Số nguyên tố và hợp số

Số nguyên tố là gì?

Xét hai số 13 và 12. Số 13 chỉ chia hết cho 1 và chính nó (tức $Ư(13) = \lbrace 1;; 13 \rbrace$, có đúng 2 ước). Còn số 12 chia hết cho $1;; 2;; 3;; 4;; 6;; 12$ (có tới 6 ước).

Những số như 13 – chỉ có đúng hai ước – được gọi là số nguyên tố. Những số như 12 – có nhiều hơn hai ước – được gọi là hợp số.

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.

Số 0 và số 1 không phải số nguyên tố và cũng không phải hợp số.

Ví dụ:

• Các số $2;; 3;; 5;; 7;; 11;; 13;; 17;; 19;; 23$ là số nguyên tố.
• Các số $4;; 6;; 8;; 9;; 10;; 12;; 14;; 15$ là hợp số.
• Số $2$ là số nguyên tố chẵn duy nhất. Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ.

Cách nhận biết nhanh một số là hợp số: Dùng các dấu hiệu chia hết (cho 2, 3, 5, 9) để tìm ra một ước khác 1 và khác chính nó. Nếu tìm được → đó là hợp số.

Ví dụ: Số $1\,974$ có tận cùng là 4 nên chia hết cho 2. Vậy ngoài ước 1 và $1\,974$, nó còn có ước 2. Do đó $1\,974$ là hợp số.

Số $19$ chỉ có hai ước là 1 và 19 nên $19$ là số nguyên tố.

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Mọi hợp số đều có thể viết được thành tích của các thừa số nguyên tố. Quá trình này gọi là phân tích ra thừa số nguyên tố.

Ví dụ: Phân tích số 36:

$$36 = 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$$

Viết gọn dưới dạng lũy thừa: $36 = 2^2 \cdot 3^2$.

Quy ước: Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố là chính nó. Ví dụ: phân tích của 7 là 7.

Phương pháp phân tích theo sơ đồ cột

Đây là cách phổ biến nhất. Ta lần lượt chia số cần phân tích cho các số nguyên tố (xét từ nhỏ đến lớn: 2, 3, 5, 7, 11, …) cho đến khi thương bằng 1.

Ví dụ: Phân tích số 84 ra thừa số nguyên tố:

Giải thích: $84 : 2 = 42$ → $42 : 2 = 21$ → $21 : 3 = 7$ → $7 : 7 = 1$. Dừng lại.

Vậy $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$.

Phương pháp phân tích theo sơ đồ cây

Ta tách số cần phân tích thành tích hai thừa số, rồi tiếp tục tách mỗi thừa số cho đến khi tất cả đều là số nguyên tố.

Ví dụ: Phân tích 36:

$$36 = 4 \times 9 = (2 \times 2) \times (3 \times 3)$$

Vậy $36 = 2^2 \cdot 3^2$.

Nhận xét: Dù phân tích bằng cách nào (sơ đồ cột hay sơ đồ cây), nếu viết các thừa số nguyên tố theo thứ tự từ nhỏ đến lớn và dùng lũy thừa, ta luôn nhận được cùng một kết quả.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết số nguyên tố, hợp số

Phương pháp giải

Để xác định một số là nguyên tố hay hợp số:

Bước 1: Kiểm tra số đó có lớn hơn 1 không. Nếu không → không phải nguyên tố, không phải hợp số.

Bước 2: Tìm ước của số đó. Nếu chỉ có đúng hai ước (1 và chính nó) → số nguyên tố. Nếu có từ ba ước trở lên → hợp số.

Mẹo: Dùng dấu hiệu chia hết để nhanh chóng phát hiện hợp số.

Bài mẫu

Bài mẫu 1. Trong các số sau, số nào là số nguyên tố, số nào là hợp số: $0;; 12;; 17;; 23;; 110;; 53;; 63;; 31$.

Giải:

• Số $0$: không lớn hơn 1 → không phải nguyên tố, không phải hợp số.
• Số $12$: $12 ;\vdots; 2$ (vì tận cùng chẵn), nên $12$ có ước $2$ khác $1$ và $12$ → hợp số.
• Số $17$: kiểm tra chia cho $2, 3, 5, 7, 11, 13$ đều không hết. Chỉ có hai ước $1$ và $17$ → số nguyên tố.
• Số $23$: tương tự, chỉ có hai ước $1$ và $23$ → số nguyên tố.
• Số $110$: $110 ;\vdots; 2$ (tận cùng là 0) → hợp số.
• Số $53$: chỉ có hai ước $1$ và $53$ → số nguyên tố.
• Số $63$: $6 + 3 = 9 ;\vdots; 3$ nên $63 ;\vdots; 3$ → hợp số.
• Số $31$: chỉ có hai ước $1$ và $31$ → số nguyên tố.

