I. Lý thuyết trọng tâm

1. Cơ năng và sự chuyển hoá giữa động năng – thế năng

a) Khái niệm cơ năng

Cơ năng của một vật là tổng động năng và thế năng của vật đó. Khi vật chuyển động trong trường trọng lực, cơ năng được biểu diễn:

$$\boxed{W = W_đ + W_t = \dfrac{1}{2}mv^2 + mgh} \tag{26.1}$$

Đơn vị: jun (J).

Các tính chất của cơ năng:

• Cơ năng là đại lượng vô hướng.
• Cơ năng có thể dương, âm hoặc bằng không, tuỳ thuộc vào cách chọn gốc thế năng (vì thế năng có thể âm khi vật nằm dưới gốc).
• Cơ năng không phải là đại lượng vectơ.
• Tại vị trí mà động năng cực đại thì thế năng cực tiểu (và ngược lại), nhưng cơ năng không nhất thiết bằng 0.
• Hai vật có cơ năng bằng nhau khi chúng có cùng khối lượng, chuyển động cùng vận tốc và ở cùng độ cao.

b) Sự chuyển hoá qua lại giữa động năng và thế năng

Trong quá trình chuyển động trong trọng trường, động năng và thế năng liên tục chuyển hoá qua lại:

• Khi vật đi xuống (từ cao xuống thấp): thế năng giảm, động năng tăng → thế năng chuyển thành động năng → trọng lực sinh công phát động.
• Khi vật đi lên (từ thấp lên cao): động năng giảm, thế năng tăng → động năng chuyển thành thế năng → trọng lực sinh công cản.

2. Định luật bảo toàn cơ năng

a) Thí nghiệm con lắc đồng hồ

Mô hình con lắc đồng hồ gồm thanh nhẹ không dãn, một đầu cố định, đầu còn lại gắn vật nặng. Khi đưa vật đến điểm A (độ cao $h$ so với vị trí thấp nhất O) rồi thả:

• Vật chuyển động nhanh dần từ A xuống O (thế năng giảm, động năng tăng).
• Tiếp tục chuyển động chậm dần từ O lên B (động năng giảm, thế năng tăng).
• Rồi lại nhanh dần từ B xuống O, chậm dần từ O lên A,… cứ thế dao động.

Phân tích chi tiết:

• Cung AO: Trọng lực sinh công phát động (cùng chiều chuyển động) → thế năng giảm, động năng tăng. Lực căng dây vuông góc chuyển động nên không sinh công.
• Cung OB: Trọng lực sinh công cản (ngược chiều chuyển động) → động năng giảm, thế năng tăng.
• Nếu bỏ qua ma sát, điểm A và B luôn nằm trên cùng một độ cao → chứng tỏ độ tăng động năng bằng đúng độ giảm thế năng → cơ năng không đổi.

b) Phát biểu định luật

Định luật bảo toàn cơ năng: Khi một vật chuyển động trong trọng trường chỉ chịu tác dụng của trọng lực thì cơ năng của vật được bảo toàn.

$$\boxed{W_1 = W_2 \Leftrightarrow W_{đ1} + W_{t1} = W_{đ2} + W_{t2}}$$

hay:

$$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2 = \text{const}$$

Điều kiện áp dụng: Vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực (hoặc lực thế nói chung). Nếu có thêm lực ma sát, lực cản,… thì cơ năng không bảo toàn mà sẽ giảm dần.

Các hệ quả quan trọng:

• Tại vị trí thế năng cực đại → động năng cực tiểu (và ngược lại).
• Tại vị trí thấp nhất (nếu chọn đó là gốc thế năng): $W_t = 0$ → $W = W_{đ\max}$ → tốc độ lớn nhất.
• Tại vị trí cao nhất: $W_đ = 0$ (nếu vật dừng) → $W = W_{t\max}$.
• Con lắc dao động: tại vị trí cân bằng (thấp nhất) → động năng cực đại, thế năng cực tiểu; tại vị trí biên (cao nhất) → thế năng cực đại, động năng bằng 0.
• Vật rơi tự do: cơ năng bảo toàn, thế năng giảm bao nhiêu thì động năng tăng bấy nhiêu.

