Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5

Xét các số 140 và 2 030. Ta có:

$$140 = 14 \cdot 10 = 14 \cdot 2 \cdot 5$$

$$2\,030 = 203 \cdot 10 = 203 \cdot 2 \cdot 5$$

Cả hai số đều có chữ số tận cùng là 0, và đều chia hết cho cả 2 lẫn 5. Vậy chữ số tận cùng của một số quyết định tính chia hết cho 2 và cho 5 như thế nào?

Dấu hiệu chia hết cho 2

Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.

Nói cách khác, số chẵn thì chia hết cho 2, số lẻ thì không chia hết cho 2.

Ví dụ:

• Các số $2\,024$; $1\,956$ chia hết cho 2 vì có chữ số tận cùng lần lượt là 4 và 6 (đều là số chẵn).
• Các số $1\,973$; $2\,023$ không chia hết cho 2 vì có chữ số tận cùng lần lượt là 3 và 3 (đều là số lẻ).

Dấu hiệu chia hết cho 5

Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.

Ví dụ:

• Các số $1\,940$; $2\,025$ chia hết cho 5 vì có chữ số tận cùng là 0 và 5.
• Các số $1\,958$; $1\,974$ không chia hết cho 5 vì có chữ số tận cùng khác 0 và 5.

Nhận xét: Số chia hết cho cả 2 và 5 là số có chữ số tận cùng bằng 0 (vì 0 vừa là số chẵn, vừa thuộc nhóm $\lbrace 0; 5 \rbrace$).

Dấu hiệu chia hết cho 9, cho 3

Số 270 chia hết cho 9 và tổng các chữ số của nó là $2 + 7 + 0 = 9$, cũng chia hết cho 9. Liệu điều này có đúng với mọi số chia hết cho 9?

Dấu hiệu chia hết cho 9

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.

Ví dụ:

• Số $8\,127$: tổng các chữ số $= 8 + 1 + 2 + 7 = 18$. Vì $18 ;\vdots; 9$ nên $8\,127 ;\vdots; 9$.
• Số $5\,432$: tổng các chữ số $= 5 + 4 + 3 + 2 = 14$. Vì $14 ;\not\vdots; 9$ nên $5\,432 ;\not\vdots; 9$.

Dấu hiệu chia hết cho 3

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.

Ví dụ:

• Các số $5\,673$; $4\,578$ chia hết cho 3 vì có tổng các chữ số lần lượt là $21$ và $24$, đều chia hết cho 3.
• Các số $5\,321$; $1\,973$ không chia hết cho 3 vì có tổng các chữ số lần lượt là $11$ và $20$, đều không chia hết cho 3.

Nhận xét quan trọng: Vì $9 ;\vdots; 3$, nên số nào chia hết cho 9 thì chắc chắn chia hết cho 3. Nhưng ngược lại chưa chắc đúng – ví dụ $12 ;\vdots; 3$ nhưng $12 ;\not\vdots; 9$.

Tóm tắt bốn dấu hiệu:

Chia hết cho	Dấu hiệu
2	Chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8
5	Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
9	Tổng các chữ số chia hết cho 9
3	Tổng các chữ số chia hết cho 3

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Xét tính chia hết cho 2, cho 5 của một tổng (hiệu)

Phương pháp giải

Để xét một tổng (hiệu) có chia hết cho 2 hoặc cho 5 hay không, ta có hai cách:

• Cách 1: Dùng dấu hiệu chia hết xét từng số hạng, rồi áp dụng tính chất chia hết của tổng (Bài 8).
• Cách 2: Nếu không áp dụng trực tiếp được (có nhiều số hạng không chia hết), ta gộp các số hạng lại rồi xét.

Bài mẫu

Bài mẫu 1. Xét các tổng (hiệu) sau có chia hết cho 2 không, có chia hết cho 5 không?

a) $A = 24 + 36$ $\qquad$ b) $B = 155 + 120$ $\qquad$ c) $C = 120 – 43 + 59$

Giải:

a) Xét $A = 24 + 36$:

Chia hết cho 2: Số 24 có chữ số tận cùng là 4 (chẵn) nên $24 ;\vdots; 2$. Số 36 có chữ số tận cùng là 6 (chẵn) nên $36 ;\vdots; 2$. Cả hai số hạng đều chia hết cho 2, theo tính chất 1: $A ;\vdots; 2$.

