Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Bội chung là gì?

Xét hai số 8 và 6. Liệt kê bội của từng số:

$$B(8) = \lbrace 0;; 8;; 16;; 24;; 32;; 40;; 48;; \ldots \rbrace$$

$$B(6) = \lbrace 0;; 6;; 12;; 18;; 24;; 30;; 36;; 42;; 48;; \ldots \rbrace$$

Các số $0;; 24;; 48;; \ldots$ vừa là bội của 8, vừa là bội của 6. Ta gọi chúng là bội chung của 8 và 6.

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

Ta kí hiệu $BC(a, b)$ là tập hợp các bội chung của $a$ và $b$.

Vậy $BC(8, 6) = \lbrace 0;; 24;; 48;; 72;; \ldots \rbrace$.

Bội chung nhỏ nhất là gì?

Trong tập hợp $BC(8, 6)$, bỏ số 0 đi, số nhỏ nhất còn lại là $24$. Ta gọi $24$ là bội chung nhỏ nhất của 8 và 6.

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Ta kí hiệu $BCNN(a, b)$ là bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b$.

Vậy $BCNN(8, 6) = 24$.

Lưu ý: $BC(a, b)$ là một tập hợp (vô hạn), còn $BCNN(a, b)$ là một số.

Trường hợp đặc biệt

• Nếu trong các số đã cho, số lớn nhất là bội của tất cả các số còn lại thì BCNN chính là số lớn nhất đó. Ví dụ: $BCNN(8, 24) = 24$ vì $24 ;\vdots; 8$.
• Với mọi số tự nhiên $a$ khác 0: $BCNN(a, 1) = a$.

Ví dụ: $BCNN(36, 9) = 36$ vì $36 ;\vdots; 9$.

Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Tìm BCNN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố

Để tìm $BCNN$ của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN cần tìm.

Ví dụ: Tìm $BCNN(18, 30)$.

Bước 1 – Phân tích: $18 = 2 \cdot 3^2$; $\quad 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Bước 2 – Thừa số chung: $2, 3$. Thừa số riêng: $5$.

Bước 3 – Lấy số mũ lớn nhất: $2^1$, $3^2$, $5^1$.

$$BCNN(18, 30) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 90$$

So sánh với ƯCLN: ƯCLN lấy thừa số chung, mũ nhỏ nhất. BCNN lấy tất cả (chung + riêng), mũ lớn nhất. Nhớ: “ƯCLN = Chung + Nhỏ; BCNN = Tất cả + Lớn”.

Tìm bội chung từ BCNN

Khi đã biết BCNN, ta tìm bội chung bằng cách:

Bước 1: Tìm BCNN.

Bước 2: Tìm các bội của BCNN đó (nhân với $0, 1, 2, 3, \ldots$). Tập hợp các bội ấy chính là tập bội chung.

Ví dụ: Biết $BCNN(8, 6) = 24$. Tìm các bội chung nhỏ hơn 100 của 8 và 6.

$BC(8, 6) = B(24) = \lbrace 0;; 24;; 48;; 72;; 96;; 120;; \ldots \rbrace$.

Các bội chung nhỏ hơn 100 là: $0;; 24;; 48;; 72;; 96$.

Quy đồng mẫu các phân số

Vận dụng BCNN để tìm mẫu chung

Khi quy đồng mẫu các phân số, ta cần tìm mẫu chung – thông thường chọn mẫu chung là BCNN của các mẫu.

Ví dụ: Quy đồng mẫu hai phân số $\dfrac{3}{10}$ và $\dfrac{7}{15}$.

$BCNN(10, 15) = 30$. Lấy mẫu chung là 30:

$$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}; \qquad \frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{14}{30}$$

Cộng, trừ phân số

Sau khi quy đồng mẫu, ta thực hiện phép cộng (trừ) các tử số, giữ nguyên mẫu.

Ví dụ: Tính $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}$.

