, được xác định bởi công thức:

$$\boxed{W_t = \frac{1}{2}kx^2}$$

Trong đó:

• $k$: độ cứng của lò xo (N/m)
• $x$: li độ (độ biến dạng so với vị trí cân bằng) (m)

3. Cơ năng của con lắc lò xo

$$W = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$$

4. Tần số góc và chu kỳ của con lắc lò xo

So sánh công thức thế năng $W_t = \dfrac{1}{2}kx^2$ với công thức tổng quát $W_t = \dfrac{1}{2}m\omega^2x^2$, ta suy ra:

$$k = m\omega^2$$

Tần số góc:

$$\boxed{\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}}$$

Chu kỳ:

$$\boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}$$

Tần số:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$

V. Cơ Năng Của Con Lắc Đơn

1. Cấu tạo con lắc đơn

Con lắc đơn gồm:

• Một sợi dây không giãn, khối lượng không đáng kể, có chiều dài $l$
• Một vật nhỏ có khối lượng $m$ treo ở đầu dây

2. Xác định vị trí của con lắc đơn

Vị trí của con lắc đơn được xác định bằng:

• Li độ góc $\alpha$: góc lệch so với phương thẳng đứng (rad hoặc độ)
• Li độ dài $s$: độ dài cung tròn từ vị trí cân bằng đến vị trí hiện tại (m)

Mối liên hệ: $s = l\alpha$ (với $\alpha$ tính bằng rad)

3. Thế năng của con lắc đơn

Thế năng của con lắc đơn là thế năng trọng trường (chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng).

Công thức tổng quát:

$$\boxed{W_t = mgl(1 – \cos\alpha)}$$

Trong đó:

• $m$: khối lượng vật (kg)
• $g$: gia tốc trọng trường (m/s²)
• $l$: chiều dài dây treo (m)
• $\alpha$: li độ góc (rad)

Công thức khi góc lệch nhỏ ($\alpha \leq 10°$ hay $\alpha \leq 0{,}17$ rad):

Khi góc nhỏ, ta có xấp xỉ: $\sin\alpha \approx \alpha$ và $1 – \cos\alpha \approx \dfrac{\alpha^2}{2}$

Do đó:

$$W_t = mgl \cdot \frac{\alpha^2}{2} = \frac{1}{2}mgl\alpha^2$$

Thay $\alpha = \dfrac{s}{l}$:

$$\boxed{W_t = \frac{1}{2}m\frac{g}{l}s^2}$$

4. Tần số góc và chu kỳ của con lắc đơn (góc nhỏ)

So sánh $W_t = \dfrac{1}{2}m\dfrac{g}{l}s^2$ với $W_t = \dfrac{1}{2}m\omega^2s^2$, ta được:

$$\omega^2 = \frac{g}{l}$$

Tần số góc:

$$\boxed{\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}}$$

Chu kỳ:

$$\boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}$$

💡 Nhận xét quan trọng: Chu kỳ của con lắc đơn (góc nhỏ) không phụ thuộc vào khối lượng và không phụ thuộc vào biên độ, chỉ phụ thuộc vào chiều dài dây và gia tốc trọng trường.

Phương pháp giải các dạng bài tập

Dạng 1: Tính động năng, thế năng, cơ năng khi biết các đại lượng cơ bản

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định và đổi đơn vị các đại lượng đã cho về hệ SI:

• Khối lượng $m$ → kg
• Biên độ $A$ → m
• Tần số góc $\omega$ → rad/s (hoặc tính từ $f$, $T$)

Bước 2: Tính cơ năng bằng một trong các công thức: $$W = \frac{1}{2}m\omega^2A^2 = \frac{1}{2}mv_{max}^2 = \frac{1}{2}kA^2$$

Bước 3: Suy ra động năng cực đại và thế năng cực đại: $$W_{đ(max)} = W_{t(max)} = W$$

Lưu ý quan trọng về đơn vị:

• Nếu giữ đơn vị cm cho $A$, kết quả sẽ sai
• Luôn đổi về đơn vị SI trước khi tính

Bài tập mẫu 1:

Một vật nhỏ khối lượng 100 g dao động điều hoà trên một quỹ đạo thẳng dài 20 cm với tần số góc 6 rad/s. Tính cơ năng của vật dao động này.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định và đổi đơn vị các đại lượng

Từ đề bài, ta có:

• Khối lượng: $m = 100$ g $= 0{,}1$ kg
• Quỹ đạo thẳng dài 20 cm, nghĩa là chiều dài quỹ đạo bằng $2A$

Do đó: $2A = 20$ cm → $A = 10$ cm $= 0{,}1$ m

• Tần số góc: $\omega = 6$ rad/s

Bước 2: Tính cơ năng

Áp dụng công thức: $W = \dfrac{1}{2}m\omega^2A^2$

Thay số vào:

$$W = \frac{1}{2} \times 0{,}1 \times 6^2 \times 0{,}1^2$$

$$W = \frac{1}{2} \times 0{,}1 \times 36 \times 0{,}01$$

$$W = \frac{1}{2} \times 0{,}036$$

$$W = 0{,}018 \text{ J}$$

$$\boxed{W = 0{,}018 \text{ J} = 18 \text{ mJ}}$$

Đáp án: B. 0,018 J

Bài tập mẫu 2:

Một vật có khối lượng 50 g, dao động điều hoà với biên độ 4 cm và tần số góc 3 rad/s. Tính động năng cực đại của vật.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đổi đơn vị về hệ SI

• Khối lượng: $m = 50$ g $= 0{,}05$ kg
• Biên độ: $A = 4$ cm $= 0{,}04$ m
• Tần số góc: $\omega = 3$ rad/s

Bước 2: Tính động năng cực đại

Động năng cực đại bằng cơ năng (khi vật qua VTCB):

$$W_{đ(max)} = W = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$$

Thay số:

$$W_{đ(max)} = \frac{1}{2} \times 0{,}05 \times 3^2 \times 0{,}04^2$$

$$W_{đ(max)} = \frac{1}{2} \times 0{,}05 \times 9 \times 0{,}0016$$

$$W_{đ(max)} = \frac{1}{2} \times 0{,}05 \times 0{,}0144$$

$$W_{đ(max)} = \frac{1}{2} \times 0{,}00072$$

$$W_{đ(max)} = 0{,}00036 \text{ J} = 3{,}6 \times 10^{-4} \text{ J}$$

$$\boxed{W_{đ(max)} = 3{,}6 \times 10^{-4} \text{ J}}$$

Đáp án: A. 3,6.10⁻⁴ J

Dạng 2: Tìm li độ khi biết tỉ lệ giữa động năng và thế năng

Phương pháp giải:

Trường hợp 1: Cho $W_t = n \cdot W_đ$ (thế năng bằng n lần động năng)

Bước 1: Từ $W = W_đ + W_t = W_đ + n \cdot W_đ = (n+1)W_đ$

Suy ra: $W_đ = \dfrac{W}{n+1}$ và $W_t = \dfrac{nW}{n+1}$

Bước 2: Sử dụng tỉ lệ: $\dfrac{W_t}{W} = \dfrac{x^2}{A^2}$

$$\frac{n}{n+1} = \frac{x^2}{A^2}$$

Bước 3: Giải ra li độ:

$$\boxed{|x| = A\sqrt{\frac{n}{n+1}}}$$

Trường hợp 2: Cho $W_đ = n \cdot W_t$ (động năng bằng n lần thế năng)

Tương tự, ta có: $\dfrac{W_t}{W} = \dfrac{1}{n+1}$

$$\boxed{|x| = \frac{A}{\sqrt{n+1}}}$$

Bài tập mẫu 3:

Một vật dao động điều hoà với biên độ A. Tại li độ nào thì thế năng bằng 3 lần động năng?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích đề bài

Đề cho: $W_t = 3W_đ$

Đây là trường hợp 1 với $n = 3$.

