Quy đồng mẫu nhiều phân số

Khi muốn so sánh hoặc thực hiện phép tính với các phân số có mẫu khác nhau, ta cần đưa chúng về cùng một mẫu số. Quá trình này gọi là quy đồng mẫu số.

Cách quy đồng mẫu

Để quy đồng mẫu hai hay nhiều phân số có mẫu dương, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Tìm một bội chung (thường là BCNN) của các mẫu số để làm mẫu chung.

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu bằng cách lấy mẫu chung chia cho từng mẫu.

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

Lưu ý: Nếu phân số có mẫu âm, ta viết lại thành phân số có mẫu dương trước khi quy đồng.

Ví dụ: Quy đồng mẫu hai phân số $\dfrac{7}{10}$ và $\dfrac{5}{-6}$.

Giải:

• Đưa về mẫu dương: $\dfrac{5}{-6} = \dfrac{-5}{6}$
• Tìm mẫu chung: $\text{BCNN}(10, 6) = 30$
• Tìm thừa số phụ: $30 : 10 = 3$ và $30 : 6 = 5$
• Nhân tử và mẫu với thừa số phụ:

$$\dfrac{7}{10} = \dfrac{7 \times 3}{10 \times 3} = \dfrac{21}{30} \quad \text{và} \quad \dfrac{-5}{6} = \dfrac{(-5) \times 5}{6 \times 5} = \dfrac{-25}{30}$$

Ví dụ: Quy đồng mẫu ba phân số $\dfrac{-2}{5}$, $\dfrac{7}{10}$, $\dfrac{1}{4}$.

Giải:

• Tìm mẫu chung: $\text{BCNN}(5, 10, 4) = 20$
• Thừa số phụ: $20 : 5 = 4$, $;20 : 10 = 2$, $;20 : 4 = 5$
• Nhân tử và mẫu:

$$\dfrac{-2}{5} = \dfrac{(-2) \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{-8}{20};\quad \dfrac{7}{10} = \dfrac{7 \times 2}{10 \times 2} = \dfrac{14}{20};\quad \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{5}{20}$$

Tìm BCNN thông qua ƯCLN

Trong nhiều trường hợp, các mẫu số khá lớn hoặc không dễ nhận ra BCNN bằng cách liệt kê bội. Khi đó, ta có thể tìm BCNN thông qua ƯCLN (ước chung lớn nhất) bằng công thức:

$$\text{BCNN}(a, b) = \dfrac{a \times b}{\text{ƯCLN}(a, b)}$$

Ví dụ: Quy đồng mẫu hai phân số $\dfrac{7}{12}$ và $\dfrac{-5}{18}$.

Giải:

• Tìm ƯCLN: $\text{ƯCLN}(12, 18) = 6$
• Tìm BCNN: $\text{BCNN}(12, 18) = \dfrac{12 \times 18}{6} = 36$
• Thừa số phụ: $36 : 12 = 3$ và $36 : 18 = 2$
• Quy đồng:

$$\dfrac{7}{12} = \dfrac{7 \times 3}{12 \times 3} = \dfrac{21}{36};\qquad \dfrac{-5}{18} = \dfrac{(-5) \times 2}{18 \times 2} = \dfrac{-10}{36}$$

Ví dụ: Quy đồng mẫu hai phân số $\dfrac{11}{2^2 \cdot 3}$ và $\dfrac{-5}{2 \cdot 3^2}$.

