Nhân hai số nguyên khác dấu

Ta đã biết phép nhân có thể hiểu như phép cộng nhiều lần. Chẳng hạn:

$$3 \cdot 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$$

Tương tự, khi nhân một số nguyên âm với một số nguyên dương:

$$(-6) \cdot 3 = (-6) + (-6) + (-6) = -18$$

Từ đó ta rút ra quy tắc chung:

Quy tắc: Muốn nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân phần số tự nhiên của chúng với nhau, rồi đặt dấu “$-$” trước kết quả.

$$m \cdot (-n) = (-n) \cdot m = -(m \cdot n) \quad \text{với } m, n \in \mathbb{N}^*$$

Ví dụ:

• $30 \cdot (-3) = -(30 \cdot 3) = -90$
• $(-8) \cdot 15 = -(8 \cdot 15) = -120$

Nhận xét: Tích của hai số nguyên khác dấu luôn là một số nguyên âm.

Nhân hai số nguyên cùng dấu

Nhân hai số nguyên dương

Nhân hai số nguyên dương chính là nhân hai số tự nhiên như các em đã học.

Ví dụ: $7 \cdot 9 = 63$

Nhân hai số nguyên âm

Quan sát quy luật sau để tìm cách nhân hai số nguyên âm:

$$(-5) \cdot 4 = -20$$

Giữ nguyên thừa số $4$, đổi dấu thừa số $(-5)$ thành $5$:

$$5 \cdot 4 = 20 \quad \text{(tích đổi dấu)}$$

Giữ nguyên thừa số $5$, đổi dấu thừa số $4$ thành $(-4)$:

$$5 \cdot (-4) = -20 \quad \text{(tích đổi dấu)}$$

Tiếp tục đổi dấu thừa số $5$ thành $(-5)$:

$$(-5) \cdot (-4) = 20 \quad \text{(tích đổi dấu)}$$

Từ quy luật trên, ta thấy: mỗi lần đổi dấu một thừa số thì tích đổi dấu.

Quy tắc: Muốn nhân hai số nguyên âm, ta nhân phần số tự nhiên của chúng với nhau (kết quả là số dương).

$$(-m) \cdot (-n) = (-n) \cdot (-m) = m \cdot n \quad \text{với } m, n \in \mathbb{N}^*$$

Ví dụ:

• $(-8) \cdot (-12) = 8 \cdot 12 = 96$
• $(-20) \cdot (-6) = 20 \cdot 6 = 120$

Nhận xét: Tích của hai số nguyên cùng dấu luôn là một số nguyên dương.

Nhân với số 0

Tích của bất kì số nguyên nào với $0$ đều bằng $0$:

$$a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$$

Tóm tắt quy tắc dấu trong phép nhân

Nói ngắn gọn: cùng dấu cho dương, khác dấu cho âm.

Tính chất của phép nhân số nguyên

Phép nhân các số nguyên có ba tính chất quan trọng, tương tự như phép nhân số tự nhiên:

Ngoài ra, phép nhân cũng có tính chất phân phối đối với phép trừ:

$$a \cdot (b – c) = a \cdot b – a \cdot c$$

Ví dụ áp dụng:

Tính hợp lí: $(-30) \cdot (-13) \cdot 5$

$$(-30) \cdot (-13) \cdot 5 = (-30) \cdot 5 \cdot (-13) \quad \text{(giao hoán)}$$

$$= [(-30) \cdot 5] \cdot (-13) \quad \text{(kết hợp)}$$

$$= (-150) \cdot (-13) = 150 \cdot 13 = 1950$$

Dấu của tích nhiều thừa số

Khi nhân nhiều số nguyên khác $0$ với nhau:

• Nếu số lượng thừa số âm là chẵn → tích dương.
• Nếu số lượng thừa số âm là lẻ → tích âm.
• Nếu có một thừa số bằng $0$ → tích bằng $0$.

Ví dụ: Tích $P = 2 \cdot (-3) \cdot 5 \cdot (-7)$ có 2 thừa số âm (số chẵn) nên $P > 0$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Thực hiện phép tính một cách hợp lí

Phương pháp giải:

Vận dụng các tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối của phép nhân để nhóm các thừa số sao cho tính toán thuận tiện. Một số kĩ thuật thường dùng:

• Nhóm các thừa số cho ra tích tròn (ví dụ: $(-4) \cdot 25 = -100$, $(-8) \cdot 125 = -1000$).
• Tách một thừa số thành tổng hoặc hiệu để áp dụng tính chất phân phối (ví dụ: $(-98) \cdot 15 = (-100 + 2) \cdot 15$).
• Nhận diện thừa số chung để đặt nhân tử chung.

