Tập hợp là gì? Phần tử của tập hợp

Trong đời sống, chúng ta thường nhắc đến những nhóm đối tượng có chung một đặc điểm nào đó, chẳng hạn: nhóm các bạn trong tổ 1, các cuốn sách trên kệ, hay các con số trên mặt đồng hồ. Trong Toán học, những nhóm đối tượng như vậy được gọi là tập hợp.

Mỗi đối tượng trong tập hợp được gọi là một phần tử của tập hợp đó.

Kí hiệu:

• Nếu $x$ là phần tử của tập hợp $A$, ta viết $x \in A$ và đọc là “$x$ thuộc $A$”.
• Nếu $y$ không phải phần tử của tập hợp $A$, ta viết $y \notin A$ và đọc là “$y$ không thuộc $A$”.

Khi viết $x \in A$, ta cũng có thể nói “$x$ nằm trong $A$” hoặc “$A$ chứa $x$”.

Ví dụ: Gọi $M$ là tập hợp gồm các số $2; 5; 7$ và $10$. Khi đó:

$$2 \in M, \quad 5 \in M, \quad 3 \notin M, \quad 8 \notin M$$

Hai cách mô tả một tập hợp

Tên tập hợp thường được đặt bằng chữ cái in hoa như $A, B, M, P, …$

Có hai cách phổ biến để mô tả một tập hợp:

Cách 1 – Liệt kê phần tử: Viết tất cả các phần tử bên trong dấu ngoặc nhọn ${ }$, các phần tử ngăn cách nhau bởi dấu chấm phẩy “;”. Thứ tự liệt kê là tuỳ ý, nhưng mỗi phần tử chỉ được viết đúng một lần.

Ví dụ: Tập hợp $Q$ gồm các số $1; 3; 5; 7$ được viết:

$$Q = {1; 3; 5; 7}$$

Cách 2 – Nêu tính chất đặc trưng: Chỉ ra điều kiện để xác định các phần tử thuộc tập hợp.

Ví dụ: Tập hợp $Q$ ở trên cũng có thể viết:

$$Q = {x \in \mathbb{N} \mid x \text{ lẻ}, \ x < 8}$$

Lưu ý quan trọng: Khi liệt kê phần tử, không được viết lặp. Chẳng hạn, nếu viết tập hợp các chữ cái trong từ “TOÁN HỌC”, ta viết $L = {T; O; A; N; H; C}$ chứ không viết lặp lại chữ nào.

Một số kí hiệu thường gặp:

• $\mathbb{N}$ là tập hợp các số tự nhiên: $\mathbb{N} = {0; 1; 2; 3; …}$
• $\mathbb{N}^*$ là tập hợp các **số tự nhiên khác 0**: $\mathbb{N}^* = \{1; 2; 3; …\}$

Khi viết $n \in \mathbb{N}$, ta hiểu rằng $n$ là một số tự nhiên. Tương tự, $n \in \mathbb{N}^*$ nghĩa là $n$ là số tự nhiên khác 0.

Ví dụ: Tập hợp $R$ các số tự nhiên nhỏ hơn $4$ có thể viết theo hai cách:

• Liệt kê: $R = {0; 1; 2; 3}$
• Tính chất đặc trưng: $R = {n \in \mathbb{N} \mid n < 4}$

Tập hợp con và tập hợp bằng nhau

Khi tất cả các phần tử của tập hợp $A$ đều nằm trong tập hợp $B$, ta nói $A$ là tập hợp con của $B$ và viết $A \subset B$.

Ví dụ: Cho $A = {2; 4}$ và $B = {1; 2; 3; 4; 5}$. Vì mọi phần tử của $A$ (là $2$ và $4$) đều thuộc $B$, nên $A \subset B$.

Hai tập hợp được gọi là bằng nhau khi $A \subset B$ đồng thời $B \subset A$, kí hiệu $A = B$.

Tập rỗng (kí hiệu $\varnothing$) là tập hợp không chứa phần tử nào. Tập rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp.

Phân biệt $\in$ và $\subset$:

Chú ý: Cần phân biệt rõ $\varnothing$, ${0}$ và ${\varnothing}$. Tập $\varnothing$ không có phần tử nào; tập ${0}$ có đúng một phần tử là số $0$; tập ${\varnothing}$ cũng có một phần tử nhưng phần tử đó là tập rỗng.

