Lý thuyết phép cộng và phép trừ số tự nhiên

Phép cộng số tự nhiên

Cộng hai số tự nhiên

Phép cộng hai số tự nhiên $a$ và $b$ cho ta một số tự nhiên duy nhất gọi là tổng của chúng, kí hiệu $a + b$.

$$\underbrace{a}_{\text{Số hạng}} + \underbrace{b}_{\text{Số hạng}} = \underbrace{c}_{\text{Tổng}}$$

Có thể minh hoạ phép cộng trên tia số. Chẳng hạn $2 + 5 = 7$: từ điểm $2$, di chuyển sang phải $5$ đơn vị ta đến điểm $7$.

Tính chất của phép cộng

Phép cộng số tự nhiên có hai tính chất quan trọng:

Tính chất giao hoán: $a + b = b + a$

Tính chất kết hợp: $(a + b) + c = a + (b + c)$

Ví dụ: Với $a = 35$ và $b = 47$:

$$a + b = 35 + 47 = 82$$

$$b + a = 47 + 35 = 82$$

Vậy $a + b = b + a$ (tính chất giao hoán).

Chú ý: $a + 0 = 0 + a = a$ (cộng với $0$ thì không đổi).

Tổng $(a + b) + c$ hay $a + (b + c)$ được gọi là tổng của ba số $a, b, c$ và viết gọn là $a + b + c$.

Nhờ tính chất giao hoán và kết hợp, khi cộng nhiều số ta có thể đổi chỗ và nhóm các số hạng để tính thuận tiện hơn, đặc biệt là nhóm những số có tổng tròn chục, tròn trăm.

Ví dụ: Tính hợp lí: $78 + 345 + 22 + 155$

$$= (78 + 22) + (345 + 155) = 100 + 500 = 600$$

Phép trừ số tự nhiên

Trừ hai số tự nhiên

Với hai số tự nhiên $a$ và $b$ đã cho, nếu có số tự nhiên $c$ sao cho $a = b + c$ thì ta có phép trừ $a – b = c$.

$$\underbrace{a}_{\text{Số bị trừ}} – \underbrace{b}_{\text{Số trừ}} = \underbrace{c}_{\text{Hiệu}}$$

Điều kiện quan trọng: Trong tập hợp $\mathbb{N}$, phép trừ $a – b$ chỉ thực hiện được khi $a \geq b$.

Ví dụ: Phép trừ $9 – 4 = 5$ thực hiện được vì $9 \geq 4$. Nhưng phép trừ $4 – 9$ không thực hiện được trong tập hợp số tự nhiên vì $4 < 9$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Phép cộng hai số tự nhiên

Dạng 1: Tính tổng một cách hợp lí

Phương pháp giải

Vận dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng để nhóm các số hạng thành tổng tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn, … giúp tính nhanh hơn.

Khi tính nhẩm một tổng hai số, ta có thể “tách” một số hạng để bù cho số hạng kia thành số tròn.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tính một cách hợp lí:

a) $213 + 56 + 87$

b) $146 + 78 + 54$

c) $325 + 440 + 75 + 60$

d) $371 + 216 + 129 + 124$

Lời giải:

a) $213 + 56 + 87$

$$= (213 + 87) + 56 = 300 + 56 = 356$$

b) $146 + 78 + 54$

$$= (146 + 54) + 78 = 200 + 78 = 278$$

c) $325 + 440 + 75 + 60$

$$= (325 + 75) + (440 + 60) = 400 + 500 = 900$$

d) $371 + 216 + 129 + 124$

$$= (371 + 129) + (216 + 124) = 500 + 340 = 840$$

Ví dụ 2: Tính nhẩm:

a) $98 + 27$   b) $994 + 53$   c) $46 + 297$

Lời giải:

a) $98 + 27 = (98 + 2) + 25 = 100 + 25 = 125$

b) $994 + 53 = (994 + 6) + 47 = 1\ 000 + 47 = 1\ 047$

c) $46 + 297 = 43 + (3 + 297) = 43 + 300 = 343$

Ví dụ 3: Tính tổng:

