Lý thuyết về thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên

Tia số và điểm biểu diễn số tự nhiên

Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là $\mathbb{N} = {0; 1; 2; 3; …}$. Mỗi số tự nhiên được biểu diễn bởi một điểm trên tia số.

Trên tia số, điểm biểu diễn số tự nhiên $a$ được gọi là điểm $a$. Chẳng hạn: điểm $0$, điểm $3$, điểm $7$, …

Tia số giúp ta quan sát trực quan thứ tự của các số tự nhiên: số nằm bên trái thì nhỏ hơn, số nằm bên phải thì lớn hơn.

So sánh hai số tự nhiên

Trong hai số tự nhiên khác nhau, luôn có một số nhỏ hơn số còn lại.

Nếu số $a$ nhỏ hơn số $b$, trên tia số nằm ngang, điểm $a$ nằm bên trái điểm $b$. Khi đó ta viết:

$$a < b \quad \text{hoặc} \quad b > a$$

Ta còn nói: điểm $a$ nằm trước điểm $b$, hoặc điểm $b$ nằm sau điểm $a$.

Ví dụ: Vì $3 < 7$ nên trên tia số, điểm $3$ nằm bên trái (nằm trước) điểm $7$.

Số liền trước, số liền sau và số tự nhiên liên tiếp

Mỗi số tự nhiên có đúng một số liền sau. Chẳng hạn, $6$ là số liền sau của $5$ (và $5$ là số liền trước của $6$). Hai số $5$ và $6$ là hai số tự nhiên liên tiếp.

Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị. Nếu $a$ là một số tự nhiên thì:

• Số liền sau của $a$ là $a + 1$.
• Số liền trước của $a$ (với $a \neq 0$) là $a – 1$.

Ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần có dạng: $a,\ a + 1,\ a + 2$.

Chú ý: Số $0$ không có số tự nhiên liền trước và là số tự nhiên nhỏ nhất.

Tính chất bắc cầu

Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.

Ví dụ: Từ $a < 6$ và $6 < 9$, suy ra $a < 9$.

Các kí hiệu $\leq$ và $\geq$

Kí hiệu $a \leq b$ (đọc là “$a$ nhỏ hơn hoặc bằng $b$”) có nghĩa là “$a < b$ hoặc $a = b$”.

Tương tự, kí hiệu $a \geq b$ (đọc là “$a$ lớn hơn hoặc bằng $b$”) có nghĩa là “$a > b$ hoặc $a = b$”.

Ví dụ so sánh:

$${x \in \mathbb{N} \mid x < 3} = {0; 1; 2}$$

$${x \in \mathbb{N} \mid x \leq 3} = {0; 1; 2; 3}$$

Tính chất bắc cầu mở rộng: nếu $a \leq b$ và $b \leq c$ thì $a \leq c$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tìm số tự nhiên liền trước, liền sau

Phương pháp giải

• Trên tia số nằm ngang, chiều mũi tên đi từ trái sang phải: điểm bên trái biểu diễn số nhỏ, điểm bên phải biểu diễn số lớn.
• Để tìm số liền sau của số tự nhiên $a$, ta tính $a + 1$.
• Để tìm số liền trước của số tự nhiên $a$ (với $a \neq 0$), ta tính $a – 1$.
• Số $0$ không có số tự nhiên liền trước.
• Ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần có dạng: $a,\ a+1,\ a+2$ hoặc $a-1,\ a,\ a+1$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1:

a) Viết số tự nhiên liền sau mỗi số: $56;\ 399;\ 5\ 209$.

b) Viết số tự nhiên liền trước mỗi số: $83;\ 250;\ 7\ 001$.

c) Viết số tự nhiên liền trước và liền sau của số tự nhiên $a$ (với $a \neq 0$).

Lời giải:

a) Số tự nhiên liền sau của $56$ là $56 + 1 = 57$.

Số tự nhiên liền sau của $399$ là $399 + 1 = 400$.

Số tự nhiên liền sau của $5\ 209$ là $5\ 209 + 1 = 5\ 210$.

b) Số tự nhiên liền trước của $83$ là $83 – 1 = 82$.

