Ước chung và ước chung lớn nhất

Ước chung là gì?

Xét hai số 20 và 32. Liệt kê ước của từng số:

$$Ư(20) = \lbrace 1;; 2;; 4;; 5;; 10;; 20 \rbrace$$

$$Ư(32) = \lbrace 1;; 2;; 4;; 8;; 16;; 32 \rbrace$$

Các số $1;; 2;; 4$ vừa là ước của 20, vừa là ước của 32. Ta gọi chúng là ước chung của 20 và 32.

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Ta kí hiệu $ƯC(a, b)$ là tập hợp các ước chung của $a$ và $b$.

Vậy $ƯC(20, 32) = \lbrace 1;; 2;; 4 \rbrace$.

Ước chung lớn nhất là gì?

Trong tập hợp $ƯC(20, 32) = \lbrace 1;; 2;; 4 \rbrace$, số lớn nhất là $4$. Ta gọi $4$ là ước chung lớn nhất của 20 và 32.

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Ta kí hiệu $ƯCLN(a, b)$ là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$.

Vậy $ƯCLN(20, 32) = 4$.

Lưu ý: $ƯC(a, b)$ là một tập hợp, còn $ƯCLN(a, b)$ là một số.

Trường hợp đặc biệt

• Nếu trong các số đã cho, số nhỏ nhất là ước của tất cả các số còn lại thì ƯCLN chính là số nhỏ nhất đó. Ví dụ: $ƯCLN(8, 24) = 8$ vì $24 ;\vdots; 8$.
• Với mọi số tự nhiên $a$: $ƯCLN(a, 1) = 1$.

Ví dụ: $ƯCLN(80, 10) = 10$ vì $80 ;\vdots; 10$.

Cách tìm ước chung lớn nhất

Tìm ƯCLN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố

Để tìm $ƯCLN$ của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN cần tìm.

Ví dụ: Tìm $ƯCLN(36, 84)$.

Bước 1 – Phân tích: $36 = 2^2 \cdot 3^2$; $\quad 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$.

Bước 2 – Thừa số nguyên tố chung: $2$ và $3$.

Bước 3 – Lấy số mũ nhỏ nhất: $2$ có mũ nhỏ nhất là $2$; $3$ có mũ nhỏ nhất là $1$.

$$ƯCLN(36, 84) = 2^2 \cdot 3 = 12$$

Tìm ƯCLN bằng thuật toán Ơ-clit

Ngoài cách phân tích thừa số nguyên tố, ta có thể tìm ƯCLN bằng thuật toán Ơ-clit – một phương pháp rất hiệu quả, đặc biệt với các số lớn khó phân tích.

Cách làm: Lấy số lớn chia cho số nhỏ. Nếu phép chia hết (dư bằng 0) thì số nhỏ chính là ƯCLN. Nếu còn dư, ta lấy số chia chia cho số dư, rồi tiếp tục như vậy cho đến khi được phép chia hết. Số chia cuối cùng (khi dư bằng 0) chính là ƯCLN.

Nói gọn: $a : b$ dư $r$ thì $ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r)$. Lặp lại cho đến khi dư bằng 0.

Ví dụ: Tìm $ƯCLN(126, 18)$ bằng thuật toán Ơ-clit.

• Lấy $126$ chia $18$: $\quad 126 = 7 \cdot 18 + 0$ → dư $0$, dừng lại.

Số chia cuối cùng là $18$. Vậy $ƯCLN(126, 18) = 18$.

Ví dụ: Tìm $ƯCLN(186, 16)$.

• Lấy $186$ chia $16$: $\quad 186 = 11 \cdot 16 + 10$ → dư $10 \neq 0$, tiếp tục.
• Lấy $16$ chia $10$: $\quad 16 = 1 \cdot 10 + 6$ → dư $6 \neq 0$, tiếp tục.
• Lấy $10$ chia $6$: $\quad 10 = 1 \cdot 6 + 4$ → dư $4 \neq 0$, tiếp tục.
• Lấy $6$ chia $4$: $\quad 6 = 1 \cdot 4 + 2$ → dư $2 \neq 0$, tiếp tục.
• Lấy $4$ chia $2$: $\quad 4 = 2 \cdot 2 + 0$ → dư $0$, dừng.

Số chia cuối cùng là $2$. Vậy $ƯCLN(186, 16) = 2$.

Tìm ước chung từ ƯCLN

Khi đã biết ƯCLN của các số, ta tìm ước chung bằng cách:

Bước 1: Tìm ƯCLN.

Bước 2: Tìm tất cả các ước của ƯCLN đó. Tập hợp các ước ấy chính là tập ước chung.

