Điểm nằm giữa hai điểm

Nhật thực và nguyệt thực là những hiện tượng thiên văn xảy ra khi Mặt Trăng, Trái Đất và Mặt Trời cùng nằm trên một đường thẳng nhưng theo thứ tự khác nhau. Chính thứ tự sắp xếp này quyết định hiện tượng nào xảy ra — và đó cũng là lý do ta cần hiểu khái niệm điểm nằm giữa hai điểm.

Khái niệm

Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ cùng nằm trên một đường thẳng. Nếu $B$ ở vị trí ở giữa $A$ và $C$ (tức là $A$ ở một bên, $C$ ở bên kia so với $B$), ta nói điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$.

Khi $B$ nằm giữa $A$ và $C$, ta có thể diễn đạt theo nhiều cách:

• Điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$.
• Hai điểm $A$ và $B$ nằm cùng phía đối với điểm $C$ (vì $A$, $B$ đều ở bên trái $C$).
• Hai điểm $A$ và $C$ nằm khác phía đối với điểm $B$ (vì $A$ ở bên này, $C$ ở bên kia so với $B$).

Ba cách nói trên là tương đương nhau — chỉ là những góc nhìn khác nhau cho cùng một tình huống.

Nhận xét quan trọng

Nếu điểm $O$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$, thì:

• Hai điểm $A$ và $B$ nằm khác phía đối với điểm $O$.
• Hai điểm $O$ và $B$ nằm cùng phía đối với điểm $A$.
• Hai điểm $O$ và $A$ nằm cùng phía đối với điểm $B$.

Tia

Khái niệm tia

Khi lấy một điểm $O$ trên đường thẳng $xy$, điểm $O$ chia đường thẳng đó thành hai phần. Mỗi phần cùng với điểm $O$ tạo thành một tia.

Hình gồm điểm $O$ và một phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm $O$ được gọi là một tia gốc $O$. Điểm $O$ gọi là gốc của tia.

Ví dụ: Điểm $O$ trên đường thẳng $xy$ tạo ra hai tia: tia $Ox$ (phần đường thẳng phía $x$) và tia $Oy$ (phần đường thẳng phía $y$).

Cách gọi tên tia

Tia được đặt tên bằng hai chữ cái: chữ cái đầu tiên là gốc của tia, chữ cái thứ hai chỉ hướng đi của tia. Ví dụ: tia $Ox$, tia $AB$,…

Nếu điểm $B$ nằm trên tia $Am$, thì tia $Am$ còn có thể gọi là tia $AB$.

Hai tia đối nhau

Hai tia chung gốc $O$ mà hợp thành một đường thẳng được gọi là hai tia đối nhau.

Ví dụ: Tia $Ox$ và tia $Oy$ ở trên là hai tia đối nhau (chung gốc $O$, tạo thành đường thẳng $xy$).

Tính chất quan trọng: Nếu hai tia $OA$ và $OB$ đối nhau thì điểm $O$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$.

Ngược lại, nếu điểm $O$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ thì hai tia $OA$ và $OB$ đối nhau.

Phân biệt tia và đường thẳng

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Vận dụng khái niệm điểm nằm giữa, nằm cùng phía, nằm khác phía

Phương pháp

Dựa vào nhận xét: Nếu điểm $O$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ thì:

• $A$ và $B$ nằm khác phía đối với $O$.
• $O$ và $B$ nằm cùng phía đối với $A$.
• $O$ và $A$ nằm cùng phía đối với $B$.

Khi gặp bài điền từ, ta quan sát hình vẽ để xác định điểm nào ở giữa, từ đó suy ra cùng phía hay khác phía.

Bài mẫu 1

Đề bài: Xem hình vẽ (ba điểm $M$, $R$, $N$ nằm trên một đường thẳng theo thứ tự $M – R – N$) và điền vào chỗ trống:

a) Điểm ….. nằm giữa hai điểm $M$, $N$.

b) Hai điểm $R$, $N$ nằm … đối với điểm $M$.

c) Hai điểm … nằm khác phía đối với …

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Quan sát hình vẽ, ta thấy thứ tự ba điểm trên đường thẳng là: $M – R – N$.

Bước 2: Từ thứ tự này, ta nhận ra điểm $R$ ở giữa $M$ và $N$.

Câu a) Điểm nằm giữa hai điểm $M$ và $N$ là điểm nào? Nhìn hình, $R$ ở giữa $M$ và $N$.

→ Đáp án: Điểm $R$ nằm giữa hai điểm $M$, $N$.