Giải:

• Viết rõ mẫu: $2^2 \cdot 3 = 12$ và $2 \cdot 3^2 = 18$
• Khi mẫu ở dạng phân tích thừa số nguyên tố, ta tìm BCNN bằng cách lấy mỗi thừa số nguyên tố với số mũ lớn nhất: $\text{BCNN} = 2^2 \cdot 3^2 = 36$
• Thừa số phụ: $36 : 12 = 3$ và $36 : 18 = 2$
• Quy đồng:

$$\dfrac{11}{12} = \dfrac{11 \times 3}{12 \times 3} = \dfrac{33}{36};\qquad \dfrac{-5}{18} = \dfrac{(-5) \times 2}{18 \times 2} = \dfrac{-10}{36}$$

Khi nào nên dùng cách này? Khi hai mẫu số lớn và có ước chung lớn, dùng công thức BCNN qua ƯCLN sẽ cho mẫu chung nhỏ hơn nhiều so với việc lấy tích hai mẫu, giúp tính toán gọn gàng hơn.

So sánh hai phân số

So sánh hai phân số cùng mẫu dương

Khi hai phân số đã có cùng một mẫu số dương, việc so sánh rất đơn giản: chỉ cần so sánh các tử số với nhau.

Quy tắc: Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ví dụ: $\dfrac{-4}{9} < \dfrac{2}{9}$ vì $-4 < 2$ (mẫu $9 > 0$).

Ví dụ: $\dfrac{-3}{13} > \dfrac{-8}{13}$ vì $-3 > -8$ (mẫu $13 > 0$).

So sánh hai phân số không cùng mẫu

Khi hai phân số có mẫu khác nhau, ta thực hiện quy đồng mẫu rồi so sánh các tử số.

Quy tắc: Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau.

Ví dụ: So sánh $\dfrac{-5}{8}$ và $\dfrac{-7}{12}$.

Giải:

$\text{BCNN}(8, 12) = 24$

$$\dfrac{-5}{8} = \dfrac{(-5) \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{-15}{24};\qquad \dfrac{-7}{12} = \dfrac{(-7) \times 2}{12 \times 2} = \dfrac{-14}{24}$$

Vì $-15 < -14$ nên $\dfrac{-15}{24} < \dfrac{-14}{24}$.

Do đó $\dfrac{-5}{8} < \dfrac{-7}{12}$.

Hỗn số dương

Khái niệm hỗn số

Khi một phân số dương có tử lớn hơn mẫu (tức là phân số đó lớn hơn 1), ta có thể viết nó dưới dạng hỗn số. Hỗn số gồm hai phần: phần nguyên và phần phân số (phần phân số luôn nhỏ hơn 1).

Chuyển phân số thành hỗn số

Muốn chuyển một phân số (lớn hơn 1) thành hỗn số, ta thực hiện phép chia tử cho mẫu: thương là phần nguyên, số dư trên mẫu số là phần phân số.

Ví dụ: Viết $\dfrac{17}{4}$ dưới dạng hỗn số.

Thực hiện phép chia: $17 : 4 = 4$ (dư $1$).

$$\dfrac{17}{4} = 4 + \dfrac{1}{4} = 4\dfrac{1}{4}$$

Đọc là: “Bốn một phần tư”. Trong đó $4$ là phần nguyên, $\dfrac{1}{4}$ là phần phân số.

Chuyển hỗn số thành phân số

Muốn chuyển hỗn số thành phân số, ta lấy phần nguyên nhân mẫu rồi cộng tử của phần phân số, kết quả đặt trên mẫu số.

Ví dụ: Viết $2\dfrac{3}{7}$ dưới dạng phân số.

$$2\dfrac{3}{7} = \dfrac{2 \times 7 + 3}{7} = \dfrac{17}{7}$$

Lưu ý: Phần phân số của hỗn số luôn nhỏ hơn 1 (tức tử nhỏ hơn mẫu). Chẳng hạn $2\dfrac{5}{4}$ không phải là hỗn số vì $\dfrac{5}{4} > 1$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: So sánh hai phân số cùng mẫu dương

Phương pháp: Khi hai phân số có cùng mẫu dương, ta chỉ cần so sánh tử số: tử nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Nếu phân số chưa có mẫu dương, ta đổi về mẫu dương trước rồi mới so sánh.

Bài mẫu 1: So sánh $\dfrac{-3}{5}$ và $\dfrac{-4}{5}$.

