I. Lý thuyết trọng tâm

1. Moment lực

Cánh tay đòn ($d$) của lực là khoảng cách từ trục quay đến giá (đường thẳng mang vectơ lực) của lực đó.

Moment lực đối với trục quay là đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay của lực, được đo bằng tích của lực với cánh tay đòn:

$$M = F \cdot d$$

Trong đó:

• $M$: moment lực (N.m – niutơn mét)
• $F$: độ lớn của lực tác dụng (N)
• $d$: cánh tay đòn – khoảng cách từ trục quay đến giá của lực (m)

Tác dụng làm quay của lực phụ thuộc vào hai yếu tố: độ lớn lực $F$ và cánh tay đòn $d$. Muốn tăng tác dụng làm quay, có thể tăng lực hoặc tăng cánh tay đòn (ví dụ: dùng cờ lê dài hơn để siết đai ốc dễ hơn, đặt lực vào đầu cán búa để nhổ đinh dễ hơn).

Lưu ý: Nếu lực $\vec{F}$ không vuông góc với đoạn nối từ trục quay đến điểm đặt lực, cánh tay đòn $d$ là khoảng cách vuông góc từ trục quay đến giá của lực (không phải khoảng cách đến điểm đặt lực).

2. Quy tắc moment lực

Đây là điều kiện cân bằng của vật có trục quay cố định.

Phát biểu: Muốn cho vật có trục quay cố định ở trạng thái cân bằng, thì tổng các moment lực làm vật quay theo chiều kim đồng hồ phải bằng tổng các moment lực làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ.

$$F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$$

Nếu chọn một chiều quay làm chiều dương, điều kiện cân bằng viết gọn:

$$\sum M = 0$$

(Tổng moment lực đối với một điểm bất kì bằng $0$.)

3. Ngẫu lực

Ngẫu lực là hệ hai lực song song, ngược chiều, có độ lớn bằng nhau và cùng tác dụng vào một vật.

Đặc điểm quan trọng: Ngẫu lực chỉ làm cho vật quay chứ không tịnh tiến (vì hợp lực bằng $0$).

Ví dụ thực tế: Dùng tay vặn vòi nước (hai ngón tay tác dụng hai lực ngược chiều), xoay tay lái ô tô, vặn tuốc-nơ-vít.

Moment của ngẫu lực:

$$M = F_1 \cdot d_1 + F_2 \cdot d_2 = F \cdot d$$

Trong đó:

• $F = F_1 = F_2$: độ lớn mỗi lực (N)
• $d = d_1 + d_2$: khoảng cách giữa hai giá của hai lực, gọi là cánh tay đòn của ngẫu lực (m)
• $d_1$, $d_2$: khoảng cách từ trục quay đến giá mỗi lực

Moment ngẫu lực không phụ thuộc vào vị trí trục quay – luôn bằng $F \cdot d$.

4. Điều kiện cân bằng tổng quát của vật rắn

Với vật rắn bất kì (có hoặc không có trục quay cố định), điều kiện cân bằng gồm hai điều kiện đồng thời:

Điều kiện 1 (lực): Tổng các lực tác dụng lên vật bằng $0$:

$$\sum \vec{F} = \vec{0}$$

Điều kiện 2 (moment): Tổng các moment lực tác dụng lên vật đối với một điểm bất kì chọn làm trục quay bằng $0$:

$$\sum M = 0$$

Chỉ thỏa mãn điều kiện 1 thì vật không tịnh tiến nhưng có thể quay (ví dụ: ngẫu lực). Chỉ thỏa mãn điều kiện 2 thì vật không quay nhưng có thể tịnh tiến. Cần cả hai để vật cân bằng hoàn toàn.

II. Phương pháp giải các dạng bài tập

Các dạng dưới đây dựa trên ba công thức của bài học:

$$M = F\,d \qquad \sum M = 0 \qquad \sum \vec{F} = \vec{0}$$

Lưu ý dùng chung:

Mẹo rút gọn khi lập phương trình moment: Trong phương trình $\sum M = 0$, nếu mọi độ dài đều cùng một đơn vị thì không cần đổi sang mét, vì đơn vị sẽ tự triệt tiêu ở hai vế. Chỉ bắt buộc đổi ra mét khi đề yêu cầu tính giá trị cụ thể của moment.

Dạng 1: Tính moment lực

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định trục quay của vật.

Bước 2: Vẽ giá của lực (đường thẳng kéo dài chứa vectơ lực), rồi hạ đường vuông góc từ trục quay xuống giá đó. Độ dài đoạn vuông góc chính là cánh tay đòn $d$.