Số phần tử của một tập hợp

Một tập hợp có thể có một phần tử, nhiều phần tử, vô số phần tử hoặc không có phần tử nào (tập rỗng).

Để đếm nhanh số phần tử trong một số trường hợp thường gặp, ta dùng các công thức sau:

Ví dụ: Tập hợp các số tự nhiên từ $5$ đến $20$ có $20 – 5 + 1 = 16$ phần tử.

Tập hợp các số chẵn từ $10$ đến $50$ có $\dfrac{50 – 10}{2} + 1 = 21$ phần tử.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Viết tập hợp và chuyển đổi giữa hai cách mô tả

Phương pháp giải:

• Từ tính chất đặc trưng → liệt kê: Xác định điều kiện đề bài cho, tìm tất cả các phần tử thoả mãn rồi viết vào trong dấu ${ }$.
• Từ liệt kê → tính chất đặc trưng: Quan sát các phần tử đã cho, tìm quy luật hoặc đặc điểm chung, rồi diễn đạt bằng điều kiện toán học.

Ví dụ 1: Viết tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử:

$$A = {x \in \mathbb{N} \mid x < 5}$$

Lời giải:

Ta cần tìm tất cả các số tự nhiên ($x \in \mathbb{N}$) mà $x$ nhỏ hơn $5$.

Các số tự nhiên bắt đầu từ $0$, lần lượt là: $0, 1, 2, 3, 4$.

Số $5$ không thoả mãn vì đề yêu cầu $x < 5$ (nhỏ hơn, không bao gồm $5$).

Vậy:

$$A = {0; 1; 2; 3; 4}$$

Ví dụ 2: Viết tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử:

$$B = {x \in \mathbb{N}^* \mid x < 5}$$

Lời giải:

Lần này $x \in \mathbb{N}^*$, tức là $x$ là số tự nhiên khác 0. Nên ta bắt đầu từ $1$.

Các số tự nhiên khác 0 mà nhỏ hơn 5: $1, 2, 3, 4$.

Vậy:

$$B = {1; 2; 3; 4}$$

So sánh: Tập $A$ có thêm số $0$ so với tập $B$, vì $\mathbb{N}$ bao gồm $0$ còn $\mathbb{N}^*$ thì không.

Ví dụ 3: Viết tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng:

$$C = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30}$$

Lời giải:

Quan sát các phần tử: $0, 5, 10, 15, 20, 25, 30$. Ta thấy đây đều là các số chia hết cho $5$ và nằm trong khoảng từ $0$ đến $30$.

Vậy:

$$C = {x \in \mathbb{N} \mid x \text{ chia hết cho } 5, \ x \leq 30}$$

Dạng 2: Quan hệ giữa phần tử và tập hợp, giữa tập hợp và tập hợp

Phương pháp giải:

• Dùng $\in$ hoặc $\notin$ để diễn tả quan hệ giữa một phần tử với một tập hợp.
• Dùng $\subset$ hoặc $=$ để diễn tả quan hệ giữa hai tập hợp với nhau.
• Muốn chứng minh $A \subset B$, ta chỉ ra rằng mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$.

Ví dụ 1: Cho tập hợp $A = {6; 8; 10}$. Điền kí hiệu $\in$, $\notin$, $\subset$, $=$ thích hợp vào chỗ trống:

a) $6 \text{ … } A$   b) $7 \text{ … } A$   c) ${8; 10} \text{ … } A$   d) ${6} \text{ … } A$

e) ${6; 8; 10} \text{ … } A$   f) $\varnothing \text{ … } A$   g) $10 \text{ … } A$

Lời giải:

a) $6$ là một trong các phần tử của $A$, nên $6 \in A$.

b) $7$ không nằm trong tập $A$ (vì $A$ chỉ gồm $6; 8; 10$), nên $7 \notin A$.

c) ${8; 10}$ là một tập hợp. Cả $8$ và $10$ đều thuộc $A$, nên ${8; 10} \subset A$.

d) ${6}$ cũng là một tập hợp (có 1 phần tử là $6$). Vì $6 \in A$, nên ${6} \subset A$.

e) ${6; 8; 10}$ có cùng các phần tử với $A$, nên ${6; 8; 10} = A$.

f) Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp, nên $\varnothing \subset A$.

g) $10$ là phần tử thuộc $A$, nên $10 \in A$.