Ví dụ: Tìm $ƯC(36, 84)$.

Ta đã có $ƯCLN(36, 84) = 12$. Mà $Ư(12) = \lbrace 1;; 2;; 3;; 4;; 6;; 12 \rbrace$.

Vậy $ƯC(36, 84) = \lbrace 1;; 2;; 3;; 4;; 6;; 12 \rbrace$.

Rút gọn về phân số tối giản

Phân số tối giản là gì?

Phân số $\dfrac{a}{b}$ được gọi là phân số tối giản nếu $a$ và $b$ không có ước chung nào khác 1, tức là $ƯCLN(a, b) = 1$.

Khi đó ta nói $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Cách rút gọn về phân số tối giản

Để đưa phân số $\dfrac{a}{b}$ về dạng tối giản, ta chia cả tử và mẫu cho $ƯCLN(a, b)$.

Ví dụ: Rút gọn $\dfrac{24}{40}$ về phân số tối giản.

$ƯCLN(24, 40) = 8$. Chia cả tử và mẫu cho 8:

$$\frac{24}{40} = \frac{24 : 8}{40 : 8} = \frac{3}{5}$$

Kiểm tra: $ƯCLN(3, 5) = 1$ → $\dfrac{3}{5}$ là phân số tối giản.

Ví dụ: Xét phân số $\dfrac{7}{4}$ đã tối giản chưa?

$ƯCLN(7, 4) = 1$ → $\dfrac{7}{4}$ đã là phân số tối giản.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tìm ƯCLN của các số cho trước

Phương pháp giải

Cách 1 (Phân tích thừa số nguyên tố): Áp dụng quy tắc 3 bước đã nêu ở phần lý thuyết.

Trường hợp đặc biệt: Nếu $a ;\vdots; b$ thì $ƯCLN(a, b) = b$.

Cách 2 (Thuật toán Ơ-clit): Lấy số lớn chia số nhỏ. Nếu dư $r \neq 0$, lấy số chia chia cho số dư. Tiếp tục cho đến khi dư bằng 0. Số chia cuối cùng là ƯCLN.

Bài mẫu

Bài mẫu 1. Tìm ƯCLN của các số:

a) $ƯCLN(18, 30)$ $\qquad$ b) $ƯCLN(24, 48)$ $\qquad$ c) $ƯCLN(56, 140, 168)$

Giải:

a) Phân tích: $18 = 2 \cdot 3^2$; $\quad 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Thừa số nguyên tố chung: $2$ và $3$. Số mũ nhỏ nhất: $2^1$ và $3^1$.

$$ƯCLN(18, 30) = 2 \cdot 3 = 6$$

b) Ta thấy $48 ;\vdots; 24$ (vì $48 = 2 \cdot 24$). Đây là trường hợp đặc biệt.

$$ƯCLN(24, 48) = 24$$

c) Phân tích: $56 = 2^3 \cdot 7$; $\quad 140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$; $\quad 168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$.

Thừa số nguyên tố chung của cả ba số: $2$ và $7$.

Số mũ nhỏ nhất: $2$ có mũ nhỏ nhất là $2$ (ở số 140); $7$ có mũ nhỏ nhất là $1$.

$$ƯCLN(56, 140, 168) = 2^2 \cdot 7 = 28$$

Bài mẫu 2. Sử dụng thuật toán Ơ-clit để tìm $ƯCLN(174, 18)$.

Giải:

Lấy $174$ chia cho $18$: $\quad 174 = 9 \cdot 18 + 12$ (dư 12, khác 0 → tiếp tục).

Lấy $18$ chia cho $12$: $\quad 18 = 1 \cdot 12 + 6$ (dư 6, khác 0 → tiếp tục).

Lấy $12$ chia cho $6$: $\quad 12 = 2 \cdot 6 + 0$ (dư 0 → dừng).

Số chia cuối cùng là $6$.

$$ƯCLN(174, 18) = 6$$

Dạng 2: Tìm ước chung thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước.

Bước 2: Tìm các ước của ƯCLN.

Bước 3: Chọn các ước thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài mẫu

Bài mẫu 3. Tìm các ước chung của 24 và 180 thông qua ƯCLN.