Bước 3: Tính $d$ theo một trong hai trường hợp, với $L$ là khoảng cách từ trục quay đến điểm đặt lực:

Bước 4: Tính moment lực và nêu chiều quay mà lực gây ra:

$$M = F\,d$$

Vì sao dùng $\sin\alpha$: Khi lực xiên, chỉ phần lực vuông góc với thanh mới có tác dụng làm quay. Kiểm tra lại với hai giá trị quen thuộc: $\alpha = 90^\circ$ cho $d = L$ (lực vuông góc, tác dụng làm quay mạnh nhất); $\alpha = 0^\circ$ cho $d = 0$ (lực dọc theo thanh, hoàn toàn không làm thanh quay).

Bài tập mẫu

Đề bài: Một chiếc thước mảnh đồng chất OA dài $50\,\text{cm}$, có thể quay quanh trục cố định đi qua đầu O.

a) Tác dụng vào đầu A một lực $F_1 = 4\,\text{N}$ có phương vuông góc với thước. Tính moment của lực này đối với trục quay O.

b) Tác dụng vào đầu A một lực $F_2 = 2\,\text{N}$ có phương hợp với thước một góc $\alpha = 30^\circ$. Tính moment của lực này.

Lời giải

Đổi đơn vị: $OA = 50\,\text{cm} = 0{,}5\,\text{m}$.

Câu a. Lực vuông góc với thước

Vì lực vuông góc với thước nên cánh tay đòn bằng đúng khoảng cách từ trục quay đến điểm đặt lực:

$$d_1 = OA = 0{,}5\,\text{m}$$

Moment của lực:

$$M_1 = F_1\,d_1 = 4 \times 0{,}5 = 2\,\text{N}\cdot\text{m}$$

Câu b. Lực hợp với thước góc $30^\circ$

Cánh tay đòn:

$$d_2 = OA\,\sin\alpha = 0{,}5 \times \sin 30^\circ = 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25\,\text{m}$$

Moment của lực:

$$M_2 = F_2\,d_2 = 2 \times 0{,}25 = 0{,}5\,\text{N}\cdot\text{m}$$

Kết luận: $M_1 = 2\,\text{N}\cdot\text{m}$ và $M_2 = 0{,}5\,\text{N}\cdot\text{m}$.

Nhận xét: Lực $F_2$ nhỏ hơn $F_1$ hai lần, lại đặt xiên nên cánh tay đòn chỉ còn một nửa. Kết quả là tác dụng làm quay của nó chỉ bằng một phần tư lực $F_1$. Đây là lí do khi siết đai ốc, ta luôn đẩy cờ lê theo phương vuông góc với cán.

Dạng 2: Quy tắc moment lực cho vật có trục quay cố định

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định trục quay. Thường là điểm tựa, bản lề, hoặc điểm mà đề đã chỉ rõ.

Bước 2: Liệt kê tất cả các lực làm vật quay và cánh tay đòn tương ứng của từng lực. Bỏ qua các lực có giá đi qua trục quay, vì chúng có moment bằng $0$.

Bước 3: Phân loại theo chiều quay: nhóm lực làm vật quay theo chiều kim đồng hồ và nhóm làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ.

Bước 4: Áp dụng quy tắc moment lực:

$$\sum M_{\text{thuận chiều}} = \sum M_{\text{ngược chiều}}$$

Với trường hợp đơn giản chỉ có hai lực:

$$F_1\,d_1 = F_2\,d_2$$

Bước 5: Giải tìm đại lượng chưa biết và kiểm tra tính hợp lí: lực nào có cánh tay đòn ngắn hơn thì phải lớn hơn, và ngược lại.

Bài tập mẫu 1

Đề bài: Một chiếc bập bênh có trục quay tại điểm tựa ở giữa. Người chị có trọng lượng $P_2 = 300\,\text{N}$ ngồi cách trục quay $d_2 = 1\,\text{m}$. Người em có trọng lượng $P_1 = 200\,\text{N}$. Hỏi người em phải ngồi cách trục quay bao xa để bập bênh cân bằng nằm ngang?

Lời giải

Hai người ngồi ở hai bên trục quay nên gây ra hai moment ngược chiều nhau. Áp dụng quy tắc moment lực:

$$P_1\,d_1 = P_2\,d_2$$

$$200 \times d_1 = 300 \times 1$$

$$d_1 = \frac{300}{200} = 1{,}5\,\text{m}$$

Kết luận: Người em phải ngồi cách trục quay $1{,}5\,\text{m}$.

Nhận xét: Người em nhẹ hơn nên phải ngồi xa trục quay hơn, đúng với quan hệ tỉ lệ nghịch giữa lực và cánh tay đòn. Đây cũng là kinh nghiệm mà ai chơi bập bênh cũng tự rút ra được.

Bài tập mẫu 2

Đề bài: Một người công nhân dùng búa để nhổ một chiếc đinh đóng trên tường. Người đó tác dụng vào đầu cán búa một lực $F_1 = 150\,\text{N}$, điểm đặt lực cách điểm tựa của búa lên tường $d_1 = 30\,\text{cm}$. Chiếc đinh cách điểm tựa $d_2 = 9\,\text{cm}$. Tính lực mà búa tác dụng lên đinh.

