Lý thuyết về cách ghi số tự nhiên

Hệ thập phân

Trong hệ thập phân, mỗi số tự nhiên được biểu diễn bằng một dãy gồm các chữ số lấy từ 10 chữ số: $0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9$. Vị trí mà mỗi chữ số đứng trong dãy được gọi là hàng.

Quy tắc cơ bản của hệ thập phân: cứ 10 đơn vị ở một hàng thì tạo thành 1 đơn vị ở hàng liền trước (cao hơn). Cụ thể: 10 đơn vị = 1 chục, 10 chục = 1 trăm, 10 trăm = 1 nghìn, …

Quy ước khi viết số tự nhiên

• Với các số tự nhiên khác $0$, chữ số đầu tiên (tính từ trái sang phải) phải khác 0.
• Để dễ đọc, với các số có từ bốn chữ số trở lên, ta viết tách riêng từng nhóm ba chữ số kể từ phải sang trái. Mỗi nhóm ba chữ số như vậy gọi là một lớp.

Các lớp và hàng

Các hàng được nhóm thành các lớp theo thứ tự từ phải sang trái: lớp đơn vị, lớp nghìn, lớp triệu, lớp tỉ, …

Ví dụ: Số $315\ 208\ 476$ (đọc là: ba trăm mười lăm triệu, hai trăm linh tám nghìn, bốn trăm bảy mươi sáu) có các lớp và hàng như sau:

Giá trị các chữ số của một số tự nhiên

Trong hệ thập phân, cùng một chữ số nhưng đứng ở các hàng khác nhau thì có giá trị khác nhau.

Ví dụ: Xét số $45\ 073$:

• Chữ số $4$ đứng ở hàng chục nghìn, có giá trị bằng $4 \times 10\ 000 = 40\ 000$.
• Chữ số $5$ đứng ở hàng nghìn, có giá trị bằng $5 \times 1\ 000 = 5\ 000$.
• Chữ số $0$ đứng ở hàng trăm, có giá trị bằng $0 \times 100 = 0$.
• Chữ số $7$ đứng ở hàng chục, có giá trị bằng $7 \times 10 = 70$.
• Chữ số $3$ đứng ở hàng đơn vị, có giá trị bằng $3$.

Biểu diễn số tự nhiên thành tổng giá trị các chữ số

Mỗi số tự nhiên viết trong hệ thập phân đều có thể biểu diễn thành tổng giá trị các chữ số của nó.

Ví dụ:

$$527 = (5 \times 100) + (2 \times 10) + 7$$

$$45\ 073 = (4 \times 10\ 000) + (5 \times 1\ 000) + (0 \times 100) + (7 \times 10) + 3$$

Kí hiệu tổng quát:

• $\overline{ab} = a \times 10 + b$ (với $a \neq 0$) là số tự nhiên có hai chữ số, hàng chục là $a$, hàng đơn vị là $b$.
• $\overline{abc} = a \times 100 + b \times 10 + c$ (với $a \neq 0$) là số tự nhiên có ba chữ số, hàng trăm là $a$, hàng chục là $b$, hàng đơn vị là $c$.

Số La Mã

Ngoài hệ thập phân, trong thực tế ta còn gặp cách ghi số La Mã trên mặt đồng hồ cổ điển, trong các văn bản để đánh số chương, mục, hoặc trên các công trình kiến trúc châu Âu.

Cách viết số La Mã từ 1 đến 30

Để viết các số La Mã không quá 30, ta sử dụng ba chữ số La Mã: I, V, X cùng với hai cụm: IV và IX. Đây là năm thành phần cơ bản, mỗi thành phần có giá trị cố định dù đứng ở bất kì vị trí nào:

Các số La Mã từ 1 đến 10:

Từ 11 đến 20: Thêm X vào bên trái mỗi số từ I đến X.

Từ 21 đến 30: Thêm XX vào bên trái mỗi số từ I đến X.

Nhận xét quan trọng

Mỗi số La Mã biểu diễn một số tự nhiên bằng tổng giá trị của các thành phần viết nên nó.

Ví dụ: Số XXVII gồm ba thành phần: X, X và VII, tương ứng giá trị $10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27$.

Không có số La Mã nào biểu diễn số $0$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Xác định hàng, giá trị chữ số và biểu diễn tổng

Phương pháp giải

Cần phân biệt rõ các khái niệm:

• Chữ số là từng con số riêng lẻ tạo nên số đó.
• Số chục là số tạo bởi các chữ số từ hàng chục trở lên; chữ số hàng chục là chữ số đứng ở hàng chục.
• Số trăm là số tạo bởi các chữ số từ hàng trăm trở lên; chữ số hàng trăm là chữ số đứng ở hàng trăm.

Ví dụ nhanh: Số $5\ 274$ có các chữ số là $5, 2, 7, 4$; số chục là $527$, chữ số hàng chục là $7$; số trăm là $52$, chữ số hàng trăm là $2$.