$BCNN(4, 6) = 12$. Quy đồng mẫu:

$$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}; \qquad \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$$

Cộng: $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}$.

Ví dụ: Tính $\dfrac{11}{12} – \dfrac{3}{8}$.

$BCNN(12, 8) = 24$. Quy đồng:

$$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{22}{24}; \qquad \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$$

Trừ: $\dfrac{11}{12} – \dfrac{3}{8} = \dfrac{22}{24} – \dfrac{9}{24} = \dfrac{13}{24}$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tìm BCNN của các số cho trước

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc 3 bước: phân tích ra thừa số nguyên tố → chọn thừa số chung và riêng → lấy mũ lớn nhất.

Chú ý trường hợp đặc biệt: nếu số lớn nhất chia hết cho các số còn lại thì BCNN chính là số lớn nhất.

Bài mẫu

Bài mẫu 1. Tìm BCNN của các số:

a) $BCNN(15, 18)$ $\qquad$ b) $BCNN(84, 108)$ $\qquad$ c) $BCNN(8, 18, 30)$

Giải:

a) Phân tích: $15 = 3 \cdot 5$; $\quad 18 = 2 \cdot 3^2$.

Thừa số chung: $3$. Thừa số riêng: $2$ và $5$.

Lấy mũ lớn nhất: $2^1$, $3^2$, $5^1$.

$$BCNN(15, 18) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 90$$

b) Phân tích: $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$; $\quad 108 = 2^2 \cdot 3^3$.

Thừa số chung: $2$ và $3$. Thừa số riêng: $7$.

Lấy mũ lớn nhất: $2^2$, $3^3$, $7^1$.

$$BCNN(84, 108) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7 = 4 \cdot 27 \cdot 7 = 756$$

c) Phân tích: $8 = 2^3$; $\quad 18 = 2 \cdot 3^2$; $\quad 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Thừa số chung: $2$ và $3$. Thừa số riêng: $5$.

Lấy mũ lớn nhất: $2^3$, $3^2$, $5^1$.

$$BCNN(8, 18, 30) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$$

Dạng 2: Tìm bội chung thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm BCNN của các số.

Bước 2: Tìm các bội của BCNN (nhân với $0, 1, 2, 3, \ldots$).

Bước 3: Chọn các bội thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài mẫu

Bài mẫu 2. Tìm các bội chung của 8 và 10 thông qua BCNN.

Giải:

Phân tích: $8 = 2^3$; $\quad 10 = 2 \cdot 5$.

$$BCNN(8, 10) = 2^3 \cdot 5 = 40$$

Vậy $BC(8, 10) = B(40) = \lbrace 0;; 40;; 80;; 120;; \ldots \rbrace$.

Bài mẫu 3. Tìm số tự nhiên $x$ thỏa mãn $x ;\vdots; 4$, $x ;\vdots; 6$ và $0 < x < 50$.

Giải:

Vì $x ;\vdots; 4$ và $x ;\vdots; 6$ nên $x \in BC(4, 6)$.

Tìm BCNN: $BCNN(4, 6) = 12$.

Vậy $BC(4, 6) = \lbrace 0;; 12;; 24;; 36;; 48;; 60;; \ldots \rbrace$.

Chọn $x$ thỏa mãn $0 < x < 50$:

$$x \in \lbrace 12;; 24;; 36;; 48 \rbrace$$

Dạng 3: Tìm số tự nhiên biết ƯCLN và BCNN

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất: tích hai số bằng tích ƯCLN và BCNN, tức là $a \cdot b = ƯCLN(a, b) \cdot BCNN(a, b)$.

Nếu biết $ƯCLN(a, b) = d$, ta đặt $a = d \cdot a_1$, $b = d \cdot b_1$ với $ƯCLN(a_1, b_1) = 1$. Sau đó dùng $a_1 \cdot b_1 = \dfrac{BCNN}{d}$ để tìm các cặp $(a_1, b_1)$.