a) $31 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 + 40$

b) $1 + 2 + 3 + 4 + … + 49 + 50$

Lời giải:

a) Ghép cặp đầu–cuối:

$$= (31 + 39) + (32 + 38) + (33 + 37) + (34 + 36) + (35 + 40)$$

$$= 70 + 70 + 70 + 70 + 75 = 355$$

b) Ghép cặp đầu–cuối:

$$= (1 + 50) + (2 + 49) + (3 + 48) + … + (25 + 26)$$

Có $50 : 2 = 25$ cặp, mỗi cặp có tổng bằng $51$.

$$= 51 \times 25 = 1\ 275$$

Dạng 2: Tìm x (phép cộng)

Phương pháp giải

Quy tắc tìm thành phần chưa biết trong phép cộng:

• Muốn tìm số hạng chưa biết, ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết.

Nếu biểu thức có ngoặc, ta coi cả biểu thức trong ngoặc là một số hạng, tìm giá trị biểu thức đó trước, rồi giải tiếp.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên $x$, biết:

a) $8 + x = 415$   b) $x + 32 = 176$

c) $362 + (x – 145) = 730$

Lời giải:

a) $8 + x = 415$

$x = 415 – 8$

$x = 407$

b) $x + 32 = 176$

$x = 176 – 32$

$x = 144$

c) $362 + (x – 145) = 730$

Coi $(x – 145)$ là một số hạng:

$(x – 145) = 730 – 362$

$x – 145 = 368$

$x = 368 + 145$

$x = 513$

Dạng 3: Bài toán có lời văn (phép cộng)

Phương pháp giải

Đọc kĩ đề toán, xác định dữ kiện đã biết và yêu cầu cần tìm, sau đó lập phép tính phù hợp.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ: Năm nay bạn Hà $11$ tuổi, mẹ bạn Hà $35$ tuổi. Hỏi sau $5$ năm nữa, tổng số tuổi của hai mẹ con là bao nhiêu?

Lời giải:

Tuổi bạn Hà sau 5 năm: $11 + 5 = 16$ (tuổi).

Tuổi mẹ bạn Hà sau 5 năm: $35 + 5 = 40$ (tuổi).

Tổng số tuổi hai mẹ con sau 5 năm: $16 + 40 = 56$ (tuổi).

Phép trừ hai số tự nhiên

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Phương pháp giải

• Thực hiện các phép cộng và trừ theo thứ tự từ trái sang phải.
• Có thể dùng tính chất: hiệu của hai số không đổi nếu ta thêm vào (hoặc bớt đi) ở cả số bị trừ và số trừ cùng một lượng. Điều này giúp tính nhẩm nhanh.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tính:

a) $347 – 82$   b) $563 – 218 + 35$

Lời giải:

a) $347 – 82 = 265$

b) $563 – 218 + 35 = 345 + 35 = 380$

Ví dụ 2: Tính nhẩm:

a) $583 – 97$   b) $642 – 198$   c) $1\ 453 – 996$

Lời giải:

a) $583 – 97 = (583 + 3) – (97 + 3) = 586 – 100 = 486$

b) $642 – 198 = (642 + 2) – (198 + 2) = 644 – 200 = 444$

c) $1\ 453 – 996 = (1\ 453 + 4) – (996 + 4) = 1\ 457 – 1\ 000 = 457$

Dạng 2: Tìm x (phép trừ)

Phương pháp giải

Quy tắc tìm thành phần chưa biết trong phép trừ:

• Muốn tìm số bị trừ, ta lấy hiệu cộng với số trừ.
• Muốn tìm số trừ, ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu.