Số tự nhiên liền trước của $250$ là $250 – 1 = 249$.

Số tự nhiên liền trước của $7\ 001$ là $7\ 001 – 1 = 7\ 000$.

c) Số tự nhiên liền trước của $a$ là $a – 1$; số tự nhiên liền sau của $a$ là $a + 1$.

Ví dụ 2: Viết thêm các số liền trước và liền sau của hai số $2\ 415$ và $2\ 418$ để được sáu số tự nhiên, rồi sắp xếp sáu số đó theo thứ tự từ bé đến lớn.

Lời giải:

Số liền trước và liền sau của $2\ 415$ là $2\ 414$ và $2\ 416$.

Số liền trước và liền sau của $2\ 418$ là $2\ 417$ và $2\ 419$.

Sáu số là: $2\ 414;\ 2\ 415;\ 2\ 416;\ 2\ 417;\ 2\ 418;\ 2\ 419$.

Sắp xếp từ bé đến lớn: $2\ 414 < 2\ 415 < 2\ 416 < 2\ 417 < 2\ 418 < 2\ 419$.

Ví dụ 3: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tổng của chúng bằng $33$.

Lời giải:

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là $a,\ a + 1,\ a + 2$.

Ta có:

$$a + (a + 1) + (a + 2) = 33$$

$$3a + 3 = 33$$

$$3a = 30$$

$$a = 10$$

Vậy ba số tự nhiên cần tìm là $10,\ 11,\ 12$.

Dạng 2: Viết tập hợp các số tự nhiên và biểu diễn trên tia số

Phương pháp giải

• Viết tập hợp các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài bằng hai cách: liệt kê phần tử hoặc chỉ ra tính chất đặc trưng.
• Số các số tự nhiên liên tiếp từ $a$ đến $b$ là $b – a + 1$.
• Số các số chẵn (hoặc lẻ) liên tiếp từ $a$ đến $b$ là $\dfrac{b – a}{2} + 1$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Viết tập hợp $A$ các số tự nhiên không vượt quá $6$ bằng hai cách.

Lời giải:

Cách 1 (liệt kê): $A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}$

Cách 2 (tính chất đặc trưng): $A = {x \in \mathbb{N} \mid x \leq 6}$

Ví dụ 2: Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau:

a) $M = {x \in \mathbb{N} \mid 8 \leq x < 13}$

b) $K = {x \in \mathbb{N}^* \mid x \leq 4}$

c) $L = {x \in \mathbb{N} \mid x \leq 4}$

Lời giải:

a) Ta cần tìm các số tự nhiên $x$ thoả $8 \leq x < 13$, tức là $x$ từ $8$ đến $12$ (không lấy $13$).

$$M = {8; 9; 10; 11; 12}$$

b) $x \in \mathbb{N}^*$ nên $x \geq 1$, kết hợp $x \leq 4$:

$$K = {1; 2; 3; 4}$$

c) $x \in \mathbb{N}$ nên $x \geq 0$, kết hợp $x \leq 4$:

$$L = {0; 1; 2; 3; 4}$$

So sánh: Tập $L$ có thêm số $0$ so với tập $K$ vì $\mathbb{N}$ bao gồm $0$ còn $\mathbb{N}^*$ thì không.

Ví dụ 3: Viết các tập hợp sau và cho biết mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử:

a) Tập hợp $C$ các số tự nhiên $a$ thoả mãn $2a + 5 = 19$.

b) Tập hợp $D$ các số tự nhiên chẵn lớn hơn $4$ và nhỏ hơn $80$.

Lời giải:

a) Giải phương trình:

$$2a + 5 = 19$$

$$2a = 14$$

$$a = 7$$

Vậy $C = {7}$. Tập $C$ có 1 phần tử.

b) Các số tự nhiên chẵn lớn hơn $4$ và nhỏ hơn $80$ là: $6; 8; 10; …; 78$.

Số phần tử: $\dfrac{78 – 6}{2} + 1 = 37$ (phần tử).

Vậy tập $D$ có 37 phần tử.

