Câu hỏi mở đầu trang 17

Đề bài: Khi biết phương trình hoặc đồ thị của vật dao động điều hoà, làm thế nào để xác định được vận tốc và gia tốc của vật?

Lời giải:

Có hai cách:

Cách 1: Dùng phương trình dao động. Nếu biết $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, ta áp dụng:

• Vận tốc: $v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$
• Gia tốc: $a = -\omega^2 A\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$

Cách 2: Dùng đồ thị.

• Vận tốc tại một thời điểm bằng độ dốc của đồ thị (x – t) tại điểm đang xét.
• Gia tốc tại một thời điểm bằng độ dốc của đồ thị (v – t) tại điểm đang xét.

I. Bài tập ví dụ

Câu hỏi trang 17

Đề bài:

1. Nếu đề bài cho phương trình dao động không đúng dạng cơ bản $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ thì ta xác định pha ban đầu như thế nào?
2. Có thể sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều để xác định pha ban đầu, thời gian để vật đi từ điểm này đến điểm khác trong dao động điều hoà được không?

Lời giải:

Câu 1. Ta biến đổi phương trình về đúng dạng cơ bản $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ bằng các công thức lượng giác:

• Nếu $x = A\sin(\omega t + \alpha) = A\cos\left(\omega t + \alpha – \dfrac{\pi}{2}\right)$ → pha ban đầu $\varphi = \alpha – \dfrac{\pi}{2}$.
• Nếu $x = -A\cos(\omega t + \alpha) = A\cos(\omega t + \alpha + \pi)$ → pha ban đầu $\varphi = \alpha + \pi$.

Câu 2. Có thể. Vì dao động điều hoà là hình chiếu của chuyển động tròn đều xuống một trục đi qua tâm.

• Pha ban đầu $\varphi$ chính là góc hợp bởi bán kính (nối tâm với vật chuyển động tròn) với trục Ox tại thời điểm t = 0.
• Thời gian vật đi từ vị trí này sang vị trí khác trong dao động điều hoà bằng thời gian bán kính quay một góc tương ứng trong chuyển động tròn đều: $\Delta t = \dfrac{\Delta\varphi}{\omega}$.

II. Bài tập luyện tập

Bài 1 trang 18

Đề bài: Một vật dao động điều hoà có phương trình là $x = 2\cos\left(4\pi t – \dfrac{\pi}{6}\right)$ (cm). Hãy cho biết biên độ, tần số góc, chu kì, tần số, pha ban đầu và pha của dao động ở thời điểm t = 1 s.

Lời giải:

So sánh với phương trình tổng quát $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, ta có:

• Biên độ: $A = 2$ cm.
• Tần số góc: $\omega = 4\pi$ rad/s.
• Chu kì: $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5$ s.
• Tần số: $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0{,}5} = 2$ Hz.
• Pha ban đầu: $\varphi = -\dfrac{\pi}{6}$ rad.

Pha của dao động tại t = 1 s:

$$\omega t + \varphi = 4\pi \cdot 1 – \dfrac{\pi}{6} = 4\pi – \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{23\pi}{6} ; (\text{rad})$$

Bài 2 trang 18

Đề bài: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh điểm gốc O với biên độ A = 10 cm và chu kì T = 2 s. Tại thời điểm t = 0, vật có li độ x = A.

a) Viết phương trình dao động của vật.

b) Xác định thời điểm đầu tiên vật qua vị trí có li độ x = 5 cm.

Lời giải:

a) Viết phương trình dao động:

Bước 1: Tính tần số góc.

$$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi ; (\text{rad/s})$$

Bước 2: Xác định pha ban đầu.

Phương trình $x = A\cos(\omega t + \varphi)$. Tại t = 0: $x = A$ → $\cos\varphi = 1$ → $\varphi = 0$.

Bước 3: Viết phương trình:

$$x = 10\cos(\pi t) ; (\text{cm})$$

b) Thời điểm đầu tiên vật qua x = 5 cm:

Cho $x = 5$ cm:

$$10\cos(\pi t) = 5 \Rightarrow \cos(\pi t) = \dfrac{1}{2}$$

$$\Rightarrow \pi t = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi ; (k \in \mathbb{Z})$$

$$\Rightarrow t = \pm\dfrac{1}{3} + 2k ; (\text{s})$$

Vì cần thời điểm đầu tiên (t > 0 và nhỏ nhất), ta chọn $t = \dfrac{1}{3}$ s.

→ Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí x = 5 cm là $t = \dfrac{1}{3}$ s.

