I. Lý thuyết trọng tâm

1. Lực hướng tâm

Khi một vật chuyển động tròn đều, luôn cần có một lực (hoặc hợp lực) hướng vào tâm quỹ đạo để duy trì chuyển động tròn đó. Lực này gọi là lực hướng tâm.

Định nghĩa: Lực (hay hợp lực của các lực) tác dụng lên vật chuyển động tròn đều, có phương dọc theo bán kính và hướng vào tâm quỹ đạo, gọi là lực hướng tâm.

Các đặc điểm quan trọng:

• Lực hướng tâm không phải là một loại lực mới. Nó là lực cơ học quen thuộc (lực căng dây, lực ma sát, lực hấp dẫn,…) hoặc hợp lực của nhiều lực, đóng vai trò giữ cho vật đi theo quỹ đạo tròn.
• Lực hướng tâm luôn có phương trùng với bán kính, hướng từ vật vào tâm → vuông góc với vectơ vận tốc tại mọi thời điểm.
• Lực hướng tâm không làm thay đổi độ lớn vận tốc (tốc độ), chỉ làm thay đổi hướng của vectơ vận tốc.
• Nếu lực hướng tâm đột ngột mất đi (ví dụ buông tay khỏi dây), vật sẽ văng ra theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm đó.

Một số ví dụ về lực đóng vai trò hướng tâm:

Câu hỏi lý thuyết thường gặp:

• “Lực hướng tâm là một loại lực cơ học mới tạo nên chuyển động tròn đều” → Sai. Lực hướng tâm không phải loại lực riêng mà là lực (hoặc hợp lực) đã biết đóng vai trò hướng tâm.
• “Hợp lực của tất cả các lực tác dụng lên vật đóng vai trò là lực hướng tâm” → Đúng.
• “Vật chuyển động tròn đều khi các lực tác dụng lên vật cân bằng nhau” → Sai. Nếu hợp lực bằng 0 thì vật chuyển động thẳng đều, không phải tròn đều.
• “Xe chuyển động vào khúc cua, lực hướng tâm luôn là lực ma sát” → Sai. Trên đường nghiêng, hợp lực gồm cả thành phần phản lực và trọng lực.
• “Lực hướng tâm vuông góc với vectơ vận tốc” → Đúng.

2. Gia tốc hướng tâm

Trong chuyển động tròn đều, mặc dù tốc độ không đổi nhưng hướng vận tốc liên tục thay đổi → vật luôn có gia tốc. Gia tốc này do lực hướng tâm gây ra, hướng vào tâm quỹ đạo, nên gọi là gia tốc hướng tâm.

Công thức gia tốc hướng tâm:

$$\boxed{a_{ht} = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r} \tag{32.1}$$

Trong đó: $v$ là tốc độ dài (m/s); $\omega$ là tốc độ góc (rad/s); $r$ là bán kính quỹ đạo (m).

Chứng minh tóm tắt (mục “Em có biết” – SGK): Xét vật đi từ A đến B trên cung tròn trong thời gian $\Delta t$ rất nhỏ. Tam giác AOB (với $O$ là tâm) và tam giác tạo bởi các vectơ vận tốc $\vec{v}_A$, $\vec{v}_B$, $\Delta\vec{v}$ là hai tam giác cân đồng dạng, cho ta:

$$\frac{\Delta v}{v} = \frac{AB}{r} = \frac{v \cdot \Delta t}{r} \quad \Rightarrow \quad a_{ht} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v^2}{r}$$

Kết hợp $v = \omega r$ suy ra $a_{ht} = \omega^2 r$.

Đặc điểm gia tốc hướng tâm:

• Phương: dọc theo bán kính, chiều: luôn hướng vào tâm O.
• Độ lớn không đổi (vì $v$, $\omega$, $r$ đều không đổi trong chuyển động tròn đều).
• Hướng luôn thay đổi (vì luôn chỉ vào tâm, mà vật liên tục đổi vị trí trên đường tròn).
• Vectơ gia tốc luôn vuông góc với vectơ vận tốc.

