Phép nhân hai phân số

Quy tắc nhân phân số

Ở Tiểu học, các em đã biết nhân hai phân số có tử và mẫu dương. Quy tắc đó vẫn đúng khi tử và mẫu là các số nguyên.

Quy tắc: Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau:

$$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Ví dụ:

$$\dfrac{-3}{8} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{(-3) \cdot 5}{8 \cdot 7} = \dfrac{-15}{56}$$

$$\dfrac{-2}{9} \cdot \dfrac{-3}{5} = \dfrac{(-2) \cdot (-3)}{9 \cdot 5} = \dfrac{6}{45} = \dfrac{2}{15}$$

Lưu ý: Sau khi nhân, nên kiểm tra xem kết quả có rút gọn được không. Nếu nhận ra ước chung trước khi nhân, có thể “rút gọn chéo” để tính nhanh hơn.

Nhân số nguyên với phân số

Muốn nhân một số nguyên với một phân số, ta nhân số nguyên đó với tử của phân số và giữ nguyên mẫu.

Ví dụ:

$$(-3) \cdot \dfrac{4}{11} = \dfrac{(-3) \cdot 4}{11} = \dfrac{-12}{11}$$

$$7 \cdot \dfrac{-2}{5} = \dfrac{7 \cdot (-2)}{5} = \dfrac{-14}{5}$$

Tính chất của phép nhân phân số

Phép nhân phân số có các tính chất tương tự phép nhân số nguyên:

Nhờ các tính chất này, khi tính tích nhiều phân số, ta có thể đổi chỗ, nhóm các thừa số hoặc đặt nhân tử chung để tính nhanh hơn.

Ví dụ: Tính một cách hợp lý: $\dfrac{-5}{17} \cdot \dfrac{7}{11} \cdot \dfrac{-17}{5}$

Giải:

Áp dụng tính chất giao hoán, đổi chỗ các thừa số:

$$= \dfrac{-5}{17} \cdot \dfrac{-17}{5} \cdot \dfrac{7}{11}$$

Áp dụng tính chất kết hợp:

$$= \left(\dfrac{-5}{17} \cdot \dfrac{-17}{5}\right) \cdot \dfrac{7}{11} = 1 \cdot \dfrac{7}{11} = \dfrac{7}{11}$$

Ví dụ: Tính một cách hợp lý: $\dfrac{5}{19} \cdot \dfrac{18}{7} + \dfrac{5}{19} \cdot \dfrac{-4}{7}$

Giải:

Đặt nhân tử chung $\dfrac{5}{19}$ (tính chất phân phối):

$$= \dfrac{5}{19} \cdot \left(\dfrac{18}{7} + \dfrac{-4}{7}\right) = \dfrac{5}{19} \cdot \dfrac{18 + (-4)}{7} = \dfrac{5}{19} \cdot \dfrac{14}{7} = \dfrac{5}{19} \cdot 2 = \dfrac{10}{19}$$

Phép chia phân số

Phân số nghịch đảo

Hai phân số gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng $1$.

Ví dụ: $\dfrac{3}{7}$ và $\dfrac{7}{3}$ là hai phân số nghịch đảo của nhau vì $\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{21}{21} = 1$.

Phân số nghịch đảo của $\dfrac{a}{b}$ (với $a \neq 0$) là $\dfrac{b}{a}$.

Ví dụ:

• Nghịch đảo của $\dfrac{-3}{5}$ là $\dfrac{5}{-3}$ hay $\dfrac{-5}{3}$.
• Nghịch đảo của $6$ là $\dfrac{1}{6}$ (vì $6 = \dfrac{6}{1}$).
• Nghịch đảo của $-3$ là $\dfrac{1}{-3}$ hay $\dfrac{-1}{3}$.

Chú ý: Số $0$ không có phân số nghịch đảo (vì không có số nào nhân với $0$ cho tích bằng $1$).

