I. Lý thuyết trọng tâm

1. Hệ kín (hệ cô lập)

a) Định nghĩa

Một hệ gồm nhiều vật tác dụng lẫn nhau được gọi là hệ kín (hay hệ cô lập) khi thoả mãn một trong hai điều kiện:

• Không có ngoại lực tác dụng lên hệ.
• Hoặc nếu có ngoại lực thì các ngoại lực cân bằng nhau (tổng ngoại lực bằng không).

Trong hệ kín, chỉ tồn tại các nội lực – tức là các lực tương tác giữa các vật trong hệ. Theo định luật III Newton, các nội lực này luôn trực đối nhau từng đôi (bằng nhau về độ lớn, ngược chiều).

b) Lưu ý quan trọng về hệ kín

Trong thực tế, nếu quá trình tương tác xảy ra trong thời gian rất ngắn (va chạm, nổ, pháo nổ,…), các nội lực xuất hiện lớn hơn rất nhiều so với ngoại lực → có thể bỏ qua ngoại lực và coi hệ gần đúng là kín.

Ví dụ hệ kín: Hệ súng + đạn ngay khi bắn; hệ đạn pháo khi nổ; hệ hai viên bi va chạm trên mặt phẳng ngang không ma sát; hệ người + thuyền khi người nhảy lên bờ.

Ví dụ KHÔNG phải hệ kín: Vật rơi tự do (trọng lực là ngoại lực không cân bằng); hai viên bi chuyển động trên mặt phẳng nghiêng (thành phần trọng lực dọc mặt nghiêng không cân bằng). Tuy nhiên, hệ “vật rơi + Trái Đất” có thể coi là hệ kín khi bỏ qua lực tương tác với các thiên thể khác.

• Hệ kín không phải là hệ có ngoại lực lớn hơn nội lực (đó ngược lại, hệ không kín).
• Định luật bảo toàn động lượng chỉ đúng trong hệ cô lập (hệ kín).

2. Định luật bảo toàn động lượng

a) Chứng minh (hệ hai vật)

Xét hệ kín gồm hai vật va chạm. Gọi $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$ là cặp nội lực tương tác. Theo định luật III Newton:

$$\vec{F}_1 = -\vec{F}_2 \tag{29.1}$$

Áp dụng $\vec{F} \cdot \Delta t = \Delta \vec{p}$ cho từng vật:

$$\vec{F}_1 \cdot \Delta t = \Delta \vec{p}_1 \quad;\quad \vec{F}_2 \cdot \Delta t = \Delta \vec{p}_2 \tag{29.2}$$

Từ (29.1) và (29.2): $\Delta \vec{p}_1 = -\Delta \vec{p}_2$ hay $\Delta \vec{p}_1 + \Delta \vec{p}_2 = \vec{0}$

Gọi $\vec{p} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2$ là động lượng toàn phần → $\Delta \vec{p} = \vec{0}$ → $\vec{p}$ không đổi.

b) Phát biểu

Động lượng toàn phần của hệ kín là một đại lượng bảo toàn.

Kết quả này mở rộng được cho hệ kín gồm nhiều vật.

c) Biểu thức

Với hệ hai vật, gọi $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ là vận tốc trước tương tác và $\vec{v}_1′, \vec{v}_2’$ là vận tốc sau tương tác:

$$\boxed{m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}_1′ + m_2\vec{v}_2′}$$

Đặc biệt – hai vật hướng vào nhau (chọn chiều dương theo vật 1):

$$m_1 v_1 – m_2 v_2 = m_1 v_1′ + m_2 v_2’$$

d) Ứng dụng

• Giải bài toán va chạm (đàn hồi, mềm).
• Giải bài toán đạn nổ, pháo nổ.
• Cơ sở cho nguyên tắc chuyển động phản lực (tên lửa, súng giật lùi).