Câu b) Hai điểm $R$, $N$ nằm cùng phía hay khác phía đối với $M$?

Vì $R$ nằm giữa $M$ và $N$, nên $R$ và $N$ đều ở cùng một phía so với $M$ (cả hai đều ở bên phải $M$).

→ Đáp án: Hai điểm $R$, $N$ nằm cùng phía đối với điểm $M$.

Câu c) Hai điểm nào nằm khác phía đối với điểm nào?

Vì $R$ nằm giữa $M$ và $N$, nên $M$ ở một phía, $N$ ở phía kia so với $R$. Vậy hai điểm $M$ và $N$ nằm khác phía đối với $R$.

→ Đáp án: Hai điểm $M$ và $N$ nằm khác phía đối với $R$.

Bài mẫu 2

Đề bài: Xem hình vẽ (bốn điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ nằm trên đường thẳng $a$ theo thứ tự $M – N – P – Q$) và gọi tên các điểm:

a) Nằm giữa hai điểm $M$ và $P$.

b) Không nằm giữa hai điểm $N$ và $Q$.

c) Nằm giữa hai điểm $M$ và $Q$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Quan sát hình, thứ tự bốn điểm trên đường thẳng là: $M – N – P – Q$ (từ trái sang phải).

Câu a) Điểm nào nằm giữa $M$ và $P$?

Giữa $M$ và $P$ trên đường thẳng chỉ có điểm $N$ (vì $N$ ở giữa, $Q$ ở bên phải $P$ nên $Q$ không nằm giữa $M$ và $P$).

→ Đáp án: Điểm $N$.

Câu b) Điểm nào không nằm giữa $N$ và $Q$?

Giữa $N$ và $Q$ có điểm $P$. Điểm $M$ nằm ở bên trái $N$, tức là ở ngoài đoạn $N$ đến $Q$.

→ Đáp án: Điểm $M$ (không nằm giữa $N$ và $Q$).

Câu c) Điểm nào nằm giữa $M$ và $Q$?

$M$ ở ngoài cùng bên trái, $Q$ ở ngoài cùng bên phải. Cả $N$ và $P$ đều ở giữa $M$ và $Q$.

→ Đáp án: Điểm $N$ và điểm $P$.

Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm thẳng hàng

Phương pháp

Để chứng minh nhiều điểm thẳng hàng, ta sử dụng lập luận sau:

• Nếu ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng → chúng cùng nằm trên một đường thẳng (gọi là đường thẳng thứ nhất).
• Nếu ba điểm $B$, $C$, $D$ thẳng hàng → chúng cùng nằm trên một đường thẳng (gọi là đường thẳng thứ hai).
• Hai đường thẳng này có hai điểm chung là $B$ và $C$.
• Mà qua hai điểm phân biệt chỉ có một đường thẳng → hai đường thẳng phải trùng nhau.
• Suy ra cả bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ đều nằm trên cùng một đường thẳng → thẳng hàng.

Tóm lại: Nếu hai nhóm điểm thẳng hàng có chung ít nhất hai điểm, thì tất cả các điểm của hai nhóm đều thẳng hàng.

Bài mẫu 1

Đề bài: Cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ sao cho $C$ nằm giữa hai điểm $A$ và $D$; $D$ nằm giữa hai điểm $C$ và $B$. Chứng tỏ rằng bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích giả thiết.

• “$C$ nằm giữa $A$ và $D$” → ba điểm $A$, $C$, $D$ cùng nằm trên một đường thẳng. Gọi đường thẳng này là $d_1$.
• “$D$ nằm giữa $C$ và $B$” → ba điểm $C$, $D$, $B$ cùng nằm trên một đường thẳng. Gọi đường thẳng này là $d_2$.

Bước 2: So sánh hai đường thẳng.

Đường thẳng $d_1$ chứa $A$, $C$, $D$. Đường thẳng $d_2$ chứa $C$, $D$, $B$.

Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ cùng đi qua hai điểm chung là $C$ và $D$.

Bước 3: Áp dụng tính chất.

Vì qua hai điểm phân biệt chỉ có đúng một đường thẳng, nên $d_1$ và $d_2$ phải trùng nhau.

Bước 4: Kết luận.

Do $d_1$ trùng $d_2$, nên cả bốn điểm $A$, $C$, $D$, $B$ đều nằm trên cùng một đường thẳng.

→ Vậy bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ thẳng hàng. (Thứ tự trên đường thẳng: $A – C – D – B$.)