Quy tắc chia phân số

Quy tắc: Muốn chia một phân số cho một phân số khác $0$, ta nhân số bị chia với phân số nghịch đảo của số chia:

$$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c} \quad (c \neq 0)$$

Ví dụ:

$$\dfrac{-2}{7} : \dfrac{3}{5} = \dfrac{-2}{7} \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{(-2) \cdot 5}{7 \cdot 3} = \dfrac{-10}{21}$$

$$\dfrac{4}{9} : 2 = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{18} = \dfrac{2}{9}$$

$$(-8) : \dfrac{4}{3} = (-8) \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{(-8) \cdot 3}{4} = \dfrac{-24}{4} = -6$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Phép nhân, chia các phân số

Phương pháp:

• Rút gọn các phân số trong đề bài (nếu có thể) trước khi tính.
• Áp dụng quy tắc nhân phân số: nhân tử với tử, mẫu với mẫu.
• Áp dụng quy tắc chia phân số: nhân với nghịch đảo của số chia.
• Áp dụng các tính chất cơ bản (giao hoán, kết hợp, phân phối) để tính hợp lý.

Bài mẫu – Nhân phân số

Bài mẫu 1: Tính $\dfrac{-1}{3} \cdot \dfrac{5}{9}$.

Lời giải:

Nhân tử với tử, mẫu với mẫu:

$$\dfrac{-1}{3} \cdot \dfrac{5}{9} = \dfrac{(-1) \cdot 5}{3 \cdot 9} = \dfrac{-5}{27}$$

Bài mẫu 2: Tính $\dfrac{-3}{7} \cdot \dfrac{5}{15}$.

Lời giải:

Trước hết, rút gọn $\dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$.

$$\dfrac{-3}{7} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{(-3) \cdot 1}{7 \cdot 3} = \dfrac{-3}{21} = \dfrac{-1}{7}$$

Bài mẫu 3: Tính $\dfrac{-7}{3} \cdot \dfrac{9}{21}$.

Lời giải:

Rút gọn $\dfrac{9}{21} = \dfrac{3}{7}$.

$$\dfrac{-7}{3} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{(-7) \cdot 3}{3 \cdot 7} = \dfrac{-21}{21} = -1$$

Ta cũng có thể nhận ra ngay rằng $\dfrac{-7}{3}$ và $\dfrac{3}{7}$ là hai số đối nghịch đảo, nên tích bằng $-1$.

Bài mẫu 4: Tính $(-5) \cdot \dfrac{5}{11}$.

Lời giải:

Nhân số nguyên với tử, giữ nguyên mẫu:

$$(-5) \cdot \dfrac{5}{11} = \dfrac{(-5) \cdot 5}{11} = \dfrac{-25}{11}$$

Bài mẫu 5: Tính $\dfrac{-7}{3} \cdot (-6)$.

Lời giải:

$$\dfrac{-7}{3} \cdot (-6) = \dfrac{(-7) \cdot (-6)}{3} = \dfrac{42}{3} = 14$$

Bài mẫu – Chia phân số

Bài mẫu 6: Tính $\dfrac{-5}{6} : \dfrac{2}{7}$.

Lời giải:

Nhân với nghịch đảo của $\dfrac{2}{7}$ (nghịch đảo là $\dfrac{7}{2}$):

$$\dfrac{-5}{6} : \dfrac{2}{7} = \dfrac{-5}{6} \cdot \dfrac{7}{2} = \dfrac{(-5) \cdot 7}{6 \cdot 2} = \dfrac{-35}{12}$$

Bài mẫu 7: Tính $\dfrac{-4}{7} : \dfrac{-1}{3}$.

Lời giải:

Nghịch đảo của $\dfrac{-1}{3}$ là $\dfrac{3}{-1} = -3$.

$$\dfrac{-4}{7} : \dfrac{-1}{3} = \dfrac{-4}{7} \cdot \dfrac{3}{-1} = \dfrac{-4}{7} \cdot (-3) = \dfrac{(-4) \cdot (-3)}{7} = \dfrac{12}{7}$$

Bài mẫu 8: Tính $(-10) : \dfrac{2}{3}$.

Lời giải:

Nghịch đảo của $\dfrac{2}{3}$ là $\dfrac{3}{2}$.

$$(-10) : \dfrac{2}{3} = (-10) \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{(-10) \cdot 3}{2} = \dfrac{-30}{2} = -15$$

Bài mẫu 9: Tính $\dfrac{3}{5} : (-5)$.

Lời giải:

Nghịch đảo của $(-5)$ là $\dfrac{-1}{5}$.

$$\dfrac{3}{5} : (-5) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{-1}{5} = \dfrac{3 \cdot (-1)}{5 \cdot 5} = \dfrac{-3}{25}$$

Bài mẫu – Tìm x

Bài mẫu 10: Tìm $x$, biết $\dfrac{2}{3} \cdot x = \dfrac{2}{7}$.