Câu hỏi lý thuyết thường gặp:

• “Gia tốc hướng tâm đặc trưng cho sự biến thiên về độ lớn của vận tốc” → Sai. Gia tốc hướng tâm đặc trưng cho sự biến thiên về hướng của vận tốc.
• “Gia tốc hướng tâm có độ lớn tỉ lệ nghịch với bình phương tốc độ” → Sai. $a_{ht} = v^2/r$ → tỉ lệ thuận với $v^2$.
• “Gia tốc hướng tâm có độ lớn tỉ lệ với bình phương tốc độ góc” → Đúng. $a_{ht} = \omega^2 r$.

3. Công thức độ lớn lực hướng tâm

Áp dụng định luật II Newton ($\vec{F} = m\vec{a}$), với gia tốc là gia tốc hướng tâm:

$$\boxed{F_{ht} = m \cdot a_{ht} = \dfrac{mv^2}{r} = m\omega^2 r} \tag{32.2}$$

Trong đó: $m$ là khối lượng vật (kg); $a_{ht}$ là gia tốc hướng tâm (m/s²); $r$ là bán kính quỹ đạo (m).

Chuyển động li tâm (mở rộng): Khi tốc độ góc $\omega$ của bàn quay tăng đến mức lực ma sát nghỉ cực đại không đủ cung cấp lực hướng tâm cần thiết ($F_{msn(max)} < m\omega^2 r$), vật sẽ trượt ra xa tâm rồi văng ra theo phương tiếp tuyến. Đây gọi là chuyển động li tâm. Ứng dụng: máy giặt vắt quần áo (thùng giặt có lỗ thủng để nước văng ra ngoài khi quay nhanh).

III. Phương pháp giải các dạng bài tập

Phần này chỉ trình bày các dạng bài tập tính toán, sử dụng đúng các công thức đã học trong bài.

Công thức cần nhớ

Phương pháp chung cho bài toán lực hướng tâm

Bước 1: Xác định vật chuyển động tròn và bán kính quỹ đạo $r$.

Bước 2: Vẽ hình, xác định tất cả các lực tác dụng lên vật.

Bước 3: Chọn chiều dương hướng vào tâm quỹ đạo, theo phương bán kính.

Bước 4: Viết phương trình định luật II Newton chiếu lên phương hướng tâm: tổng hình chiếu các lực theo chiều hướng tâm bằng lực hướng tâm.

$$\sum F_{\text{(hướng tâm)}} = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2 r$$

Bước 5: Nếu bài toán có thêm phương thẳng đứng (con lắc nón), viết thêm phương trình cân bằng theo phương đó rồi giải hệ.

Nhắc lại điều quan trọng nhất: Lực hướng tâm không phải một loại lực mới. Khi giải bài, việc đầu tiên là phải trả lời câu hỏi: lực nào (hay hợp lực nào) đang đóng vai trò lực hướng tâm ở đây? Trả lời sai câu này thì cả bài sai.

Dạng 1: Tính gia tốc hướng tâm và lực hướng tâm

Phương pháp giải

Bước 1: Đổi các đại lượng về hệ SI: bán kính về mét, khối lượng về kilôgam, tốc độ về m/s, tốc độ quay về Hz.

Bước 2: Chọn công thức phù hợp với dữ kiện:

Bước 3: Tính lực hướng tâm bằng định luật II Newton:

$$F_{ht} = m\,a_{ht}$$

Bước 4: Khi đề cho ngược lại, biến đổi công thức để tìm đại lượng còn thiếu:

$$r = \frac{v^2}{a_{ht}} \qquad ; \qquad v = \sqrt{a_{ht}\,r} \qquad ; \qquad \omega = \sqrt{\frac{a_{ht}}{r}}$$

Bài tập mẫu 1

Đề bài: Tính gia tốc hướng tâm của một vệ tinh nhân tạo chuyển động tròn đều quanh Trái Đất với bán kính quỹ đạo là $7\,000\,\text{km}$ và tốc độ $7{,}57\,\text{km/s}$.