Bài mẫu 2. Không tính kết quả, xét xem tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số:

a) $A = 302 + 150 + 826$ $\qquad$ b) $B = 5 \cdot 7 \cdot 9 – 2 \cdot 5 \cdot 6$

Giải:

a) Xét từng số hạng: $302 ;\vdots; 2$ (tận cùng 2), $150 ;\vdots; 2$ (tận cùng 0), $826 ;\vdots; 2$ (tận cùng 6). Tất cả đều chia hết cho 2, nên $A ;\vdots; 2$.

Mặt khác $A = 302 + 150 + 826 > 2$, nên $A$ có nhiều hơn hai ước (ít nhất có ước $1$, $2$, và $A$). Vậy $A$ là hợp số.

b) Tích $5 \cdot 7 \cdot 9$ có thừa số $5$ chia hết cho 5, nên $5 \cdot 7 \cdot 9 ;\vdots; 5$. Tích $2 \cdot 5 \cdot 6$ có thừa số $5$ chia hết cho 5, nên $2 \cdot 5 \cdot 6 ;\vdots; 5$. Cả hai đều chia hết cho 5, nên $B ;\vdots; 5$.

Tính nhanh: $B = 315 – 60 = 255 > 5$. Vậy $B$ có ước 5 khác 1 và khác chính nó → $B$ là hợp số.

Dạng 2: Tìm chữ số để được số nguyên tố hoặc hợp số

Phương pháp giải

Để tìm chữ số $*$ sao cho số đã cho là số nguyên tố (hoặc hợp số), ta thường:

• Dùng dấu hiệu chia hết để loại bớt các giá trị (số chia hết cho 2, 3, 5 thì là hợp số nếu lớn hơn số nguyên tố tương ứng).
• Dùng bảng số nguyên tố nhỏ hơn 1 000 (ở cuối SGK) để tra các giá trị còn lại.

Bài mẫu

Bài mẫu 3. Thay dấu $*$ bằng chữ số thích hợp để mỗi số sau là số nguyên tố:

a) $\overline{4*}$ $\qquad$ b) $\overline{7*}$ $\qquad$ c) $\overline{*2}$

Giải:

a) $\overline{4*}$:** Số này có hàng chục là 4, hàng đơn vị là $*$. Thử $* = 0, 1, 2, \ldots, 9$:

• $* = 0$: $40 ;\vdots; 2$ → hợp số. ✗
• $* = 1$: $41$ → tra bảng: là số nguyên tố. ✓
• $* = 2$: $42 ;\vdots; 2$ → hợp số. ✗
• $* = 3$: $43$ → tra bảng: là số nguyên tố. ✓
• $* = 4$: $44 ;\vdots; 2$ → hợp số. ✗
• $* = 5$: $45 ;\vdots; 5$ → hợp số. ✗
• $* = 6$: $46 ;\vdots; 2$ → hợp số. ✗
• $* = 7$: $47$ → tra bảng: là số nguyên tố. ✓
• $* = 8$: $48 ;\vdots; 2$ → hợp số. ✗
• $* = 9$: $49 = 7 \cdot 7$ → hợp số. ✗

Vậy $* \in \lbrace 1;; 3;; 7 \rbrace$.

b) $\overline{7*}$:** Lập luận tương tự, loại các trường hợp chẵn ($* = 0, 2, 4, 6, 8$) và $* = 5$ (vì $75 \;\vdots\; 5$). Còn lại:

• $* = 1$: $71$ → số nguyên tố. ✓
• $* = 3$: $73$ → số nguyên tố. ✓
• $* = 7$: $77 = 7 \cdot 11$ → hợp số. ✗
• $* = 9$: $79$ → số nguyên tố. ✓

Vậy $* \in \lbrace 1;; 3;; 9 \rbrace$.

*c)$\overline{*2}$:** Số tận cùng là 2 (chẵn), nên nếu $\overline{*2} > 2$ thì nó chia hết cho 2 và là hợp số. Chỉ có trường hợp $\overline{*2} = 2$, tức $* = 0$ (số 02 = 2 là số nguyên tố).

Vậy $* \in \lbrace 0 \rbrace$ (tức số đó là 2).

Bài mẫu 4. Tìm số tự nhiên $k$ để $2k$ là số nguyên tố.