Lời giải:

Muốn tìm thừa số chưa biết, ta lấy tích chia cho thừa số đã biết:

$$x = \dfrac{2}{7} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{2 \cdot 3}{7 \cdot 2} = \dfrac{6}{14} = \dfrac{3}{7}$$

Vậy $x = \dfrac{3}{7}$.

Bài mẫu 11: Tìm $x$, biết $x : \dfrac{8}{13} = \dfrac{13}{7}$.

Lời giải:

Muốn tìm số bị chia, ta lấy thương nhân với số chia:

$$x = \dfrac{13}{7} \cdot \dfrac{8}{13} = \dfrac{13 \cdot 8}{7 \cdot 13} = \dfrac{104}{91} = \dfrac{8}{7}$$

Vậy $x = \dfrac{8}{7}$.

Dạng 2: Viết phân số dưới dạng tích hoặc thương của hai phân số

Phương pháp:

a) Viết dưới dạng tích: Rút gọn phân số (nếu có thể), viết tử và mẫu thành tích của hai số nguyên, rồi lập các phân số từ các thừa số đó.

b) Viết dưới dạng thương: Tương tự, nhưng sau khi lập được phép nhân, ta chuyển thành phép chia cho nghịch đảo.

Bài mẫu 1: Viết $\dfrac{4}{11}$ dưới dạng tích của hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên, mẫu dương có một chữ số, khác nhau.

Lời giải:

Phân tích: $4 = 1 \cdot 4 = 2 \cdot 2$ và $11 = 1 \cdot 11$.

Vì mẫu phải là số dương có một chữ số, ta cần tách $11$ thành tích hai số mà mỗi số đều có một chữ số và dương. Nhưng $11$ là số nguyên tố, nên ta viết:

$$\dfrac{4}{11} = \dfrac{1}{11} \cdot \dfrac{4}{1} = \dfrac{2}{11} \cdot \dfrac{2}{1}$$

Hoặc ta có thể viết: $\dfrac{4}{11} = \dfrac{4}{1} \cdot \dfrac{1}{11}$.

Bài mẫu 2: Viết $\dfrac{-10}{21}$ dưới dạng tích của hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên, mẫu dương có một chữ số, khác nhau.

Lời giải:

Phân tích: $-10 = (-2) \cdot 5$ và $21 = 3 \cdot 7$.

$$\dfrac{-10}{21} = \dfrac{-2}{3} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{-2}{7} \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{-5}{7} = \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{-5}{3}$$

Bài mẫu 3: Viết $\dfrac{8}{21}$ dưới dạng thương của hai phân số có cả tử và mẫu đều là số nguyên dương.

Lời giải:

Phân tích: $8 = 1 \cdot 8 = 2 \cdot 4$ và $21 = 3 \cdot 7$.

$$\dfrac{8}{21} = \dfrac{8}{3} : \dfrac{7}{1} = \dfrac{1}{3} : \dfrac{7}{8} = \dfrac{2}{7} : \dfrac{3}{4} = \dfrac{2}{3} : \dfrac{7}{4} = \dfrac{4}{3} : \dfrac{7}{2} = \dfrac{4}{7} : \dfrac{3}{2}$$

Dạng 3: Bài toán tổng hợp

Phương pháp:

Tính giá trị biểu thức: Chú ý thứ tự thực hiện phép tính:

• Không có ngoặc: Lũy thừa → Nhân, chia → Cộng, trừ.
• Có ngoặc: $(;) \rightarrow [;] \rightarrow {;}$.
• Áp dụng tính chất phân phối, giao hoán, kết hợp để tính hợp lý.

Tìm x: Xác định vai trò của $x$ (thừa số, số bị chia, số chia…) rồi áp dụng quy tắc tương ứng.

Bài mẫu – Tính giá trị biểu thức

Bài mẫu 1: Tính $3 \cdot \dfrac{-5}{11}$.

Lời giải:

$$3 \cdot \dfrac{-5}{11} = \dfrac{3 \cdot (-5)}{11} = \dfrac{-15}{11}$$

Bài mẫu 2: Tính $\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{14}{6}$.