Trượt ván trong máng (bỏ qua ma sát): Khi vận động viên đứng ở đỉnh máng → cơ năng = thế năng cực đại. Khi trượt xuống đáy → cơ năng = động năng cực đại. Khi trượt lên mép bên kia → động năng chuyển lại thành thế năng. Cơ năng luôn không đổi trong suốt quá trình.

c) Chứng minh định luật bảo toàn cơ năng (phần “Em có biết”)

Xét vật khối lượng $m$ rơi tự do từ vị trí A (độ cao $h_1$) đến vị trí B (độ cao $h_2$):

Công của trọng lực tính bằng hiệu thế năng:

$$A_{AB} = W_{tA} – W_{tB} = mgh_1 – mgh_2 \quad (1)$$

Nếu chỉ có trọng lực tác dụng, công của trọng lực cũng bằng độ biến thiên động năng:

$$A_{AB} = W_{đB} – W_{đA} = \frac{1}{2}mv_B^2 – \frac{1}{2}mv_A^2 \quad (2)$$

Từ (1) và (2): $W_{tA} – W_{tB} = W_{đB} – W_{đA}$

$$\Rightarrow W_{tA} + W_{đA} = W_{tB} + W_{đB} \Leftrightarrow W_A = W_B$$

d) Khi cơ năng không bảo toàn – Định lí biến thiên cơ năng

Khi ngoài trọng lực, vật còn chịu tác dụng của lực ma sát, lực cản hoặc các ngoại lực khác, cơ năng không bảo toàn. Khi đó:

$$W_2 – W_1 = A_{\text{ngoại lực}}$$

Nếu lực ngoại sinh công âm (ma sát, cản) → $W_2 < W_1$ → cơ năng giảm.

II. Phương pháp giải các dạng bài tập

Cả bài chỉ dùng hai công thức:

$$W = W_đ + W_t = \frac{1}{2}m\,v^2 + m\,g\,h$$

$$W_1 = W_2 \text{ (khi cơ năng bảo toàn)} \qquad W_2 – W_1 = A_{\text{ngoại lực}} \text{ (khi có lực cản)}$$

Các bước giải chung

Bước 1: Chọn gốc thế năng và ghi rõ vào bài làm. Thường chọn tại mặt đất hoặc tại vị trí thấp nhất của vật, vì khi đó $W_t = 0$ giúp phép tính gọn nhất.

Bước 2: Xác định trạng thái đầu và trạng thái cuối: mỗi trạng thái cần biết tốc độ $v$ và độ cao $h$ so với gốc.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện để chọn đúng công thức:

Bước 4: Viết biểu thức cơ năng tại hai vị trí rồi giải ra đại lượng cần tìm.

Điểm mấu chốt: Định luật bảo toàn cơ năng không quan tâm đến hình dạng đường đi. Vật rơi thẳng đứng, trượt trên mặt phẳng nghiêng nhẵn hay trượt trong một máng cong nhẵn, nếu cùng hạ xuống một độ cao $h$ như nhau thì tốc độ thu được là như nhau. Đây chính là ưu điểm lớn nhất so với việc dùng định luật II Newton.

Lỗi hay gặp: Áp dụng $W_1 = W_2$ cho bài toán có ma sát. Phải đọc kĩ đề: chỉ khi có cụm từ “bỏ qua ma sát”, “bỏ qua sức cản”, “mặt nhẵn” thì cơ năng mới bảo toàn.

Dạng 1: Tính cơ năng của vật chuyển động trong trọng trường

Phương pháp giải

Bước 1: Chọn gốc thế năng.