Giải:

• Với $k = 0$: $2 \cdot 0 = 0$, không phải nguyên tố, không phải hợp số.
• Với $k = 1$: $2 \cdot 1 = 2$, là số nguyên tố. ✓
• Với $k \geq 2$: $2k$ có ít nhất ba ước là $1;; 2;; 2k$ (vì $2k > 2$ nên cả ba ước đều khác nhau). Vậy $2k$ là hợp số. ✗

Vậy $k = 1$.

Dạng 3: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Phương pháp giải

Để phân tích số tự nhiên $n$ ($n > 1$) ra thừa số nguyên tố, ta dùng sơ đồ cột:

Bước 1: Chia $n$ cho số nguyên tố nhỏ nhất mà $n$ chia hết (xét từ 2, 3, 5, 7, 11, …).

Bước 2: Lấy thương, lặp lại Bước 1 cho đến khi thương bằng 1.

Bước 3: Viết $n$ dưới dạng tích các thừa số nguyên tố (viết lũy thừa, sắp xếp từ nhỏ đến lớn).

Bài mẫu

Bài mẫu 5. Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố:

a) 46 $\qquad$ b) 275 $\qquad$ c) 120 $\qquad$ d) 2020

Giải:

a) Phân tích 46:

$46 : 2 = 23$ (2 là ước nguyên tố nhỏ nhất của 46). $23 : 23 = 1$ (23 là số nguyên tố).

$$46 = 2 \cdot 23$$

b) Phân tích 275:

$275 : 5 = 55$ → $55 : 5 = 11$ → $11 : 11 = 1$.

$$275 = 5^2 \cdot 11$$

c) Phân tích 120:

$120 : 2 = 60$ → $60 : 2 = 30$ → $30 : 2 = 15$ → $15 : 3 = 5$ → $5 : 5 = 1$.

$$120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$$

d) Phân tích 2020:

$2020 : 2 = 1010$ → $1010 : 2 = 505$ → $505 : 5 = 101$. Kiểm tra 101: không chia hết cho 2, 3, 5, 7 (vì $7^2 = 49 < 101 < 121 = 11^2$, chỉ cần thử đến 10). 101 là số nguyên tố → $101 : 101 = 1$.

$$2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101$$

Dạng 4: Xác định các ước của một số

Phương pháp giải

Để tìm tất cả các ước của số $n$ ($n > 1$):

Bước 1: Phân tích $n$ ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Viết $n$ thành tích hai thừa số theo mọi cách ($n = 1 \cdot n = a \cdot b = \ldots$). Các thừa số xuất hiện chính là các ước.

Bài mẫu

Bài mẫu 6. Tìm các ước của 30 và các ước nguyên tố của 180.

Giải:

Tìm $Ư(30)$:

Phân tích: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Viết thành tích hai thừa số:

$$30 = 1 \cdot 30 = 2 \cdot 15 = 3 \cdot 10 = 5 \cdot 6$$

Vậy $Ư(30) = \lbrace 1;; 2;; 3;; 5;; 6;; 10;; 15;; 30 \rbrace$.

Tìm ước nguyên tố của 180:

Phân tích: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Ước nguyên tố của 180 là các số nguyên tố xuất hiện trong dạng phân tích, tức là: $2;; 3;; 5$.

Dạng 5: Xác định số lượng ước của một số

Phương pháp giải

Để đếm số ước của số tự nhiên $m$ ($m > 1$), ta phân tích $m$ ra thừa số nguyên tố rồi áp dụng công thức:

• Nếu $m = a^x$ thì $m$ có $x + 1$ ước.
• Nếu $m = a^x \cdot b^y$ thì $m$ có $(x + 1)(y + 1)$ ước.
• Nếu $m = a^x \cdot b^y \cdot c^z$ thì $m$ có $(x + 1)(y + 1)(z + 1)$ ước.

(Trong đó $a, b, c$ là các số nguyên tố khác nhau.)

Bài mẫu

Bài mẫu 7. Các số sau đây có tất cả bao nhiêu ước?

a) 46 $\qquad$ b) $3^4 \cdot 5^2$ $\qquad$ c) 98 $\qquad$ d) 120

Giải:

a) Phân tích: $46 = 2^1 \cdot 23^1$.

Số ước $= (1 + 1)(1 + 1) = 2 \cdot 2 = 4$ ước.

(Kiểm tra: $Ư(46) = \lbrace 1;; 2;; 23;; 46 \rbrace$ – đúng 4 ước.)

b) Đã có dạng phân tích: $3^4 \cdot 5^2$.