Bước 2: Tính tỉ lệ thế năng so với cơ năng

Ta có: $W = W_đ + W_t = W_đ + 3W_đ = 4W_đ$

Suy ra: $W_đ = \dfrac{W}{4}$ và $W_t = 3W_đ = \dfrac{3W}{4}$

Vậy: $\dfrac{W_t}{W} = \dfrac{3}{4}$

Bước 3: Tìm li độ

Sử dụng công thức: $\dfrac{W_t}{W} = \dfrac{x^2}{A^2}$

$$\frac{3}{4} = \frac{x^2}{A^2}$$

$$x^2 = \frac{3A^2}{4}$$

$$|x| = \sqrt{\frac{3A^2}{4}} = \frac{A\sqrt{3}}{2}$$

$$\boxed{x = \pm\frac{A\sqrt{3}}{2}}$$

Kiểm tra: Áp dụng công thức tắt: $|x| = A\sqrt{\dfrac{n}{n+1}} = A\sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{A\sqrt{3}}{2}$ ✓

Đáp án: B. $x = \pm\dfrac{A\sqrt{3}}{2}$

Bài tập mẫu 4:

Một vật dao động điều hoà với biên độ 6 cm. Mốc thế năng ở VTCB. Khi vật có động năng bằng 3/4 lần cơ năng thì vật cách VTCB một khoảng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích đề bài

• Biên độ: $A = 6$ cm
• Đề cho: $W_đ = \dfrac{3}{4}W$

Bước 2: Tìm thế năng

Từ định luật bảo toàn cơ năng: $W = W_đ + W_t$

$$W_t = W – W_đ = W – \frac{3}{4}W = \frac{1}{4}W$$

Bước 3: Tìm li độ

Sử dụng công thức: $\dfrac{W_t}{W} = \dfrac{x^2}{A^2}$

$$\frac{1}{4} = \frac{x^2}{A^2}$$

$$x^2 = \frac{A^2}{4}$$

$$|x| = \frac{A}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ (cm)}$$

$$\boxed{|x| = 3 \text{ cm}}$$

Vậy vật cách VTCB một khoảng 3 cm.

Đáp án: D. 3 cm

Dạng 3: Xác định các đại lượng từ biểu thức năng lượng

Phương pháp giải:

Khi đề cho biểu thức thế năng (hoặc động năng) dạng: $$W_t = W_0\cos^2(\omega’ t + \varphi’)$$

Bước 1: Xác định cơ năng:

• Giá trị cực đại của $\cos^2$ là 1
• Nên: $W = W_{t(max)} = W_0$

Bước 2: Xác định tần số góc của dao động:

• Năng lượng biến thiên với tần số góc $\omega’ = 2\omega$
• Suy ra: $\omega = \dfrac{\omega’}{2}$

Bước 3: Tính các đại lượng khác:

• Biên độ: $A = \sqrt{\dfrac{2W}{m\omega^2}}$ hoặc $A = \sqrt{\dfrac{2W}{k}}$
• Vận tốc cực đại: $v_{max} = \omega A$
• Khối lượng: $m = \dfrac{k}{\omega^2}$

Bài tập mẫu 5:

Một con lắc lò xo có độ cứng $k = 40$ N/m dao động điều hòa. Biểu thức thế năng là: $W_t = 0{,}05\cos^2(10\pi t)$ (J). Lấy $\pi^2 = 10$.

a) Xác định cơ năng của con lắc.

b) Xác định biên độ dao động của con lắc.

c) Con lắc dao động với tần số bằng bao nhiêu?

d) Xác định tốc độ của vật khi qua vị trí cân bằng.

e) Xác định khối lượng m của vật nặng.