Để biểu diễn số thành tổng giá trị các chữ số, ta nhân mỗi chữ số với giá trị của hàng tương ứng rồi cộng lại.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Cho số $53\ 802$.

a) Chữ số $8$ đứng ở hàng nào và có giá trị bằng bao nhiêu?

b) Viết số $53\ 802$ thành tổng giá trị các chữ số.

Lời giải:

a) Ta xác định vị trí từng chữ số trong số $53\ 802$:

Chữ số $8$ đứng ở hàng trăm, có giá trị bằng $8 \times 100 = 800$.

b) Biểu diễn thành tổng:

$$53\ 802 = (5 \times 10\ 000) + (3 \times 1\ 000) + (8 \times 100) + (0 \times 10) + 2$$

$$= 50\ 000 + 3\ 000 + 800 + 2$$

Ví dụ 2: Cho số $6\ 230\ 415$.

a) Đọc số đã cho.

b) Chữ số $3$ trong số đã cho có giá trị là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Ta tách thành các lớp: $6\ |\ 230\ |\ 415$.

• Lớp triệu: $6$ → sáu triệu
• Lớp nghìn: $230$ → hai trăm ba mươi nghìn
• Lớp đơn vị: $415$ → bốn trăm mười lăm

Đọc: sáu triệu hai trăm ba mươi nghìn bốn trăm mười lăm.

b) Chữ số $3$ đứng ở hàng chục nghìn, có giá trị bằng $3 \times 10\ 000 = 30\ 000$.

Ví dụ 3: Chữ số $5$ đứng ở hàng nào trong một số tự nhiên nếu nó có giá trị bằng:

a) $500$   b) $50$   c) $5\ 000$

Lời giải:

a) $500 = 5 \times 100$ → chữ số $5$ đứng ở hàng trăm.

b) $50 = 5 \times 10$ → chữ số $5$ đứng ở hàng chục.

c) $5\ 000 = 5 \times 1\ 000$ → chữ số $5$ đứng ở hàng nghìn.

Dạng 2: Viết số tự nhiên từ các chữ số cho trước

Phương pháp giải

• Chọn một chữ số trong các chữ số đã cho làm chữ số ở hàng cao nhất.
• Lần lượt xếp các chữ số còn lại vào các hàng tiếp theo.
• Chú ý: Chữ số $0$ không thể đứng ở vị trí đầu tiên (hàng cao nhất) của số.
• Số nhỏ nhất có $n$ chữ số là $1\underbrace{00…0}_{n-1}$ (1 theo sau bởi $n – 1$ chữ số 0).
• Số lớn nhất có $n$ chữ số là $\underbrace{99…9}_{n}$ ($n$ chữ số 9).

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Dùng ba chữ số $0, 3, 5$, hãy viết tất cả các số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số khác nhau.

Lời giải:

Số có ba chữ số nên chữ số hàng trăm phải khác 0. Vậy chữ số hàng trăm chỉ có thể là $3$ hoặc $5$.

• Nếu chữ số hàng trăm là $3$: hai chữ số còn lại là $0$ và $5$, ta được $305$ và $350$.
• Nếu chữ số hàng trăm là $5$: hai chữ số còn lại là $0$ và $3$, ta được $503$ và $530$.

Vậy có tất cả 4 số: $305;\ 350;\ 503;\ 530$.

Ví dụ 2: Viết số lớn nhất và số nhỏ nhất bằng cách dùng cả năm chữ số $0;\ 1;\ 4;\ 7;\ 8$ (mỗi chữ số chỉ viết một lần).

Lời giải:

Vì phải dùng cả 5 chữ số đã cho nên cả hai số đều có 5 chữ số.

Số lớn nhất: Chữ số ở hàng cao nhất (hàng vạn) phải lớn nhất có thể. Trong 5 chữ số, lớn nhất là $8$. Tiếp theo hàng nghìn lấy $7$, hàng trăm lấy $4$, hàng chục lấy $1$, hàng đơn vị lấy $0$.

→ Số lớn nhất: $87\ 410$.

Số nhỏ nhất: Chữ số ở hàng vạn phải nhỏ nhất nhưng khác 0. Chữ số nhỏ nhất khác 0 là $1$. Các hàng tiếp theo lần lượt lấy $0, 4, 7, 8$.

→ Số nhỏ nhất: $10\ 478$.

Ví dụ 3: Dùng ba chữ số $2, 0, 7$, viết tất cả các số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau.

Lời giải:

Chữ số hàng trăm phải khác $0$, nên chỉ có thể là $2$ hoặc $7$.

• Chữ số hàng trăm là $2$: ta được $207$ và $270$.
• Chữ số hàng trăm là $7$: ta được $702$ và $720$.

Vậy các số cần tìm là: $207;\ 270;\ 702;\ 720$.