Giải:

Bước 1 – Phân tích: $24 = 2^3 \cdot 3$; $\quad 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Thừa số chung: $2$ (mũ nhỏ nhất $2$) và $3$ (mũ nhỏ nhất $1$).

$$ƯCLN(24, 180) = 2^2 \cdot 3 = 12$$

Bước 2 – Tìm ước của 12: $Ư(12) = \lbrace 1;; 2;; 3;; 4;; 6;; 12 \rbrace$.

$$ƯC(24, 180) = \lbrace 1;; 2;; 3;; 4;; 6;; 12 \rbrace$$

Bài mẫu 4. Tìm số tự nhiên $x$ thỏa mãn $90 ;\vdots; x$, $150 ;\vdots; x$ và $5 < x < 30$.

Giải:

Vì $90 ;\vdots; x$ và $150 ;\vdots; x$ nên $x$ là ước chung của 90 và 150, tức $x \in ƯC(90, 150)$.

Tìm ƯCLN: $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$; $\quad 150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$.

$$ƯCLN(90, 150) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$$

$Ư(30) = \lbrace 1;; 2;; 3;; 5;; 6;; 10;; 15;; 30 \rbrace$.

Chọn $x$ thỏa mãn $5 < x < 30$: $x \in \lbrace 6;; 10;; 15 \rbrace$.

Bài mẫu 5. Tìm số tự nhiên $n$ để biểu thức $A = \dfrac{15}{2n + 1}$ có giá trị là số tự nhiên.

Giải:

Để $A$ là số tự nhiên thì $(2n + 1)$ phải là ước của 15.

$Ư(15) = \lbrace 1;; 3;; 5;; 15 \rbrace$.

Vì $n$ là số tự nhiên nên $2n + 1 \geq 1$ và $2n + 1$ là số lẻ. Các ước lẻ của 15 là $1;; 3;; 5;; 15$ → tất cả đều thỏa mãn.

• $2n + 1 = 1 \Rightarrow n = 0$, $A = 15$.
• $2n + 1 = 3 \Rightarrow n = 1$, $A = 5$.
• $2n + 1 = 5 \Rightarrow n = 2$, $A = 3$.
• $2n + 1 = 15 \Rightarrow n = 7$, $A = 1$.

Vậy $n \in \lbrace 0;; 1;; 2;; 7 \rbrace$.

Dạng 3: Bài toán có lời văn đưa về tìm ƯCLN

Phương pháp giải

Bước 1: Phân tích đề bài, nhận ra bài toán yêu cầu tìm ƯCLN (thường là bài chia đều nhiều nhóm, tìm độ dài lớn nhất, …).

Bước 2: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, áp dụng quy tắc 3 bước để tìm ƯCLN.

Bài mẫu

Bài mẫu 6. Cô giáo chủ nhiệm muốn chia 24 quyển vở, 48 bút bi và 36 gói bánh thành một số phần thưởng như nhau để trao trong dịp sơ kết học kì. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng? Khi đó mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, bút bi và gói bánh?

Giải:

Gọi $a$ là số phần thưởng. Để chia đều, $a$ phải là ước chung của 24, 48 và 36. Để $a$ nhiều nhất thì $a = ƯCLN(24, 48, 36)$.

Phân tích: $24 = 2^3 \cdot 3$; $\quad 48 = 2^4 \cdot 3$; $\quad 36 = 2^2 \cdot 3^2$.

Thừa số chung: $2$ (mũ nhỏ nhất $2$) và $3$ (mũ nhỏ nhất $1$).

$$ƯCLN(24, 48, 36) = 2^2 \cdot 3 = 12$$

Vậy có thể chia nhiều nhất 12 phần thưởng. Mỗi phần thưởng gồm:

• Vở: $24 : 12 = 2$ quyển.
• Bút bi: $48 : 12 = 4$ chiếc.
• Bánh: $36 : 12 = 3$ gói.

Bài mẫu 7. Một hình chữ nhật có chiều dài 150 m và chiều rộng 90 m được chia thành các hình vuông có diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh hình vuông lớn nhất (số đo cạnh là số tự nhiên, đơn vị m).

Giải:

Cạnh hình vuông phải là ước chung của 150 và 90. Để cạnh lớn nhất thì cạnh bằng $ƯCLN(150, 90)$.

Phân tích: $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$; $\quad 90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Thừa số chung: $2$ (mũ $1$), $3$ (mũ $1$), $5$ (mũ $1$).

$$ƯCLN(150, 90) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$$

Vậy cạnh hình vuông lớn nhất là 30 m.

Dạng 4: Chứng minh hai hay nhiều số nguyên tố cùng nhau

Phương pháp giải

Bước 1: Gọi $d = ƯCLN$ của các số cần chứng minh.

Bước 2: Dùng tính chất chia hết của tổng (hiệu) để chứng minh $d = 1$.