Bài mẫu

Bài mẫu 4. Tìm số tự nhiên $a, b$ biết $ƯCLN(a, b) = 5$ và $BCNN(a, b) = 60$.

Giải:

Vì $ƯCLN(a, b) = 5$ nên đặt $a = 5a_1$, $b = 5b_1$ với $ƯCLN(a_1, b_1) = 1$.

Ta có: $a \cdot b = ƯCLN \cdot BCNN = 5 \cdot 60 = 300$.

Mà $a \cdot b = 5a_1 \cdot 5b_1 = 25 \cdot a_1 \cdot b_1 = 300$.

Suy ra $a_1 \cdot b_1 = 12$.

Liệt kê các cặp $(a_1, b_1)$ nguyên tố cùng nhau có tích bằng 12:

Các cặp $(a, b)$ tương ứng:

• $(a_1, b_1) = (1, 12) \Rightarrow (a, b) = (5, 60)$
• $(a_1, b_1) = (12, 1) \Rightarrow (a, b) = (60, 5)$
• $(a_1, b_1) = (3, 4) \Rightarrow (a, b) = (15, 20)$
• $(a_1, b_1) = (4, 3) \Rightarrow (a, b) = (20, 15)$

Vậy các cặp $(a, b)$ cần tìm là: $(5;; 60)$, $(60;; 5)$, $(15;; 20)$, $(20;; 15)$.

Dạng 4: Bài toán có lời văn đưa về tìm BCNN

Phương pháp giải

Bước 1: Gọi ẩn, đặt đơn vị, điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Dựa vào đề bài, nhận ra ẩn phải là bội chung của các số cho trước.

Bước 3: Tìm BCNN, liệt kê bội chung, chọn giá trị thỏa mãn điều kiện.

Bước 4: Trả lời và kết luận.

Lưu ý: Nếu đề bài nói “chia hết thì vừa đủ” → ẩn là bội chung. Nếu nói “chia thì thiếu (hoặc dư) $k$” → ẩn là bội chung trừ (hoặc cộng) $k$.

Bài mẫu

Bài mẫu 5. Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ. Tìm tổng số sách biết số sách trong khoảng 200 đến 500.

Giải:

Gọi $x$ là số sách cần tìm ($x \in \mathbb{N}$, $200 \leq x \leq 500$).

Vì xếp 10, 12, 18 cuốn đều vừa đủ nên $x ;\vdots; 10$, $x ;\vdots; 12$, $x ;\vdots; 18$.

Suy ra $x \in BC(10, 12, 18)$.

Tìm BCNN:

• $10 = 2 \cdot 5$; $\quad 12 = 2^2 \cdot 3$; $\quad 18 = 2 \cdot 3^2$.
• Thừa số chung: $2, 3$. Riêng: $5$. Mũ lớn nhất: $2^2, 3^2, 5^1$.

$$BCNN(10, 12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180$$

$BC(10, 12, 18) = \lbrace 0;; 180;; 360;; 540;; \ldots \rbrace$.

Chọn $x$ thỏa mãn $200 \leq x \leq 500$: $x = 360$.

Vậy số sách cần tìm là 360 quyển.

Bài mẫu 6. Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 300 đến 400. Biết rằng nếu xếp hàng 5, hàng 8, hàng 12 thì đều thiếu 1 em. Tính số học sinh khối 6.

Giải:

Gọi $x$ là số học sinh ($x \in \mathbb{N}$, $300 \leq x \leq 400$).

Xếp hàng 5 thiếu 1 em nghĩa là nếu thêm 1 em nữa thì chia hết cho 5. Tương tự cho 8 và 12. Vậy:

$$(x + 1) ;\vdots; 5, \quad (x + 1) ;\vdots; 8, \quad (x + 1) ;\vdots; 12$$

Suy ra $(x + 1) \in BC(5, 8, 12)$.

