Lý thuyết phép nhân và phép chia số tự nhiên

Phép nhân số tự nhiên

Nhân hai số tự nhiên

Phép nhân hai số tự nhiên $a$ và $b$ cho ta một số tự nhiên gọi là tích của $a$ và $b$, kí hiệu là $a \times b$ hoặc $a \cdot b$.

$$\underbrace{a}_{\text{Thừa số}} \times \underbrace{b}_{\text{Thừa số}} = \underbrace{c}_{\text{Tích}}$$

Phép nhân có thể hiểu là phép cộng lặp lại: $a \cdot b = \underbrace{a + a + … + a}_{b \text{ số hạng}}$.

Ví dụ: $6 \cdot 3 = 6 + 6 + 6 = 18$.

Chú ý: Nếu các thừa số đều là chữ, hoặc chỉ có một thừa số là số, ta có thể bỏ dấu nhân. Chẳng hạn $a \cdot b = ab$, $3 \cdot m = 3m$.

Tính chất của phép nhân

Phép nhân số tự nhiên có ba tính chất quan trọng:

Tính chất giao hoán: $a \cdot b = b \cdot a$

Tính chất kết hợp: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Chú ý:

• $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$ (nhân với $1$ thì không đổi).
• $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$ (nhân với $0$ thì bằng $0$).
• Tích $(a \cdot b) \cdot c$ hay $a \cdot (b \cdot c)$ gọi là tích của ba số $a, b, c$ và viết gọn là $a \cdot b \cdot c$.

Nhờ các tính chất trên, khi nhân nhiều số ta có thể đổi chỗ và nhóm các thừa số để tính nhanh hơn, đặc biệt là tạo các tích tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn.

Các kết quả thường dùng khi tính nhẩm:

$$2 \times 5 = 10 \qquad 4 \times 25 = 100 \qquad 8 \times 125 = 1\ 000$$

Phép chia hết và phép chia có dư

Chia hai số tự nhiên

Với hai số tự nhiên $a$ và $b$ (trong đó $b \neq 0$), ta luôn tìm được đúng hai số tự nhiên $q$ và $r$ sao cho:

$$a = b \cdot q + r \qquad \text{trong đó } 0 \leq r < b$$

Nếu $r = 0$: Ta có phép chia hết: $a : b = q$.

Trong đó: $a$ là số bị chia, $b$ là số chia, $q$ là thương.

Nếu $r \neq 0$: Ta có phép chia có dư: $a : b = q$ (dư $r$).

Trong đó: $a$ là số bị chia, $b$ là số chia, $q$ là thương, $r$ là số dư.

Lưu ý quan trọng: Trong phép chia có dư, số dư luôn nhỏ hơn số chia ($r < b$).

Ví dụ:

• $56 : 8 = 7$ → phép chia hết (dư $0$).
• $59 : 8 = 7$ (dư $3$) → phép chia có dư, vì $59 = 8 \times 7 + 3$ và $3 < 8$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Phép nhân hai số tự nhiên

Dạng 1: Tính tích một cách hợp lí

Phương pháp giải

• Vận dụng tính chất giao hoán và kết hợp để nhóm các thừa số tạo thành tích tròn ($10, 100, 1\ 000, …$).
• Vận dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $a(b + c) = ab + ac$ để rút gọn biểu thức.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tính các tích sau một cách hợp lí:

a) $18 \cdot 50$   b) $15 \cdot 24 \cdot 25$

Lời giải:

a) Ta nhận thấy $18 = 9 \times 2$, mà $2 \times 50 = 100$ là số tròn. Vì vậy ta nhóm lại:

$$18 \cdot 50 = 9 \cdot (2 \cdot 50)$$

Tính trong ngoặc trước: $2 \cdot 50 = 100$.

$$= 9 \cdot 100 = 900$$

b) Ta nhận thấy trong ba thừa số $15, 24, 25$, nếu tách $24 = 6 \times 4$ thì $4 \times 25 = 100$ là số tròn.

$$15 \cdot 24 \cdot 25 = 15 \cdot (6 \cdot 4) \cdot 25$$

Bây giờ ta đổi chỗ và nhóm lại (nhờ tính chất giao hoán và kết hợp):

$$= (15 \cdot 6) \cdot (4 \cdot 25)$$

Tính từng nhóm: $15 \cdot 6 = 90$ và $4 \cdot 25 = 100$.

$$= 90 \cdot 100 = 9\ 000$$

Ví dụ 2: Tính nhanh bằng tính chất phân phối:

a) $34 \cdot 47 + 34 \cdot 53$   b) $25 \cdot 44 + 25 \cdot 56 – 200$

Lời giải:

a) Ta thấy cả hai tích đều có thừa số chung là $34$. Áp dụng tính chất phân phối ngược lại (đặt $34$ ra ngoài):

$$34 \cdot 47 + 34 \cdot 53 = 34 \cdot (47 + 53)$$

Tính trong ngoặc: $47 + 53 = 100$.