Bài mẫu 2

Đề bài: Cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ trong đó ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng; ba điểm $B$, $C$, $D$ thẳng hàng. Hỏi bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ có thẳng hàng không? Vì sao?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng → ba điểm này cùng nằm trên một đường thẳng (gọi là $d_1$).

Bước 2: Ba điểm $B$, $C$, $D$ thẳng hàng → ba điểm này cùng nằm trên một đường thẳng (gọi là $d_2$).

Bước 3: Đường thẳng $d_1$ đi qua $B$ và $C$. Đường thẳng $d_2$ cũng đi qua $B$ và $C$. Vậy $d_1$ và $d_2$ có hai điểm chung là $B$, $C$.

Bước 4: Qua hai điểm phân biệt chỉ có một đường thẳng, nên $d_1$ trùng $d_2$.

Bước 5: Kết luận: Cả bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ đều nằm trên cùng đường thẳng $d_1$.

→ Bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ thẳng hàng.

Bài mẫu 3

Đề bài: Cho 5 điểm $E$, $F$, $G$, $H$, $O$ sao cho: ba điểm $E$, $F$, $G$ thẳng hàng; ba điểm $F$, $G$, $H$ thẳng hàng; ba điểm $E$, $F$, $O$ không thẳng hàng.

a) Hỏi bốn điểm $E$, $F$, $G$, $H$ có thẳng hàng không?

b) Hỏi ba điểm $E$, $H$, $O$ có thẳng hàng không?

Lời giải chi tiết:

Câu a)

Bước 1: Ba điểm $E$, $F$, $G$ thẳng hàng → cùng nằm trên một đường thẳng (gọi là $d_1$).

Bước 2: Ba điểm $F$, $G$, $H$ thẳng hàng → cùng nằm trên một đường thẳng (gọi là $d_2$).

Bước 3: Đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có hai điểm chung là $F$ và $G$ → hai đường thẳng trùng nhau.

Bước 4: Cả bốn điểm $E$, $F$, $G$, $H$ đều nằm trên $d_1$.

→ Bốn điểm $E$, $F$, $G$, $H$ thẳng hàng.

Câu b)

Bước 1: Từ câu a, bốn điểm $E$, $F$, $G$, $H$ cùng nằm trên đường thẳng $d_1$. Đặc biệt, $E$ và $H$ đều thuộc $d_1$.

Bước 2: Theo đề bài, ba điểm $E$, $F$, $O$ không thẳng hàng. Điều này có nghĩa là $O$ không nằm trên đường thẳng đi qua $E$ và $F$, tức là $O \notin d_1$.

Bước 3: Nếu $E$, $H$, $O$ thẳng hàng thì cả ba phải cùng nằm trên một đường thẳng. Nhưng $E$, $H$ đã nằm trên $d_1$, nên đường thẳng qua $E$, $H$ chính là $d_1$. Mà $O \notin d_1$ → mâu thuẫn.

→ Ba điểm $E$, $H$, $O$ không thẳng hàng.

Dạng 3: Nhận biết điểm nằm giữa hai điểm bằng tia đối nhau

Phương pháp

Sử dụng tính chất:

• Nếu hai tia $OA$ và $OB$ đối nhau → gốc $O$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$.
• Nếu điểm $M$ thuộc tia $AB$ → tia $AM$ trùng với tia $AB$.

Các bước thường gặp:

1. Xác định tia nào trùng nhau (dựa vào “điểm $M$ thuộc tia $AB$” → tia $AM$ trùng tia $AB$).
2. Xác định tia nào đối nhau.
3. Từ hai tia đối nhau, kết luận gốc chung nằm giữa hai điểm.

Bài mẫu 1

Đề bài: Vẽ đường thẳng $xy$. Lấy điểm $O$ trên đường thẳng $xy$. Lấy điểm $M$ thuộc tia $Oy$. Lấy điểm $N$ thuộc tia $Ox$.

a) Viết tên hai tia đối nhau gốc $O$.

b) Trong ba điểm $M$, $O$, $N$ thì điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

Lời giải chi tiết:

Câu a)

Điểm $O$ nằm trên đường thẳng $xy$, chia đường thẳng thành hai tia: tia $Ox$ và tia $Oy$.

→ Hai tia đối nhau gốc $O$: tia $Ox$ và tia $Oy$.

Câu b)

Bước 1: Điểm $M$ thuộc tia $Oy$ → tia $OM$ trùng với tia $Oy$.

Bước 2: Điểm $N$ thuộc tia $Ox$ → tia $ON$ trùng với tia $Ox$.

