Thứ tự thực hiện các phép tính là gì?

Khi gặp biểu thức $5 + 3 \times 2$, nếu tính cộng trước ta được $(5 + 3) \times 2 = 16$, còn nếu tính nhân trước ta được $5 + 6 = 11$. Hai cách cho hai kết quả khác nhau. Vậy đâu mới là đáp án đúng?

Để mọi người cùng ra một kết quả, toán học đặt ra quy ước chung về thứ tự thực hiện các phép tính. Theo quy ước này, phép nhân được thực hiện trước phép cộng, nên $5 + 3 \times 2 = 11$ là đáp án đúng.

Quy tắc với biểu thức không có dấu ngoặc

Khi biểu thức không chứa dấu ngoặc, ta thực hiện theo thứ tự ưu tiên giảm dần:

Lũy thừa → Nhân và Chia → Cộng và Trừ

Trong đó:

• Nếu biểu thức chỉ gồm cộng, trừ (hoặc chỉ gồm nhân, chia), ta tính lần lượt từ trái sang phải.

$$50 – 20 + 7 = 30 + 7 = 37$$

$$120 : 6 \cdot 3 = 20 \cdot 3 = 60$$

• Nếu biểu thức có đủ các phép tính, ta ưu tiên lũy thừa trước, tiếp đến nhân và chia, cuối cùng mới cộng và trừ.

$$3 + 4 \cdot 2^2 = 3 + 4 \cdot 4 = 3 + 16 = 19$$

Quy tắc với biểu thức có dấu ngoặc

Khi biểu thức chứa dấu ngoặc, nguyên tắc chung là tính trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau.

• Nếu chỉ có một lớp ngoặc, ta tính phần bên trong ngoặc trước rồi mới tính tiếp phần bên ngoài.

$$(12 + 8) : 4 = 20 : 4 = 5$$

• Nếu có nhiều lớp ngoặc lồng nhau, ta tính theo thứ tự từ ngoặc trong cùng ra ngoài:

$$( ; ) \rightarrow [ ; ] \rightarrow \lbrace ; \rbrace$$

Nghĩa là: ngoặc tròn trước, rồi đến ngoặc vuông, cuối cùng là ngoặc nhọn.

Ví dụ: Tính $\lbrace 20 + 3[10 – (7 – 4)] \rbrace : 7$

Giải:

Bước 1 – Tính trong ngoặc tròn trước:

$$= \lbrace 20 + 3[10 – 3] \rbrace : 7$$

Bước 2 – Tính trong ngoặc vuông:

$$= \lbrace 20 + 3 \cdot 7 \rbrace : 7$$

Bước 3 – Tính trong ngoặc nhọn (nhân trước, cộng sau):

$$= \lbrace 20 + 21 \rbrace : 7 = 41 : 7$$

Tóm lại:

• Không có ngoặc: Lũy thừa → Nhân, Chia → Cộng, Trừ.
• Có ngoặc: tính từ trong ra ngoài theo thứ tự $( ) \rightarrow [ ; ] \rightarrow \lbrace ; \rbrace$.

Tính giá trị biểu thức

Khi tính giá trị một biểu thức, ta áp dụng đúng thứ tự phép tính đã nêu ở trên. Dưới đây là một số ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Tính $10 + 48 : 4 \cdot 3$

Giải:

Biểu thức không có ngoặc, có cả chia, nhân, cộng → ta thực hiện nhân chia trước (từ trái sang phải), rồi cộng sau.

$$10 + 48 : 4 \cdot 3 = 10 + 12 \cdot 3 = 10 + 36 = 46$$

Ví dụ 2. Tính $[1 + 3 \cdot (4 \cdot 2 – 3^2)] \cdot 5$

Giải:

Biểu thức có nhiều lớp ngoặc, ta tính từ ngoặc trong cùng ra ngoài.

Bước 1 – Tính trong ngoặc tròn. Trong ngoặc tròn có lũy thừa, nhân và trừ, nên ta tính lũy thừa trước, rồi nhân, rồi trừ:

$$4 \cdot 2 – 3^2 = 4 \cdot 2 – 9 = 8 – 9$$

Vì $8 – 9$ cho kết quả âm nên ta tiếp tục:

$$= [1 + 3 \cdot (8 – 9)] \cdot 5$$

Thực ra ở đây bài toán cho số tự nhiên, ta xem lại: $4 \cdot 2 = 8$ và $3^2 = 9$, vậy $8 – 9$ không phải số tự nhiên. Ta chọn ví dụ phù hợp hơn:

Ví dụ 2 (điều chỉnh). Tính $[2 + 3 \cdot (6 \cdot 2 – 2^3)] \cdot 4$

Giải:

Bước 1 – Tính trong ngoặc tròn. Ngoặc tròn có lũy thừa, nhân và trừ:

• Lũy thừa: $2^3 = 8$
• Nhân: $6 \cdot 2 = 12$
• Trừ: $12 – 8 = 4$

$$= [2 + 3 \cdot 4] \cdot 4$$

Bước 2 – Tính trong ngoặc vuông. Ngoặc vuông có nhân và cộng → nhân trước, cộng sau:

$$= [2 + 12] \cdot 4 = 14 \cdot 4$$

Bước 3 – Tính phép nhân còn lại:

$$= 56$$

Biểu thức chứa chữ

Khi biểu thức có chứa chữ (biến), muốn tính giá trị ta thay số vào vị trí của chữ rồi thực hiện phép tính như bình thường.

Ví dụ 3. Tính giá trị biểu thức $2 + 3(a + b) – 5^2$ khi $a = 20$, $b = 12$.

Giải:

Thay $a = 20$, $b = 12$ vào biểu thức:

$$2 + 3(20 + 12) – 5^2$$

Bước 1 – Tính ngoặc tròn và lũy thừa:

$$= 2 + 3 \cdot 32 – 25$$

Bước 2 – Tính phép nhân:

$$= 2 + 96 – 25$$

Bước 3 – Tính cộng, trừ từ trái sang phải:

$$= 98 – 25 = 73$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Thực hiện phép tính (có lũy thừa, nhiều ngoặc, đặt nhân tử chung)

Phương pháp giải

• Với biểu thức không ngoặc: tính theo thứ tự Lũy thừa → Nhân, Chia → Cộng, Trừ.
• Với biểu thức có ngoặc: tính từ ngoặc trong cùng ra ngoài $( ) \rightarrow [ ; ] \rightarrow \lbrace ; \rbrace$.
• Quan sát xem có thể đặt nhân tử chung hoặc áp dụng quy tắc nhân/chia lũy thừa cùng cơ số để tính nhanh hay không.

Bài mẫu

Bài mẫu 1. Tính $5 \cdot 2^2 – 18 : 3$

Giải:

Biểu thức không có ngoặc. Ta thực hiện theo thứ tự: lũy thừa → nhân, chia → trừ.

Bước 1 – Tính lũy thừa:

$$5 \cdot 2^2 – 18 : 3 = 5 \cdot 4 – 18 : 3$$

Bước 2 – Tính nhân và chia (cùng mức ưu tiên, từ trái sang phải):

$$= 20 – 6$$

Bước 3 – Tính trừ:

$$= 14$$

Bài mẫu 2. Tính $2^3 \cdot 17 – 2^3 \cdot 14$

Giải:

Nhận xét: Hai hạng tử đều có chung thừa số $2^3$, ta đặt nhân tử chung để tính nhanh.

$$2^3 \cdot 17 – 2^3 \cdot 14 = 2^3 \cdot (17 – 14)$$

Bước 1 – Tính trong ngoặc:

$$= 2^3 \cdot 3$$

Bước 2 – Tính lũy thừa rồi nhân:

$$= 8 \cdot 3 = 24$$

Bài mẫu 3. Tính $12 : \lbrace 400 : [500 – (125 + 25 \cdot 7)] \rbrace$

Giải:

Biểu thức có ba lớp ngoặc lồng nhau, ta tính từ trong ra ngoài.

Bước 1 – Tính trong ngoặc tròn (nhân trước, cộng sau):

$$125 + 25 \cdot 7 = 125 + 175 = 300$$

$$= 12 : \lbrace 400 : [500 – 300] \rbrace$$

Bước 2 – Tính trong ngoặc vuông:

$$= 12 : \lbrace 400 : 200 \rbrace$$

Bước 3 – Tính trong ngoặc nhọn:

$$= 12 : 2$$

Bước 4 – Tính kết quả:

$$= 6$$

Dạng 2: Tìm x

Phương pháp giải

Để tìm $x$, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Nếu vế phải (hoặc vế trái) còn phép tính chưa rút gọn, hãy tính trước cho gọn.

Bước 2: Tìm phần ưu tiên chứa $x$ — đó là phần trong ngoặc chứa $x$, hoặc phần tích/thương chứa $x$. Coi phần ưu tiên như một “khối” và xác định nó đóng vai trò gì (số hạng, số bị trừ, thừa số, …).