Chia hết cho 5: $24 ;\not\vdots; 5$ và $36 ;\not\vdots; 5$. Có hai số hạng cùng không chia hết cho 5, ta không áp dụng tính chất 2 được. Tính trực tiếp: $A = 24 + 36 = 60$. Vì $60$ có tận cùng là 0 nên $A ;\vdots; 5$.

b) Xét $B = 155 + 120$:

Chia hết cho 2: Số 155 có tận cùng là 5 (lẻ) nên $155 ;\not\vdots; 2$. Số 120 có tận cùng là 0 (chẵn) nên $120 ;\vdots; 2$. Có đúng một số hạng không chia hết cho 2, theo tính chất 2: $B ;\not\vdots; 2$.

Chia hết cho 5: $155 ;\vdots; 5$ (tận cùng là 5) và $120 ;\vdots; 5$ (tận cùng là 0). Cả hai đều chia hết cho 5, theo tính chất 1: $B ;\vdots; 5$.

c) Xét $C = 120 – 43 + 59$:

Chia hết cho 2: $120 ;\vdots; 2$, nhưng $43 ;\not\vdots; 2$ và $59 ;\not\vdots; 2$. Có hai số không chia hết cho 2, ta gộp: $59 – 43 = 16$. Vì $16 ;\vdots; 2$ nên $C = 120 + (59 – 43) = 120 + 16$, cả hai đều chia hết cho 2. Vậy $C ;\vdots; 2$.

Chia hết cho 5: $120 ;\vdots; 5$, gộp phần còn lại: $59 – 43 = 16$. Vì $16 ;\not\vdots; 5$ nên $C ;\not\vdots; 5$.

Dạng 2: Lập số chia hết cho 2, cho 5 từ chữ số cho trước

Phương pháp giải

Để lập số chia hết cho 2 (hoặc 5) từ các chữ số cho trước, ta làm theo ba bước:

Bước 1: Xác định chữ số tận cùng: chia hết cho 2 → tận cùng $\in \lbrace 0; 2; 4; 6; 8 \rbrace$; chia hết cho 5 → tận cùng $\in \lbrace 0; 5 \rbrace$; chia hết cho cả 2 và 5 → tận cùng là $0$.

Bước 2: Sắp xếp các chữ số còn lại theo yêu cầu (lớn nhất, nhỏ nhất, …). Lưu ý chữ số hàng cao nhất không được bằng 0.

Bước 3: Liệt kê các số thỏa mãn.

Bài mẫu

Bài mẫu 2. Dùng cả bốn chữ số $4;; 0;; 7;; 5$, hãy viết thành số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau sao cho:

a) Số lớn nhất chia hết cho 2; $\quad$ b) Số nhỏ nhất chia hết cho 5; $\quad$ c) Số chia hết cho cả 2 và 5.

Giải:

a) Số chia hết cho 2 nên chữ số tận cùng phải là số chẵn. Từ các chữ số $4; 0; 7; 5$, các chữ số chẵn là $0$ và $4$.

Muốn số lớn nhất → chữ số hàng nghìn phải lớn nhất có thể:

• Nếu tận cùng là $0$: số lớn nhất là $7540$.
• Nếu tận cùng là $4$: số lớn nhất là $7504$.

So sánh: $7540 > 7504$. Vậy số lớn nhất chia hết cho 2 là $7540$.

b) Số chia hết cho 5 nên tận cùng là $0$ hoặc $5$. Muốn số nhỏ nhất → chữ số hàng nghìn phải nhỏ nhất (nhưng khác 0):

• Nếu tận cùng là $0$: số nhỏ nhất là $4570$.
• Nếu tận cùng là $5$: số nhỏ nhất là $4075$.

So sánh: $4075 < 4570$. Vậy số nhỏ nhất chia hết cho 5 là $4075$.

c) Chia hết cho cả 2 và 5 nên tận cùng phải là $0$. Các chữ số còn lại $4; 7; 5$ xếp ở ba vị trí hàng nghìn, trăm, chục. Liệt kê:

$4570;; 4750;; 5470;; 5740;; 7450;; 7540$.

Dạng 3: Tìm chữ số thỏa mãn điều kiện chia hết cho 2, cho 5

Phương pháp giải

Dùng dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 để xét chữ số tận cùng của số cần tìm. Lưu ý trường hợp chữ số tận cùng đã cố định (ví dụ $\overline{20*5}$ tận cùng là 5) thì kết luận ngay mà không cần xét dấu $*$

Bài mẫu

Bài mẫu 3. Điền chữ số thích hợp vào dấu $*$ để số $A = \overline{43*}$ thỏa mãn:

a) $A$ chia hết cho 2; $\quad$ b) $A$ chia hết cho 5; $\quad$ c) $A$ chia hết cho cả 2 và 5.