Dạng 3: So sánh hai số tự nhiên

Phương pháp giải

Để so sánh hai số tự nhiên, ta áp dụng các quy tắc sau:

• Số nào có nhiều chữ số hơn thì lớn hơn. Ví dụ: $100 > 99$ vì $100$ có 3 chữ số còn $99$ có 2 chữ số.
• Nếu hai số có cùng số chữ số, ta so sánh từng cặp chữ số ở cùng một hàng kể từ trái sang phải cho đến khi gặp cặp chữ số đầu tiên khác nhau.
• Sử dụng tính chất bắc cầu: nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.
• Có thể sắp xếp các số tự nhiên theo thứ tự từ bé đến lớn hoặc từ lớn đến bé.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: So sánh:

a) $8\ 997$ và $10\ 001$

b) $637\ 482$ và $637\ 459$

Lời giải:

a) Số $10\ 001$ có 5 chữ số; số $8\ 997$ có 4 chữ số. Số nào nhiều chữ số hơn thì lớn hơn.

Vậy $10\ 001 > 8\ 997$.

b) Hai số $637\ 482$ và $637\ 459$ có cùng 6 chữ số. Ta so sánh từng cặp chữ số từ trái sang phải:

• Hàng trăm nghìn: $6 = 6$ → tiếp tục
• Hàng chục nghìn: $3 = 3$ → tiếp tục
• Hàng nghìn: $7 = 7$ → tiếp tục
• Hàng trăm: $4 = 4$ → tiếp tục
• Hàng chục: $8 > 5$ → dừng lại

Vậy $637\ 482 > 637\ 459$.

Ví dụ 2: Viết các số sau theo thứ tự từ bé đến lớn:

a) $6\ 428;\ 6\ 248;\ 6\ 482$

b) $3\ 815;\ 3\ 851;\ 3\ 518$

Lời giải:

a) Ba số đều có 4 chữ số và cùng chữ số hàng nghìn là $6$. So sánh hàng trăm: $2 < 4$, nên $6\ 248$ nhỏ nhất. Giữa $6\ 428$ và $6\ 482$: hàng trăm đều là $4$, hàng chục $2 < 8$.

Thứ tự từ bé đến lớn: $6\ 248 < 6\ 428 < 6\ 482$.

b) Ba số đều có 4 chữ số và cùng chữ số hàng nghìn là $3$. So sánh hàng trăm: $5 < 8$, nên $3\ 518$ nhỏ nhất. Giữa $3\ 815$ và $3\ 851$: hàng trăm đều là $8$, hàng chục $1 < 5$.

Thứ tự từ bé đến lớn: $3\ 518 < 3\ 815 < 3\ 851$.

Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên $x$, biết:

a) $x < 4$

b) $3 < x < 7$

Lời giải:

a) Các số tự nhiên nhỏ hơn $4$ là: $0; 1; 2; 3$.

Vậy $x \in {0; 1; 2; 3}$.

b) Các số tự nhiên lớn hơn $3$ và nhỏ hơn $7$ là: $4; 5; 6$.

Vậy $x \in {4; 5; 6}$.

Ví dụ 4: Tìm số tròn chục $x$, biết: $53 < x < 87$.

Lời giải:

Số tròn chục là số có chữ số hàng đơn vị bằng $0$: $10; 20; 30; …$

Các số tròn chục lớn hơn $53$ và nhỏ hơn $87$ là: $60; 70; 80$.

Vậy $x \in {60; 70; 80}$.

Dạng 4: Bài toán thực tế

Phương pháp giải

• Sử dụng tính chất bắc cầu để so sánh: nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.
• Dựa vào thứ tự trong tập hợp số tự nhiên để suy luận từ các dữ kiện thực tế.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Theo dõi kết quả kinh doanh trong một ngày của một quán ăn, người ta nhận thấy:

• Doanh thu buổi trưa nhiều hơn buổi tối.
• Doanh thu buổi sáng ít hơn buổi tối.

Hãy so sánh doanh thu của quán ăn vào buổi trưa và buổi sáng.

Lời giải:

Gọi doanh thu buổi sáng, trưa, tối lần lượt là $x,\ y,\ z$ (đều là số tự nhiên).