$$= 34 \cdot 100 = 3\ 400$$

b) Hai tích đầu có thừa số chung là $25$. Ta đặt $25$ ra ngoài trước:

$$25 \cdot 44 + 25 \cdot 56 – 200 = 25 \cdot (44 + 56) – 200$$

Tính trong ngoặc: $44 + 56 = 100$.

$$= 25 \cdot 100 – 200$$

$$= 2\ 500 – 200 = 2\ 300$$

Dạng 2: Tính nhẩm

Phương pháp giải

• Tính nhẩm bằng cách viết một thừa số dưới dạng tổng hoặc hiệu với số tròn, rồi áp dụng tính chất phân phối: $a(b – c) = ab – ac$.
• Tính nhẩm phép nhân bằng cách chia thừa số này và nhân thừa số kia cho cùng một số (tích không đổi).

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tính nhẩm:

a) $53 \cdot 99$   b) $22 \cdot 48$

Lời giải:

a) Số $99$ rất gần $100$, nên ta viết $99 = 100 – 1$:

$$53 \cdot 99 = 53 \cdot (100 – 1)$$

Áp dụng tính chất phân phối ($a(b – c) = ab – ac$):

$$= 53 \cdot 100 – 53 \cdot 1$$

Tính từng phần: $53 \cdot 100 = 5\ 300$ và $53 \cdot 1 = 53$.

$$= 5\ 300 – 53 = 5\ 247$$

b) Số $48$ gần $50$, nên ta viết $48 = 50 – 2$:

$$22 \cdot 48 = 22 \cdot (50 – 2)$$

$$= 22 \cdot 50 – 22 \cdot 2$$

Tính từng phần: $22 \cdot 50 = 1\ 100$ và $22 \cdot 2 = 44$.

$$= 1\ 100 – 44 = 1\ 056$$

Ví dụ 2: Tính nhẩm:

a) $2\ 400 \cdot 5$   b) $44 \cdot 25$

Lời giải:

a) Ý tưởng: chia $2\ 400$ cho $2$ rồi nhân $5$ với $2$ để tạo số tròn $10$.

$$2\ 400 \cdot 5 = (2\ 400 : 2) \cdot (5 \cdot 2)$$

$$= 1\ 200 \cdot 10 = 12\ 000$$

b) Ý tưởng: chia $44$ cho $4$ rồi nhân $25$ với $4$ để tạo số tròn $100$.

$$44 \cdot 25 = (44 : 4) \cdot (25 \cdot 4)$$

$$= 11 \cdot 100 = 1\ 100$$

Dạng 3: Tìm x (phép nhân)

Phương pháp giải

• Muốn tìm thừa số chưa biết, ta lấy tích chia cho thừa số đã biết.
• Nếu biểu thức có phép cộng/trừ bên ngoài, ta giải phần cộng/trừ trước để đưa về dạng tìm thừa số. Nếu có ngoặc, coi cả ngoặc là một thừa số.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên $x$, biết:

a) $3 \cdot x + 5 = 20$   b) $35 – 4 \cdot x = 11$

Lời giải:

a) Trước tiên, ta cần tìm $3 \cdot x$. Vì $3 \cdot x$ đang cộng thêm $5$ để ra $20$, nên:

$$3 \cdot x = 20 – 5$$

$$3 \cdot x = 15$$

Bây giờ ta cần tìm $x$. Vì $x$ là thừa số chưa biết, ta lấy tích chia cho thừa số đã biết:

$$x = 15 : 3$$

$$x = 5$$

Thử lại: $3 \cdot 5 + 5 = 15 + 5 = 20$ ✓

b) Trước tiên, tìm $4 \cdot x$. Vì $35$ trừ đi $4 \cdot x$ được $11$, nên $4 \cdot x$ chính là số trừ:

$$4 \cdot x = 35 – 11$$

$$4 \cdot x = 24$$

Tìm $x$ bằng cách lấy tích chia thừa số đã biết:

$$x = 24 : 4$$

$$x = 6$$

Thử lại: $35 – 4 \cdot 6 = 35 – 24 = 11$ ✓

Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên $x$, biết: $(x – 2\ 025) \cdot 4 = 60$

Lời giải:

Ta coi $(x – 2\ 025)$ là một thừa số chưa biết. Vì thừa số này nhân với $4$ bằng $60$, nên:

$$x – 2\ 025 = 60 : 4$$

$$x – 2\ 025 = 15$$

Bây giờ $x$ là số bị trừ. Muốn tìm số bị trừ, ta lấy hiệu cộng với số trừ:

$$x = 15 + 2\ 025$$

$$x = 2\ 040$$

Thử lại: $(2\ 040 – 2\ 025) \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60$ ✓

Dạng 4: Bài toán thực tế (phép nhân)

Phương pháp giải

Đọc kĩ đề, xác định đề cho gì và hỏi gì, sau đó lập phép tính phù hợp.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ: Một ô tô chở $25$ bao gạo và $35$ bao ngô. Mỗi bao gạo nặng $45$ kg, mỗi bao ngô nặng $55$ kg. Hỏi xe ô tô đó chở tất cả bao nhiêu kilôgam gạo và ngô?