Lời giải chi tiết:

Bài tập mẫu 5:

Một con lắc lò xo có độ cứng $k = 40$ N/m dao động điều hòa. Biểu thức thế năng là: $W_t = 0{,}05\cos^2(10\pi t)$ (J). Lấy $\pi^2 = 10$.

a) Xác định cơ năng của con lắc.

b) Xác định biên độ dao động của con lắc.

c) Con lắc dao động với tần số bằng bao nhiêu?

d) Xác định tốc độ của vật khi qua vị trí cân bằng.

e) Xác định khối lượng $m$ của vật nặng.

Lời giải chi tiết:

Câu a) Xác định cơ năng

Từ biểu thức: $W_t = 0{,}05\cos^2(10\pi t)$ (J)

Ta thấy thế năng có dạng $W_t = W_0\cos^2(\omega’ t)$ với $W_0 = 0{,}05$ J.

Cơ năng bằng thế năng cực đại (khi $\cos^2 = 1$):

$$W = W_{t(max)} = W_0 = 0{,}05 \text{ J}$$

$$\boxed{W = 0{,}05 \text{ J} = 50 \text{ mJ}}$$

Câu b) Xác định biên độ dao động

Sử dụng công thức cơ năng của con lắc lò xo: $W = \dfrac{1}{2}kA^2$

$$A^2 = \frac{2W}{k} = \frac{2 \times 0{,}05}{40} = \frac{0{,}1}{40} = 0{,}0025 \text{ m}^2$$

$$A = \sqrt{0{,}0025} = 0{,}05 \text{ m} = 5 \text{ cm}$$

$$\boxed{A = 5 \text{ cm}}$$

Câu c) Xác định tần số dao động

Bước 1: Tìm tần số góc của năng lượng

Từ biểu thức $W_t = 0{,}05\cos^2(10\pi t)$, ta có tần số góc biến thiên của thế năng:

$$\omega’ = 10\pi \text{ (rad/s)}$$

Bước 2: Suy ra tần số góc của dao động

Năng lượng biến thiên với tần số góc gấp đôi tần số góc của li độ: $\omega’ = 2\omega$

$$\omega = \frac{\omega’}{2} = \frac{10\pi}{2} = 5\pi \text{ (rad/s)}$$

Bước 3: Tính tần số dao động

$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{5\pi}{2\pi} = 2{,}5 \text{ (Hz)}$$

$$\boxed{f = 2{,}5 \text{ Hz}}$$

Câu d) Tốc độ của vật khi qua vị trí cân bằng

Khi qua vị trí cân bằng, tốc độ đạt giá trị cực đại:

$$v_{max} = \omega A = 5\pi \times 0{,}05 = 0{,}25\pi \text{ (m/s)}$$

$$v_{max} \approx 0{,}25 \times 3{,}14 \approx 0{,}785 \text{ (m/s)}$$

$$\boxed{v_{max} = 0{,}25\pi \text{ m/s} \approx 0{,}785 \text{ m/s} \approx 78{,}5 \text{ cm/s}}$$

Kiểm tra bằng cách khác: Từ $W = \dfrac{1}{2}mv_{max}^2$ với $m = 0{,}16$ kg (tính ở câu e):

$$v_{max} = \sqrt{\frac{2W}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0{,}05}{0{,}16}} = \sqrt{0{,}625} \approx 0{,}79 \text{ m/s (thoả mãn)}$$

Câu e) Xác định khối lượng của vật nặng

Từ công thức tần số góc của con lắc lò xo: $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$

Suy ra: $m = \dfrac{k}{\omega^2}$

Thay số với $\omega = 5\pi$ rad/s và $\pi^2 = 10$:

$$\omega^2 = (5\pi)^2 = 25\pi^2 = 25 \times 10 = 250 \text{ (rad}^2\text{/s}^2\text{)}$$

$$m = \frac{k}{\omega^2} = \frac{40}{250} = 0{,}16 \text{ (kg)}$$

$$\boxed{m = 0{,}16 \text{ kg} = 160 \text{ g}}$$

Dạng 4: Bài toán về con lắc lò xo

Phương pháp giải:

Các công thức cần nhớ:

Bài tập mẫu 6:

Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng $k = 100$ N/m, vật nặng có khối lượng $m = 200$ g, dao động điều hoà với biên độ $A = 5$ cm. Xác định:

a) Li độ của vật tại thời điểm động năng của vật bằng ba lần thế năng của con lắc.

b) Tốc độ của vật khi vật qua vị trí cân bằng.

c) Thế năng của con lắc khi vật có li độ $x = -2{,}5$ cm.