Chuyển động phản lực: Nếu một phần của hệ chuyển động theo một hướng thì phần còn lại phải chuyển động theo hướng ngược lại (do tổng động lượng bảo toàn). Ví dụ: súng giật lùi khi bắn, tên lửa phụt khí ra phía sau để bay về phía trước, người nhảy khỏi thuyền làm thuyền lùi lại.

Động lượng bảo toàn khi nào? Khi vật chuyển động thẳng đều trên mặt phẳng ngang (hợp lực = 0 → tổng ngoại lực cân bằng → động lượng không đổi). Động lượng không bảo toàn khi vật chuyển động tròn đều (vì hướng vận tốc liên tục thay đổi → động lượng thay đổi hướng dù độ lớn không đổi), hay khi vật nhanh dần đều/chậm dần đều dưới tác dụng ngoại lực.

3. Va chạm đàn hồi và va chạm mềm

a) Va chạm đàn hồi

Va chạm đàn hồi là va chạm mà sau khi va chạm, các vật tách rời nhau và chuyển động với vận tốc khác nhau.

Tính chất:

• Động lượng của hệ trước và sau va chạm bảo toàn (bằng nhau).
• Động năng (tổng) của hệ trước và sau va chạm cũng bảo toàn (bằng nhau).

Ví dụ: Hai xe giống nhau có gắn quả cầu kim loại. Xe A ($v_A = v$) va chạm xe B đứng yên → sau va chạm xe A dừng lại ($v_A’ = 0$), xe B chuyển động ($v_B’ = v$). Hoặc A ($v_A = v$) va chạm trực diện B ($v_B = -v$) → sau va chạm: $v_A’ = -v$, $v_B’ = v$ (đổi chiều).

Trong va chạm đàn hồi, vận tốc mỗi vật thay đổi nhưng tổng động năng và tổng động lượng đều được bảo toàn. (Vận tốc mỗi vật không được bảo toàn.)

b) Va chạm mềm

Va chạm mềm xảy ra khi sau va chạm hai vật dính vào nhau và chuyển động với cùng vận tốc.

Tính chất:

• Động lượng của hệ trước và sau va chạm bảo toàn.
• Động năng (tổng) của hệ không bảo toàn – sau va chạm động năng bị hao hụt (một phần chuyển thành nhiệt năng, năng lượng biến dạng, âm thanh,…).

Ví dụ: Xe A ($v_A = v$) va chạm xe B đứng yên (có miếng nhựa dính) → hai xe dính nhau chuyển động cùng vận tốc $v_{AB} = v/2$.

Kiểm tra: Trước va chạm $W_đ = \frac{1}{2}mv^2$. Sau va chạm $W_đ’ = \frac{1}{2}(2m)(v/2)^2 = \frac{1}{4}mv^2$. Rõ ràng $W_đ’ < W_đ$ → động năng bị hao hụt.

Ví dụ va chạm mềm trong thực tế: viên đạn bay xuyên vào và nằm gọn trong bao cát.

So sánh tổng quát:

II. Phương pháp giải các dạng bài tập

Cả bài chỉ dùng một định luật:

$$\vec{p}_{\text{trước}} = \vec{p}_{\text{sau}}$$

Với hệ hai vật:

$$m_1\,\vec{v}_1 + m_2\,\vec{v}_2 = m_1\,\vec{v}_1′ + m_2\,\vec{v}_2’$$

Các bước giải chung

Bước 1: Xác định hệ vật và kiểm tra điều kiện hệ kín. Trong bài tập, hệ được coi là kín khi có một trong các dấu hiệu: bỏ qua ma sát, mặt phẳng nằm ngang, hoặc quá trình xảy ra rất nhanh (va chạm, nổ, bắn súng) khiến nội lực lớn hơn hẳn ngoại lực.

Bước 2: Chọn chiều dương và ghi rõ vào bài làm. Thông thường chọn theo chiều chuyển động ban đầu của vật chính.

Bước 3: Gán dấu cho từng vận tốc theo chiều dương đã chọn:

Bước 4: Viết phương trình bảo toàn động lượng dưới dạng đại số (đã chiếu lên chiều dương), rồi giải.