Bước 3: Ta đã biết tia $Ox$ và tia $Oy$ đối nhau. Mà tia $ON$ trùng tia $Ox$ và tia $OM$ trùng tia $Oy$, nên hai tia $ON$ và $OM$ cũng đối nhau.

Bước 4: Hai tia $OM$ và $ON$ đối nhau, chung gốc $O$ → điểm $O$ nằm giữa hai điểm $M$ và $N$.

→ Điểm $O$ nằm giữa hai điểm $M$ và $N$.

Bài mẫu 2

Đề bài: Cho hai tia đối nhau $AB$ và $AC$.

a) Gọi $M$ là một điểm thuộc tia $AB$. Trong ba điểm $M$, $A$, $C$ thì điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

b) Gọi $N$ là một điểm thuộc tia $AC$. Trong ba điểm $N$, $A$, $B$ thì điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

Lời giải chi tiết:

Câu a)

Bước 1: $M$ thuộc tia $AB$ → tia $AM$ trùng với tia $AB$.

Bước 2: Theo đề bài, tia $AB$ và tia $AC$ đối nhau. Mà tia $AM$ trùng tia $AB$, nên tia $AM$ và tia $AC$ cũng đối nhau.

Bước 3: Hai tia $AM$ và $AC$ đối nhau, chung gốc $A$ → điểm $A$ nằm giữa hai điểm $M$ và $C$.

→ Điểm $A$ nằm giữa hai điểm $M$ và $C$.

Câu b)

Bước 1: $N$ thuộc tia $AC$ → tia $AN$ trùng với tia $AC$.

Bước 2: Tia $AB$ và tia $AC$ đối nhau. Mà tia $AN$ trùng tia $AC$, nên tia $AN$ và tia $AB$ cũng đối nhau.

Bước 3: Hai tia $AN$ và $AB$ đối nhau, chung gốc $A$ → điểm $A$ nằm giữa hai điểm $N$ và $B$.

→ Điểm $A$ nằm giữa hai điểm $N$ và $B$.

Bài mẫu 3

Đề bài: Cho điểm $O$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$; điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$ và $O$; điểm $N$ nằm giữa hai điểm $B$ và $O$.

a) Nêu tên các tia trùng nhau gốc $O$.

b) Chứng tỏ rằng điểm $O$ nằm giữa hai điểm $M$ và $N$.

Lời giải chi tiết:

Câu a)

• $M$ nằm giữa $A$ và $O$ → $M$ nằm trên tia $OA$ → tia $OM$ trùng tia $OA$ … (1)
• $N$ nằm giữa $B$ và $O$ → $N$ nằm trên tia $OB$ → tia $ON$ trùng tia $OB$ … (2)

→ Các tia trùng nhau gốc $O$: tia $OM$ trùng tia $OA$; tia $ON$ trùng tia $OB$.

Câu b)

Bước 1: $O$ nằm giữa $A$ và $B$ → hai tia $OA$ và $OB$ đối nhau … (3)

Bước 2: Từ (1): tia $OM$ trùng tia $OA$. Từ (2): tia $ON$ trùng tia $OB$. Từ (3): tia $OA$ và $OB$ đối nhau.

Suy ra: tia $OM$ và tia $ON$ đối nhau.

Bước 3: Hai tia $OM$ và $ON$ đối nhau, chung gốc $O$ → điểm $O$ nằm giữa hai điểm $M$ và $N$.

→ Vậy điểm $O$ nằm giữa hai điểm $M$ và $N$. ∎

Sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ nhanh

Tia đối nhau → nằm giữa: Khi đề cho hai tia $OA$, $OB$ đối nhau, lập tức kết luận $O$ nằm giữa $A$ và $B$. Đây là công cụ mạnh nhất để chứng minh “điểm nằm giữa” trong các bài tập.

Trùng rồi đối: Quy trình giải bài dạng 3 gần như luôn theo ba bước: (1) Tìm tia trùng nhau, (2) Suy ra tia đối nhau, (3) Kết luận điểm nằm giữa.

Chứng minh thẳng hàng = Tìm hai điểm chung: Khi cần chứng minh nhiều điểm thẳng hàng, hãy tìm hai nhóm ba điểm thẳng hàng có chung đúng hai điểm → hai đường thẳng trùng nhau → tất cả thẳng hàng.

Phân biệt nhanh tia $AB$ và tia $BA$: Chữ cái đầu tiên luôn là gốc. Gốc khác → tia khác. Nhớ: tia chỉ đi về một phía kể từ gốc.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du