Lời giải

Đổi đơn vị:

$$r = 7\,000\,\text{km} = 7\times 10^{6}\,\text{m} \qquad ; \qquad v = 7{,}57\,\text{km/s} = 7\,570\,\text{m/s}$$

Áp dụng công thức gia tốc hướng tâm:

$$a_{ht} = \frac{v^2}{r} = \frac{7\,570^2}{7\times 10^{6}} = \frac{5{,}73\times 10^{7}}{7\times 10^{6}} \approx 8{,}19\,\text{m/s}^2$$

Kết luận: $a_{ht} \approx 8{,}19\,\text{m/s}^2$.

Nhận xét: Giá trị này nhỏ hơn $g = 9{,}8\,\text{m/s}^2$ một chút, vì vệ tinh ở xa mặt đất hơn.

Bài tập mẫu 2

Đề bài: Một vật nhỏ khối lượng $200\,\text{g}$ chuyển động tròn đều trên quỹ đạo bán kính $1\,\text{m}$. Biết trong $1$ phút vật quay được $120$ vòng. Tính tần số, tốc độ góc, gia tốc hướng tâm và lực hướng tâm tác dụng lên vật.

Lời giải

Đổi đơn vị: $m = 200\,\text{g} = 0{,}2\,\text{kg}$; $r = 1\,\text{m}$.

Tần số:

$$f = \frac{120}{60} = 2\,\text{Hz}$$

Tốc độ góc:

$$\omega = 2\pi f = 2\pi\times 2 = 4\pi \approx 12{,}57\,\text{rad/s}$$

Gia tốc hướng tâm:

$$a_{ht} = \omega^2 r = (4\pi)^2\times 1 = 16\pi^2 \approx 157{,}9\,\text{m/s}^2$$

Lực hướng tâm:

$$F_{ht} = m\,a_{ht} = 0{,}2\times 157{,}9 \approx 31{,}6\,\text{N}$$

Kết luận: $f = 2\,\text{Hz}$; $\omega \approx 12{,}57\,\text{rad/s}$; $a_{ht} \approx 157{,}9\,\text{m/s}^2$; $F_{ht} \approx 31{,}6\,\text{N}$.

Dạng 2: Lực ma sát đóng vai trò lực hướng tâm

Phương pháp giải

Dạng này gặp ở hai tình huống quen thuộc: ô tô vào khúc cua trên đường nằm ngang và vật đặt trên bàn quay. Trong cả hai, vật chuyển động tròn được là nhờ lực ma sát nghỉ hướng vào tâm.

Bước 1: Xác định các lực tác dụng lên vật: trọng lực $\vec{P}$, phản lực $\vec{N}$ (hai lực này theo phương thẳng đứng) và lực ma sát nghỉ $\vec{F}_{msn}$ (nằm ngang, hướng vào tâm).

Bước 2: Theo phương thẳng đứng, vật không chuyển động nên:

$$N = mg$$

Bước 3: Theo phương hướng tâm, lực ma sát nghỉ đóng vai trò lực hướng tâm:

$$F_{msn} = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2 r$$

Bước 4: Điều kiện để vật không bị trượt ra xa tâm (không xảy ra chuyển động li tâm) là lực ma sát nghỉ cần thiết không vượt quá giá trị cực đại:

$$\frac{mv^2}{r} \le \mu\,mg$$

Rút gọn khối lượng $m$ ở hai vế, ta được các điều kiện thường dùng:

$$v \le \sqrt{\mu\,g\,r} \qquad ; \qquad \omega \le \sqrt{\frac{\mu\,g}{r}}$$

Chú ý: Khối lượng $m$ bị triệt tiêu, nên tốc độ tối đa không phụ thuộc khối lượng của vật. Xe nặng hay nhẹ đều phải giảm tốc như nhau khi vào cua.