Lời giải:

Theo thứ tự phép tính, nhân trước, cộng sau:

$$\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{14}{6} = \dfrac{4 \cdot 14}{7 \cdot 6} = \dfrac{56}{42} = \dfrac{4}{3}$$

$$\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{9}{15} + \dfrac{20}{15} = \dfrac{29}{15}$$

Vậy $\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{14}{6} = \dfrac{29}{15}$.

Bài mẫu 3: Tính $\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}\right) \cdot \left(\dfrac{5}{7} + \dfrac{5}{14}\right)$.

Lời giải:

Tính trong ngoặc thứ nhất:

$$\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{17}{12}$$

Tính trong ngoặc thứ hai:

$$\dfrac{5}{7} + \dfrac{5}{14} = \dfrac{10}{14} + \dfrac{5}{14} = \dfrac{15}{14}$$

Nhân hai kết quả:

$$\dfrac{17}{12} \cdot \dfrac{15}{14} = \dfrac{17 \cdot 15}{12 \cdot 14} = \dfrac{255}{168} = \dfrac{85}{56}$$

Bài mẫu – Tính hợp lý

Bài mẫu 4: Tính $A = \dfrac{5}{11} \cdot \dfrac{5}{7} + \dfrac{5}{11} \cdot \dfrac{2}{7} + \dfrac{6}{11}$.

Lời giải:

Nhận thấy hai số hạng đầu có nhân tử chung $\dfrac{5}{11}$. Áp dụng tính chất phân phối:

$$A = \dfrac{5}{11} \cdot \left(\dfrac{5}{7} + \dfrac{2}{7}\right) + \dfrac{6}{11}$$

$$= \dfrac{5}{11} \cdot \dfrac{7}{7} + \dfrac{6}{11} = \dfrac{5}{11} \cdot 1 + \dfrac{6}{11}$$

$$= \dfrac{5}{11} + \dfrac{6}{11} = \dfrac{11}{11} = 1$$

Bài mẫu 5: Tính $B = \dfrac{3}{13} \cdot \dfrac{6}{11} + \dfrac{3}{13} \cdot \dfrac{9}{11} – \dfrac{3}{13} \cdot \dfrac{4}{11}$.

Lời giải:

Đặt nhân tử chung $\dfrac{3}{13}$:

$$B = \dfrac{3}{13} \cdot \left(\dfrac{6}{11} + \dfrac{9}{11} – \dfrac{4}{11}\right)$$

Tính trong ngoặc: $\dfrac{6 + 9 – 4}{11} = \dfrac{11}{11} = 1$.

$$B = \dfrac{3}{13} \cdot 1 = \dfrac{3}{13}$$

Bài mẫu 6: Tính $C = \left(\dfrac{12}{61} – \dfrac{31}{22} + \dfrac{14}{91}\right) \cdot \left(\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{6}\right)$.

Lời giải:

Tính ngoặc thứ hai trước:

$$\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} – \dfrac{2}{6} – \dfrac{1}{6} = \dfrac{3 – 2 – 1}{6} = \dfrac{0}{6} = 0$$

Vì một thừa số bằng $0$ nên: $C = \left(\dfrac{12}{61} – \dfrac{31}{22} + \dfrac{14}{91}\right) \cdot 0 = 0$.

Bài mẫu 7: Tính nhanh $M = \dfrac{\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{5} + \dfrac{3}{7} – \dfrac{3}{11}}{\dfrac{6}{4} + \dfrac{6}{5} + \dfrac{6}{7} – \dfrac{6}{11}}$.

Lời giải:

Nhận thấy tử số có nhân tử chung là $3$, mẫu số có nhân tử chung là $6$:

Tử: $3 \cdot \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} – \dfrac{1}{11}\right)$

Mẫu: $6 \cdot \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} – \dfrac{1}{11}\right)$

Hai biểu thức trong ngoặc giống nhau, nên rút gọn được:

$$M = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$$

Bài mẫu – Tìm x

Bài mẫu 8: Tìm $x$, biết $x – \dfrac{1}{5} = \dfrac{7}{11} \cdot \dfrac{3}{21}$.

Lời giải:

Tính vế phải trước:

$$\dfrac{7}{11} \cdot \dfrac{3}{21} = \dfrac{7 \cdot 3}{11 \cdot 21} = \dfrac{21}{231} = \dfrac{1}{11}$$

Phương trình trở thành: $x – \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{11}$.

$$x = \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{55} + \dfrac{11}{55} = \dfrac{16}{55}$$

Vậy $x = \dfrac{16}{55}$.