Nếu biểu thức có ngoặc, coi biểu thức trong ngoặc là số bị trừ hoặc số trừ cần tìm, giải từ ngoài vào trong.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên $x$, biết:

a) $x – 174 = 389$   b) $32 – x = 18$

c) $310 – (x + 12) = 215$   d) $(x – 47) – 128 = 19$

Lời giải:

a) $x – 174 = 389$

$x = 389 + 174$

$x = 563$

b) $32 – x = 18$

$x = 32 – 18$

$x = 14$

c) $310 – (x + 12) = 215$

Coi $(x + 12)$ là số trừ:

$(x + 12) = 310 – 215$

$x + 12 = 95$

$x = 95 – 12$

$x = 83$

d) $(x – 47) – 128 = 19$

Coi $(x – 47)$ là số bị trừ:

$(x – 47) = 19 + 128$

$x – 47 = 147$

$x = 147 + 47$

$x = 194$

Ví dụ 2:

a) Tìm số tự nhiên $x$, biết rằng nếu $x$ trừ đi $156$ thì được $94$.

b) Tìm số tự nhiên $x$, biết rằng nếu $168$ trừ đi $x$, sau đó chia cho $4$ thì được $12$.

Lời giải:

a) Theo đề bài: $x – 156 = 94$

$x = 94 + 156$

$x = 250$

b) Theo đề bài: $(168 – x) : 4 = 12$

$168 – x = 12 \times 4$

$168 – x = 48$

$x = 168 – 48$

$x = 120$

Dạng 3: Bài toán thực tế

Phương pháp giải

Tóm tắt bài toán, xác định đề bài cho yếu tố nào và cần tính yếu tố nào. Lập phép tính cộng hoặc trừ phù hợp dựa trên mối quan hệ giữa các dữ kiện.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Một nhà máy xuất khẩu gạo quý I được $1\ 245\ 830$ tấn và quý II được $1\ 672\ 150$ tấn. Để hoàn thành kế hoạch cả năm $5\ 800\ 000$ tấn thì hai quý cuối năm phải xuất khẩu bao nhiêu tấn gạo?

Lời giải:

Tổng sản lượng hai quý đầu năm:

$$1\ 245\ 830 + 1\ 672\ 150 = 2\ 917\ 980 \text{ (tấn)}$$

Sản lượng hai quý cuối năm cần đạt:

$$5\ 800\ 000 – 2\ 917\ 980 = 2\ 882\ 020 \text{ (tấn)}$$

Ví dụ 2: Để chuẩn bị năm học mới, bạn Minh cầm $150\ 000$ đồng ra nhà sách mua $8$ quyển vở với giá $12\ 000$ đồng một quyển và $2$ cây bút bi giá $6\ 000$ đồng một cây. Hỏi cửa hàng phải trả lại bạn Minh bao nhiêu tiền?

Lời giải:

Tổng tiền mua vở: $8 \times 12\ 000 = 96\ 000$ (đồng).

Tổng tiền mua bút: $2 \times 6\ 000 = 12\ 000$ (đồng).

Tổng tiền phải trả: $96\ 000 + 12\ 000 = 108\ 000$ (đồng).

Số tiền được trả lại: $150\ 000 – 108\ 000 = 42\ 000$ (đồng).

Dạng 4: Tính tổng theo quy luật

Phương pháp giải

Để đếm số số hạng của một dãy mà hai số hạng liên tiếp cách đều nhau $d$ đơn vị, ta dùng công thức:

$$\text{Số số hạng} = \dfrac{\text{Số cuối} – \text{Số đầu}}{d} + 1$$

Để tính tổng dãy số cách đều:

$$\text{Tổng} = \dfrac{(\text{Số đầu} + \text{Số cuối}) \times \text{Số số hạng}}{2}$$

Với dãy có dấu xen kẽ cộng–trừ, ta nhóm từng cặp hai số liên tiếp rồi tính.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tính nhanh:

a) $2 + 4 + 6 + 8 + … + 96 + 98 + 100$

b) $13 + 15 + 17 + 19 + … + 71 + 73 + 75$

Lời giải:

a) Đây là tổng các số chẵn từ $2$ đến $100$, khoảng cách $d = 2$.

Số số hạng: $\dfrac{100 – 2}{2} + 1 = 50$ (số hạng).