Bước 5: Biện luận dấu của kết quả: nếu vận tốc tìm được mang dấu dương thì vật chuyển động cùng chiều dương; nếu mang dấu âm thì vật chuyển động ngược chiều dương. Đừng quên bước này, vì đề thường hỏi cả “hướng” chứ không chỉ “tốc độ”.

Ba lỗi hay gặp nhất:

1. Quên gán dấu âm cho vật đi ngược chiều dương.
2. Trả lời tốc độ là số âm. Tốc độ luôn dương; dấu âm chỉ để cho biết hướng, nên phải diễn đạt là “chuyển động ngược chiều dương với tốc độ…”.
3. Áp dụng bảo toàn động năng cho va chạm mềm. Va chạm mềm chỉ bảo toàn động lượng.

Dạng 1: Bài toán nổ, tách vật và chuyển động phản lực (cùng phương)

Phương pháp giải

Dạng này có đặc điểm chung: một vật ban đầu tách thành hai phần, hoặc hai vật ban đầu gắn với nhau rồi rời nhau.

Bước 1: Tính động lượng của hệ trước khi tách:

$$p_{\text{trước}} = \left(m_1 + m_2\right)\,v_0$$

Riêng trường hợp hệ ban đầu đứng yên (súng giật lùi, người nhảy khỏi thuyền, hai người đẩy nhau) thì $v_0 = 0$ nên $p_{\text{trước}} = 0$.

Bước 2: Viết phương trình bảo toàn động lượng:

$$\left(m_1 + m_2\right)\,v_0 = m_1\,v_1 + m_2\,v_2$$

Bước 3: Rút đại lượng cần tìm:

$$v_1 = \frac{\left(m_1 + m_2\right)\,v_0 – m_2\,v_2}{m_1}$$

Bước 4: Với hệ ban đầu đứng yên, phương trình rút gọn thành:

$$0 = m_1\,v_1 + m_2\,v_2 \Rightarrow m_1\,v_1 = -m_2\,v_2$$

Từ đó rút ra hai kết luận quan trọng:

• Hai phần luôn chuyển động ngược hướng nhau;
• Tỉ số tốc độ tỉ lệ nghịch với khối lượng: $\dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{m_2}{m_1}$, nghĩa là phần nhẹ hơn chuyển động nhanh hơn.

Đây là nguyên tắc của chuyển động phản lực: súng giật lùi khi bắn, tên lửa phụt khí về sau để bay tới trước, người nhảy lên bờ làm thuyền trôi ngược lại.

Bài tập mẫu 1 (vật đang chuyển động rồi nổ)

Đề bài: Một quả lựu đạn đang bay theo phương ngang với tốc độ $10\,\text{m/s}$ thì nổ thành hai mảnh có khối lượng $m_1 = 1\,\text{kg}$ và $m_2 = 1{,}5\,\text{kg}$. Sau khi nổ, mảnh lớn vẫn bay theo phương ngang, cùng chiều ban đầu với tốc độ $25\,\text{m/s}$. Xác định tốc độ và hướng chuyển động của mảnh nhỏ.

Lời giải

Chọn chiều dương là chiều bay ban đầu của quả lựu đạn.

Bước 1. Động lượng trước khi nổ

$$p_{\text{trước}} = \left(m_1 + m_2\right)\,v_0 = \left(1 + 1{,}5\right) \times 10 = 25\,\text{kg.m/s}$$

Bước 2. Áp dụng bảo toàn động lượng

$$\left(m_1 + m_2\right)\,v_0 = m_1\,v_1 + m_2\,v_2$$

$$25 = 1 \times v_1 + 1{,}5 \times 25$$

Bước 3. Giải

$$v_1 = \frac{25 – 37{,}5}{1} = -12{,}5\,\text{m/s}$$

Kết luận: Vì $v_1 < 0$ nên mảnh nhỏ bay ngược chiều chuyển động ban đầu, với tốc độ $12{,}5\,\text{m/s}$.

