Làm quen với số nguyên âm

Trong đời sống, ta thường gặp những con số với dấu “$-$” đứng trước: nhiệt độ $-5°C$, độ cao $-200$ m so với mực nước biển, số tiền nợ $-500$ nghìn đồng… Những số mang dấu “$-$” này chính là số nguyên âm. Vậy số nguyên âm là gì và có quan hệ thế nào với các số tự nhiên đã học?

Số nguyên dương và số nguyên âm

Các số tự nhiên khác 0 như $1;; 2;; 3;; 4;; \ldots$ còn được gọi là các số nguyên dương.

Các số $-1;; -2;; -3;; -4;; \ldots$ được gọi là các số nguyên âm.

Tập hợp gồm tất cả các số nguyên âm, số $0$ và các số nguyên dương gọi là tập hợp các số nguyên, kí hiệu là $\mathbb{Z}$:

$$\mathbb{Z} = \lbrace \ldots;; -4;; -3;; -2;; -1;; 0;; 1;; 2;; 3;; 4;; \ldots \rbrace$$

Chú ý:

• Số $0$ không phải số nguyên dương, cũng không phải số nguyên âm.
• Đôi khi ta viết thêm dấu “$+$” trước số nguyên dương, ví dụ số $8$ còn viết là $+8$ (đọc là “dương tám”).

Khi nào người ta dùng số âm?

Số dương và số âm được dùng để biểu thị các đại lượng đối lập nhau hoặc có hướng ngược nhau:

Ví dụ: Đỉnh Fansipan (Việt Nam) có độ cao khoảng $3\,143$ m so với mực nước biển, ta viết $+3\,143$ m. Đáy rãnh Mariana (Tây Bắc Thái Bình Dương) nằm sâu $10\,971$ m dưới mực nước biển, ta viết $-10\,971$ m.

Ví dụ: Khi bạn nói “Mình còn âm năm mươi nghìn đồng”, nghĩa là bạn đó đang nợ $50\,000$ đồng.

Thứ tự trong tập số nguyên

Trục số

Để biểu diễn các số nguyên, ta dùng trục số. Trục số là một đường thẳng trên đó:

• Có một điểm gốc $O$ biểu diễn số $0$.
• Được chia thành các đoạn bằng nhau (mỗi đoạn là một đơn vị).
• Có mũi tên chỉ chiều dương.

Với trục số nằm ngang: chiều từ trái sang phải là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm.

$$\xleftarrow{\quad} -5 \quad -4 \quad -3 \quad -2 \quad -1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5 \xrightarrow{\quad}$$

Điểm biểu diễn số nguyên $a$ trên trục số gọi là điểm $a$.

Ví dụ:

• Điểm $4$ nằm cách gốc $O$ là $4$ đơn vị về phía bên phải (chiều dương).
• Điểm $-3$ nằm cách gốc $O$ là $3$ đơn vị về phía bên trái (chiều âm).

So sánh hai số nguyên

Trên trục số, nếu điểm $a$ nằm trước (bên trái) điểm $b$ thì $a < b$ (ta nói $a$ nhỏ hơn $b$).

Từ đó, ta có hai nhận xét quan trọng:

Nhận xét 1: Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn $0$, do đó nhỏ hơn mọi số nguyên dương.

Nhận xét 2: Nếu $a$, $b$ là hai số nguyên dương và $a > b$ thì $-a < -b$.

Nói cách khác: Với hai số nguyên âm, số nào có phần số (bỏ dấu trừ) lớn hơn thì số đó lại nhỏ hơn.

Ví dụ:

• $8$ là số nguyên dương, $-35$ là số nguyên âm, nên $-35 < 8$.
• Vì $62 > 3$ nên $-62 < -3$.