Bước 2: Tính riêng từng thành phần:

$$W_t = m\,g\,h \qquad W_đ = \frac{1}{2}m\,v^2$$

Bước 3: Cộng lại:

$$W = W_đ + W_t$$

Mẹo: Nếu bài cho biết cơ năng được bảo toàn, có thể tính cơ năng tại vị trí thuận tiện nhất rồi dùng luôn cho mọi vị trí khác. Vị trí thuận tiện thường là nơi $v = 0$ (chỉ còn thế năng) hoặc nơi $h = 0$ (chỉ còn động năng).

Bài tập mẫu

Đề bài: Từ điểm M cách mặt đất $0{,}8\,\text{m}$, người ta ném một vật lên cao với tốc độ ban đầu $2\,\text{m/s}$. Biết khối lượng vật là $m = 0{,}5\,\text{kg}$, lấy $g = 10\,\text{m/s}^2$. Chọn gốc thế năng tại mặt đất. Tính cơ năng của vật tại M.

Lời giải

Thế năng tại M:

$$W_t = m\,g\,h = 0{,}5 \times 10 \times 0{,}8 = 4\,\text{J}$$

Động năng tại M:

$$W_đ = \frac{1}{2}m\,v^2 = \frac{1}{2} \times 0{,}5 \times 2^2 = 1\,\text{J}$$

Cơ năng tại M:

$$W = W_đ + W_t = 1 + 4 = 5\,\text{J}$$

Kết luận: Cơ năng của vật là $5\,\text{J}$. Nếu bỏ qua sức cản không khí thì trong suốt quá trình bay lên rồi rơi xuống, cơ năng của vật luôn bằng $5\,\text{J}$.

Dạng 2: Vận dụng định luật bảo toàn cơ năng

Phương pháp giải

Bước 1: Kiểm tra điều kiện bảo toàn: vật chỉ chịu trọng lực.

Bước 2: Viết cơ năng tại hai vị trí và cho bằng nhau:

$$\frac{1}{2}m\,v_1^2 + m\,g\,h_1 = \frac{1}{2}m\,v_2^2 + m\,g\,h_2$$

Bước 3: Rút gọn khối lượng $m$ ở cả hai vế (vì $m$ xuất hiện ở mọi số hạng), rồi giải phương trình:

$$\frac{1}{2}v_1^2 + g\,h_1 = \frac{1}{2}v_2^2 + g\,h_2$$

Bước 4: Các trường hợp hay gặp:

Chú ý về việc rút gọn $m$: Vì khối lượng bị khử hết nên tốc độ của vật không phụ thuộc khối lượng. Hai vật nặng nhẹ khác nhau thả rơi từ cùng độ cao sẽ chạm đất với cùng tốc độ (khi bỏ qua sức cản).

Bài tập mẫu 1

Đề bài: Một vật được thả rơi tự do từ độ cao $20\,\text{m}$ so với mặt đất. Bỏ qua sức cản không khí, lấy $g = 10\,\text{m/s}^2$. Chọn gốc thế năng tại mặt đất.

a) Tính tốc độ của vật ngay trước khi chạm đất.

b) Tính tốc độ của vật khi nó ở độ cao $5\,\text{m}$.

c) Tại độ cao nào thì vật có tốc độ $10\,\text{m/s}$?

Lời giải

Vật được thả rơi nên tốc độ ban đầu $v_0 = 0$ tại độ cao $h_0 = 20\,\text{m}$. Cơ năng tại mọi vị trí bằng cơ năng ban đầu:

$$\frac{1}{2}v^2 + g\,h = 0 + g\,h_0 = g\,h_0$$

Câu a. Khi chạm đất, $h = 0$:

$$\frac{1}{2}v^2 = g\,h_0 \Rightarrow v = \sqrt{2\,g\,h_0} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20\,\text{m/s}$$

Câu b. Tại $h = 5\,\text{m}$:

$$v = \sqrt{2\,g\,(h_0 – h)} = \sqrt{2 \times 10 \times (20 – 5)} = \sqrt{300} \approx 17{,}3\,\text{m/s}$$