Nhận xét: Kết quả này hợp lí. Mảnh lớn sau khi nổ có tốc độ $25\,\text{m/s}$, lớn hơn nhiều so với $10\,\text{m/s}$ ban đầu, nên động lượng của nó đã vượt quá động lượng của cả hệ. Phần dư đó phải được bù lại bằng động lượng âm của mảnh nhỏ.

Bài tập mẫu 2 (hệ ban đầu đứng yên)

Đề bài: Một khẩu súng khối lượng $M = 5\,\text{kg}$ đang đứng yên thì bắn ra một viên đạn khối lượng $m = 10\,\text{g}$ với tốc độ $600\,\text{m/s}$ theo phương ngang. Tính tốc độ giật lùi của súng.

Lời giải

Đổi đơn vị: $m = 10\,\text{g} = 0{,}01\,\text{kg}$.

Chọn chiều dương là chiều bay của viên đạn. Hệ súng và đạn ban đầu đứng yên nên:

$$p_{\text{trước}} = 0$$

Áp dụng bảo toàn động lượng:

$$0 = m\,v + M\,V$$

$$0 = 0{,}01 \times 600 + 5 \times V$$

$$5\,V = -6 \Rightarrow V = -1{,}2\,\text{m/s}$$

Kết luận: Súng giật lùi ngược chiều với viên đạn, với tốc độ $1{,}2\,\text{m/s}$.

Nhận xét: Đạn nhẹ hơn súng $500$ lần nên tốc độ của nó lớn hơn tốc độ giật lùi của súng đúng $500$ lần. Đó chính là hệ quả $\dfrac{v}{V} = \dfrac{M}{m}$.

Dạng 2: Bài toán va chạm mềm

Phương pháp giải

Dấu hiệu nhận biết: sau va chạm hai vật dính vào nhau và chuyển động cùng vận tốc $V$.

Bước 1: Chọn chiều dương và gán dấu cho $v_1$, $v_2$.

Bước 2: Viết phương trình bảo toàn động lượng, vế sau chỉ còn một vật khối lượng $\left(m_1 + m_2\right)$:

$$m_1\,v_1 + m_2\,v_2 = \left(m_1 + m_2\right)\,V$$

Bước 3: Rút vận tốc chung:

$$V = \frac{m_1\,v_1 + m_2\,v_2}{m_1 + m_2}$$

Bước 4: Nếu đề hỏi phần động năng hao hụt:

$$\Delta W_đ = \left(\frac{1}{2}m_1\,v_1^2 + \frac{1}{2}m_2\,v_2^2\right) – \frac{1}{2}\left(m_1 + m_2\right)\,V^2$$

Cần nhớ: Va chạm mềm bảo toàn động lượng nhưng không bảo toàn động năng. Phần động năng hao hụt chuyển thành nhiệt năng, năng lượng biến dạng và năng lượng âm thanh. Vì vậy tuyệt đối không được lập phương trình bảo toàn động năng cho dạng này.

Bài tập mẫu

Đề bài: Một xe thí nghiệm khối lượng $m_1 = 2\,\text{kg}$ chuyển động với tốc độ $v_1 = 3\,\text{m/s}$ đến va chạm vào xe thứ hai khối lượng $m_2 = 4\,\text{kg}$ đang nằm yên. Sau va chạm hai xe dính vào nhau.

a) Tính vận tốc của hai xe sau va chạm.

b) Tính phần động năng đã hao hụt trong va chạm.

Lời giải

Chọn chiều dương là chiều chuyển động ban đầu của xe thứ nhất. Xe thứ hai đứng yên nên $v_2 = 0$.

Câu a. Áp dụng bảo toàn động lượng:

$$m_1\,v_1 + m_2\,v_2 = \left(m_1 + m_2\right)\,V$$

$$2 \times 3 + 4 \times 0 = \left(2 + 4\right)\,V$$

$$V = \frac{6}{6} = 1\,\text{m/s}$$

Vì $V > 0$ nên hai xe chuyển động cùng chiều ban đầu với tốc độ $1\,\text{m/s}$.