Bài tập mẫu 1 (ô tô vào cua)

Đề bài: Một ô tô khối lượng $1\,200\,\text{kg}$ đi qua một khúc cua nằm ngang có bán kính $50\,\text{m}$ với tốc độ $36\,\text{km/h}$. Lấy $g = 10\,\text{m/s}^2$.

a) Tính lực hướng tâm tác dụng lên ô tô.

b) Hệ số ma sát nghỉ giữa lốp xe và mặt đường ít nhất phải bằng bao nhiêu để xe không bị trượt?

c) Nếu hệ số ma sát nghỉ là $\mu = 0{,}4$ thì xe được phép đi qua khúc cua này với tốc độ tối đa bằng bao nhiêu?

Lời giải

Đổi đơn vị:

$$v = 36\,\text{km/h} = 10\,\text{m/s}$$

Câu a. Lực hướng tâm ở đây chính là lực ma sát nghỉ:

$$F_{ht} = \frac{mv^2}{r} = \frac{1\,200\times 10^2}{50} = \frac{120\,000}{50} = 2\,400\,\text{N}$$

Câu b. Điều kiện để xe không trượt:

$$\frac{mv^2}{r} \le \mu\,mg \quad \Rightarrow \quad \mu \ge \frac{v^2}{g\,r} = \frac{10^2}{10\times 50} = 0{,}2$$

Câu c. Với $\mu = 0{,}4$, tốc độ tối đa:

$$v_{max} = \sqrt{\mu\,g\,r} = \sqrt{0{,}4\times 10\times 50} = \sqrt{200} \approx 14{,}1\,\text{m/s} \approx 51\,\text{km/h}$$

Kết luận: $F_{ht} = 2\,400\,\text{N}$; cần $\mu \ge 0{,}2$; tốc độ tối đa khoảng $51\,\text{km/h}$.

Nhận xét: Khi trời mưa, hệ số ma sát giảm mạnh nên tốc độ an toàn khi vào cua cũng giảm theo. Đây là ý nghĩa thực tế của biển báo hạn chế tốc độ ở các khúc cua.

Bài tập mẫu 2 (vật trên bàn quay – chuyển động li tâm)

Đề bài: Một vật nhỏ khối lượng $100\,\text{g}$ được đặt trên một bàn quay nằm ngang, cách trục quay $20\,\text{cm}$. Hệ số ma sát nghỉ giữa vật và mặt bàn là $\mu = 0{,}5$. Lấy $g = 10\,\text{m/s}^2$.

a) Tính tốc độ góc lớn nhất của bàn quay để vật vẫn quay cùng bàn mà không bị văng ra.

b) Ứng với tốc độ góc đó, bàn quay được bao nhiêu vòng trong một phút?

Lời giải

Đổi đơn vị: $m = 0{,}1\,\text{kg}$; $r = 20\,\text{cm} = 0{,}2\,\text{m}$.

Câu a. Vật quay cùng bàn nhờ lực ma sát nghỉ đóng vai trò lực hướng tâm. Điều kiện để vật không bị văng ra:

$$m\omega^2 r \le \mu\,mg \quad \Rightarrow \quad \omega \le \sqrt{\frac{\mu\,g}{r}}$$

$$\omega_{max} = \sqrt{\frac{0{,}5\times 10}{0{,}2}} = \sqrt{25} = 5\,\text{rad/s}$$

Câu b. Tần số tương ứng:

$$f = \frac{\omega_{max}}{2\pi} = \frac{5}{2\pi} \approx 0{,}80\,\text{Hz}$$

Số vòng quay trong một phút:

$$n = f\times 60 \approx 0{,}80\times 60 \approx 48\,\text{vòng/phút}$$

Kết luận: $\omega_{max} = 5\,\text{rad/s}$, tương ứng khoảng $48$ vòng/phút. Nếu quay nhanh hơn, lực ma sát nghỉ không còn đủ để giữ vật, vật sẽ trượt ra xa tâm rồi văng ra — đó chính là chuyển động li tâm.