Theo đề bài:

• Doanh thu buổi trưa nhiều hơn buổi tối: $y > z$ … (1)
• Doanh thu buổi sáng ít hơn buổi tối: $x < z$, hay $z > x$ … (2)

Từ (1) và (2): $y > z$ và $z > x$.

Áp dụng tính chất bắc cầu, ta suy ra $y > x$.

Vậy doanh thu buổi trưa nhiều hơn doanh thu buổi sáng.

Ví dụ 2: Ba bạn Dũng, Hiếu, Thắng dựng cố định một cây sào thẳng đứng rồi đánh dấu chiều cao của mình lên đó bởi ba điểm. Thắng đặt tên cho các điểm theo thứ tự từ dưới lên là $A,\ B,\ C$ và giải thích: điểm $A$ ứng chiều cao bạn Dũng, điểm $B$ ứng chiều cao bạn Hiếu, điểm $C$ ứng chiều cao bạn Thắng.

Biết: Dũng cao $150$ cm, Hiếu cao $153$ cm, Thắng cao $148$ cm. Thắng giải thích có đúng không?

Lời giải:

So sánh chiều cao ba bạn:

$$148 < 150 < 153$$

$$\text{Thắng} < \text{Dũng} < \text{Hiếu}$$

Theo thứ tự từ thấp đến cao (từ dưới lên): Thắng → Dũng → Hiếu.

Vậy thứ tự đúng phải là: điểm $A$ ứng chiều cao Thắng, điểm $B$ ứng chiều cao Dũng, điểm $C$ ứng chiều cao Hiếu.

Kết luận: Bạn Thắng giải thích không đúng. Cần sửa lại thứ tự các điểm từ dưới lên là: $C,\ A,\ B$ (tức điểm thấp nhất là Thắng, rồi đến Dũng, cao nhất là Hiếu).

Ví dụ 3: Mẹ bạn Mai muốn mua một chiếc máy xay sinh tố. Giá sản phẩm tại bốn cửa hàng như sau:

Mẹ bạn Mai nên mua ở cửa hàng nào để rẻ nhất?

Lời giải:

Sắp xếp giá từ bé đến lớn:

$$820\ 000 < 835\ 000 < 850\ 000 < 890\ 000$$

Giá nhỏ nhất là $820\ 000$ đồng, ứng với cửa hàng Phúc Lộc.

Vậy mẹ bạn Mai nên mua máy xay sinh tố ở cửa hàng Phúc Lộc là rẻ nhất.

Những sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ và giải nhanh

So sánh nhanh hai số tự nhiên: Đếm số chữ số trước — nhiều chữ số hơn thì lớn hơn. Nếu bằng nhau mới cần so sánh từng cặp chữ số từ trái sang phải.

Tìm số liền trước / liền sau: Liền sau thì cộng $1$, liền trước thì trừ $1$. Chú ý trường hợp “tràn hàng” như $399 + 1 = 400$ hoặc $1\ 000 – 1 = 999$.

Tìm số tự nhiên liên tiếp biết tổng: Với $n$ số tự nhiên liên tiếp, gọi số nhỏ nhất là $a$. Tổng $n$ số liên tiếp bằng $n \cdot a + (0 + 1 + 2 + … + (n-1))$. Giải phương trình tìm $a$.

Phân biệt $<$ và $\leq$: Kí hiệu $x < 5$ không lấy $5$; kí hiệu $x \leq 5$ có lấy cả $5$. Luôn kiểm tra kĩ dấu trước khi liệt kê.

Tổng kết

Bài Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên giúp học sinh nắm vững cách sắp xếp và so sánh các số tự nhiên:

• Trên tia số, mỗi số tự nhiên được biểu diễn bởi một điểm. Số bên trái nhỏ hơn số bên phải.
• Mỗi số tự nhiên có đúng một số liền sau ($a + 1$). Số $0$ không có số liền trước và là số tự nhiên nhỏ nhất.
• So sánh hai số tự nhiên: so số chữ số trước, nếu bằng nhau thì so từng cặp chữ số từ trái sang phải.
• Tính chất bắc cầu: $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.
• Kí hiệu $\leq$ nghĩa là “nhỏ hơn hoặc bằng“; $\geq$ nghĩa là “lớn hơn hoặc bằng“.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du