Ý tưởng chính: Nếu $d$ là ước chung của hai biểu thức, thì $d$ cũng là ước của hiệu hai biểu thức đó. Ta trừ cho nhau để rút gọn, cuối cùng chỉ còn $d$ là ước của một hằng số nhỏ (thường là 1 hoặc 2), từ đó suy ra $d = 1$.

Bài mẫu

Bài mẫu 8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, hai số $n + 1$ và $n + 2$ nguyên tố cùng nhau.

Giải:

Gọi $d = ƯCLN(n + 1,; n + 2)$.

Vì $d$ là ước chung nên $(n + 2) ;\vdots; d$ và $(n + 1) ;\vdots; d$.

Áp dụng tính chất chia hết của hiệu:

$$(n + 2) – (n + 1) ;\vdots; d$$

$$1 ;\vdots; d$$

Mà $d$ là số tự nhiên và $1 ;\vdots; d$ nên $d = 1$.

Vậy $ƯCLN(n + 1,; n + 2) = 1$, tức $n + 1$ và $n + 2$ nguyên tố cùng nhau với mọi $n \in \mathbb{N}$.

Bài mẫu 9. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, hai số $2n + 1$ và $n + 1$ nguyên tố cùng nhau.

Giải:

Gọi $d = ƯCLN(2n + 1,; n + 1)$.

Vì $d$ là ước chung nên $(2n + 1) ;\vdots; d$ và $(n + 1) ;\vdots; d$.

Từ $(n + 1) ;\vdots; d$, suy ra $2(n + 1) = 2n + 2 ;\vdots; d$ (vì bội của một số cũng chia hết cho ước của số đó).

Áp dụng tính chất chia hết của hiệu:

$$(2n + 2) – (2n + 1) ;\vdots; d$$

$$1 ;\vdots; d$$

Vậy $d = 1$, tức $2n + 1$ và $n + 1$ nguyên tố cùng nhau với mọi $n \in \mathbb{N}$.

Dạng 5: Rút gọn phân số về phân số tối giản

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm $ƯCLN$ của tử và mẫu.

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN. Phân số thu được là phân số tối giản.

Nếu $ƯCLN = 1$ thì phân số đã tối giản, không cần rút gọn.

Bài mẫu

Bài mẫu 10. Các phân số sau đã là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn:

a) $\dfrac{50}{85}$ $\qquad$ b) $\dfrac{23}{81}$

Giải:

a) Tìm $ƯCLN(50, 85)$.

Phân tích: $50 = 2 \cdot 5^2$; $\quad 85 = 5 \cdot 17$.

Thừa số chung: $5$ (mũ nhỏ nhất $1$). Vậy $ƯCLN(50, 85) = 5$.

Vì $ƯCLN = 5 \neq 1$ nên phân số chưa tối giản. Rút gọn:

$$\frac{50}{85} = \frac{50 : 5}{85 : 5} = \frac{10}{17}$$

Kiểm tra: $ƯCLN(10, 17) = 1$ → $\dfrac{10}{17}$ là phân số tối giản.

b) Tìm $ƯCLN(23, 81)$.

$23$ là số nguyên tố. $81 = 3^4$. Vì 23 không chia hết cho 3 nên $ƯCLN(23, 81) = 1$.

Vậy $\dfrac{23}{81}$ đã là phân số tối giản.

Sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ

Quy tắc tìm ƯCLN: “Phân tích – Chọn chung – Mũ nhỏ nhất.” Ba bước ngắn gọn, dễ nhớ.

Phân biệt ƯCLN và BCNN (bài sau): ƯCLN lấy thừa số chung, mũ nhỏ nhất. BCNN lấy thừa số tất cả, mũ lớn nhất. Nhớ: “ƯCLN = Chung + Nhỏ”.

Rút gọn phân số nhanh: Chia luôn cho ƯCLN một lần là xong, không cần rút gọn nhiều lần.

Khi chứng minh nguyên tố cùng nhau: Luôn dùng chiêu “trừ hai biểu thức cho nhau” để rút gọn. Mục tiêu là đưa về dạng “$1 ;\vdots; d$” hoặc “hằng số nhỏ $;\vdots; d$”.

Khi nào dùng thuật toán Ơ-clit? Khi hai số lớn, khó phân tích ra thừa số nguyên tố → dùng Ơ-clit nhanh hơn nhiều. Chỉ cần chia liên tục đến khi dư 0 là xong, không cần nhớ bảng số nguyên tố.

Nhận biết bài toán ƯCLN: Khi đề bài nói “chia đều”, “nhiều nhất”, “lớn nhất có thể” → nghĩ đến ƯCLN.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du