Chú ý: Kí hiệu $a \leq b$ có nghĩa là “$a < b$ hoặc $a = b$”.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Điền kí hiệu thích hợp vào chỗ trống

Phương pháp giải

Cần nắm vững:

• Tập hợp số tự nhiên: $\mathbb{N} = \lbrace 0;; 1;; 2;; 3;; \ldots \rbrace$.
• Tập hợp số nguyên: $\mathbb{Z} = \lbrace \ldots;; -3;; -2;; -1;; 0;; 1;; 2;; 3;; \ldots \rbrace$.
• Kí hiệu $\in$ (thuộc), $\notin$ (không thuộc), $\subset$ (tập con), $\cap$ (giao).
• $A \subset B$ nếu mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$.
• Mọi số tự nhiên đều là số nguyên, nên $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
• Số nguyên âm không phải số tự nhiên. Phân số, số thập phân không phải số nguyên.

Bài mẫu

Bài mẫu 1. Điền chữ Đ (đúng) hoặc chữ S (sai) vào chỗ trống:

$7 \in \mathbb{N}$ … $\qquad$ $7 \in \mathbb{Z}$ … $\qquad$ $0 \in \mathbb{N}$ … $\qquad$ $0 \in \mathbb{Z}$ … $\qquad$ $-9 \in \mathbb{Z}$ … $\qquad$ $-9 \in \mathbb{N}$ … $\qquad$ $11{,}2 \in \mathbb{Z}$ …

Giải:

• $7 \in \mathbb{N}$: Đúng (Đ) — vì $7$ là số tự nhiên.
• $7 \in \mathbb{Z}$: Đúng (Đ) — vì $7$ là số nguyên dương, thuộc $\mathbb{Z}$.
• $0 \in \mathbb{N}$: Đúng (Đ) — vì $0$ là số tự nhiên.
• $0 \in \mathbb{Z}$: Đúng (Đ) — vì $0$ thuộc tập số nguyên.
• $-9 \in \mathbb{Z}$: Đúng (Đ) — vì $-9$ là số nguyên âm, thuộc $\mathbb{Z}$.
• $-9 \in \mathbb{N}$: Sai (S) — vì $-9$ là số nguyên âm, không thuộc tập số tự nhiên $\mathbb{N}$.
• $11{,}2 \in \mathbb{Z}$: Sai (S) — vì $11{,}2$ là số thập phân, không phải số nguyên.

Bài mẫu 2. Điền kí hiệu ($\in$; $\notin$; $\cap$; $\subset$) vào chỗ trống:

$\dfrac{-3}{4}$ … $\mathbb{Z}$; $\qquad$ $-4$ … $\mathbb{N}$; $\qquad$ $5$ … $\mathbb{Z}$; $\qquad$ $0$ … $\mathbb{Z}$; $\qquad$ $\mathbb{N}$ … $\mathbb{Z} = \mathbb{N}$; $\qquad$ $\mathbb{N}$ … $\mathbb{Z}$.

Giải:

• $\dfrac{-3}{4} ;\notin; \mathbb{Z}$ — vì $\dfrac{-3}{4}$ là phân số, không phải số nguyên.
• $-4 ;\notin; \mathbb{N}$ — vì $-4$ là số nguyên âm, không thuộc tập số tự nhiên.
• $5 ;\in; \mathbb{Z}$ — vì $5$ là số nguyên dương.
• $0 ;\in; \mathbb{Z}$ — vì $0$ thuộc tập số nguyên.
• $\mathbb{N} ;\cap; \mathbb{Z} = \mathbb{N}$ — vì mọi số tự nhiên đều là số nguyên, nên phần chung (giao) của $\mathbb{N}$ và $\mathbb{Z}$ chính là $\mathbb{N}$.
• $\mathbb{N} ;\subset; \mathbb{Z}$ — vì mọi phần tử của $\mathbb{N}$ đều thuộc $\mathbb{Z}$.

Dạng 2: Biểu diễn số nguyên trên trục số

Phương pháp giải

Trục số là một đường thẳng (nằm ngang hoặc thẳng đứng) được chia thành các khoảng bằng nhau. Điểm $0$ là gốc. Với trục nằm ngang:

• Các số nguyên dương nằm bên phải gốc $O$.
• Các số nguyên âm nằm bên trái gốc $O$.
• Điểm $a$ cách gốc $O$ đúng $|a|$ đơn vị (bỏ dấu âm nếu có).

Khi xuất phát từ gốc $O$: di chuyển theo chiều dương (sang phải) $n$ đơn vị → đến điểm $n$; di chuyển theo chiều âm (sang trái) $n$ đơn vị → đến điểm $-n$.