Câu c. Với $v = 10\,\text{m/s}$:

$$\frac{1}{2} \times 10^2 + 10\,h = 10 \times 20$$

$$50 + 10\,h = 200 \Rightarrow h = 15\,\text{m}$$

Kết luận: $v_{\text{chạm đất}} = 20\,\text{m/s}$; $v_{5\text{m}} \approx 17{,}3\,\text{m/s}$; vật có tốc độ $10\,\text{m/s}$ khi ở độ cao $15\,\text{m}$.

Nhận xét: Nếu thay vì thả rơi thẳng đứng, ta cho vật trượt không ma sát từ cùng độ cao $20\,\text{m}$ xuống theo một máng cong hay một mặt phẳng nghiêng, tốc độ khi tới chân vẫn là $20\,\text{m/s}$. Cơ năng chỉ phụ thuộc độ cao, không phụ thuộc đường đi.

Bài tập mẫu 2

Đề bài: Từ mặt đất, một vật khối lượng $m = 200\,\text{g}$ được ném thẳng đứng lên trên với tốc độ $30\,\text{m/s}$. Bỏ qua sức cản không khí, lấy $g = 10\,\text{m/s}^2$. Tính tốc độ của vật tại vị trí mà động năng bằng $3$ lần thế năng.

Lời giải

Bước 1. Tính cơ năng

Đổi $m = 200\,\text{g} = 0{,}2\,\text{kg}$. Chọn gốc thế năng tại mặt đất, khi ném $h = 0$ nên $W_t = 0$:

$$W = W_đ = \frac{1}{2}m\,v_0^2 = \frac{1}{2} \times 0{,}2 \times 30^2 = 90\,\text{J}$$

Bước 2. Biểu diễn cơ năng tại vị trí cần tìm

Tại đó $W_đ = 3\,W_t$, suy ra $W_t = \dfrac{W_đ}{3}$. Cơ năng tại vị trí đó:

$$W = W_đ + W_t = W_đ + \frac{W_đ}{3} = \frac{4}{3}\,W_đ$$

Bước 3. Áp dụng bảo toàn cơ năng

$$\frac{4}{3}\,W_đ = 90 \Rightarrow W_đ = \frac{3}{4} \times 90 = 67{,}5\,\text{J}$$

Bước 4. Tính tốc độ

$$\frac{1}{2}m\,v^2 = 67{,}5 \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2 \times 67{,}5}{0{,}2}} = \sqrt{675} = 15\sqrt{3} \approx 26\,\text{m/s}$$

Kết luận: Tốc độ của vật tại vị trí đó là $15\sqrt{3} \approx 26\,\text{m/s}$.

Cách nhớ nhanh: Với điều kiện $W_đ = k\,W_t$ thì $W_đ = \dfrac{k}{k+1}\,W$. Ở bài này $k = 3$ nên $W_đ = \dfrac{3}{4}\,W$, đúng như kết quả trên.

Dạng 3: Bài toán con lắc

Phương pháp giải

Điểm khác biệt duy nhất của dạng này là bước tính độ cao. Khi đã có $h$ rồi thì cách làm giống hệt Dạng 2.

Bước 1: Chọn gốc thế năng tại vị trí thấp nhất của con lắc (vị trí cân bằng).