Lời giải:

Hai phân số có cùng mẫu $5 > 0$.

Ta so sánh tử số: $-3 > -4$.

Vì $-3 > -4$ và mẫu $5 > 0$ nên $\dfrac{-3}{5} > \dfrac{-4}{5}$.

Bài mẫu 2: So sánh $\dfrac{-3}{4}$ và $\dfrac{1}{-4}$.

Lời giải:

Phân số $\dfrac{1}{-4}$ chưa có mẫu dương. Ta đổi: $\dfrac{1}{-4} = \dfrac{-1}{4}$.

Bây giờ hai phân số cùng mẫu $4 > 0$: $\dfrac{-3}{4}$ và $\dfrac{-1}{4}$.

So sánh tử: $-3 < -1$.

Vì $-3 < -1$ và mẫu $4 > 0$ nên $\dfrac{-3}{4} < \dfrac{-1}{4}$.

Do đó $\dfrac{-3}{4} < \dfrac{1}{-4}$.

Bài mẫu 3: Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần: $\dfrac{-5}{17};; \dfrac{5}{17};; \dfrac{2}{17};; \dfrac{-4}{17};; \dfrac{0}{17};; \dfrac{-11}{17};; \dfrac{7}{17}$.

Lời giải:

Các phân số cùng mẫu $17 > 0$, nên ta chỉ cần sắp xếp các tử số theo thứ tự tăng dần.

Các tử: $-11 < -5 < -4 < 0 < 2 < 5 < 7$.

Vậy thứ tự tăng dần: $\dfrac{-11}{17} < \dfrac{-5}{17} < \dfrac{-4}{17} < \dfrac{0}{17} < \dfrac{2}{17} < \dfrac{5}{17} < \dfrac{7}{17}$.

Dạng 2: So sánh hai phân số khác mẫu

Phương pháp:

Cách 1 – Quy đồng mẫu số: Đưa hai phân số về cùng mẫu dương, rồi so sánh tử số.

Cách 2 – Quy đồng tử số: Đưa hai phân số về cùng tử số, rồi so sánh mẫu số. Phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì lớn hơn (khi tử cùng dương), hoặc phân số nào có mẫu lớn hơn thì lớn hơn (khi tử cùng âm).

Mẹo: Trước khi quy đồng, nên rút gọn các phân số về dạng tối giản để tính toán đơn giản hơn.

Bài mẫu 1: So sánh $\dfrac{2}{5}$ và $\dfrac{4}{7}$.

Lời giải (Cách 1 – Quy đồng mẫu):

Mẫu chung: $\text{BCNN}(5, 7) = 35$.

$$\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 7}{5 \times 7} = \dfrac{14}{35};\qquad \dfrac{4}{7} = \dfrac{4 \times 5}{7 \times 5} = \dfrac{20}{35}$$

Vì $14 < 20$ và mẫu $35 > 0$ nên $\dfrac{14}{35} < \dfrac{20}{35}$.

Do đó $\dfrac{2}{5} < \dfrac{4}{7}$.

Lời giải (Cách 2 – Quy đồng tử):

Chọn tử chung là $4$ (vì $4 : 2 = 2$):

$$\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{4}{10};\qquad \text{giữ nguyên } \dfrac{4}{7}$$

Hai phân số cùng tử $4 > 0$. Mẫu $10 > 7$ nên $\dfrac{4}{10} < \dfrac{4}{7}$.

Do đó $\dfrac{2}{5} < \dfrac{4}{7}$.

Bài mẫu 2: So sánh $\dfrac{-3}{4}$ và $\dfrac{4}{-5}$.

Lời giải:

Đưa về mẫu dương: $\dfrac{4}{-5} = \dfrac{-4}{5}$.

Mẫu chung: $\text{BCNN}(4, 5) = 20$.

$$\dfrac{-3}{4} = \dfrac{(-3) \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{-15}{20};\qquad \dfrac{-4}{5} = \dfrac{(-4) \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{-16}{20}$$

Vì $-15 > -16$ và mẫu $20 > 0$ nên $\dfrac{-15}{20} > \dfrac{-16}{20}$.