Bài mẫu 1: Tính nhanh $(-25) \cdot (-17) \cdot 4$

Lời giải:

Quan sát thấy $(-25) \cdot 4$ sẽ cho kết quả tròn. Ta đổi chỗ $(-17)$ và $4$ (tính chất giao hoán):

$$(-25) \cdot (-17) \cdot 4 = (-25) \cdot 4 \cdot (-17)$$

Nhóm $(-25)$ và $4$ lại (tính chất kết hợp):

$$= [(-25) \cdot 4] \cdot (-17)$$

Tính nhóm đầu — hai số khác dấu: $(-25) \cdot 4 = -100$:

$$= (-100) \cdot (-17)$$

Hai số cùng âm, nhân phần số tự nhiên:

$$= 100 \cdot 17 = 1700$$

Bài mẫu 2: Thay một thừa số bằng tổng để tính $(-98) \cdot 15$

Lời giải:

Tách $(-98)$ thành $(-100 + 2)$ để tính dễ hơn:

$$(-98) \cdot 15 = (-100 + 2) \cdot 15$$

Áp dụng tính chất phân phối:

$$= (-100) \cdot 15 + 2 \cdot 15$$

Tính từng phần:

• $(-100) \cdot 15 = -1500$
• $2 \cdot 15 = 30$

Cộng lại:

$$= -1500 + 30 = -1470$$

Bài mẫu 3: Tính $(-2) \cdot (150 + 14)$

Lời giải:

Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

$$(-2) \cdot (150 + 14) = (-2) \cdot 150 + (-2) \cdot 14$$

Tính từng tích — cả hai đều là nhân hai số khác dấu:

• $(-2) \cdot 150 = -300$
• $(-2) \cdot 14 = -28$

Cộng hai số cùng âm:

$$= (-300) + (-28) = -(300 + 28) = -328$$

Bài mẫu 4: Tính nhanh $4 \cdot (-39) – 4 \cdot (-14)$

Lời giải:

Nhận thấy cả hai hạng tử đều có thừa số chung là $4$. Đặt $4$ làm nhân tử chung (tính chất phân phối đối với phép trừ):

$$4 \cdot (-39) – 4 \cdot (-14) = 4 \cdot [(-39) – (-14)]$$

Tính trong ngoặc — chuyển phép trừ thành cộng số đối:

$$(-39) – (-14) = (-39) + 14 = -(39 – 14) = -25$$

Thay vào:

$$= 4 \cdot (-25) = -100$$

Bài mẫu 5: Tính giá trị biểu thức một cách hợp lí: $(-8) \cdot 72 + 8 \cdot (-19) – (-8)$

Lời giải:

Viết lại biểu thức, chú ý $(-8) \cdot 72 = -(8 \cdot 72)$ và $-(-8) = 8$:

$$(-8) \cdot 72 + 8 \cdot (-19) – (-8)$$

$$= (-8) \cdot 72 + (-8) \cdot 19 + 8$$

$$= (-8) \cdot 72 + (-8) \cdot 19 + (-8) \cdot (-1)$$

Đặt $(-8)$ làm nhân tử chung:

$$= (-8) \cdot [72 + 19 + (-1)]$$

$$= (-8) \cdot 90$$

Nhân hai số khác dấu:

$$= -720$$

Dạng 2. So sánh

Phương pháp giải:

Có hai cách tiếp cận chính:

• Cách 1 – Xét dấu: Dựa vào quy tắc dấu để xác định tích dương hay âm mà không cần tính giá trị cụ thể. Tích cùng dấu dương, khác dấu âm; số dương luôn lớn hơn số âm.
• Cách 2 – Tính rồi so sánh: Tính giá trị cụ thể của từng biểu thức, sau đó so sánh hai kết quả.

Bài mẫu 1: Không thực hiện phép tính, hãy so sánh $(-7) \cdot (-15) \cdot 5$ với $0$.

Lời giải:

Đếm số thừa số âm trong tích: có 2 thừa số âm là $(-7)$ và $(-15)$.

Vì số thừa số âm là chẵn (2 thừa số) nên tích mang giá trị dương.

$$\Rightarrow (-7) \cdot (-15) \cdot 5 > 0$$

Bài mẫu 2: So sánh $(-13) \cdot (-47)$ với $(-39) \cdot 6$.