Giải:

a) Để $A$ chia hết cho 2, chữ số tận cùng phải là số chẵn. Mà chữ số tận cùng chính là $*$, nên $* \in \lbrace 0;\; 2;\; 4;\; 6;\; 8 \rbrace$.

b) Để $A$ chia hết cho 5, chữ số tận cùng phải là 0 hoặc 5, nên $* \in \lbrace 0;; 5 \rbrace$.

c) Để $A$ chia hết cho cả 2 và 5, chữ số tận cùng phải là 0, nên $* \in \lbrace 0 \rbrace$.

Bài mẫu 4. Điền chữ số vào dấu $*$ để số $M = \overline{20*5}$ thỏa mãn:

a) $M$ chia hết cho 2; $\quad$ b) $M$ chia hết cho 5; $\quad$ c) $M$ chia hết cho cả 2 và 5.

Giải:

a) Chữ số tận cùng của $M$ là $5$ (số lẻ), nên $M$ không bao giờ chia hết cho 2 dù $*$ là chữ số nào. Vậy không có chữ số $*$ thỏa mãn: $* \in \varnothing$.

b) Chữ số tận cùng của $M$ là $5$ nên $M$ luôn chia hết cho 5 với mọi giá trị của $* \in \lbrace 0;\; 1;\; 2;\; 3;\; 4;\; 5;\; 6;\; 7;\; 8;\; 9 \rbrace$.

c) Vì $M$ không chia hết cho 2, nên không thể chia hết cho cả 2 và 5. Vậy $* \in \varnothing$.

Dạng 4: Xét tính chia hết cho 3, cho 9 của một tổng (hiệu)

Phương pháp giải

Để xét tổng (hiệu) có chia hết cho 3 hoặc 9 hay không, ta có hai cách:

• Cách 1: Dùng dấu hiệu chia hết xét từng số hạng, rồi áp dụng tính chất chia hết của tổng.
• Cách 2: Tính tổng (hiệu) ra kết quả rồi xét dấu hiệu chia hết.

Lưu ý: Nên xét chia hết cho 9 trước. Nếu chia hết cho 9 thì chắc chắn chia hết cho 3.

Bài mẫu

Bài mẫu 5. Xét các tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3 không, có chia hết cho 9 không?

a) $A = 24 + 36$ $\qquad$ b) $B = 120 – 48$ $\qquad$ c) $C = 72 – 45 + 99$

Giải:

a) Xét $A = 24 + 36$:

Cách 1: Tổng các chữ số: $24 \to 2 + 4 = 6 ;\vdots; 3$ nên $24 ;\vdots; 3$. $36 \to 3 + 6 = 9 ;\vdots; 3$ nên $36 ;\vdots; 3$. Cả hai đều chia hết cho 3 → $A ;\vdots; 3$.

Tương tự, $24 ;\not\vdots; 9$ (vì $6 ;\not\vdots; 9$) và $36 ;\vdots; 9$. Có một số hạng không chia hết cho 9 → không kết luận ngay bằng tính chất.

Cách 2: $A = 24 + 36 = 60$. Tổng chữ số $6 + 0 = 6$: $6 ;\vdots; 3$ nên $A ;\vdots; 3$; $6 ;\not\vdots; 9$ nên $A ;\not\vdots; 9$.

b) Xét $B = 120 – 48$:

$120 \to 1 + 2 + 0 = 3 ;\vdots; 3$; $48 \to 4 + 8 = 12 ;\vdots; 3$. Cả hai đều chia hết cho 3 → $B ;\vdots; 3$.

$120 ;\not\vdots; 9$ (vì $3 ;\not\vdots; 9$) và $48 ;\not\vdots; 9$ (vì $12 ;\not\vdots; 9$). Tính: $B = 72$, tổng chữ số $7 + 2 = 9 ;\vdots; 9$ → $B ;\vdots; 9$.

c) Xét $C = 72 – 45 + 99$:

$72 ;\vdots; 9$ (vì $7 + 2 = 9$); $45 ;\vdots; 9$ (vì $4 + 5 = 9$); $99 ;\vdots; 9$ (vì $9 + 9 = 18$). Cả ba đều chia hết cho 9 → $C ;\vdots; 9$. Mà chia hết cho 9 thì chắc chắn chia hết cho 3 → $C ;\vdots; 3$.