Lời giải

Chọn trục quay tại điểm tiếp xúc giữa đầu búa và tường. Hai lực gây ra hai moment ngược chiều nhau, áp dụng quy tắc moment lực:

$$F_1\,d_1 = F_2\,d_2$$

$$150 \times 30 = F_2 \times 9$$

$$F_2 = \frac{150 \times 30}{9} = \frac{4\,500}{9} = 500\,\text{N}$$

Kết luận: Búa tác dụng lên đinh một lực $500\,\text{N}$.

Nhận xét: Ở đây hai độ dài đều tính bằng $\text{cm}$ nên không cần đổi sang mét, vì đơn vị tự triệt tiêu ở hai vế. Lực tác dụng lên đinh lớn hơn lực của tay hơn ba lần, nhờ cánh tay đòn dài gấp hơn ba lần. Đó chính là lợi ích của việc cầm vào phần cuối cán búa.

Dạng 3: Cân bằng của vật rắn chịu nhiều lực song song

Phương pháp giải

Dạng này phải dùng đồng thời cả hai điều kiện cân bằng, vì chỉ một điều kiện thì không đủ dữ kiện để giải.

Bước 1: Vẽ hình, xác định tất cả các lực tác dụng lên vật. Lưu ý: nếu thanh đồng chất và không bỏ qua trọng lượng thì trọng lực của thanh đặt tại trung điểm của thanh.

Bước 2: Chọn trục quay tại điểm có lực chưa biết đi qua. Mẹo này khiến lực đó có cánh tay đòn bằng $0$, biến mất khỏi phương trình moment, nên ta giải được ngay lực còn lại.

Bước 3: Viết điều kiện moment đối với trục quay đã chọn:

$$\sum M = 0$$

Giải để tìm lực thứ nhất.

Bước 4: Viết điều kiện lực theo phương thẳng đứng:

$$\sum \vec{F} = \vec{0} \quad\Rightarrow\quad \text{tổng các lực hướng lên} = \text{tổng các lực hướng xuống}$$

Giải để tìm lực còn lại.

Bước 5: Kiểm tra lại bằng cách viết phương trình moment đối với một trục quay khác. Nếu kết quả vẫn thoả mãn thì bài làm đúng.

Bài tập mẫu 1

Đề bài: Một vật có khối lượng $m = 5\,\text{kg}$ được buộc vào một đầu của chiếc gậy dài $90\,\text{cm}$. Một người quẩy gậy lên vai sao cho vai cách vật $60\,\text{cm}$, đầu còn lại của gậy được giữ bằng tay. Bỏ qua trọng lượng của gậy, lấy $g = 10\,\text{m/s}^2$.

a) Tính lực giữ của tay.

b) Tính lực mà gậy tác dụng lên vai.

Lời giải

Các dữ kiện: Trọng lượng của vật:

$$P = m\,g = 5 \times 10 = 50\,\text{N}$$

Khoảng cách từ vai đến tay:

$$d_{\text{tay}} = 90 – 60 = 30\,\text{cm}$$

Câu a. Dùng điều kiện moment

Chọn trục quay tại vai, vì lực của vai đi qua điểm này nên có moment bằng $0$ và sẽ biến mất khỏi phương trình.

Trọng lượng vật và lực giữ của tay nằm ở hai phía của vai nên gây ra hai moment ngược chiều nhau:

$$F_{\text{tay}} \times d_{\text{tay}} = P \times d_{\text{vật}}$$

$$F_{\text{tay}} \times 30 = 50 \times 60$$

$$F_{\text{tay}} = \frac{50 \times 60}{30} = 100\,\text{N}$$

Lực này có chiều hướng xuống, vì tay phải ghì đầu gậy xuống để giữ thăng bằng.

Câu b. Dùng điều kiện lực

Gậy cân bằng nên tổng các lực bằng không. Vai đỡ gậy bằng một lực hướng lên, cân bằng với hai lực hướng xuống là trọng lượng vật và lực giữ của tay:

$$F_{\text{vai}} = P + F_{\text{tay}} = 50 + 100 = 150\,\text{N}$$

Kết luận: Tay phải giữ với lực $100\,\text{N}$ hướng xuống; vai chịu lực $150\,\text{N}$.

Nhận xét: Nếu người đó đặt vai gần vật hơn thì cánh tay đòn của vật ngắn lại, lực giữ của tay giảm và vai cũng đỡ nặng hơn. Đó là lí do khi quẩy gánh, người ta luôn kê vai sát về phía đầu nặng.