Do đó $\dfrac{-3}{4} > \dfrac{4}{-5}$.

Bài mẫu 3: Viết các phân số theo thứ tự từ bé đến lớn: $\dfrac{8}{9};; \dfrac{5}{6};; \dfrac{17}{18}$.

Lời giải:

Chọn mẫu chung: $\text{BCNN}(9, 6, 18) = 18$.

$$\dfrac{8}{9} = \dfrac{8 \times 2}{9 \times 2} = \dfrac{16}{18};\qquad \dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 3}{6 \times 3} = \dfrac{15}{18};\qquad \text{giữ nguyên } \dfrac{17}{18}$$

So sánh tử: $15 < 16 < 17$.

Vậy thứ tự từ bé đến lớn: $\dfrac{5}{6} < \dfrac{8}{9} < \dfrac{17}{18}$.

Dạng 3: So sánh qua số trung gian

Khi hai phân số có mẫu lớn, việc quy đồng sẽ phức tạp. Lúc này ta có thể chọn một số trung gian (thường là $0$ hoặc $1$) để so sánh gián tiếp.

So sánh qua số 0

Phương pháp: Nếu một phân số âm (tử và mẫu trái dấu) và một phân số dương (tử và mẫu cùng dấu), ta kết luận ngay phân số âm nhỏ hơn phân số dương vì: phân số âm $< 0 <$ phân số dương.

Bài mẫu: So sánh $\dfrac{13}{5}$ và $\dfrac{-7}{9}$.

Lời giải:

Ta có: $\dfrac{13}{5} > 0$ (vì tử và mẫu cùng dương).

Ta có: $\dfrac{-7}{9} < 0$ (vì tử âm, mẫu dương).

Suy ra: $\dfrac{-7}{9} < 0 < \dfrac{13}{5}$.

Vậy $\dfrac{13}{5} > \dfrac{-7}{9}$.

So sánh qua số 1

Phương pháp: Nếu một phân số nhỏ hơn 1 (tử $<$ mẫu) và một phân số lớn hơn 1 (tử $>$ mẫu), ta kết luận: phân số nhỏ hơn 1 $< 1 <$ phân số lớn hơn 1.

Bài mẫu: So sánh $\dfrac{7}{15}$ và $\dfrac{4}{3}$.

Lời giải:

Ta có: $\dfrac{7}{15} < 1$ (vì tử $7 <$ mẫu $15$, cả hai dương).

Ta có: $\dfrac{4}{3} > 1$ (vì tử $4 >$ mẫu $3$, cả hai dương).

Suy ra: $\dfrac{7}{15} < 1 < \dfrac{4}{3}$.

Vậy $\dfrac{7}{15} < \dfrac{4}{3}$.

So sánh qua một phân số trung gian phù hợp

Phương pháp: Chọn một phân số “cầu nối” sao cho dễ so sánh với cả hai phân số ban đầu. Nếu $\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}$ và $\dfrac{c}{d} < \dfrac{e}{f}$ thì $\dfrac{a}{b} < \dfrac{e}{f}$.

Bài mẫu: So sánh $\dfrac{4}{17}$ và $\dfrac{16}{63}$.

Lời giải:

Ta tìm một phân số trung gian để so sánh.

Nhận thấy: $\dfrac{4}{17} < \dfrac{4}{16}$ (vì cùng tử $4 > 0$, mẫu $17 > 16$ nên phân số có mẫu lớn hơn thì nhỏ hơn).

Mà $\dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} = \dfrac{16}{64}$.

Và $\dfrac{16}{64} < \dfrac{16}{63}$ (vì cùng tử $16 > 0$, mẫu $64 > 63$).

Suy ra: $\dfrac{4}{17} < \dfrac{4}{16} = \dfrac{16}{64} < \dfrac{16}{63}$.