Câu b. Động năng trước va chạm:

$$W_đ = \frac{1}{2}m_1\,v_1^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 3^2 = 9\,\text{J}$$

Động năng sau va chạm:

$$W_đ’ = \frac{1}{2}\left(m_1 + m_2\right)\,V^2 = \frac{1}{2} \times 6 \times 1^2 = 3\,\text{J}$$

Phần động năng hao hụt:

$$\Delta W_đ = 9 – 3 = 6\,\text{J}$$

Kết luận: Sau va chạm hai xe cùng đi với tốc độ $1\,\text{m/s}$; có $6\,\text{J}$ động năng bị hao hụt, tức mất tới hai phần ba động năng ban đầu.

Dạng 3: Bài toán va chạm đàn hồi

Phương pháp giải

Dấu hiệu nhận biết: sau va chạm hai vật tách rời nhau, chuyển động với hai vận tốc khác nhau.

Trường hợp thường gặp trong bài tập: đề cho biết một trong hai vận tốc sau va chạm, hỏi vận tốc còn lại. Khi đó chỉ cần dùng một phương trình bảo toàn động lượng:

$$m_1\,v_1 + m_2\,v_2 = m_1\,v_1′ + m_2\,v_2’$$

Bước 1: Chọn chiều dương, gán dấu cho tất cả các vận tốc đã biết.

Bước 2: Thay số vào phương trình trên.

Bước 3: Giải tìm vận tốc còn lại, rồi biện luận dấu.

Bước 4 (nếu đề yêu cầu kiểm tra): Va chạm đàn hồi thì tổng động năng trước và sau phải bằng nhau. Có thể dùng điều này để kiểm tra lại kết quả:

$$\frac{1}{2}m_1\,v_1^2 + \frac{1}{2}m_2\,v_2^2 = \frac{1}{2}m_1\,v_1’^2 + \frac{1}{2}m_2\,v_2’^2$$

Hai kết quả đặc biệt cần nhớ (khi hai vật có cùng khối lượng, va chạm đàn hồi trực diện):

Bài tập mẫu

Đề bài: Toa xe thứ nhất khối lượng $m_1 = 3$ tấn chuyển động thẳng đều với tốc độ $v_1 = 4\,\text{m/s}$ đến va chạm vào toa xe thứ hai khối lượng $m_2 = 5$ tấn đang đứng yên. Sau va chạm, toa thứ hai chuyển động với tốc độ $v_2′ = 3\,\text{m/s}$ theo chiều chuyển động ban đầu của toa thứ nhất. Hỏi sau va chạm toa thứ nhất chuyển động như thế nào?

Lời giải

Chọn chiều dương là chiều chuyển động ban đầu của toa thứ nhất. Toa thứ hai đứng yên nên $v_2 = 0$.

Vì hai vế của phương trình đều chứa đơn vị tấn, có thể giữ nguyên khối lượng theo tấn mà không cần đổi sang kg.

Áp dụng bảo toàn động lượng:

$$m_1\,v_1 + m_2\,v_2 = m_1\,v_1′ + m_2\,v_2’$$

$$3 \times 4 + 5 \times 0 = 3 \times v_1′ + 5 \times 3$$

$$12 = 3\,v_1′ + 15$$

$$v_1′ = \frac{12 – 15}{3} = -1\,\text{m/s}$$

Kết luận: Vì $v_1′ < 0$ nên sau va chạm toa thứ nhất bật ngược trở lại, chuyển động ngược chiều ban đầu với tốc độ $1\,\text{m/s}$.