Dạng 3: Con lắc nón (vật buộc dây quay trong mặt phẳng ngang)

Phương pháp giải

Vật nhỏ buộc vào dây dài $l$, quay đều trong mặt phẳng ngang, dây hợp với phương thẳng đứng góc $\alpha$ và quét thành mặt nón.

Bước 1: Xác định hai lực tác dụng lên vật: trọng lực $\vec{P}$ hướng thẳng đứng xuống và lực căng dây $\vec{T}$ hướng dọc theo dây về phía điểm treo.

Bước 2: Xác định bán kính quỹ đạo tròn (chú ý không phải là chiều dài dây):

$$r = l\sin\alpha$$

Bước 3: Viết hai phương trình theo hai phương:

• Phương thẳng đứng (vật không chuyển động lên xuống nên cân bằng):

$$T\cos\alpha = mg \quad \Rightarrow \quad T = \frac{mg}{\cos\alpha}$$

• Phương ngang, hướng vào tâm (thành phần nằm ngang của lực căng đóng vai trò lực hướng tâm):

$$T\sin\alpha = m\omega^2 r = m\omega^2 l\sin\alpha$$

Bước 4: Chia hai phương trình cho nhau để khử $T$ và $m$:

$$\tan\alpha = \frac{\omega^2 l\sin\alpha}{g} \quad \Rightarrow \quad \omega^2 = \frac{g}{l\cos\alpha} \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{\frac{g}{l\cos\alpha}}$$

Bước 5: Lực hướng tâm chính là thành phần nằm ngang của lực căng dây:

$$F_{ht} = T\sin\alpha = mg\tan\alpha$$

Nhận xét cần nhớ: Từ $\cos\alpha = \dfrac{g}{l\omega^2}$, khi $\omega$ tăng thì $\cos\alpha$ giảm, nghĩa là $\alpha$ tăng. Quay càng nhanh thì dây càng lệch ra xa phương thẳng đứng.

Bài tập mẫu

Đề bài: Một vật nhỏ khối lượng $m = 10\,\text{g}$ được buộc vào đầu một sợi dây dài $l = 0{,}75\,\text{m}$, quay đều trong mặt phẳng ngang sao cho dây quét thành một mặt nón. Lấy $g = 10\,\text{m/s}^2$.

a) Tính tốc độ góc và tần số quay để dây lệch góc $\alpha = 60^\circ$ so với phương thẳng đứng.

b) Tính lực căng dây và lực hướng tâm khi đó.

Lời giải

Đổi đơn vị: $m = 10\,\text{g} = 0{,}01\,\text{kg}$.

Câu a. Áp dụng công thức đã thiết lập, với $\cos 60^\circ = 0{,}5$:

$$\omega^2 = \frac{g}{l\cos\alpha} = \frac{10}{0{,}75\times 0{,}5} = \frac{10}{0{,}375} \approx 26{,}67$$

$$\omega \approx 5{,}16\,\text{rad/s}$$

Tần số quay:

$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{5{,}16}{2\pi} \approx 0{,}82\,\text{Hz}$$

Câu b. Lực căng dây:

$$T = \frac{mg}{\cos\alpha} = \frac{0{,}01\times 10}{0{,}5} = 0{,}2\,\text{N}$$

Lực hướng tâm:

$$F_{ht} = mg\tan\alpha = 0{,}01\times 10\times\tan 60^\circ = 0{,}1\times\sqrt{3} \approx 0{,}17\,\text{N}$$

Kết luận: $\omega \approx 5{,}16\,\text{rad/s}$; $f \approx 0{,}82\,\text{Hz}$; $T = 0{,}2\,\text{N}$; $F_{ht} \approx 0{,}17\,\text{N}$.