Vậy $\dfrac{4}{17} < \dfrac{16}{63}$.

Dạng 4: So sánh qua phần bù đến 1

Phương pháp: Áp dụng khi hai phân số đều nhỏ hơn 1 và gần bằng 1 (tử gần bằng mẫu). Ta tính phần bù (hay phần thiếu) đến 1 của mỗi phân số:

$$\text{Phần bù} = 1 – \dfrac{a}{b} = \dfrac{b – a}{b}$$

Phân số nào có phần bù nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn (vì nó gần 1 hơn).

Bài mẫu 1: So sánh $\dfrac{2009}{2010}$ và $\dfrac{2008}{2009}$.

Lời giải:

Tính phần bù đến 1 của mỗi phân số:

$$1 – \dfrac{2009}{2010} = \dfrac{2010 – 2009}{2010} = \dfrac{1}{2010}$$

$$1 – \dfrac{2008}{2009} = \dfrac{2009 – 2008}{2009} = \dfrac{1}{2009}$$

So sánh hai phần bù: $\dfrac{1}{2010}$ và $\dfrac{1}{2009}$. Hai phân số cùng tử $1$, mẫu $2010 > 2009$, nên $\dfrac{1}{2010} < \dfrac{1}{2009}$.

Phần bù của $\dfrac{2009}{2010}$ nhỏ hơn, tức là $\dfrac{2009}{2010}$ gần 1 hơn, nên $\dfrac{2009}{2010}$ lớn hơn.

Vậy $\dfrac{2009}{2010} > \dfrac{2008}{2009}$.

Bài mẫu 2: So sánh $\dfrac{2021}{2023}$ và $\dfrac{2017}{2019}$.

Lời giải:

Tính phần bù:

$$1 – \dfrac{2021}{2023} = \dfrac{2}{2023};\qquad 1 – \dfrac{2017}{2019} = \dfrac{2}{2019}$$

Hai phần bù cùng tử $2$. Mẫu $2023 > 2019$ nên $\dfrac{2}{2023} < \dfrac{2}{2019}$.

Phần bù của $\dfrac{2021}{2023}$ nhỏ hơn, nên $\dfrac{2021}{2023}$ lớn hơn.

Vậy $\dfrac{2021}{2023} > \dfrac{2017}{2019}$.

Dạng 5: So sánh qua phần hơn đơn vị

Phương pháp: Áp dụng khi hai phân số đều lớn hơn 1. Ta tính phần hơn (phần thừa) so với 1:

$$\text{Phần hơn} = \dfrac{a}{b} – 1 = \dfrac{a – b}{b}$$

Phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ngoài ra, nếu cả hai phân số khi lấy tử chia mẫu có cùng thương, ta so sánh phần dư trên mẫu.

Bài mẫu 1: So sánh $\dfrac{8}{5}$ và $\dfrac{14}{11}$.

Lời giải:

Cả hai phân số đều lớn hơn 1 (vì tử $>$ mẫu). Hiệu tử trừ mẫu đều bằng $3$.

Tính phần hơn:

$$\dfrac{8}{5} – 1 = \dfrac{3}{5};\qquad \dfrac{14}{11} – 1 = \dfrac{3}{11}$$

So sánh phần hơn: $\dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{3}{11}$. Cùng tử $3 > 0$, mẫu $5 < 11$ nên $\dfrac{3}{5} > \dfrac{3}{11}$.

Phần hơn của $\dfrac{8}{5}$ lớn hơn, nên $\dfrac{8}{5} > \dfrac{14}{11}$.

Bài mẫu 2: So sánh $\dfrac{77}{76}$ và $\dfrac{84}{83}$.

Lời giải:

Cả hai lớn hơn 1, hiệu tử trừ mẫu đều bằng $1$.

