Cộng hai số nguyên cùng dấu

Cộng hai số nguyên dương

Phép cộng hai số nguyên dương được thực hiện giống như cộng hai số tự nhiên mà các em đã học.

Ví dụ: $4 + 7 = 11$

Cộng hai số nguyên âm

Mỗi số nguyên gồm hai phần: phần dấu (dương hoặc âm) và phần số tự nhiên (phần số đứng sau dấu).

Quy tắc: Khi cộng hai số nguyên âm, ta lấy phần số tự nhiên của chúng cộng lại với nhau, sau đó đặt dấu “$-$” phía trước kết quả.

$$(-a) + (-b) = -(a + b)$$

Ví dụ: $(-35) + (-42) = -(35 + 42) = -77$

Nhận xét: Tổng của hai số nguyên âm luôn là một số nguyên âm.

Số đối

Trên trục số, nếu hai điểm nằm ở hai phía của gốc $O$ và có khoảng cách đến $O$ bằng nhau, thì hai số tương ứng được gọi là hai số đối nhau.

Để tìm số đối của một số, ta chỉ cần đổi dấu của số đó.

Ví dụ:

• Số đối của $7$ là $-7$.
• Số đối của $-3$ là $3$.

Một số điều cần nhớ về số đối:

• Số đối của $0$ là chính nó: số đối của $0$ vẫn là $0$.
• Tổng của hai số đối nhau luôn bằng $0$: $a + (-a) = 0$.
• Kí hiệu số đối của $a$ là $-a$. Suy ra: $-(-a) = a$.

Ví dụ: $-(-8) = 8$, tức là số đối của $-8$ chính là $8$.

Cộng hai số nguyên khác dấu

Trường hợp hai số đối nhau

Nếu hai số là số đối của nhau thì tổng của chúng bằng $0$.

Ví dụ: $15 + (-15) = 0$

Trường hợp hai số không đối nhau

Quy tắc: Khi cộng hai số nguyên khác dấu (không đối nhau), ta thực hiện hai bước:

• Bước 1: Lấy phần số tự nhiên lớn hơn trừ phần số tự nhiên nhỏ hơn.
• Bước 2: Đặt trước kết quả dấu của số có phần số tự nhiên lớn hơn.

Ví dụ 1: $12 + (-7) = 12 – 7 = 5$ (vì $12 > 7$, kết quả mang dấu dương)

Ví dụ 2: $(-18) + 11 = -(18 – 11) = -7$ (vì $18 > 11$, kết quả mang dấu âm)

Nhận xét: Tổng hai số nguyên khác dấu có thể là số dương, số âm hoặc bằng $0$ — tuỳ thuộc vào phần số tự nhiên nào lớn hơn.

Tính chất của phép cộng số nguyên

Phép cộng số nguyên có bốn tính chất quan trọng giúp ta tính toán nhanh hơn:

Ví dụ áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp:

Tính hợp lí: $245 + (-60) + 1050 + (-245)$

Giải:

$$245 + (-60) + 1050 + (-245)$$

Đổi chỗ để nhóm hai số đối nhau lại (tính chất giao hoán):

$$= 245 + (-245) + (-60) + 1050$$

Nhóm lại (tính chất kết hợp):

$$= [245 + (-245)] + [(-60) + 1050]$$

$$= 0 + 990 = 990$$

Phép trừ hai số nguyên

Quy tắc: Muốn trừ số nguyên $a$ cho số nguyên $b$, ta cộng $a$ với số đối của $b$:

$$a – b = a + (-b)$$

Nói cách khác, mọi phép trừ số nguyên đều có thể chuyển thành phép cộng với số đối.

Ví dụ 1: $8 – 13 = 8 + (-13) = -(13 – 8) = -5$

Ví dụ 2: $6 – (-4) = 6 + 4 = 10$

Ví dụ 3: $(-9) – 5 = (-9) + (-5) = -(9 + 5) = -14$

Bài toán thực tế minh hoạ

Nhiệt độ bên ngoài máy bay ở độ cao 10 000 m là $-48°C$. Khi hạ cánh, nhiệt độ sân bay là $27°C$. Hỏi chênh lệch nhiệt độ là bao nhiêu?

Giải:

Chênh lệch nhiệt độ = $27 – (-48) = 27 + 48 = 75°C$

Vậy nhiệt độ chênh lệch $75°C$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Tính tổng đại số một cách hợp lí

Phương pháp giải:

Khi gặp tổng gồm nhiều số nguyên, ta vận dụng tính chất giao hoán và kết hợp để nhóm các số lại một cách thuận tiện:

• Tìm và nhóm các cặp số đối nhau (tổng bằng $0$) để loại bỏ trước.
• Nhóm riêng các số dương với nhau, các số âm với nhau rồi tính tổng từng nhóm.

Bài mẫu 1: Tính nhanh $215 + 43 + (-215) + (-25)$

Lời giải:

Quan sát biểu thức, ta thấy $215$ và $(-215)$ là hai số đối nhau. Ta nhóm chúng lại:

$$215 + 43 + (-215) + (-25)$$

Dùng tính chất giao hoán để đưa $215$ và $(-215)$ về cạnh nhau:

$$= [215 + (-215)] + [43 + (-25)]$$

Tổng hai số đối nhau bằng $0$:

$$= 0 + [43 + (-25)]$$

Cộng hai số khác dấu — lấy $43 – 25 = 18$, dấu dương vì $43 > 25$:

$$= 18$$

Bài mẫu 2: Tính nhanh $(-312) + (-327) + (-28) + 27$

Lời giải:

Quan sát thấy không có cặp đối nhau hoàn toàn, nhưng ta có thể nhóm sao cho tính toán thuận tiện.