Dạng 5: Lập số chia hết cho 3, cho 9 từ chữ số cho trước

Phương pháp giải

Để lập số chia hết cho 3 (hoặc 9), ta làm:

Bước 1: Từ các chữ số đã cho, chọn nhóm các chữ số có tổng chia hết cho 3 (hoặc cho 9).

Bước 2: Từ mỗi nhóm, liệt kê các số thỏa mãn điều kiện (lưu ý chữ số hàng cao nhất khác 0).

Bài mẫu

Bài mẫu 6. Từ bốn chữ số $3;; 4;; 5;; 0$, hãy ghép thành các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau thỏa mãn:

a) Chia hết cho 3; $\quad$ b) Chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.

Giải:

a) Tìm bộ ba chữ số (chọn 3 trong 4 chữ số) có tổng chia hết cho 3:

• Bộ $(3; 4; 5)$: tổng $= 3 + 4 + 5 = 12 ;\vdots; 3$ ✓
• Bộ $(3; 4; 0)$: tổng $= 3 + 4 + 0 = 7 ;\not\vdots; 3$ ✗
• Bộ $(3; 5; 0)$: tổng $= 3 + 5 + 0 = 8 ;\not\vdots; 3$ ✗
• Bộ $(4; 5; 0)$: tổng $= 4 + 5 + 0 = 9 ;\vdots; 3$ ✓

Từ bộ $(3; 4; 5)$: các số là $345;; 354;; 435;; 453;; 534;; 543$.

Từ bộ $(4; 5; 0)$ (chữ số đầu khác 0): các số là $450;; 405;; 540;; 504$.

Vậy các số chia hết cho 3 là: $345;; 354;; 435;; 453;; 534;; 543;; 450;; 405;; 540;; 504$.

b) Trong các số chia hết cho 3 ở trên, ta loại bỏ những số chia hết cho 9.

• Bộ $(3; 4; 5)$: tổng $= 12$, mà $12 ;\not\vdots; 9$ → các số từ bộ này chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9. ✓
• Bộ $(4; 5; 0)$: tổng $= 9 ;\vdots; 9$ → các số từ bộ này chia hết cho cả 9. ✗

Vậy các số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 là: $345;; 354;; 435;; 453;; 534;; 543$.

Dạng 6: Tìm chữ số thỏa mãn điều kiện chia hết cho 3, cho 9 (kết hợp chia hết cho 2, 3, 5, 9)

Phương pháp giải

Để tìm chữ số $*$ sao cho số đã cho chia hết cho 3 (hoặc 9):

Bước 1: Tính tổng các chữ số đã biết.

Bước 2: Tìm chữ số $*$ (từ 0 đến 9) sao cho tổng trên cộng $*$ chia hết cho 3 (hoặc 9)

Lưu ý khi bài yêu cầu chia hết cho nhiều số cùng lúc (ví dụ chia hết cho 2, 3, 5, 9):

• Xét điều kiện chia hết cho 2 và 5 trước (vì chỉ cần nhìn chữ số tận cùng).
• Sau đó xét điều kiện chia hết cho 3 và 9 (tính tổng chữ số).
• Nếu bài yêu cầu chia hết cho số khác (ví dụ 18, 45), ta tách: $18 = 2 \cdot 9$, $45 = 5 \cdot 9$, rồi xét từng điều kiện.

Bài mẫu

Bài mẫu 7. Điền chữ số thích hợp vào dấu $*$ để số $M = \overline{58*}$ thỏa mãn:

a) $M$ chia hết cho 3; $\quad$ b) $M$ chia hết cho 9; $\quad$ c) $M$ chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.

Giải:

Tổng các chữ số đã biết: $5 + 8 = 13$.

a) Để $M ;\vdots; 3$, cần $(13 + *) ;\vdots; 3$.

Thử các giá trị $*$ từ 0 đến 9:

• $* = 2$: $13 + 2 = 15 ;\vdots; 3$ ✓
• $* = 5$: $13 + 5 = 18 ;\vdots; 3$ ✓
• $* = 8$: $13 + 8 = 21 ;\vdots; 3$ ✓

Vậy $* \in \lbrace 2;; 5;; 8 \rbrace$.

b) Để $M ;\vdots; 9$, cần $(13 + *) ;\vdots; 9$.