Dạng 3: Tính số các số tự nhiên

Phương pháp giải

• Số các số có $n$ chữ số bằng: (số lớn nhất có $n$ chữ số) $-$ (số nhỏ nhất có $n$ chữ số) $+ 1$.

$$\underbrace{99…9}_{n} – \underbrace{10…0}_{n} + 1$$

• Để đếm các số tự nhiên từ $a$ đến $b$, hai số kế tiếp cách nhau $d$ đơn vị, ta dùng công thức:

$$\text{Số các số} = \dfrac{b – a}{d} + 1$$

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: a) Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số?

b) Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số?

Lời giải:

a) Số nhỏ nhất có 4 chữ số là $1\ 000$. Số lớn nhất có 4 chữ số là $9\ 999$.

Số các số có 4 chữ số: $9\ 999 – 1\ 000 + 1 = 9\ 000$ (số).

b) Số nhỏ nhất có 5 chữ số là $10\ 000$. Số lớn nhất có 5 chữ số là $99\ 999$.

Số các số có 5 chữ số: $99\ 999 – 10\ 000 + 1 = 90\ 000$ (số).

Ví dụ 2: Tính số các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số.

Lời giải:

Các số tự nhiên chẵn có 4 chữ số là: $1\ 000;\ 1\ 002;\ 1\ 004;\ …;\ 9\ 998$.

Đây là dãy số cách đều với: số đầu $a = 1\ 000$, số cuối $b = 9\ 998$, khoảng cách $d = 2$.

Áp dụng công thức:

$$\text{Số các số} = \dfrac{9\ 998 – 1\ 000}{2} + 1 = \dfrac{8\ 998}{2} + 1 = 4\ 499 + 1 = 4\ 500 \text{ (số)}$$

Dạng 4: Đọc và viết số La Mã

Phương pháp giải

Sử dụng bảng số La Mã từ 1 đến 30 đã học. Ghi nhớ 5 thành phần cơ bản và giá trị tương ứng:

Quy tắc đọc: Mỗi số La Mã bằng tổng giá trị các thành phần tạo nên nó. Tách số La Mã thành các thành phần rồi cộng giá trị.

Quy tắc viết: Chuyển số thập phân thành tổng các giá trị $10, 9, 5, 4, 1$ rồi thay bằng kí tự La Mã tương ứng.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Đọc các số La Mã sau: XVII; XXIV; XXIX.

Lời giải:

XVII: Tách thành X, V, I, I → $10 + 5 + 1 + 1 = 17$. Đọc: mười bảy.

XXIV: Tách thành X, X, IV → $10 + 10 + 4 = 24$. Đọc: hai mươi bốn.

XXIX: Tách thành X, X, IX → $10 + 10 + 9 = 29$. Đọc: hai mươi chín.

Ví dụ 2: Viết các số sau bằng số La Mã: $13;\ 22;\ 28$.

Lời giải:

Số 13: $13 = 10 + 3 = \text{X} + \text{III}$ → XIII.

Số 22: $22 = 20 + 2 = 10 + 10 + 2 = \text{XX} + \text{II}$ → XXII.

Số 28: $28 = 20 + 8 = 10 + 10 + 5 + 3 = \text{XX} + \text{VIII}$ → XXVIII.

Những sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ và giải nhanh

Phân biệt “chữ số” và “số”: “Chữ số hàng X” luôn là một con số duy nhất (từ 0 đến 9). “Số X” là số tạo bởi tất cả các chữ số từ hàng đó trở lên. Ví dụ với số $4\ 827$: chữ số hàng trăm = $8$, số trăm = $48$.

Viết số lớn nhất / nhỏ nhất: Số lớn nhất thì sắp chữ số giảm dần từ trái sang phải. Số nhỏ nhất thì sắp tăng dần, nhưng nhớ đưa chữ số khác $0$ nhỏ nhất lên đầu.

Đọc số La Mã nhanh: Nhớ rằng IV = 4 và IX = 9 là hai trường hợp đặc biệt (trừ thay vì cộng). Ngoài ra chỉ cần cộng giá trị các kí tự lại.

Tổng kết

Bài Cách ghi số tự nhiên cung cấp những kiến thức nền tảng về biểu diễn số trong hệ thập phân và hệ La Mã:

• Trong hệ thập phân, mỗi số được viết bằng 10 chữ số ($0$ đến $9$), cứ 10 đơn vị ở một hàng bằng 1 đơn vị hàng liền trước.
• Giá trị của mỗi chữ số phụ thuộc vào hàng mà nó đứng. Mọi số tự nhiên đều biểu diễn được thành tổng giá trị các chữ số.
• Số La Mã từ 1 đến 30 dùng 5 thành phần: I (1), V (5), X (10), IV (4), IX (9). Giá trị mỗi thành phần không thay đổi theo vị trí.
• Cần phân biệt rõ: chữ số ≠ số, chữ số hàng chục ≠ số chục.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du