Nhóm $(-312)$ với $(-28)$ (cùng âm, dễ cộng tròn), và $(-327)$ với $27$:

$$= [(-312) + (-28)] + [(-327) + 27]$$

Tính từng nhóm:

• Nhóm 1: $(-312) + (-28) = -(312 + 28) = -340$
• Nhóm 2: $(-327) + 27 = -(327 – 27) = -300$

Cộng hai kết quả (cùng âm):

$$= (-340) + (-300) = -(340 + 300) = -640$$

Bài mẫu 3: Tính nhanh $(-135) + 48 + 140 + (-5)$

Lời giải:

Nhóm các số âm với nhau và các số dương với nhau:

$$= [(-135) + (-5)] + [48 + 140]$$

Tính từng nhóm:

• Nhóm số âm: $(-135) + (-5) = -(135 + 5) = -140$
• Nhóm số dương: $48 + 140 = 188$

Cộng hai kết quả (khác dấu, $188 > 140$, dấu dương):

$$= (-140) + 188 = 188 – 140 = 48$$

Dạng 2. Tìm số nguyên $x$

Phương pháp giải:

• Chuyển phép trừ thành phép cộng với số đối.
• Chuyển vế và đổi dấu để tìm $x$.
• Nhớ quy tắc: nếu $a + x = b$ thì $x = b – a$.

Bài mẫu 1: Tìm số nguyên $x$ biết $x + (-5) = -18$

Lời giải:

Ta có:

$$x + (-5) = -18$$

Muốn tìm $x$, ta chuyển $(-5)$ sang vế phải bằng cách trừ đi $(-5)$:

$$x = (-18) – (-5)$$

Chuyển phép trừ thành phép cộng với số đối:

$$x = (-18) + 5$$

Cộng hai số khác dấu — lấy $18 – 5 = 13$, dấu âm vì $18 > 5$:

$$x = -13$$

Bài mẫu 2: Tìm số nguyên $x$ biết $(-14) + x – 7 = -10$

Lời giải:

Trước tiên, ta gộp các số đã biết ở vế trái. Viết lại:

$$x + (-14) + (-7) = -10$$

Tính $(-14) + (-7)$: cùng âm, cộng phần số tự nhiên $14 + 7 = 21$, đặt dấu âm:

$$x + (-21) = -10$$

Chuyển $(-21)$ sang vế phải:

$$x = (-10) – (-21)$$

Chuyển thành phép cộng với số đối:

$$x = (-10) + 21$$

Cộng hai số khác dấu — lấy $21 – 10 = 11$, dấu dương vì $21 > 10$:

$$x = 11$$

Dạng 3. Bài toán thực tế liên quan đến số nguyên

Phương pháp giải:

Chuyển ngôn ngữ thực tế thành phép tính số nguyên:

• “Giảm” bao nhiêu → cộng thêm một số âm.
• “Tăng”, “nổi lên” → cộng thêm một số dương.
• “Dưới mực nước biển”, “nợ”, “lỗ” → biểu diễn bằng số âm.
• “Trên mực nước biển”, “lãi”, “có” → biểu diễn bằng số dương.

Bài mẫu 1: Một chiếc tàu ngầm đang ở độ cao $-135$ m so với mực nước biển. Tàu cần lặn thêm $45$ m nữa để đến điểm A dưới đáy biển. Hỏi điểm A ở độ cao bao nhiêu mét?

Lời giải:

Tàu đang ở $-135$ m, lặn thêm $45$ m nghĩa là đi xuống sâu hơn, tức cộng thêm $(-45)$:

$$(-135) + (-45)$$

Hai số cùng âm, cộng phần số tự nhiên: $135 + 45 = 180$, đặt dấu âm:

$$= -180$$

Vậy điểm A ở độ cao $-180$ m so với mực nước biển.

Bài mẫu 2: Một máy thăm dò đáy biển đang hoạt động ở độ cao $-946$ m. Ngày hôm sau, người ta cho máy nổi lên $55$ m. Hỏi máy thăm dò hoạt động ở độ cao nào?

Lời giải:

Máy đang ở $-946$ m, nổi lên $55$ m tức là cộng thêm $55$ (số dương):

$$(-946) + 55$$

Hai số khác dấu, lấy hiệu phần số tự nhiên: $946 – 55 = 891$. Vì $946 > 55$, kết quả mang dấu âm:

$$= -891$$

Vậy ngày hôm sau máy thăm dò hoạt động ở độ cao $-891$ m so với mực nước biển.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Cùng dấu → cộng, giữ dấu. Hai số cùng dương thì cộng bình thường. Hai số cùng âm thì cộng phần số tự nhiên rồi thêm dấu trừ.
• Khác dấu → trừ, lấy dấu số mạnh. Lấy phần số tự nhiên lớn trừ nhỏ, kết quả mang dấu của số có phần số tự nhiên lớn hơn.
• Gặp phép trừ → chuyển ngay thành cộng số đối. Đây là bước đầu tiên nên làm trước khi tính toán gì khác.
• Tổng nhiều số → tìm cặp đối nhau trước. Cặp đối nhau triệt tiêu thành $0$, giúp rút gọn phép tính đáng kể.
• Nhóm cùng dấu khi tính tổng đại số. Nhóm riêng số dương, riêng số âm → tính tổng từng nhóm → cộng hai tổng lại.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du