Kiểm tra lại: Bán kính quỹ đạo $r = l\sin 60^\circ = 0{,}75\times 0{,}866 \approx 0{,}65\,\text{m}$. Khi đó $F_{ht} = m\omega^2 r = 0{,}01\times 26{,}67\times 0{,}65 \approx 0{,}17\,\text{N}$, phù hợp với kết quả trên.

Dạng 4: Ô tô đi qua cầu vồng lên

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định các lực tác dụng lên ô tô khi đi qua đỉnh cầu: trọng lực $\vec{P}$ hướng thẳng đứng xuống và phản lực $\vec{N}$ của mặt cầu hướng thẳng đứng lên.

Bước 2: Tại đỉnh cầu, tâm quỹ đạo nằm phía dưới ô tô. Chọn chiều dương hướng vào tâm, tức hướng xuống:

$$P – N = \frac{mv^2}{R}$$

Bước 3: Suy ra phản lực của mặt cầu:

$$N = mg – \frac{mv^2}{R} = m\left(g – \frac{v^2}{R}\right)$$

Bước 4: Theo định luật III Newton, áp lực của ô tô nén lên mặt cầu có độ lớn bằng $N$.

Hai kết luận thực tế quan trọng:

• Khi qua cầu vồng lên, $N < mg$, tức là ô tô nén lên cầu nhẹ hơn trọng lượng của nó. Đây là lí do người ta thiết kế cầu vồng lên chứ không vồng xuống.
• Nếu tốc độ tăng đến mức $\dfrac{v^2}{R} = g$ thì $N = 0$, ô tô mất tiếp xúc với mặt cầu, rất nguy hiểm. Tốc độ giới hạn là $v = \sqrt{g\,R}$.

Bài tập mẫu

Đề bài: Một ô tô khối lượng $4$ tấn đi qua một chiếc cầu vồng lên có bán kính cong $50\,\text{m}$ với tốc độ $72\,\text{km/h}$. Lấy $g = 10\,\text{m/s}^2$.

a) Tính áp lực của ô tô nén lên mặt cầu khi đi qua điểm cao nhất.

b) Với tốc độ nào thì ô tô bắt đầu mất tiếp xúc với mặt cầu tại điểm cao nhất?

Lời giải

Đổi đơn vị:

$$m = 4\,\text{tấn} = 4\,000\,\text{kg} \qquad ; \qquad v = 72\,\text{km/h} = 20\,\text{m/s}$$

Câu a. Chiếu lên phương hướng tâm, chiều dương hướng xuống:

$$P – N = \frac{mv^2}{R}$$

$$N = mg – \frac{mv^2}{R} = 4\,000\times 10 – \frac{4\,000\times 20^2}{50}$$

$$N = 40\,000 – \frac{1\,600\,000}{50} = 40\,000 – 32\,000 = 8\,000\,\text{N}$$

Theo định luật III Newton, áp lực của ô tô nén lên mặt cầu bằng $8\,000\,\text{N}$.

Câu b. Ô tô mất tiếp xúc với mặt cầu khi $N = 0$:

$$mg = \frac{mv^2}{R} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{g\,R} = \sqrt{10\times 50} = \sqrt{500} \approx 22{,}4\,\text{m/s} \approx 80{,}5\,\text{km/h}$$

Kết luận: Áp lực nén lên cầu là $8\,000\,\text{N}$, nhỏ hơn nhiều so với trọng lượng $40\,000\,\text{N}$ của xe. Nếu chạy nhanh hơn khoảng $80\,\text{km/h}$ thì xe sẽ bị bay khỏi mặt cầu.