Bước 2: Tính độ cao của vật khi dây treo hợp với phương thẳng đứng góc $\alpha$. Gọi $\ell$ là chiều dài dây:

$$h = \ell – \ell\,\cos\alpha = \ell\,(1 – \cos\alpha)$$

Bước 3: Viết cơ năng tại hai vị trí và cho bằng nhau. Với con lắc thả nhẹ từ góc $\alpha_0$ (tức $v_0 = 0$):

$$m\,g\,\ell\,(1 – \cos\alpha_0) = \frac{1}{2}m\,v^2 + m\,g\,\ell\,(1 – \cos\alpha)$$

Bước 4: Rút gọn $m$ và khai triển, thu được kết quả dùng lại được:

$$v = \sqrt{2\,g\,\ell\,(\cos\alpha – \cos\alpha_0)}$$

Riêng tại vị trí thấp nhất ($\alpha = 0$, $\cos 0^\circ = 1$):

$$v_{\max} = \sqrt{2\,g\,\ell\,(1 – \cos\alpha_0)}$$

Lưu ý: Lực căng dây luôn vuông góc với hướng chuyển động của vật nên không sinh công. Vì vậy nếu bỏ qua ma sát và lực cản, cơ năng của con lắc được bảo toàn.

Bài tập mẫu 1

Đề bài: Một con lắc có dây treo dài $\ell = 0{,}6\,\text{m}$. Đưa vật đến vị trí A sao cho dây hợp với phương thẳng đứng góc $\alpha_0 = 30^\circ$ rồi thả nhẹ. Bỏ qua ma sát và lực cản, lấy $g = 9{,}8\,\text{m/s}^2$, $\cos 30^\circ \approx 0{,}866$. Tính tốc độ của vật khi đi qua vị trí thấp nhất O.

Lời giải

Chọn gốc thế năng tại O.

Độ cao của A so với O:

$$h_A = \ell\,(1 – \cos 30^\circ) = 0{,}6 \times (1 – 0{,}866) = 0{,}6 \times 0{,}134 = 0{,}0804\,\text{m}$$

Cơ năng tại A (thả nhẹ nên $v_A = 0$):

$$W_A = m\,g\,h_A$$

Cơ năng tại O ($h_O = 0$):

$$W_O = \frac{1}{2}m\,v_O^2$$

Áp dụng bảo toàn cơ năng $W_A = W_O$, rút gọn $m$:

$$v_O = \sqrt{2\,g\,h_A} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 0{,}0804} \approx \sqrt{1{,}576} \approx 1{,}26\,\text{m/s}$$

Kết luận: Tốc độ tại vị trí thấp nhất là khoảng $1{,}26\,\text{m/s}$.

Bài tập mẫu 2

Đề bài: Một con lắc có dây treo dài $\ell = 1\,\text{m}$. Kéo vật để dây lệch góc $\alpha_0 = 45^\circ$ so với phương thẳng đứng rồi thả nhẹ. Bỏ qua sức cản, lấy $g = 9{,}8\,\text{m/s}^2$, $\cos 45^\circ \approx 0{,}707$, $\cos 30^\circ \approx 0{,}866$. Tính tốc độ của vật khi dây treo hợp góc $\alpha = 30^\circ$ với phương thẳng đứng.

Lời giải

Chọn gốc thế năng tại vị trí thấp nhất.

Cơ năng tại vị trí thả ($\alpha_0 = 45^\circ$, $v_0 = 0$):

$$W_1 = m\,g\,\ell\,(1 – \cos 45^\circ)$$

Cơ năng tại vị trí cần tìm ($\alpha = 30^\circ$):

$$W_2 = \frac{1}{2}m\,v^2 + m\,g\,\ell\,(1 – \cos 30^\circ)$$

Áp dụng bảo toàn cơ năng và rút gọn $m$:

$$g\,\ell\,(1 – \cos 45^\circ) = \frac{1}{2}v^2 + g\,\ell\,(1 – \cos 30^\circ)$$

$$\frac{1}{2}v^2 = g\,\ell\,(\cos 30^\circ – \cos 45^\circ)$$

$$v = \sqrt{2\,g\,\ell\,(\cos 30^\circ – \cos 45^\circ)} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 1 \times (0{,}866 – 0{,}707)}$$

$$v = \sqrt{19{,}6 \times 0{,}159} \approx \sqrt{3{,}116} \approx 1{,}76\,\text{m/s}$$

Kết luận: Tốc độ của vật là khoảng $1{,}76\,\text{m/s}$.