Tổng: $\dfrac{(2 + 100) \times 50}{2} = \dfrac{102 \times 50}{2} = 2\ 550$.

b) Dãy số lẻ từ $13$ đến $75$, khoảng cách $d = 2$.

Số số hạng: $\dfrac{75 – 13}{2} + 1 = 32$ (số hạng).

Tổng: $\dfrac{(13 + 75) \times 32}{2} = \dfrac{88 \times 32}{2} = 1\ 408$.

Ví dụ 2: Tính nhanh:

a) $79 – 77 + 75 – 73 + … + 7 – 5 + 3 – 1$

b) $40 – 39 + 38 – 37 + … + 4 – 3 + 2 – 1$

Lời giải:

a) Nhóm từng cặp hai số liên tiếp:

$$= (79 – 77) + (75 – 73) + … + (7 – 5) + (3 – 1)$$

Mỗi cặp có hiệu bằng $2$.

Dãy gồm các số lẻ từ $1$ đến $79$, số số hạng: $\dfrac{79 – 1}{2} + 1 = 40$. Số cặp: $40 : 2 = 20$.

Vậy tổng $= 2 \times 20 = 40$.

b) Nhóm từng cặp:

$$= (40 – 39) + (38 – 37) + … + (4 – 3) + (2 – 1)$$

Mỗi cặp có hiệu bằng $1$.

Dãy gồm $40$ số hạng, số cặp: $40 : 2 = 20$.

Vậy tổng $= 1 \times 20 = 20$.

Ví dụ 3:

a) Tính hiệu của số lớn nhất có bốn chữ số khác nhau và số nhỏ nhất có ba chữ số khác nhau.

b) Tính hiệu của số lớn nhất và số nhỏ nhất có $4$ chữ số là $8;\ 0;\ 3;\ 6$.

Lời giải:

a) Số lớn nhất có bốn chữ số khác nhau là $9\ 876$.

Số nhỏ nhất có ba chữ số khác nhau là $102$.

Hiệu: $9\ 876 – 102 = 9\ 774$.

b) Số lớn nhất lập từ $8;\ 0;\ 3;\ 6$ là $8\ 630$.

Số nhỏ nhất lập từ $8;\ 0;\ 3;\ 6$ là $3\ 068$.

Hiệu: $8\ 630 – 3\ 068 = 5\ 562$.

Những sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ và giải nhanh

Tính cộng hợp lí: Luôn quan sát xem có cặp nào tạo thành số tròn không. Ví dụ $371 + 129 = 500$, $216 + 124 = 340$. Nhóm trước, cộng sau.

Tính nhẩm phép trừ: Khi số trừ gần số tròn (như $97, 198, 995, …$), hãy “bù” cả hai số lên số tròn rồi trừ. Ví dụ: $583 – 97 = 586 – 100 = 486$.

Tìm x nhanh: Nhớ ba quy tắc: tìm số hạng thì trừ, tìm số bị trừ thì cộng, tìm số trừ thì trừ. Có ngoặc thì coi cả ngoặc là một thành phần, giải từ ngoài vào.

Tổng dãy số: Ghép cặp đầu–cuối (phương pháp Gauss) rất hiệu quả. Tổng = (đầu + cuối) × số số hạng ÷ 2.

Tổng kết

Bài Phép cộng và phép trừ số tự nhiên trang bị cho học sinh những kĩ năng tính toán nền tảng:

• Phép cộng có tính chất giao hoán ($a + b = b + a$) và kết hợp ($(a+b)+c = a+(b+c)$). Nhờ đó ta có thể đổi chỗ và nhóm các số hạng để tính hợp lí.
• Phép trừ $a – b$ chỉ thực hiện được trong $\mathbb{N}$ khi $a \geq b$.
• Tìm x: Nắm vững quy tắc tìm số hạng, số bị trừ, số trừ chưa biết.
• Tính nhẩm: Bù số thành số tròn khi cộng; giữ hiệu không đổi khi trừ.
• Tổng dãy số: Dùng công thức ghép cặp hoặc công thức tổng dãy cách đều.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du