Tính phần hơn:

$$\dfrac{77}{76} – 1 = \dfrac{1}{76};\qquad \dfrac{84}{83} – 1 = \dfrac{1}{83}$$

Cùng tử $1$, mẫu $76 < 83$ nên $\dfrac{1}{76} > \dfrac{1}{83}$.

Vậy $\dfrac{77}{76} > \dfrac{84}{83}$.

Bài mẫu 3: So sánh $\dfrac{43}{14}$ và $\dfrac{10}{3}$.

Lời giải:

Thực hiện phép chia tử cho mẫu:

• $43 : 14 = 3$ (dư $1$), nên $\dfrac{43}{14} = 3 + \dfrac{1}{14}$
• $10 : 3 = 3$ (dư $1$), nên $\dfrac{10}{3} = 3 + \dfrac{1}{3}$

Hai phân số có cùng phần nguyên là $3$. So sánh phần phân số: $\dfrac{1}{14}$ và $\dfrac{1}{3}$.

Cùng tử $1$, mẫu $14 > 3$ nên $\dfrac{1}{14} < \dfrac{1}{3}$.

Vậy $\dfrac{43}{14} < \dfrac{10}{3}$.

Dạng 6: So sánh tổng nhiều phân số với một phân số

Phương pháp: Khi cần so sánh một tổng dạng $\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n}$ với một số, ta thực hiện:

Bước 1: Đếm số lượng phân số trong tổng.

Bước 2: Tách số cần so sánh thành tổng có cùng số lượng số hạng bằng nhau.

Bước 3: So sánh từng phân số trong tổng với các số hạng vừa tách.

Bước 4: Kết luận.

Bài mẫu 1: So sánh $\dfrac{1}{101} + \dfrac{1}{102} + \cdots + \dfrac{1}{200}$ với $1$.

Lời giải:

Bước 1: Tổng có $200 – 101 + 1 = 100$ phân số.

Bước 2: Tách $1 = \dfrac{1}{100} + \dfrac{1}{100} + \cdots + \dfrac{1}{100}$ (100 số hạng $\dfrac{1}{100}$).

Bước 3: Ta có $\dfrac{1}{101} < \dfrac{1}{100}$, $;\dfrac{1}{102} < \dfrac{1}{100}$, $;\ldots;$, $;\dfrac{1}{200} < \dfrac{1}{100}$.

Mỗi số hạng của tổng ban đầu đều nhỏ hơn $\dfrac{1}{100}$.

Bước 4: Suy ra $\dfrac{1}{101} + \dfrac{1}{102} + \cdots + \dfrac{1}{200} < \underbrace{\dfrac{1}{100} + \dfrac{1}{100} + \cdots + \dfrac{1}{100}}_{100} = 1$.

Vậy $\dfrac{1}{101} + \dfrac{1}{102} + \cdots + \dfrac{1}{200} < 1$.

Bài mẫu 2: So sánh $\dfrac{1}{101} + \dfrac{1}{102} + \cdots + \dfrac{1}{150}$ với $\dfrac{1}{3}$.

Lời giải:

Bước 1: Tổng có $150 – 101 + 1 = 50$ phân số.

Bước 2: Tách $\dfrac{1}{3} = \dfrac{50}{150} = \underbrace{\dfrac{1}{150} + \dfrac{1}{150} + \cdots + \dfrac{1}{150}}_{50}$.

Bước 3: Ta có $\dfrac{1}{101} > \dfrac{1}{150}$, $;\dfrac{1}{102} > \dfrac{1}{150}$, $;\ldots;$, $;\dfrac{1}{149} > \dfrac{1}{150}$, và $\dfrac{1}{150} = \dfrac{1}{150}$.

Mỗi số hạng (trừ số cuối) đều lớn hơn $\dfrac{1}{150}$.

Bước 4: Suy ra $\dfrac{1}{101} + \dfrac{1}{102} + \cdots + \dfrac{1}{150} > \underbrace{\dfrac{1}{150} + \cdots + \dfrac{1}{150}}_{50} = \dfrac{50}{150} = \dfrac{1}{3}$.