Ví dụ 2: Cho $A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10}$ và $B = {1; 3; 5; 7; 9; 11}$.

a) Viết tập hợp $C$ gồm các phần tử thuộc $A$ mà không thuộc $B$.

b) Viết tập hợp $E$ gồm các phần tử vừa thuộc $A$ vừa thuộc $B$.

Lời giải:

a) Ta xét từng phần tử của $A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10}$ và loại bỏ những phần tử cũng có trong $B$.

• $1 \in B$ → loại
• $2 \notin B$ → giữ
• $3 \in B$ → loại
• $4 \notin B$ → giữ
• $5 \in B$ → loại
• $6 \notin B$ → giữ
• $8 \notin B$ → giữ
• $10 \notin B$ → giữ

Vậy $C = {2; 4; 6; 8; 10}$.

b) Ta tìm các phần tử xuất hiện ở cả hai tập $A$ và $B$:

So sánh từng phần tử, ta thấy $1, 3, 5$ có mặt trong cả $A$ lẫn $B$.

Vậy $E = {1; 3; 5}$.

Dạng 3: Minh hoạ tập hợp bằng biểu đồ Ven

Phương pháp giải:

• Bước 1: Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp.
• Bước 2: Xác định các phần tử chung (nếu vẽ hai tập).
• Bước 3: Vẽ hình – phần tử chung nằm ở vùng giao nhau; phần tử riêng nằm phía ngoài vùng giao. Nếu một tập là tập con của tập kia thì vẽ hình tròn nhỏ nằm bên trong hình tròn lớn.

Ví dụ 1: Cho hai tập hợp $A = {a; x; y}$ và $B = {a; b}$. Hãy dùng hình vẽ minh hoạ hai tập hợp $A$ và $B$.

Lời giải:

Phần tử chung của $A$ và $B$ là $a$.

Phần tử chỉ thuộc $A$: $x, y$.

Phần tử chỉ thuộc $B$: $b$.

Ta vẽ hai hình tròn giao nhau: phần giao chứa $a$; vùng riêng bên $A$ chứa $x, y$; vùng riêng bên $B$ chứa $b$.

Ví dụ 2: Cho tập hợp $M = {1; 3; 5; 7}$ và $N = {1; 5}$. Hãy dùng hình vẽ minh hoạ hai tập hợp $M$ và $N$.

Lời giải:

Mọi phần tử của $N$ ($1$ và $5$) đều thuộc $M$, nên $N \subset M$.

Khi đó ta vẽ hình tròn $N$ nằm bên trong hình tròn $M$. Các phần tử $1, 5$ nằm trong vùng $N$; các phần tử $3, 7$ nằm trong $M$ nhưng ngoài $N$.

Dạng 4: Xác định số phần tử của một tập hợp

Phương pháp giải:

• Nếu tập hợp có ít phần tử, ta liệt kê rồi đếm trực tiếp.
• Nếu tập hợp gồm dãy số theo quy luật, ta dùng công thức đếm đã học.
• Nếu đề bài cho điều kiện dạng phương trình hoặc bất phương trình, ta giải tìm $x$ trước, sau đó xác định số phần tử.

Ví dụ 1: Viết tập hợp $A$ các số tự nhiên $x$ mà $8 : x = 2$. Tập $A$ có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

Ta giải phương trình:

$$8 : x = 2$$

$$x = 8 : 2 = 4$$

Vậy $A = {4}$. Tập $A$ có 1 phần tử.

Ví dụ 2: Viết tập hợp $B$ các số tự nhiên $x$ mà $x + 3 < 5$. Tập $B$ có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

Ta giải bất phương trình:

$$x + 3 < 5$$

$$x < 5 – 3$$

$$x < 2$$

Vì $x$ là số tự nhiên ($x \in \mathbb{N}$) và $x < 2$, nên $x$ có thể là $0$ hoặc $1$.

Vậy $B = {0; 1}$. Tập $B$ có 2 phần tử.

Ví dụ 3: Viết tập hợp $C$ các số tự nhiên $x$ mà $x – 2 = x + 2$. Tập $C$ có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

Ta giải phương trình:

$$x – 2 = x + 2$$

$$x – x = 2 + 2$$

$$0 \cdot x = 4$$

Phương trình $0 \cdot x = 4$ vô nghiệm (không có giá trị nào của $x$ thoả mãn).