Lời giải:

Xét dấu từng tích:

• $(-13) \cdot (-47)$: hai số cùng âm → tích dương → $(-13) \cdot (-47) > 0$
• $(-39) \cdot 6$: hai số khác dấu → tích âm → $(-39) \cdot 6 < 0$

Số dương luôn lớn hơn số âm, suy ra:

$$(-13) \cdot (-47) > (-39) \cdot 6$$

Bài mẫu 3: So sánh $A = (-9) \cdot (-3) + 21 \cdot (-2) + 25$ và $B = (-5) \cdot (-13) + (-3) \cdot (-7) – 80$

Lời giải:

Tính giá trị của $A$:

$$A = (-9) \cdot (-3) + 21 \cdot (-2) + 25$$

• $(-9) \cdot (-3) = 27$ (cùng âm → dương)
• $21 \cdot (-2) = -42$ (khác dấu → âm)

$$A = 27 + (-42) + 25 = (27 + 25) + (-42) = 52 + (-42) = 10$$

Tính giá trị của $B$:

$$B = (-5) \cdot (-13) + (-3) \cdot (-7) – 80$$

• $(-5) \cdot (-13) = 65$
• $(-3) \cdot (-7) = 21$

$$B = 65 + 21 – 80 = 86 – 80 = 6$$

Vì $10 > 6$, suy ra $A > B$.

Dạng 3. Tìm số nguyên $x$

Phương pháp giải:

• Chuyển các số hạng chứa $x$ về một vế, các số không chứa $x$ về vế kia.
• Tính toán để đưa về dạng $a \cdot x = b$, từ đó tìm $x$.
• Lưu ý: nếu $a \cdot b = 0$ thì $a = 0$ hoặc $b = 0$.

Bài mẫu 1: Tìm số nguyên $x$ biết $(-5) \cdot x = 25$

Lời giải:

Ta cần tìm số nguyên $x$ sao cho $(-5)$ nhân với $x$ được $25$.

Nhận thấy $25$ là số dương, mà $(-5)$ là số âm, nên $x$ phải là số âm (khác dấu với $(-5)$ thì tích sẽ dương? Không — cùng âm mới cho dương). Thử: $(-5) \cdot (-5) = 25$. Đúng!

Cách trình bày:

$$(-5) \cdot x = 25$$

$$(-5) \cdot x = (-5) \cdot (-5)$$

$$x = -5$$

Bài mẫu 2: Tìm số nguyên $x$ biết $(-12) \cdot x = (-15) \cdot (-4) – 12$

Lời giải:

Tính vế phải trước:

$$(-15) \cdot (-4) = 15 \cdot 4 = 60 \quad \text{(cùng âm → dương)}$$

$$60 – 12 = 48$$

Phương trình trở thành:

$$(-12) \cdot x = 48$$

Ta cần tìm $x$ sao cho $(-12) \cdot x = 48$. Vì $48 > 0$ và $(-12) < 0$, nên $x$ phải âm (cùng âm cho dương).

Thử: $(-12) \cdot (-4) = 48$. Đúng!

$$x = -4$$

Bài mẫu 3: Tìm số nguyên $x$ biết $3x + 36 = -7x – 64$

Lời giải:

Chuyển các số hạng chứa $x$ về vế trái, các số không chứa $x$ về vế phải:

$$3x + 7x = -64 – 36$$

Tính từng vế:

• Vế trái: $3x + 7x = 10x$
• Vế phải: $-64 – 36 = -64 + (-36) = -100$

Ta được:

$$10x = -100$$

Nhận thấy $10 \cdot (-10) = -100$, suy ra:

$$x = -10$$

Bài mẫu 4: Tìm số nguyên $x$ biết $(5 – x) \cdot (x + 7) = 0$

Lời giải:

Khi tích của hai thừa số bằng $0$, thì ít nhất một trong hai thừa số phải bằng $0$.

Trường hợp 1: $5 – x = 0$

$$x = 5$$

Trường hợp 2: $x + 7 = 0$

$$x = -7$$

Vậy $x = 5$ hoặc $x = -7$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Quy tắc dấu gọn: Cùng dấu → dương, khác dấu → âm. Chỉ cần nhớ hai từ này là xử lý được mọi phép nhân hai số nguyên.
• Đếm thừa số âm khi nhân nhiều số: Chẵn thừa số âm → dương, lẻ thừa số âm → âm. Không cần tính giá trị cụ thể khi chỉ cần xét dấu.
• Nhóm cho tròn: Ưu tiên nhóm các cặp thừa số tạo ra tích tròn chục, tròn trăm. Ví dụ: $(-4) \cdot 25 = -100$, $(-8) \cdot 125 = -1000$.
• Tách thừa số gần số tròn: Khi gặp thừa số gần số tròn (như $99$, $101$, $-98$…), tách thành tổng/hiệu rồi áp dụng tính chất phân phối.
• Đổi dấu một thừa số → tích đổi dấu; đổi dấu hai thừa số → tích giữ nguyên. Mẹo này giúp suy ra nhanh kết quả khi đã biết một tích.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du