Bài mẫu

Bài mẫu 3. Trên trục số, mỗi điểm sau cách gốc $O$ bao nhiêu đơn vị?

a) Điểm $3$ $\qquad$ b) Điểm $-5$ $\qquad$ c) Điểm $11$ $\qquad$ d) Điểm $-9$

Giải:

a) Điểm $3$ nằm bên phải gốc $O$, cách gốc $O$ là 3 đơn vị.

b) Điểm $-5$ nằm bên trái gốc $O$, cách gốc $O$ là 5 đơn vị (bỏ dấu âm).

c) Điểm $11$ nằm bên phải gốc $O$, cách gốc $O$ là 11 đơn vị.

d) Điểm $-9$ nằm bên trái gốc $O$, cách gốc $O$ là 9 đơn vị.

Bài mẫu 4. Trên trục số, xuất phát từ gốc $O$, ta sẽ đi đến điểm nào nếu:

a) Di chuyển 3 đơn vị theo chiều dương. $\qquad$ b) Di chuyển 7 đơn vị theo chiều âm.

c) Di chuyển 6 đơn vị theo chiều dương. $\qquad$ d) Di chuyển 8 đơn vị theo chiều âm.

Giải:

a) Di chuyển 3 đơn vị theo chiều dương (sang phải) → đến điểm $3$.

b) Di chuyển 7 đơn vị theo chiều âm (sang trái) → đến điểm $-7$.

c) Di chuyển 6 đơn vị theo chiều dương → đến điểm $6$.

d) Di chuyển 8 đơn vị theo chiều âm → đến điểm $-8$.

Dạng 3: So sánh hai hay nhiều số nguyên

Phương pháp giải

Có hai cách so sánh:

Cách 1 – Dùng trục số: Biểu diễn các số cần so sánh trên trục số. Số nào nằm bên trái thì nhỏ hơn (giá trị tăng dần từ trái sang phải).

Cách 2 – Dùng nhận xét:

• Số nguyên dương luôn lớn hơn $0$.
• Số nguyên âm luôn nhỏ hơn $0$.
• Số nguyên dương luôn lớn hơn số nguyên âm.
• Trong hai số nguyên dương, số nào lớn hơn thì lớn hơn (như so sánh số tự nhiên bình thường).
• Trong hai số nguyên âm, số nào có phần số (bỏ dấu trừ) nhỏ hơn thì số đó lớn hơn. Nói cách khác: $a > b$ (nguyên dương) thì $-a < -b$.

Bài mẫu

Bài mẫu 5. Điền dấu ($>$; $<$; $=$) thích hợp vào chỗ trống:

$3$ … $5$; $\qquad$ $-3$ … $-5$; $\qquad$ $4$ … $-6$; $\qquad$ $10$ … $-10$.

Giải:

• $3 ;<; 5$ — vì cả hai đều dương, $3$ nhỏ hơn $5$.
• $-3 ;>; -5$ — vì cả hai đều âm, phần số của $-3$ là $3$ nhỏ hơn phần số của $-5$ là $5$, nên $-3$ lớn hơn $-5$.
• $4 ;>; -6$ — vì số nguyên dương luôn lớn hơn số nguyên âm.
• $10 ;>; -10$ — vì số nguyên dương luôn lớn hơn số nguyên âm.

Bài mẫu 6. Điền dấu “$+$” hoặc “$-$” vào chỗ trống để được kết quả đúng:

a) $0 <$ …$2$; $\qquad$ b) …$15 < 0$; $\qquad$ c) …$10 <$ …$6$; $\qquad$ d) …$3 <$ …$9$.

(Chú ý: có thể có nhiều đáp số.)

Giải:

a) Ta cần một số lớn hơn $0$. Số $+2 > 0$ ✓.

Vậy $0 < +2$.

b) Ta cần một số nhỏ hơn $0$, tức là số âm. Số $-15 < 0$ ✓.