Bài mẫu 9: Tìm $x$, biết $\dfrac{x}{25} = \dfrac{-3}{15} \cdot \dfrac{7}{6}$.

Lời giải:

Tính vế phải: $\dfrac{-3}{15} = \dfrac{-1}{5}$.

$$\dfrac{-1}{5} \cdot \dfrac{7}{6} = \dfrac{-7}{30}$$

Nhưng theo giáo án, ta suy ra: $\dfrac{-3}{15} \cdot \dfrac{7}{6} = \dfrac{(-3) \cdot 7}{15 \cdot 6} = \dfrac{-21}{90} = \dfrac{-7}{30}$.

Phương trình: $\dfrac{x}{25} = \dfrac{-7}{30}$.

Nhưng cũng có thể viết: $\dfrac{x}{25} = \dfrac{-7}{30}$, suy ra lấy tích chéo hoặc:

$$x = 25 \cdot \dfrac{-7}{30} = \dfrac{25 \cdot (-7)}{30} = \dfrac{-175}{30} = \dfrac{-35}{6}$$

Vậy $x = \dfrac{-35}{6}$.

Cách khác (nhưng giáo án trình bày): $x = \dfrac{-7 \cdot 25}{30} = \dfrac{-175}{30} = \dfrac{-35}{6}$.

Vậy $x = \dfrac{-35}{6}$.

Bài mẫu 10: Tìm $x$, biết $x + \dfrac{7}{5} = \dfrac{9}{8} \cdot \dfrac{4}{27}$.

Lời giải:

Tính vế phải:

$$\dfrac{9}{8} \cdot \dfrac{4}{27} = \dfrac{9 \cdot 4}{8 \cdot 27} = \dfrac{36}{216} = \dfrac{1}{6}$$

Phương trình: $x + \dfrac{7}{5} = \dfrac{1}{6}$.

$$x = \dfrac{1}{6} – \dfrac{7}{5} = \dfrac{5}{30} – \dfrac{42}{30} = \dfrac{5 – 42}{30} = \dfrac{-37}{30}$$

Vậy $x = \dfrac{-37}{30}$.

Bài mẫu 11: Tìm $x$, biết $x : \dfrac{5}{11} = \dfrac{-4}{12} \cdot 6$.

Lời giải:

Tính vế phải: $\dfrac{-4}{12} = \dfrac{-1}{3}$.

$$\dfrac{-1}{3} \cdot 6 = \dfrac{(-1) \cdot 6}{3} = \dfrac{-6}{3} = -2$$

Phương trình: $x : \dfrac{5}{11} = -2$.

Muốn tìm số bị chia, ta lấy thương nhân với số chia:

$$x = (-2) \cdot \dfrac{5}{11} = \dfrac{(-2) \cdot 5}{11} = \dfrac{-10}{11}$$

Vậy $x = \dfrac{-10}{11}$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Rút gọn chéo trước khi nhân: Trước khi nhân tử với tử, mẫu với mẫu, hãy kiểm tra xem tử của phân số này có ước chung với mẫu của phân số kia không. Nếu có, rút gọn trước sẽ cho kết quả nhỏ hơn, tránh nhân số lớn.

Nhận diện tích bằng 1 hoặc −1: Khi thấy hai phân số nghịch đảo nhau trong biểu thức, nhóm chúng lại — tích bằng 1, giúp rút gọn nhanh.

Đặt nhân tử chung khi có tính chất phân phối: Khi nhiều số hạng cùng nhân với một phân số, hãy đặt phân số đó ra ngoài rồi tính trong ngoặc trước.

Kiểm tra nhanh bằng dấu: Tích hai số cùng dấu thì dương, khác dấu thì âm. Kiểm tra dấu kết quả trước khi tính giá trị cụ thể.

Nhớ phân biệt số đối và nghịch đảo: Số đối của $\dfrac{a}{b}$ là $\dfrac{-a}{b}$ (đổi dấu tử). Nghịch đảo của $\dfrac{a}{b}$ là $\dfrac{b}{a}$ (đảo tử và mẫu). Đây là hai khái niệm hoàn toàn khác nhau.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du