Lời giải chi tiết:

Cho biết:

• Độ cứng: $k = 100$ N/m
• Khối lượng: $m = 200$ g $= 0{,}2$ kg
• Biên độ: $A = 5$ cm $= 0{,}05$ m

Câu a) Tìm li độ khi $W_đ = 3W_t$

Bước 1: Tìm thế năng theo cơ năng

Từ $W = W_đ + W_t = 3W_t + W_t = 4W_t$

Suy ra: $W_t = \dfrac{W}{4}$

Bước 2: Sử dụng tỉ lệ để tìm li độ

$$\frac{W_t}{W} = \frac{x^2}{A^2}$$

$$\frac{1}{4} = \frac{x^2}{A^2}$$

$$x^2 = \frac{A^2}{4} = \frac{5^2}{4} = \frac{25}{4}$$

$$|x| = \frac{5}{2} = 2{,}5 \text{ cm}$$

$$\boxed{x = \pm 2{,}5 \text{ cm}}$$

Câu b) Tốc độ qua vị trí cân bằng

Bước 1: Tính tần số góc

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{0{,}2}} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5} \text{ (rad/s)}$$

Bước 2: Tính vận tốc cực đại

Khi qua vị trí cân bằng, tốc độ đạt giá trị cực đại:

$$v_{max} = \omega A = 10\sqrt{5} \times 0{,}05 = 0{,}5\sqrt{5} \text{ (m/s)}$$

Tính giá trị số:

$$v_{max} = 0{,}5 \times 2{,}236 \approx 1{,}118 \text{ m/s} \approx 111{,}8 \text{ cm/s}$$

$$\boxed{v_{max} = 0{,}5\sqrt{5} \text{ m/s} \approx 1{,}12 \text{ m/s}}$$

Câu c) Thế năng khi $x = -2{,}5$ cm

Cách 1: Sử dụng công thức thế năng con lắc lò xo

Đổi đơn vị: $x = -2{,}5$ cm $= -0{,}025$ m

$$W_t = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times (-0{,}025)^2$$

$$W_t = \frac{1}{2} \times 100 \times 0{,}000625$$

$$W_t = 50 \times 0{,}000625 = 0{,}03125 \text{ J}$$

$$\boxed{W_t = 0{,}03125 \text{ J} = 31{,}25 \text{ mJ}}$$

Cách 2: Sử dụng tỉ lệ

Tính cơ năng trước: $W = \dfrac{1}{2}kA^2 = \dfrac{1}{2} \times 100 \times 0{,}05^2 = 0{,}125$ J

$$\frac{W_t}{W} = \frac{x^2}{A^2} = \frac{2{,}5^2}{5^2} = \frac{6{,}25}{25} = \frac{1}{4}$$

$$W_t = \frac{W}{4} = \frac{0{,}125}{4} = 0{,}03125 \text{ J}$$ ✓

Dạng 5: Bài toán về con lắc đơn

Phương pháp giải:

Các công thức cần nhớ (góc nhỏ $\alpha_0 \leq 10°$):

Bài tập mẫu 7:

Một con lắc đơn có chiều dài $l = 1$ m, vật nặng có khối lượng $m = 100$ g dao động điều hòa với biên độ góc $\alpha_0 = 0{,}1$ rad (khoảng 5,7°). Lấy $g = 10$ m/s². Tính:

a) Chu kỳ dao động của con lắc.

b) Cơ năng của con lắc.

c) Vận tốc của vật khi qua vị trí cân bằng.