Vậy $\dfrac{1}{101} + \dfrac{1}{102} + \cdots + \dfrac{1}{150} > \dfrac{1}{3}$.

Dạng 7: So sánh phối hợp nhiều phương pháp

Một số bài toán đòi hỏi kết hợp linh hoạt các phương pháp đã học. Dưới đây là hai kỹ thuật nâng cao thường gặp.

Phương pháp nhân cùng một số

Phương pháp: Khi hai phân số có tử nhỏ hơn mẫu và phép chia mẫu cho tử cho cùng thương và cùng số dư, ta nhân cả hai phân số với thương đó rồi so sánh phần bù.

Bài mẫu: So sánh $\dfrac{11}{52}$ và $\dfrac{17}{76}$.

Lời giải:

Ta nhận thấy: $52 : 11 = 4$ (dư $8$) và $76 : 17 = 4$ (dư $8$). Cùng thương $4$, cùng dư $8$.

Nhân cả hai phân số với $4$:

$$\dfrac{11}{52} \times 4 = \dfrac{44}{52};\qquad \dfrac{17}{76} \times 4 = \dfrac{68}{76}$$

Tính phần bù đến 1:

$$1 – \dfrac{44}{52} = \dfrac{8}{52};\qquad 1 – \dfrac{68}{76} = \dfrac{8}{76}$$

Hai phần bù cùng tử $8$, mẫu $52 < 76$ nên $\dfrac{8}{52} > \dfrac{8}{76}$.

Phần bù của $\dfrac{44}{52}$ lớn hơn, nên $\dfrac{44}{52} < \dfrac{68}{76}$.

Do đó $\dfrac{11}{52} < \dfrac{17}{76}$.

Phương pháp cộng cùng một số vào tử và mẫu

Phương pháp: Nếu phân số nhỏ hơn 1, khi cộng cùng một số nguyên dương vào cả tử và mẫu thì giá trị phân số tăng. Ta dùng tính chất này để biến đổi về dạng so sánh được.

Bài mẫu: So sánh $A = \dfrac{10^8 + 1}{10^9 + 1}$ và $B = \dfrac{10^9 + 1}{10^{10} + 1}$.

Lời giải:

Ta có $B < 1$ (vì tử nhỏ hơn mẫu). Khi cộng cùng số $9$ vào tử và mẫu, giá trị tăng:

$$B = \dfrac{10^9 + 1}{10^{10} + 1} < \dfrac{10^9 + 1 + 9}{10^{10} + 1 + 9} = \dfrac{10^9 + 10}{10^{10} + 10}$$

Rút gọn:

$$\dfrac{10^9 + 10}{10^{10} + 10} = \dfrac{10(10^8 + 1)}{10(10^9 + 1)} = \dfrac{10^8 + 1}{10^9 + 1} = A$$

Vậy $B < A$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

So sánh nhanh qua dấu: Nếu một phân số dương và một phân số âm, kết luận ngay mà không cần quy đồng.

So sánh nhanh qua 1: Nếu một phân số có tử $<$ mẫu (nhỏ hơn 1) và phân số kia có tử $>$ mẫu (lớn hơn 1), kết luận ngay.

Rút gọn trước, quy đồng sau: Luôn rút gọn phân số về tối giản trước khi quy đồng để mẫu chung nhỏ nhất có thể.

Chọn mẫu chung là BCNN: Dùng BCNN thay vì tích hai mẫu sẽ cho số nhỏ hơn, tính toán nhanh hơn.

Phần bù cho phân số gần 1: Khi phân số gần bằng 1, so sánh phần thiếu ($1 – \dfrac{a}{b}$) dễ hơn so sánh trực tiếp.

Phần hơn cho phân số lớn hơn 1: Khi phân số lớn hơn 1, so sánh phần dư ($\dfrac{a}{b} – n$) sau khi trừ phần nguyên.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du