• $* = 5$: $13 + 5 = 18 ;\vdots; 9$ ✓

Vậy $* \in \lbrace 5 \rbrace$.

c) Chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9: lấy kết quả câu a) trừ đi câu b).

Vậy $* \in \lbrace 2;; 8 \rbrace$.

Bài mẫu 8. Thay dấu $*$ bởi một chữ số để số $\overline{345*}$ thỏa mãn:

a) Chia hết cho 2; $\quad$ b) Chia hết cho 3; $\quad$ c) Chia hết cho 5; $\quad$ d) Chia hết cho 9.

Giải:

Tổng các chữ số đã biết: $3 + 4 + 5 = 12$.

a) Chia hết cho 2 → chữ số tận cùng $*$ phải chẵn → $* \in \lbrace 0;\; 2;\; 4;\; 6;\; 8 \rbrace$.

b) Chia hết cho 3 → $(12 + *) \;\vdots\; 3$. Vì $12 \;\vdots\; 3$ nên $* \;\vdots\; 3$ → $* \in \lbrace 0;\; 3;\; 6;\; 9 \rbrace$.

c) Chia hết cho 5 → tận cùng $*$ là 0 hoặc 5 → $* \in \lbrace 0;\; 5 \rbrace$.

d) Chia hết cho 9 → $(12 + *) ;\vdots; 9$.

• $* = 6$: $12 + 6 = 18 ;\vdots; 9$ ✓

Vậy $* \in \lbrace 6 \rbrace$.

Bài mẫu 9. Tìm các chữ số $a, b$ để $A = \overline{56a3b}$ chia hết cho 18.

Giải:

Vì $18 = 2 \cdot 9$, nên $A$ phải chia hết cho cả 2 và 9.

Xét chia hết cho 2: Chữ số tận cùng là $b$ phải chẵn → $b \in \lbrace 0;; 2;; 4;; 6;; 8 \rbrace$.

Xét chia hết cho 9: Tổng các chữ số $= 5 + 6 + a + 3 + b = 14 + a + b$. Cần $(14 + a + b) ;\vdots; 9$.

Lần lượt thử các giá trị của $b$ chẵn và tìm $a$ (với $0 \leq a \leq 9$):

• $b = 0$: $14 + a + 0 = 14 + a ;\vdots; 9$ → $a = 4$ (vì $14 + 4 = 18$). ✓
• $b = 2$: $14 + a + 2 = 16 + a ;\vdots; 9$ → $a = 2$ (vì $16 + 2 = 18$). ✓
• $b = 4$: $14 + a + 4 = 18 + a ;\vdots; 9$ → $a = 0$ (vì $18 + 0 = 18$) hoặc $a = 9$ (vì $18 + 9 = 27$). ✓
• $b = 6$: $14 + a + 6 = 20 + a ;\vdots; 9$ → $a = 7$ (vì $20 + 7 = 27$). ✓
• $b = 8$: $14 + a + 8 = 22 + a ;\vdots; 9$ → $a = 5$ (vì $22 + 5 = 27$). ✓

Vậy các cặp $(a; b)$ thỏa mãn là: $(4; 0)$, $(2; 2)$, $(0; 4)$, $(9; 4)$, $(7; 6)$, $(5; 8)$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ

Chia hết cho 2 và 5 – chỉ cần nhìn chữ số cuối cùng: chẵn → chia hết cho 2; tận cùng 0 hoặc 5 → chia hết cho 5; tận cùng 0 → chia hết cho cả hai.

Chia hết cho 3 và 9 – cộng tất cả các chữ số lại: tổng chia hết cho 3 → số chia hết cho 3; tổng chia hết cho 9 → số chia hết cho 9.

Mẹo phân biệt: “2 và 5 nhìn đuôi, 3 và 9 cộng số.”

Khi tìm chữ số $*$ chia hết cho nhiều số: Luôn xét 2 và 5 trước (xác định ngay chữ số cuối), rồi mới xét 3 và 9 (tính tổng). Việc xét 2 và 5 trước giúp thu hẹp đáng kể các trường hợp cần thử.

Khi chia hết cho số lớn (18, 45, …): Tách thành tích hai số “cơ bản”: $18 = 2 \cdot 9$, $45 = 5 \cdot 9$. Sau đó xét từng điều kiện.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du