Bước 3: Áp dụng quy tắc tìm thành phần chưa biết (6 dạng cơ bản) để tìm giá trị của phần ưu tiên, rồi tiếp tục cho đến khi tìm được $x$.

Sáu dạng cơ bản:

Với dạng tích: Nếu $a \cdot b = 0$ thì $a = 0$ hoặc $b = 0$.

Với dạng lũy thừa: Nếu $a^x = a^n$ (với $a > 1$) thì $x = n$. Nếu $x^a = b^a$ (với $a \neq 0$) thì $x = b$.

Bài mẫu

Bài mẫu 1. Tìm số tự nhiên $x$, biết: $540 + (345 – x) = 740$

Giải:

Đây là dạng ghép. Ta tìm phần ưu tiên chứa $x$ là $(345 – x)$.

Nhận thấy $(345 – x)$ đóng vai trò số hạng trong phép cộng $540 + (345 – x) = 740$.

Bước 1 – Tìm phần ưu tiên $(345 – x)$:

$$345 – x = 740 – 540$$

$$345 – x = 200$$

Bước 2 – Bây giờ $x$ đóng vai trò số trừ trong phép trừ $345 – x = 200$:

$$x = 345 – 200$$

$$x = 145$$

Bài mẫu 2. Tìm số tự nhiên $x$, biết: $[(6x – 39) : 3] \cdot 28 = 5628$

Giải:

Đây là dạng nhiều ngoặc. Ta tìm phần trong ngoặc theo thứ tự $[ ; ] \rightarrow ( ; ) \rightarrow x$.

Bước 1 – Tìm phần trong ngoặc vuông. Phần $[(6x – 39) : 3]$ đóng vai trò thừa số trong tích $[\ldots] \cdot 28 = 5628$:

$$(6x – 39) : 3 = 5628 : 28$$

$$(6x – 39) : 3 = 201$$

Bước 2 – Tìm phần trong ngoặc tròn. Phần $(6x – 39)$ đóng vai trò số bị chia trong phép chia $(\ldots) : 3 = 201$:

$$6x – 39 = 201 \cdot 3$$

$$6x – 39 = 603$$

Bước 3 – Tìm phần ưu tiên $6x$. Đây là dạng ghép, $6x$ đóng vai trò số bị trừ:

$$6x = 603 + 39$$

$$6x = 642$$

Bước 4 – Tìm $x$. Ở đây $x$ đóng vai trò thừa số trong tích $6 \cdot x = 642$:

$$x = 642 : 6$$

$$x = 107$$

Bài mẫu 3. Tìm số tự nhiên $x$, biết: $(x – 2)(x – 7) = 0$

Giải:

Đây là dạng tích. Áp dụng tính chất: nếu tích hai thừa số bằng $0$ thì ít nhất một thừa số bằng $0$.

Suy ra $x – 2 = 0$ hoặc $x – 7 = 0$.

Trường hợp 1: $x – 2 = 0$

$x$ là số bị trừ, ta có: $x = 0 + 2 = 2$

Trường hợp 2: $x – 7 = 0$

$x$ là số bị trừ, ta có: $x = 0 + 7 = 7$

Vậy $x = 2$ hoặc $x = 7$.

Bài mẫu 4. Tìm số tự nhiên $x$, biết: $4^{x-1} = 1024$

Giải:

Đây là dạng lũy thừa, $x$ nằm ở số mũ. Cơ số là $4$ không đổi, ta cần biến đổi $1024$ thành lũy thừa cơ số $4$.

Bước 1 – Phân tích $1024$:

$$1024 = 4 \cdot 256 = 4 \cdot 4 \cdot 64 = \ldots = 4^5$$

Bước 2 – Viết lại phương trình và áp dụng nhận xét (cùng cơ số thì số mũ bằng nhau):

$$4^{x-1} = 4^5$$

$$x – 1 = 5$$

Bước 3 – Tìm $x$ ($x$ là số bị trừ):

$$x = 5 + 1 = 6$$

Bài mẫu 5. Tìm số tự nhiên $x$, biết: $(17x – 11)^3 = 216$

Giải:

Đây là dạng lũy thừa, $x$ nằm ở cơ số. Số mũ là $3$ không đổi, ta cần biến đổi $216$ thành lũy thừa mũ $3$.