Vậy $C = \varnothing$. Tập $C$ không có phần tử nào.

Dạng 5: Tập hợp con

Phương pháp giải:

Giả sử tập hợp $A$ có $n$ phần tử. Để viết tất cả các tập hợp con của $A$, ta liệt kê lần lượt:

• Tập con không có phần tử nào: $\varnothing$
• Tập con có 1 phần tử
• Tập con có 2 phần tử
• …
• Tập con có $n$ phần tử (chính là $A$)

Tổng số tập hợp con của $A$ là $2^n$.

Ví dụ 1: Cho tập hợp $A = {1; 3; a; b}$ và $B = {3; b}$. Điền kí hiệu $\in$, $\notin$, $\subset$ thích hợp:

a) $1 \text{ … } A$   b) $3 \text{ … } A$   c) $3 \text{ … } B$   d) $a \text{ … } B$

e) ${1} \text{ … } A$   f) ${3} \text{ … } A$   g) ${3} \text{ … } B$   h) ${a} \text{ … } B$

Lời giải:

a) $1$ là phần tử nằm trong $A$, nên $1 \in A$.

b) $3$ là phần tử nằm trong $A$, nên $3 \in A$.

c) $3$ là phần tử nằm trong $B$, nên $3 \in B$.

d) $a$ không nằm trong $B$ (vì $B$ chỉ gồm $3$ và $b$), nên $a \notin B$.

e) Tập ${1}$ chỉ có phần tử $1$, mà $1 \in A$, nên ${1} \subset A$.

f) Tương tự, ${3} \subset A$.

g) $3 \in B$, nên ${3} \subset B$.

h) $a \notin B$, nên ${a}$ không là tập con của $B$, ta viết ${a} \not\subset B$.

Ví dụ 2: Cho tập hợp $B = {a; b; c}$. Viết tất cả các tập hợp con của $B$. Hỏi tập $B$ có bao nhiêu tập hợp con?

Lời giải:

Tập $B$ có 3 phần tử. Ta liệt kê các tập con theo số phần tử:

• Tập con không có phần tử nào: $\varnothing$
• Tập con có 1 phần tử: ${a}$, ${b}$, ${c}$
• Tập con có 2 phần tử: ${a; b}$, ${a; c}$, ${b; c}$
• Tập con có 3 phần tử: ${a; b; c}$

Tổng cộng: $2^3 = 8$ tập hợp con.

Những sai lầm thường gặp khi học về tập hợp

Mẹo ghi nhớ và giải nhanh

Phân biệt $\mathbb{N}$ và $\mathbb{N}^*$: Nhớ rằng $\mathbb{N}^*$ là $\mathbb{N}$ **bỏ đi số 0** – $\mathbb{N}^*$ luôn bắt đầu từ $1$. Mỗi khi gặp $\mathbb{N}$, hãy tự hỏi: “Có cần lấy số 0 không?”

Kiểm tra biên trước khi đếm: Khi dùng công thức đếm, luôn xem kĩ đề bài dùng dấu $<$ (không bao gồm) hay $\leq$ (có bao gồm) để xác định đúng giá trị đầu và cuối.

Đếm nhanh tập con: Tập hợp có $n$ phần tử thì luôn có đúng $2^n$ tập con. Trong đó luôn có tập rỗng $\varnothing$ và chính nó.

Chuyển từ tính chất đặc trưng sang liệt kê: Giải phương trình hoặc bất phương trình ra trước, rồi lọc lấy những giá trị là số tự nhiên.

Tổng kết

Bài Tập hợp là nền tảng quan trọng cho chương trình Toán lớp 6. Các kiến thức cốt lõi cần nắm vững gồm:

• Tập hợp là một nhóm các đối tượng xác định; mỗi đối tượng là một phần tử, dùng kí hiệu $\in$ và $\notin$.
• Có hai cách mô tả tập hợp: liệt kê phần tử và nêu tính chất đặc trưng.
• Tập hợp con ($\subset$): mọi phần tử của tập này đều thuộc tập kia. Tập rỗng $\varnothing$ là tập con của mọi tập.
• Công thức đếm số phần tử: $b – a + 1$ (liên tiếp), $\dfrac{b – a}{2} + 1$ (chẵn/lẻ), $\dfrac{b – a}{d} + 1$ (cách đều $d$).
• Tập hợp có $n$ phần tử thì có $2^n$ tập hợp con.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du