Nhận xét: Góc $\alpha$ càng nhỏ (vật càng gần vị trí thấp nhất) thì $\cos\alpha$ càng lớn, tốc độ càng lớn. Tốc độ đạt cực đại đúng tại vị trí cân bằng và bằng $0$ tại hai vị trí biên.

Dạng 4: Cơ năng không bảo toàn – có lực cản hoặc ma sát

Phương pháp giải

Khi ngoài trọng lực vật còn chịu lực ma sát, lực cản của nước, không khí… thì cơ năng không bảo toàn:

$$W_2 – W_1 = A_{\text{ngoại lực}}$$

Bước 1: Chọn gốc thế năng và xác định đầy đủ $v$, $h$ tại hai trạng thái. Nhớ rằng nếu vật ở dưới gốc thế năng thì $h < 0$.

Bước 2: Tính cơ năng tại từng trạng thái:

$$W_1 = \frac{1}{2}m\,v_1^2 + m\,g\,h_1 \qquad W_2 = \frac{1}{2}m\,v_2^2 + m\,g\,h_2$$

Bước 3: Tính độ biến thiên cơ năng, cũng chính là công của ngoại lực:

$$\Delta W = W_2 – W_1 = A_{\text{ngoại lực}}$$

Bước 4: Nhận xét dấu:

Mẹo tính nhanh: Nếu đề cho trọng lượng $P$ thay vì khối lượng, có thể dùng luôn $W_t = P\,h$ mà không cần tính $m$. Chỉ khi tính động năng mới cần đổi $m = \dfrac{P}{g}$.

Bài tập mẫu

Đề bài: Một vận động viên có trọng lượng $650\,\text{N}$ nhảy từ cầu nhảy ở độ cao $10\,\text{m}$ xuống nước theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu $2\,\text{m/s}$. Sau khi chạm mặt nước, người đó chuyển động thêm $3\,\text{m}$ trong nước rồi dừng lại. Bỏ qua sức cản không khí, lấy $g = 10\,\text{m/s}^2$. Chọn gốc thế năng tại mặt nước. Tính độ biến thiên cơ năng và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Lời giải

Bước 1. Xác định hai trạng thái

Khối lượng vận động viên:

$$m = \frac{P}{g} = \frac{650}{10} = 65\,\text{kg}$$

Bước 2. Tính cơ năng tại mỗi trạng thái

$$W_1 = m\,g\,h_1 + \frac{1}{2}m\,v_1^2 = 650 \times 10 + \frac{1}{2} \times 65 \times 2^2 = 6\,500 + 130 = 6\,630\,\text{J}$$

$$W_2 = m\,g\,h_2 + \frac{1}{2}m\,v_2^2 = 650 \times (-3) + 0 = -1\,950\,\text{J}$$

Bước 3. Tính độ biến thiên cơ năng

$$\Delta W = W_2 – W_1 = -1\,950 – 6\,630 = -8\,580\,\text{J}$$

Kết luận: Cơ năng giảm $8\,580\,\text{J}$.

Ý nghĩa: Phần cơ năng hao hụt này chính là công của lực cản của nước (mang dấu âm). Nó đã chuyển hoá thành nhiệt năng làm nóng nước và cơ thể, cùng một phần thành năng lượng âm thanh khi vận động viên chạm mặt nước. Tổng năng lượng vẫn được bảo toàn, chỉ có cơ năng là không bảo toàn.

Lưu ý: Dấu âm của $h_2 = -3\,\text{m}$ là bắt buộc, vì vị trí cuối nằm dưới gốc thế năng đã chọn. Nếu quên dấu âm sẽ ra $\Delta W = -4\,680\,\text{J}$, sai kết quả.

Bảng tra nhanh: chọn cách làm theo đề bài

Thầy Phạm Trần Quốc Anh

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Vật Lý THPT

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ STEM, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 9+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lê Quí Đôn