Bước 1 – Phân tích $216$:

$$216 = 6 \cdot 36 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3$$

Bước 2 – Viết lại phương trình và áp dụng nhận xét (cùng số mũ thì cơ số bằng nhau):

$$(17x – 11)^3 = 6^3$$

$$17x – 11 = 6$$

Bước 3 – Tìm phần ưu tiên $17x$ (dạng ghép, $17x$ là số bị trừ):

$$17x = 6 + 11 = 17$$

Bước 4 – Tìm $x$ ($x$ là thừa số):

$$x = 17 : 17 = 1$$

Dạng 3: Bài toán có lời văn

Phương pháp giải

• Đọc kĩ đề bài, xác định các dữ kiện đã cho.
• Lập biểu thức toán học tương ứng.
• Tính giá trị biểu thức theo đúng thứ tự thực hiện các phép tính.

Bài mẫu

Bài mẫu 1. Một người đi xe đạp trong 5 giờ. Trong 3 giờ đầu, người đó đi với vận tốc 14 km/h; 2 giờ sau, người đó đi với vận tốc 9 km/h. Tính quãng đường người đó đi được trong 5 giờ.

Giải:

Quãng đường trong 3 giờ đầu: $14 \cdot 3$ (km)

Quãng đường trong 2 giờ sau: $9 \cdot 2$ (km)

Biểu thức tính tổng quãng đường:

$$S = 14 \cdot 3 + 9 \cdot 2$$

Tính giá trị (nhân trước, cộng sau):

$$S = 42 + 18 = 60 \text{ (km)}$$

Vậy quãng đường người đó đi được trong 5 giờ là 60 km.

Bài mẫu 2. Căn hộ nhà bác Cường có diện tích 105 m². Ngoại trừ bếp và nhà vệ sinh có diện tích 30 m², toàn bộ diện tích sàn còn lại được lát gỗ. Trong đó, 18 m² được lát bằng gỗ loại 1 giá 350 nghìn đồng/m²; phần còn lại dùng gỗ loại 2 giá 170 nghìn đồng/m². Công lát là 30 nghìn đồng/m². Hãy viết biểu thức và tính tổng chi phí lát sàn.

Giải:

Bước 1 – Tính diện tích cần lát:

$$105 – 30 = 75 \text{ (m²)}$$

Bước 2 – Tính diện tích lát gỗ loại 2:

$$75 – 18 = 57 \text{ (m²)}$$

Bước 3 – Lập biểu thức tính tổng chi phí (nghìn đồng):

$$C = 18 \cdot 350 + 57 \cdot 170 + 75 \cdot 30$$

Bước 4 – Tính giá trị (nhân trước, cộng sau):

$$C = 6\,300 + 9\,690 + 2\,250 = 18\,240 \text{ (nghìn đồng)}$$

Vậy tổng chi phí bác Cường cần trả là 18 240 nghìn đồng (tức 18 240 000 đồng).

Sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ

Thứ tự phép tính không ngoặc – ghi nhớ bằng cụm: “Lũy trước – Nhân Chia giữa – Cộng Trừ sau”, viết tắt L → N/C → C/T.

Thứ tự ngoặc – nhớ khẩu quyết: “Tròn trước, Vuông giữa, Nhọn sau”, hay đơn giản là “từ trong ra ngoài”.

Mẹo tìm x – Luôn bắt đầu bằng việc xác định phần ưu tiên chứa $x$: coi phần đó như một “hộp đen”, tìm giá trị cả hộp trước, rồi mới mở hộp ra tìm $x$.

Mẹo tính nhanh – Khi thấy nhiều hạng tử cùng chứa một thừa số chung, hãy đặt nhân tử chung để tính gọn hơn. Ví dụ: $2^3 \cdot 17 – 2^3 \cdot 14 = 2^3 \cdot (17 – 14) = 8 \cdot 3 = 24$ nhanh hơn nhiều so với tính từng hạng tử.

Tổng kết

Bài 7 xoay quanh một quy ước quan trọng: thứ tự thực hiện các phép tính. Toàn bộ nội dung có thể gói gọn trong hai quy tắc:

Quy tắc 1 – Không ngoặc: Lũy thừa → Nhân, Chia → Cộng, Trừ. Các phép tính cùng mức ưu tiên thì tính từ trái sang phải.

Quy tắc 2 – Có ngoặc: Tính từ trong ra ngoài theo thứ tự $( ) \rightarrow [ ; ] \rightarrow \lbrace ; \rbrace$. Bên trong mỗi ngoặc vẫn áp dụng quy tắc 1.

Nắm chắc hai quy tắc này, em sẽ tính đúng mọi biểu thức và giải tốt các dạng bài tìm $x$ cũng như bài toán có lời văn.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du