Vậy $-15 < 0$.

c) Ta cần hai số sao cho số bên trái nhỏ hơn số bên phải. Có thể điền:

• $-10 < -6$ ✓ (cả hai âm, $|-10| > |-6|$ nên $-10 < -6$).
• $-10 < +6$ ✓ (số âm luôn nhỏ hơn số dương).

d) Ta cần hai số sao cho số bên trái nhỏ hơn số bên phải. Có thể điền:

• $+3 < +9$ ✓ (cả hai dương, $3 < 9$).
• $-3 < +9$ ✓ (số âm luôn nhỏ hơn số dương).

Dạng 4: Viết tập hợp số

Phương pháp giải

Có hai cách viết tập hợp:

• Cách 1 – Liệt kê: Viết ra tất cả các phần tử trong dấu ngoặc nhọn $\lbrace \rbrace$, ngăn cách bởi dấu “$;$”.
• Cách 2 – Chỉ ra tính chất đặc trưng: Viết dưới dạng $\lbrace x \in \mathbb{Z} ;|; \text{điều kiện} \rbrace$.

Lưu ý quan trọng: Chú ý dấu $\leq$ (có bằng, lấy cả biên) và dấu $<$ (không bằng, không lấy biên).

Bài mẫu

Bài mẫu 7. Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau:

a) $A = \lbrace x \in \mathbb{Z} ;|; -5 \leq x < 1 \rbrace$ $\qquad$ b) $B = \lbrace x \in \mathbb{Z} ;|; -3 < x \leq 4 \rbrace$

c) $C = \lbrace x \in \mathbb{Z} ;|; -7 < x < -1 \rbrace$ $\qquad$ d) $D = \lbrace x \in \mathbb{Z} ;|; -2 \leq x \leq 5 \rbrace$

Giải:

a) Điều kiện: $x$ là số nguyên, $-5 \leq x < 1$.

Dấu $\leq$ nghĩa là lấy cả $-5$. Dấu $<$ nghĩa là không lấy $1$.

Các số nguyên từ $-5$ đến $0$ (dừng trước $1$): $-5;; -4;; -3;; -2;; -1;; 0$.

$$A = \lbrace -5;; -4;; -3;; -2;; -1;; 0 \rbrace$$

b) Điều kiện: $-3 < x \leq 4$.

Dấu $<$ nghĩa là không lấy $-3$, bắt đầu từ $-2$. Dấu $\leq$ nghĩa là lấy cả $4$.

$$B = \lbrace -2;; -1;; 0;; 1;; 2;; 3;; 4 \rbrace$$

c) Điều kiện: $-7 < x < -1$.

Cả hai dấu đều là $<$, nên không lấy $-7$ và không lấy $-1$. Các số nguyên từ $-6$ đến $-2$:

$$C = \lbrace -6;; -5;; -4;; -3;; -2 \rbrace$$

d) Điều kiện: $-2 \leq x \leq 5$.

Cả hai dấu đều là $\leq$, nên lấy cả hai biên $-2$ và $5$.

$$D = \lbrace -2;; -1;; 0;; 1;; 2;; 3;; 4;; 5 \rbrace$$

Bài mẫu 8. Viết các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng:

a) $A = \lbrace -2;; -1;; 0;; 1;; 2;; 3;; 4 \rbrace$ $\qquad$ b) $B = \lbrace -7;; -6;; -5;; -4;; -3 \rbrace$

Giải:

a) Quan sát: tập $A$ gồm các số nguyên liên tiếp từ $-2$ đến $4$.

Số nhỏ nhất là $-2$ (lấy cả) → dùng $\leq$. Số lớn nhất là $4$ (lấy cả) → dùng $\leq$.

$$A = \lbrace x \in \mathbb{Z} ;|; -2 \leq x \leq 4 \rbrace$$

b) Quan sát: tập $B$ gồm các số nguyên liên tiếp từ $-7$ đến $-3$.

$$B = \lbrace x \in \mathbb{Z} ;|; -7 \leq x \leq -3 \rbrace$$

Hoặc viết tương đương: $B = \lbrace x \in \mathbb{Z} ;|; -8 < x < -2 \rbrace$.