Lời giải chi tiết:

Cho biết:

• Chiều dài dây: $l = 1$ m
• Khối lượng: $m = 100$ g $= 0{,}1$ kg
• Biên độ góc: $\alpha_0 = 0{,}1$ rad (thỏa mãn điều kiện góc nhỏ)
• Gia tốc trọng trường: $g = 10$ m/s²

Câu a) Tính chu kỳ dao động

Áp dụng công thức chu kỳ của con lắc đơn (góc nhỏ):

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{10}}$$

$$T = 2\pi \times \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{2\pi}{\sqrt{10}}$$

Tính giá trị số:

$$T = \frac{2 \times 3{,}14}{3{,}162} \approx \frac{6{,}28}{3{,}162} \approx 1{,}986 \text{ s}$$

$$\boxed{T \approx 2 \text{ s}}$$

Câu b) Tính cơ năng của con lắc

Cách 1: Sử dụng công thức thế năng cực đại (góc nhỏ)

$$W = W_{t(max)} = \frac{1}{2}mgl\alpha_0^2$$

Thay số:

$$W = \frac{1}{2} \times 0{,}1 \times 10 \times 1 \times 0{,}1^2$$

$$W = \frac{1}{2} \times 0{,}1 \times 10 \times 0{,}01$$

$$W = \frac{1}{2} \times 0{,}01 = 0{,}005 \text{ J}$$

$$\boxed{W = 5 \text{ mJ}}$$

Cách 2: Sử dụng công thức tổng quát

$$W = mgl(1 – \cos\alpha_0) = 0{,}1 \times 10 \times 1 \times (1 – \cos 0{,}1)$$

Với $\alpha_0 = 0{,}1$ rad: $\cos 0{,}1 \approx 0{,}995$

$$W = 1 \times (1 – 0{,}995) = 1 \times 0{,}005 = 0{,}005 \text{ J}$$ ✓

Câu c) Tính vận tốc qua vị trí cân bằng

Khi qua vị trí cân bằng:

• Thế năng bằng 0
• Động năng bằng cơ năng (đạt cực đại)

$$W_đ = \frac{1}{2}mv_{max}^2 = W$$

$$v_{max}^2 = \frac{2W}{m} = \frac{2 \times 0{,}005}{0{,}1} = \frac{0{,}01}{0{,}1} = 0{,}1$$

$$v_{max} = \sqrt{0{,}1} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0{,}316 \text{ m/s}$$

$$\boxed{v_{max} \approx 0{,}316 \text{ m/s} \approx 31{,}6 \text{ cm/s}}$$

Kiểm tra bằng công thức khác:

$v_{max} = \alpha_0\sqrt{gl} = 0{,}1 \times \sqrt{10 \times 1} = 0{,}1 \times \sqrt{10} \approx 0{,}316$ m/s ✓

Dạng 6: Đọc đồ thị để xác định các đại lượng năng lượng

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ đồ thị $(v – t)$, xác định:

• Vận tốc cực đại $v_{max}$: giá trị lớn nhất của $|v|$
• Chu kỳ $T$: khoảng thời gian để đồ thị lặp lại

Bước 2: Tính các đại lượng:

• Tần số góc: $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$
• Biên độ: $A = \dfrac{v_{max}}{\omega}$

Bước 3: Tính năng lượng:

• Động năng cực đại: $W_{đ(max)} = \dfrac{1}{2}mv_{max}^2$
• Thế năng cực đại: $W_{t(max)} = W_{đ(max)}$
• Cơ năng: $W = W_{đ(max)}$

Bước 4: Với con lắc lò xo, tính độ cứng: $$k = m\omega^2$$

Bài tập mẫu 8:

Một con lắc lò xo có vật nặng khối lượng 0,4 kg, dao động điều hoà. Đồ thị vận tốc v theo thời gian t như Hình 5.7. Tính:

a) Vận tốc cực đại của vật.

b) Động năng cực đại của vật.

c) Thế năng cực đại của con lắc.

d) Độ cứng k của lò xo.