Kiểm tra bằng bảo toàn động năng (đơn vị: tấn, kết quả tính theo $\text{kJ}$):

$$W_đ = \frac{1}{2} \times 3 \times 4^2 = 24 \qquad W_đ’ = \frac{1}{2} \times 3 \times 1^2 + \frac{1}{2} \times 5 \times 3^2 = 1{,}5 + 22{,}5 = 24$$

Hai giá trị bằng nhau, xác nhận đây đúng là va chạm đàn hồi và kết quả tìm được là chính xác.

Dạng 4: Bảo toàn động lượng theo hai phương vuông góc

Phương pháp giải

Dạng này gặp khi các mảnh sau khi nổ không bay cùng phương với nhau. Lúc đó không thể cộng đại số mà phải cộng vectơ.

Bước 1: Tính động lượng của hệ trước khi nổ (theo phương ban đầu):

$$p_0 = \left(m_1 + m_2\right)\,v_0$$

Bước 2: Tính động lượng của mảnh đã biết:

$$p_1 = m_1\,v_1$$

Bước 3: Từ $\vec{p}_0 = \vec{p}_1 + \vec{p}_2$ suy ra $\vec{p}_2 = \vec{p}_0 – \vec{p}_1$. Khi $\vec{p}_1$ vuông góc với $\vec{p}_0$, ba vectơ tạo thành tam giác vuông nên:

$$p_2 = \sqrt{p_0^2 + p_1^2}$$

Bước 4: Tính tốc độ và hướng của mảnh còn lại:

$$v_2 = \frac{p_2}{m_2} \qquad \tan\alpha = \frac{p_1}{p_0}$$

trong đó $\alpha$ là góc hợp bởi $\vec{p}_2$ với phương ban đầu.

Lưu ý về hướng: Nếu mảnh thứ nhất bay lên trên thì mảnh thứ hai phải bay chếch xuống dưới, vì tổng động lượng theo phương thẳng đứng trước khi nổ bằng không.

Bài tập mẫu

Đề bài: Một viên đạn đang bay theo phương ngang với tốc độ $200\,\text{m/s}$ thì nổ thành hai mảnh có khối lượng $m_1 = 5\,\text{kg}$ và $m_2 = 10\,\text{kg}$. Mảnh nhỏ bay thẳng đứng lên trên với tốc độ $346\,\text{m/s}$. Hỏi mảnh lớn bay theo hướng nào và với tốc độ bao nhiêu? Bỏ qua sức cản không khí.

Lời giải

Bước 1. Động lượng của hệ trước khi nổ (theo phương ngang)

$$p_0 = \left(m_1 + m_2\right)\,v_0 = \left(5 + 10\right) \times 200 = 3\,000\,\text{kg.m/s}$$

Bước 2. Động lượng mảnh nhỏ (theo phương thẳng đứng)

$$p_1 = m_1\,v_1 = 5 \times 346 = 1\,730\,\text{kg.m/s}$$

Bước 3. Động lượng mảnh lớn

Vì $\vec{p}_1 \perp \vec{p}_0$, áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vectơ:

$$p_2 = \sqrt{p_0^2 + p_1^2} = \sqrt{3\,000^2 + 1\,730^2} = \sqrt{9\,000\,000 + 2\,992\,900}$$

$$p_2 = \sqrt{11\,992\,900} \approx 3\,463\,\text{kg.m/s}$$

Bước 4. Tốc độ và hướng của mảnh lớn

$$v_2 = \frac{p_2}{m_2} = \frac{3\,463}{10} \approx 346{,}3\,\text{m/s}$$

$$\tan\alpha = \frac{p_1}{p_0} = \frac{1\,730}{3\,000} \approx 0{,}577 \Rightarrow \alpha \approx 30^\circ$$

Kết luận: Mảnh lớn bay với tốc độ khoảng $346{,}3\,\text{m/s}$, theo hướng hợp với phương ngang một góc khoảng $30^\circ$ và chếch xuống dưới.

Bảng tra nhanh: chọn cách làm theo đề bài

Thầy Phạm Trần Quốc Anh

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Vật Lý THPT

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ STEM, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 9+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lê Quí Đôn