Bài 3 trang 19

Đề bài: Hình 4.2 là sơ đồ của một bàn xoay hình tròn, có gắn một thanh nhỏ cách tâm bàn 15 cm. Bàn xoay được chiếu sáng bằng nguồn sáng rộng, song song, hướng chiếu sáng từ phía trước màn để bóng đổ lên màn. Một con lắc đơn dao động điều hoà phía sau bàn xoay với biên độ bằng khoảng cách từ thanh nhỏ đến tâm bàn xoay. Tốc độ quay của bàn quay được điều chỉnh là $2\pi$ (rad/s). Bóng của thanh nhỏ và quả nặng của con lắc luôn trùng nhau.

a) Tại sao nói dao động của bóng thanh nhỏ và quả nặng là đồng pha?

b) Viết phương trình dao động của con lắc. Chọn gốc thời gian là lúc con lắc ở vị trí hiển thị trong Hình 4.2.

c) Bàn xoay đi một góc 60° từ vị trí ban đầu, tính li độ của con lắc và tốc độ của nó tại thời điểm này.

Lời giải:

a) Giải thích đồng pha:

Vì bóng của thanh nhỏ và bóng quả nặng của con lắc luôn trùng nhau tại mọi thời điểm → hai dao động có li độ luôn bằng nhau → độ lệch pha bằng 0 → hai dao động đồng pha.

b) Viết phương trình dao động của con lắc:

Bước 1: Xác định các đại lượng.

• Biên độ: $A = 15$ cm (bằng khoảng cách từ thanh nhỏ đến tâm bàn xoay).
• Tần số góc: $\omega = 2\pi$ rad/s (bằng tốc độ quay của bàn xoay).
• Chu kì: $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 1$ s.

Bước 2: Xác định pha ban đầu.

Tại t = 0, theo Hình 4.2, con lắc đang ở vị trí biên dương (x = A) và bắt đầu tiến về vị trí cân bằng.

Áp dụng $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ tại t = 0: $\cos\varphi = 1$ → $\varphi = 0$.

Bước 3: Viết phương trình:

$$x = 15\cos(2\pi t) ; (\text{cm})$$

c) Khi bàn xoay đi một góc 60°:

Vì hai dao động đồng pha, góc quay của bàn xoay bằng độ lớn pha dao động của con lắc. Khi bàn xoay đi 60° thì pha của con lắc cũng đúng bằng 60°.

Li độ của con lắc:

$$x = A\cos 60° = 15 \cdot \dfrac{1}{2} = 7{,}5 ; (\text{cm})$$

Tốc độ của con lắc:

Áp dụng công thức $v^2 = \omega^2(A^2 – x^2)$:

$$|v| = \omega\sqrt{A^2 – x^2} = 2\pi\sqrt{15^2 – 7{,}5^2}$$

$$|v| = 2\pi\sqrt{225 – 56{,}25} = 2\pi\sqrt{168{,}75} \approx 81{,}6 ; \text{cm/s}$$

→ Tại thời điểm bàn xoay đi 60°, con lắc có li độ $x = 7{,}5$ cm và tốc độ $|v| \approx 81{,}6$ cm/s.

Bài 4 trang 19

Đề bài: Hình 4.3 là đồ thị li độ – thời gian của một vật dao động điều hoà.

a) Xác định biên độ, chu kì, tần số, tần số góc và pha ban đầu của vật dao động.

b) Viết phương trình dao động của vật.

Lời giải:

a) Xác định các đại lượng từ đồ thị:

• Biên độ: giá trị lớn nhất của li độ → $A = 15$ cm.
• Chu kì: thời gian giữa hai đỉnh liên tiếp (từ t = 30 ms đến t = 150 ms) → $T = 120$ ms $= 0{,}12$ s.
• Tần số: $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0{,}12} \approx 8{,}3$ Hz.
• Tần số góc: $\omega = 2\pi f \approx 16{,}6\pi$ rad/s.

Pha ban đầu:

Tại t = 0, từ đồ thị: vật ở vị trí cân bằng (x = 0) và đang đi lên (chiều dương).

Áp dụng $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ tại t = 0:

$\cos\varphi = 0$ và vật đi theo chiều dương → $\varphi = -\dfrac{\pi}{2}$ rad.

b) Phương trình dao động:

$$x = 15\cos\left(16{,}6\pi t – \dfrac{\pi}{2}\right) ; (\text{cm})$$

(với t tính bằng giây).

Thầy Phạm Trần Quốc Anh

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Vật Lý THPT

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ STEM, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 9+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lê Quí Đôn