Số ước $= (4 + 1)(2 + 1) = 5 \cdot 3 = 15$ ước.

c) Phân tích: $98 = 2 \cdot 7^2 = 2^1 \cdot 7^2$.

Số ước $= (1 + 1)(2 + 1) = 2 \cdot 3 = 6$ ước.

(Kiểm tra: $Ư(98) = \lbrace 1;; 2;; 7;; 14;; 49;; 98 \rbrace$ – đúng 6 ước.)

d) Phân tích: $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.

Số ước $= (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ ước.

Dạng 6: Bài toán đưa về phân tích ra thừa số nguyên tố

Phương pháp giải

Nhiều bài toán thực tế (chia nhóm đều, tìm cách sắp xếp, …) quy về việc tìm ước của một số. Ta phân tích số đó ra thừa số nguyên tố, rồi liệt kê tất cả các ước thỏa mãn điều kiện.

Bài mẫu

Bài mẫu 8. Bạn Lan có 48 bông hoa và muốn chia đều vào các hộp nhỏ để gói quà. Hỏi Lan có thể chia đều vào bao nhiêu hộp? (Kể cả trường hợp cho hết hoa vào 1 hộp.)

Giải:

Số hộp phải là ước của 48.

Phân tích: $48 = 2^4 \cdot 3$.

Số ước: $(4 + 1)(1 + 1) = 10$ ước.

Liệt kê:

$$48 = 1 \cdot 48 = 2 \cdot 24 = 3 \cdot 16 = 4 \cdot 12 = 6 \cdot 8$$

Vậy $Ư(48) = \lbrace 1;; 2;; 3;; 4;; 6;; 8;; 12;; 16;; 24;; 48 \rbrace$.

Lan có thể chia đều vào $1;; 2;; 3;; 4;; 6;; 8;; 12;; 16;; 24;; 48$ hộp.

Bài mẫu 9. Một đội văn nghệ có 24 bạn. Cô giáo muốn chia thành từng nhóm sao cho số bạn trong mỗi nhóm bằng nhau và lớn hơn 3. Hỏi cô giáo có thể chia nhiều nhất thành bao nhiêu nhóm? Ít nhất bao nhiêu nhóm?

Giải:

Gọi số bạn mỗi nhóm là $k$, số nhóm là $n$. Ta có $k \cdot n = 24$ và $k > 3$.

Vì $k$ là ước của 24 và $k > 3$, nên $k \in \lbrace 4;; 6;; 8;; 12;; 24 \rbrace$.

Tính số nhóm tương ứng:

• Nhiều nhất: 6 nhóm (mỗi nhóm 4 bạn).
• Ít nhất: 1 nhóm (cả 24 bạn).

Bài mẫu 10. Tích của hai số tự nhiên là 50. Tìm mỗi số đó.

Giải:

Mỗi số phải là ước của 50.

Phân tích: $50 = 2 \cdot 5^2$ nên $Ư(50) = \lbrace 1;; 2;; 5;; 10;; 25;; 50 \rbrace$.

Viết 50 thành tích hai thừa số:

$$50 = 1 \cdot 50 = 2 \cdot 25 = 5 \cdot 10$$

Vậy các cặp số cần tìm là: $(1;; 50)$, $(2;; 25)$, $(5;; 10)$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ

Nhận biết nhanh hợp số: Nếu một số lớn hơn 2 mà chẵn → hợp số. Nếu lớn hơn 5 mà tận cùng 0 hoặc 5 → hợp số. Nếu tổng chữ số chia hết cho 3 (và số đó lớn hơn 3) → hợp số. Nói cách khác, với số nguyên tố lớn hơn 5, chữ số tận cùng chỉ có thể là $1, 3, 7, 9$.

Phân tích ra thừa số nguyên tố: Luôn bắt đầu chia cho số nguyên tố nhỏ nhất có thể (2, rồi 3, rồi 5, …). Khi thương là số nguyên tố thì dừng.

Công thức đếm ước: Nhớ “số mũ cộng 1, rồi nhân tất cả“. Ví dụ: $m = 2^3 \cdot 5^2$ → $(3+1)(2+1) = 12$ ước.

Tìm $k$ để $p \cdot k$ nguyên tố: Với $p$ nguyên tố, thì $p \cdot k$ chỉ là nguyên tố khi $k = 1$ (vì nếu $k \geq 2$ thì $p \cdot k$ có ước $p$ khác 1 và khác chính nó).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du