Lời giải chi tiết:

Đọc thông tin từ đồ thị:

Quan sát đồ thị $(v – t)$ trong Hình 5.7:

• Giá trị cực đại của vận tốc: $v_{max} = 0{,}3$ cm/s (đọc từ đỉnh đồ thị)
• Giá trị cực tiểu: $v_{min} = -0{,}3$ cm/s (đọc từ đáy đồ thị)

Xác định chu kỳ:

• Quan sát từ một đỉnh đến đỉnh kế tiếp (hoặc từ đáy đến đáy kế tiếp)
• Từ đồ thị: khoảng cách giữa hai đỉnh liên tiếp là $T = 1{,}2$ s

Tóm tắt:

• Khối lượng: $m = 0{,}4$ kg
• Vận tốc cực đại: $v_{max} = 0{,}3$ cm/s $= 0{,}3 \times 10^{-2}$ m/s $= 0{,}003$ m/s
• Chu kỳ: $T = 1{,}2$ s

Câu a) Vận tốc cực đại

Từ đồ thị, ta đọc được trực tiếp giá trị lớn nhất của vận tốc:

$$\boxed{v_{max} = 0{,}3 \text{ cm/s}}$$

Câu b) Động năng cực đại

Động năng cực đại đạt được khi vật có vận tốc cực đại (tại vị trí cân bằng).

Áp dụng công thức: $W_{đ(max)} = \dfrac{1}{2}mv_{max}^2$

Bước 1: Đổi đơn vị vận tốc về m/s

$$v_{max} = 0{,}3 \text{ cm/s} = 0{,}3 \times 10^{-2} \text{ m/s}$$

Bước 2: Thay số vào công thức

$$W_{đ(max)} = \frac{1}{2} \times 0{,}4 \times (0{,}3 \times 10^{-2})^2$$

$$W_{đ(max)} = \frac{1}{2} \times 0{,}4 \times (0{,}3)^2 \times 10^{-4}$$

$$W_{đ(max)} = \frac{1}{2} \times 0{,}4 \times 0{,}09 \times 10^{-4}$$

$$W_{đ(max)} = 0{,}2 \times 0{,}09 \times 10^{-4}$$

$$W_{đ(max)} = 0{,}018 \times 10^{-4} = 1{,}8 \times 10^{-6} \text{ J}$$

$$\boxed{W_{đ(max)} = 1{,}8 \times 10^{-6} \text{ J} = 1{,}8 \text{ μJ}}$$

Câu c) Thế năng cực đại

Trong dao động điều hòa, theo định luật bảo toàn cơ năng:

• Cơ năng được bảo toàn
• Thế năng cực đại bằng động năng cực đại (và bằng cơ năng)

$$W_{t(max)} = W_{đ(max)} = W$$

$$\boxed{W_{t(max)} = 1{,}8 \times 10^{-6} \text{ J} = 1{,}8 \text{ μJ}}$$

Câu d) Độ cứng của lò xo

Cách 1: Sử dụng công thức liên hệ giữa k, m và ω

Từ công thức tần số góc của con lắc lò xo: $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$

Suy ra: $k = m\omega^2$

Mà: $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$

Nên: $k = m \cdot \left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2$

Bước 1: Thay số

$$k = 0{,}4 \times \left(\frac{2\pi}{1{,}2}\right)^2$$

Bước 2: Tính giá trị trong ngoặc

$$\frac{2\pi}{1{,}2} = \frac{2 \times 3{,}14}{1{,}2} = \frac{6{,}28}{1{,}2} \approx 5{,}233 \text{ (rad/s)}$$

Bước 3: Tính độ cứng

$$k = 0{,}4 \times (5{,}233)^2 = 0{,}4 \times 27{,}38 \approx 10{,}95 \text{ N/m}$$

$$\boxed{k \approx 11 \text{ N/m}}$$

Bảng tóm tắt công thức

Thầy Phạm Trần Quốc Anh

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Vật Lý THPT

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ STEM, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 9+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lê Quí Đôn