Dạng 5: Sử dụng số nguyên âm trong thực tế

Phương pháp giải

Số âm dùng để biểu thị các đại lượng đối lập với số dương:

• Độ sâu dưới mực nước biển → viết số âm (ví dụ: sâu $60$ m → $-60$ m).
• Nhiệt độ dưới $0°C$ → viết số âm (ví dụ: $8°C$ dưới $0°C$ → $-8°C$).
• Số tiền nợ → viết số âm (ví dụ: nợ $400$ triệu → $-400$ triệu).
• Số tiền lỗ → viết số âm.
• Thời gian trước Công Nguyên → viết số âm (ví dụ: năm $287$ TCN → năm $-287$).

Khi đề bài yêu cầu diễn tả không dùng số âm, ta đổi ngược lại: $-50°C$ → nhiệt độ $50°C$ dưới $0°C$.

Bài mẫu

Bài mẫu 9. Sử dụng số nguyên âm để diễn tả lại ý nghĩa các câu sau:

a) Độ sâu của vịnh Cam Ranh từ 18 m đến 30 m dưới mực nước biển.

b) Nhiệt độ trung bình vào mùa đông ở Hàn Quốc là $8°C$ đến $7°C$ dưới $0°C$.

c) Với bình dưỡng khí, thợ lặn có thể lặn sâu đến 60 m dưới mực nước biển.

d) Nhà toán học Archimedes sinh năm 287 trước Công Nguyên.

e) Ông A nợ ngân hàng 400 triệu đồng.

Giải:

a) “Dưới mực nước biển” → dùng số âm.

Độ cao của vịnh Cam Ranh từ $-18$ m đến $-30$ m so với mực nước biển.

b) “Dưới $0°C$” → dùng số âm.

Nhiệt độ trung bình vào mùa đông ở Hàn Quốc là từ $-8°C$ đến $-7°C$.

c) “Dưới mực nước biển” → dùng số âm.

Thợ lặn có thể lặn đến độ cao $-60$ m so với mực nước biển.

d) “Trước Công Nguyên” → dùng số âm.

Nhà toán học Archimedes sinh năm $-287$.

e) “Nợ” → dùng số âm.

Số tiền của ông A là $-400$ triệu đồng.

Bài mẫu 10. Em hiểu ý nghĩa của mỗi câu sau như thế nào (diễn tả bằng một câu không sử dụng số âm):

a) Khi máy bay ở độ cao $10\,000$ m, nhiệt độ bên ngoài có thể xuống đến $-50°C$.

b) Cá voi xanh có thể lặn được $-2\,500$ m.

Giải:

a) $-50°C$ nghĩa là nhiệt độ $50°C$ dưới $0°C$.

→ Khi máy bay ở độ cao $10\,000$ m, nhiệt độ bên ngoài có thể xuống đến $50°C$ dưới $0°C$.

b) $-2\,500$ m nghĩa là sâu $2\,500$ m dưới mực nước biển.

→ Cá voi xanh có thể lặn sâu đến $2\,500$ m dưới mực nước biển.

Sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ

Phân biệt $\mathbb{N}$ và $\mathbb{Z}$: $\mathbb{N}$ là tập số tự nhiên (từ $0$ trở đi), $\mathbb{Z}$ là tập số nguyên (mở rộng thêm các số âm). Mọi số tự nhiên đều là số nguyên ($\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$), nhưng không phải mọi số nguyên đều là số tự nhiên (ví dụ $-3 \in \mathbb{Z}$ nhưng $-3 \notin \mathbb{N}$).

So sánh số nguyên âm: Nhớ khẩu quyết “Âm thì ngược” — với hai số âm, số nào “trông có vẻ lớn hơn” (phần số lớn hơn) thì lại nhỏ hơn. Ví dụ: $-100 < -1$.

Liệt kê tập hợp: Gặp dấu $\leq$ thì lấy biên, gặp dấu $<$ thì bỏ biên. Cứ nhìn có gạch dưới ($\leq$) thì lấy, không gạch ($<$) thì bỏ.

Dùng số âm trong thực tế: Nhớ các cặp đối lập: trên/dưới mực nước biển, trên/dưới $0°C$, có tiền/nợ tiền, lãi/lỗ, viễn thị/cận thị, sau/trước Công Nguyên.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du