Lời giải:

Bước 1: Tính tổng khối lượng gạo. Ta có $25$ bao, mỗi bao $45$ kg:

$$25 \cdot 45 = 1\ 125 \text{ (kg)}$$

Bước 2: Tính tổng khối lượng ngô. Ta có $35$ bao, mỗi bao $55$ kg:

$$35 \cdot 55 = 1\ 925 \text{ (kg)}$$

Bước 3: Tính tổng khối lượng xe chở:

$$1\ 125 + 1\ 925 = 3\ 050 \text{ (kg)}$$

Vậy xe ô tô chở tất cả $3\ 050$ kg gạo và ngô.

Phép chia hai số tự nhiên

Dạng 1: Thực hiện phép tính và tính nhẩm

Phương pháp giải

• Thực hiện phép tính theo thứ tự: nhân chia trước, cộng trừ sau.
• Đặt phép chia và thử lại kết quả bằng phép nhân.
• Tích không đổi nếu ta nhân thừa số này và chia thừa số kia cho cùng một số.
• Thương không đổi nếu ta nhân (hoặc chia) cả số bị chia và số chia cho cùng một số.
• Tính chất chia một tổng: $(a + b) : c = a : c + b : c$ (trường hợp chia hết).

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tính nhẩm:

a) $4\ 000 : 125$   b) $156 : 12$

Lời giải:

a) Ý tưởng: nhân cả số bị chia và số chia cho $8$ (vì $125 \times 8 = 1\ 000$ là số tròn).

$$4\ 000 : 125 = (4\ 000 \cdot 8) : (125 \cdot 8)$$

Tính từng phần: $4\ 000 \cdot 8 = 32\ 000$ và $125 \cdot 8 = 1\ 000$.

$$= 32\ 000 : 1\ 000 = 32$$

b) Ý tưởng: tách $156$ thành tổng của hai số chia hết cho $12$.

$$156 : 12 = (120 + 36) : 12$$

Áp dụng tính chất chia một tổng:

$$= 120 : 12 + 36 : 12$$

$$= 10 + 3 = 13$$

Ví dụ 2: Tính nhẩm: $(4\ 500 – 135) : 45$

Lời giải:

Cả $4\ 500$ và $135$ đều chia hết cho $45$, nên ta tách ra:

$$= 4\ 500 : 45 – 135 : 45$$

Tính từng phần: $4\ 500 : 45 = 100$ và $135 : 45 = 3$.

$$= 100 – 3 = 97$$

Dạng 2: Tìm x (phép chia)

Phương pháp giải

• Tìm thừa số chưa biết: lấy tích chia cho thừa số đã biết.
• Tìm số bị chia: lấy thương nhân với số chia.
• Tìm số chia: lấy số bị chia chia cho thương.
• Nếu $a \cdot b = 0$ thì $a = 0$ hoặc $b = 0$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên $x$, biết:

a) $x : 8 = 23$   b) $x \cdot 4 + 9 = 21$

Lời giải:

a) Ở đây $x$ là số bị chia, chia cho $8$ được thương $23$. Muốn tìm số bị chia, ta lấy thương nhân với số chia:

$$x = 23 \cdot 8$$

$$x = 184$$

Thử lại: $184 : 8 = 23$ ✓

b) Trước tiên tìm $x \cdot 4$. Vì $x \cdot 4$ cộng $9$ bằng $21$, nên:

$$x \cdot 4 = 21 – 9 = 12$$

Bây giờ $x$ là thừa số chưa biết. Lấy tích chia thừa số đã biết:

$$x = 12 : 4 = 3$$

Thử lại: $3 \cdot 4 + 9 = 12 + 9 = 21$ ✓

Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên $x$, biết: $(6x – 18)(x – 4) = 0$

Lời giải:

Khi tích của hai số bằng $0$, thì ít nhất một trong hai số đó phải bằng $0$. Vì vậy ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: $6x – 18 = 0$

$$6x = 18$$

$$x = 18 : 6 = 3$$

Trường hợp 2: $x – 4 = 0$

$$x = 4$$

Vậy $x = 3$ hoặc $x = 4$.