Bài tập mẫu 2

Đề bài: Một thanh AB đồng chất dài $2\,\text{m}$, trọng lượng $100\,\text{N}$, được đặt nằm ngang trên hai giá đỡ ở hai đầu A và B. Người ta treo một vật có trọng lượng $200\,\text{N}$ tại điểm C cách đầu A một đoạn $0{,}5\,\text{m}$. Tính phản lực của mỗi giá đỡ tác dụng lên thanh.

Lời giải

Bước 1. Xác định các lực

Thanh chịu bốn lực theo phương thẳng đứng:

Bước 2. Điều kiện moment đối với trục quay tại A

Chọn trục quay tại A, khi đó $N_A$ có cánh tay đòn bằng $0$ nên không xuất hiện trong phương trình:

$$N_B \times AB = P_1 \times 1 + P_2 \times 0{,}5$$

$$N_B \times 2 = 100 \times 1 + 200 \times 0{,}5 = 100 + 100 = 200$$

$$N_B = \frac{200}{2} = 100\,\text{N}$$

Bước 3. Điều kiện lực theo phương thẳng đứng

$$N_A + N_B = P_1 + P_2 = 100 + 200 = 300\,\text{N}$$

$$N_A = 300 – N_B = 300 – 100 = 200\,\text{N}$$

Kết luận: Giá đỡ tại A chịu phản lực $200\,\text{N}$, giá đỡ tại B chịu phản lực $100\,\text{N}$.

Kiểm tra bằng trục quay tại B:

$$N_A \times 2 = P_1 \times 1 + P_2 \times 1{,}5 = 100 + 300 = 400 \quad\Rightarrow\quad N_A = 200\,\text{N} \quad \checkmark$$

Nhận xét: Vật treo gần A hơn nên giá đỡ A phải chịu lực lớn hơn. Kết quả này phù hợp với trực giác khi hai người cùng khiêng một vật: ai đứng gần vật hơn thì nặng hơn.

Dạng 4: Moment của ngẫu lực

Phương pháp giải

Bước 1: Nhận diện ngẫu lực qua bốn dấu hiệu: hai lực song song, ngược chiều, cùng độ lớn và cùng tác dụng vào một vật.

Bước 2: Xác định cánh tay đòn của ngẫu lực, là khoảng cách giữa hai giá của hai lực:

$$d = d_1 + d_2$$

Bước 3: Tính moment của ngẫu lực:

$$M = F\,d$$

trong đó $F$ là độ lớn của mỗi lực (không phải tổng hai lực).

Đặc điểm riêng cần nhớ: Moment của ngẫu lực không phụ thuộc vị trí trục quay. Dù chọn trục quay ở đâu trên vật, kết quả vẫn là $F\,d$. Ngoài ra, vì hợp lực của ngẫu lực bằng $0$ nên ngẫu lực chỉ làm vật quay, không làm vật tịnh tiến.

Bài tập mẫu

Đề bài: Một người dùng tay vặn một chiếc vòi nước. Tay vặn có dạng thanh ngang dài $10\,\text{cm}$, hai ngón tay tác dụng vào hai đầu thanh hai lực song song, ngược chiều, mỗi lực có độ lớn $F = 4\,\text{N}$.

a) Tính moment của ngẫu lực tác dụng lên tay vặn.

b) Chứng tỏ rằng kết quả trên không thay đổi khi chọn trục quay tại một đầu của thanh thay vì tại tâm.

Lời giải

Đổi đơn vị: $d = 10\,\text{cm} = 0{,}1\,\text{m}$.

Câu a. Khoảng cách giữa hai giá của hai lực chính là chiều dài thanh:

$$M = F\,d = 4 \times 0{,}1 = 0{,}4\,\text{N}\cdot\text{m}$$

Câu b. So sánh hai cách chọn trục quay

Chọn trục quay tại tâm thanh: Mỗi lực cách trục quay $0{,}05\,\text{m}$, cả hai đều làm thanh quay cùng một chiều nên moment cộng lại:

$$M = F\,d_1 + F\,d_2 = 4 \times 0{,}05 + 4 \times 0{,}05 = 0{,}2 + 0{,}2 = 0{,}4\,\text{N}\cdot\text{m}$$

Chọn trục quay tại một đầu thanh: Lực đặt ngay tại trục quay có cánh tay đòn bằng $0$, lực còn lại có cánh tay đòn bằng cả chiều dài thanh:

$$M = 4 \times 0 + 4 \times 0{,}1 = 0{,}4\,\text{N}\cdot\text{m}$$

Kết luận: Cả hai cách đều cho $M = 0{,}4\,\text{N}\cdot\text{m}$, chứng tỏ moment của ngẫu lực không phụ thuộc vào vị trí trục quay.

Bảng tra nhanh: chọn công thức theo dữ kiện đề bài

Thầy Phạm Trần Quốc Anh

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Vật Lý THPT

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ STEM, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 9+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lê Quí Đôn