Tìm BCNN:

• $5 = 5$; $\quad 8 = 2^3$; $\quad 12 = 2^2 \cdot 3$.
• Mũ lớn nhất: $2^3, 3^1, 5^1$.

$$BCNN(5, 8, 12) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120$$

$BC(5, 8, 12) = \lbrace 0;; 120;; 240;; 360;; 480;; \ldots \rbrace$.

Vì $300 \leq x \leq 400$ nên $301 \leq x + 1 \leq 401$. Chọn $x + 1 = 360$.

$$x = 360 – 1 = 359$$

Vậy số học sinh khối 6 là 359 học sinh.

Bài mẫu 7. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 3 dư 2, chia cho 7 dư 6, chia cho 25 dư 24.

Giải:

Gọi $x$ là số cần tìm.

Nhận xét: chia 3 dư 2 nghĩa là thiếu 1 để chia hết cho 3; chia 7 dư 6 nghĩa là thiếu 1 để chia hết cho 7; chia 25 dư 24 nghĩa là thiếu 1 để chia hết cho 25.

Vậy $(x + 1) ;\vdots; 3$, $(x + 1) ;\vdots; 7$, $(x + 1) ;\vdots; 25$.

Để $x$ nhỏ nhất thì $x + 1$ phải bằng $BCNN(3, 7, 25)$.

$3, 7, 25$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên:

$$BCNN(3, 7, 25) = 3 \cdot 7 \cdot 25 = 525$$

$$x = 525 – 1 = 524$$

Vậy số cần tìm là 524.

Dạng 5: Quy đồng mẫu và cộng trừ phân số

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm BCNN của các mẫu số → đó là mẫu chung.

Bước 2: Nhân cả tử và mẫu mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng (thừa số phụ = mẫu chung chia cho mẫu cũ).

Bước 3: Nếu cần cộng/trừ, thực hiện phép tính trên tử số, giữ nguyên mẫu.

Bài mẫu

Bài mẫu 8. Quy đồng mẫu các phân số $\dfrac{3}{8}$, $\dfrac{5}{9}$ và $\dfrac{1}{6}$.

Giải:

Tìm BCNN của các mẫu: $6 = 2 \cdot 3$; $\quad 8 = 2^3$; $\quad 9 = 3^2$.

$$BCNN(6, 8, 9) = 2^3 \cdot 3^2 = 72$$

Mẫu chung là 72. Tính thừa số phụ:

• $72 : 8 = 9$ → $\dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \dfrac{27}{72}$
• $72 : 9 = 8$ → $\dfrac{5}{9} = \dfrac{5 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \dfrac{40}{72}$
• $72 : 6 = 12$ → $\dfrac{1}{6} = \dfrac{1 \cdot 12}{6 \cdot 12} = \dfrac{12}{72}$

Bài mẫu 9. Thực hiện phép tính: $\dfrac{7}{20} – \dfrac{2}{15}$.

Giải:

Tìm BCNN của mẫu: $20 = 2^2 \cdot 5$; $\quad 15 = 3 \cdot 5$.

$$BCNN(20, 15) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$$

Quy đồng mẫu 60:

$$\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{21}{60}; \qquad \frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{8}{60}$$

Trừ:

$$\frac{7}{20} – \frac{2}{15} = \frac{21}{60} – \frac{8}{60} = \frac{13}{60}$$

Sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ

Phân biệt ƯCLN và BCNN:

Nhận biết bài toán BCNN: Khi đề bài nói “vừa đủ”, “ít nhất”, “lần đầu tiên lại trùng nhau”, “cùng lúc” → nghĩ đến BCNN.

Mẹo bài toán “dư” hoặc “thiếu”:

• Xếp hàng thiếu $k$ em → $(x + k)$ chia hết → tìm bội chung rồi trừ $k$.
• Xếp hàng dư $k$ em → $(x – k)$ chia hết → tìm bội chung rồi cộng $k$.

Công thức quan trọng: $a \cdot b = ƯCLN(a, b) \cdot BCNN(a, b)$. Biết ƯCLN và BCNN thì suy ra tích, và ngược lại.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du