Thử lại:

• $x = 3$: $(6 \cdot 3 – 18)(3 – 4) = 0 \cdot (-1) = 0$ ✓
• $x = 4$: $(6 \cdot 4 – 18)(4 – 4) = 6 \cdot 0 = 0$ ✓

Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên $x$, biết rằng nếu nhân $x$ với $4$ rồi cộng thêm $18$, sau đó chia cho $6$ thì được $5$.

Lời giải:

Bước 1: Dịch đề bài thành phương trình. “Nhân $x$ với $4$ rồi cộng thêm $18$, sau đó chia cho $6$ được $5$” nghĩa là:

$$(4x + 18) : 6 = 5$$

Bước 2: Tìm biểu thức trong ngoặc. Vì $(4x + 18)$ là số bị chia, chia cho $6$ được $5$, nên:

$$4x + 18 = 5 \cdot 6 = 30$$

Bước 3: Tìm $4x$:

$$4x = 30 – 18 = 12$$

Bước 4: Tìm $x$:

$$x = 12 : 4 = 3$$

Thử lại: $(4 \cdot 3 + 18) : 6 = (12 + 18) : 6 = 30 : 6 = 5$ ✓

Dạng 3: Bài toán thực tế (phép chia)

Phương pháp giải

Đọc kĩ đề bài, xác định dữ kiện và yêu cầu. Với bài toán hỏi “ít nhất bao nhiêu”, nếu phép chia có dư thì cần cộng thêm 1 vào thương.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Một trường muốn chở $756$ học sinh đi tham quan bằng xe ô tô, mỗi xe chở được $40$ học sinh. Hỏi nhà trường cần ít nhất bao nhiêu chiếc xe?

Lời giải:

Bước 1: Chia tổng số học sinh cho số chỗ mỗi xe.

$$756 : 40 = 18 \text{ (dư } 36 \text{)}$$

Bước 2: Hiểu kết quả. Nếu chỉ dùng $18$ xe thì xếp được $18 \times 40 = 720$ học sinh, còn thừa $36$ học sinh chưa có xe.

Bước 3: Vậy phải dùng thêm $1$ xe nữa để chở nốt $36$ học sinh còn lại.

$$\text{Số xe ít nhất} = 18 + 1 = 19 \text{ (xe)}$$

Ví dụ 2: Một nhà máy cần vận chuyển $1\ 380$ kiện hàng bằng ô tô. Mỗi chuyến xe chở được $50$ kiện. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chuyến xe để chuyển hết số hàng?

Lời giải:

Bước 1: Thực hiện phép chia.

$$1\ 380 : 50 = 27 \text{ (dư } 30 \text{)}$$

Bước 2: Với $27$ chuyến, chở được $27 \times 50 = 1\ 350$ kiện. Còn dư $30$ kiện chưa chở.

Bước 3: Cần thêm $1$ chuyến nữa.

$$\text{Số chuyến ít nhất} = 27 + 1 = 28 \text{ (chuyến)}$$

Những sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ và giải nhanh

Tạo tích tròn: Luôn tìm cặp thừa số tạo thành $10, 100, 1\ 000$. Ghi nhớ: $2 \times 5 = 10$, $4 \times 25 = 100$, $8 \times 125 = 1\ 000$.

Tính nhẩm nhân với số gần tròn: Viết số đó thành tổng hoặc hiệu với số tròn. Ví dụ: $99 = 100 – 1$, $198 = 200 – 2$, $48 = 50 – 2$.

Tích không đổi: Muốn tính nhẩm $36 \times 25$, ta chia $36$ cho $4$ (được $9$) và nhân $25$ với $4$ (được $100$): $9 \times 100 = 900$.

Thương không đổi: Muốn tính nhẩm $3\ 000 : 125$, ta nhân cả hai cho $8$: $24\ 000 : 1\ 000 = 24$.

Bài toán “ít nhất bao nhiêu”: Chia xong, nếu có dư thì luôn cộng thêm $1$.

Tổng kết

Bài Phép nhân và phép chia số tự nhiên trang bị cho học sinh những kĩ năng tính toán quan trọng:

• Phép nhân có ba tính chất: giao hoán ($ab = ba$), kết hợp ($(ab)c = a(bc)$), phân phối đối với phép cộng ($a(b + c) = ab + ac$). Nhờ đó ta có thể tính hợp lí và tính nhẩm nhanh.
• Phép chia có hai dạng: chia hết ($r = 0$) và chia có dư ($0 < r < b$). Luôn nhớ số dư nhỏ hơn số chia và không chia cho $0$.
• Tìm x: Nắm vững quy tắc tìm thừa số, số bị chia, số chia. Nếu tích bằng $0$ thì ít nhất một thừa số bằng $0$.
• Bài toán thực tế: Phép chia có dư mà hỏi “ít nhất bao nhiêu” thì thương cần cộng thêm $1$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du