Dạng 5 (mở rộng): Vật quay tròn trong mặt phẳng thẳng đứng

Lưu ý về phạm vi: Chuyển động tròn trong mặt phẳng thẳng đứng không phải là chuyển động tròn đều, vì trọng lực làm tốc độ thay đổi theo vị trí. Ở lớp 10, ta chỉ xét bài toán với giả thiết đơn giản hoá là vật quay với tốc độ góc không đổi. Dạng này không bắt buộc, chỉ dành cho học sinh muốn luyện thêm.

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định vị trí đang xét và chiều hướng vào tâm tại vị trí đó.

Bước 2: Chiếu các lực lên phương hướng tâm. Chỉ có lực căng dây $T$ luôn hướng vào tâm, còn trọng lực thì tuỳ vị trí:

Bước 3: Điều kiện để vật đi qua được điểm cao nhất mà dây không bị chùng là $T \ge 0$:

$$m\omega^2 r – mg \ge 0 \quad \Rightarrow \quad \omega \ge \sqrt{\frac{g}{r}} \quad \Rightarrow \quad f_{min} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{r}}$$

Ghi nhớ: Lực căng dây lớn nhất ở điểm thấp nhất và nhỏ nhất ở điểm cao nhất. Đó là lí do dây hay bị đứt khi vật ở vị trí thấp nhất.

Bài tập mẫu

Đề bài: Một xô nước có khối lượng tổng cộng $m = 2\,\text{kg}$ được buộc vào một sợi dây dài $r = 0{,}8\,\text{m}$ và quay trong mặt phẳng thẳng đứng với tần số $45$ vòng/phút. Lấy $g = 10\,\text{m/s}^2$.

a) Tính lực căng dây khi xô nước qua điểm cao nhất.

b) Tính lực căng dây khi xô nước qua điểm thấp nhất.

c) Tìm tần số quay tối thiểu để nước không đổ ra khỏi xô ở điểm cao nhất.

Lời giải

Đổi đơn vị và tính tốc độ góc:

$$f = \frac{45}{60} = 0{,}75\,\text{Hz} \qquad ; \qquad \omega = 2\pi f = 1{,}5\pi \approx 4{,}71\,\text{rad/s}$$

Đại lượng dùng chung cho cả hai câu:

$$\omega^2 r = (4{,}71)^2\times 0{,}8 \approx 17{,}77$$

Câu a. Tại điểm cao nhất, cả $\vec{T}$ và $\vec{P}$ đều hướng vào tâm:

$$T = m\left(\omega^2 r – g\right) = 2\times(17{,}77 – 10) = 2\times 7{,}77 \approx 15{,}5\,\text{N}$$

Câu b. Tại điểm thấp nhất, $\vec{T}$ hướng vào tâm còn $\vec{P}$ hướng ra xa tâm:

$$T = m\left(\omega^2 r + g\right) = 2\times(17{,}77 + 10) = 2\times 27{,}77 \approx 55{,}5\,\text{N}$$

Câu c. Điều kiện tại điểm cao nhất là $T \ge 0$:

$$f_{min} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{r}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{10}{0{,}8}} = \frac{3{,}54}{6{,}28} \approx 0{,}56\,\text{Hz}$$

Đổi ra vòng/phút:

$$n_{min} = 0{,}56\times 60 \approx 34\,\text{vòng/phút}$$

Kết luận: $T_{\text{cao nhất}} \approx 15{,}5\,\text{N}$; $T_{\text{thấp nhất}} \approx 55{,}5\,\text{N}$; cần quay ít nhất khoảng $34$ vòng/phút.

Nhận xét: Lực căng ở điểm thấp nhất lớn gấp khoảng $3{,}6$ lần ở điểm cao nhất, đúng với ghi nhớ ở trên.

Bảng tra nhanh: nhận diện lực hướng tâm theo tình huống

Thầy Phạm Trần Quốc Anh

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Vật Lý THPT

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ STEM, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 9+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lê Quí Đôn