Phép chia hết

Cho $a, b \in \mathbb{Z}$ với $b \neq 0$. Nếu tồn tại số nguyên $q$ sao cho $a = b \cdot q$ thì ta nói $a$ chia hết cho $b$, kí hiệu $a \vdots b$. Khi đó ta có phép chia hết:

$$a : b = q$$

Trong đó $a$ là số bị chia, $b$ là số chia và $q$ là thương.

Ví dụ:

• $18 \vdots (-6)$ vì $18 = (-6) \cdot (-3)$. Ta có $18 : (-6) = -3$.
• $(-42) \vdots 7$ vì $-42 = 7 \cdot (-6)$. Ta có $(-42) : 7 = -6$.

Quy tắc dấu của thương

Quy tắc dấu trong phép chia hết hoàn toàn giống phép nhân:

Nói ngắn gọn: cùng dấu cho dương, khác dấu cho âm — giống hệt phép nhân.

Ví dụ áp dụng:

Từ phép chia $18 : 6 = 3$, ta suy ra được:

• $18 : (-6) = -3$ (khác dấu → âm)
• $(-18) : 6 = -3$ (khác dấu → âm)
• $(-18) : (-6) = 3$ (cùng dấu → dương)

Nhận xét: Khi biết một phép chia hết của hai số dương, ta có thể suy ra ngay ba phép chia hết còn lại bằng cách áp dụng quy tắc dấu.

Ước và bội

Khi $a \vdots b$ (với $a, b \in \mathbb{Z}$, $b \neq 0$), ta nói:

• $a$ là một bội của $b$.
• $b$ là một ước của $a$.

Ví dụ:

• $5$ là một ước của $-20$ vì $(-20) \vdots 5$.
• $-28$ là một bội của $4$ vì $(-28) \vdots 4$.

Hai nhận xét quan trọng

• Nếu $a$ là bội của $b$ thì $-a$ cũng là bội của $b$.
• Nếu $b$ là ước của $a$ thì $-b$ cũng là ước của $a$.

Cách tìm ước của một số nguyên

Để tìm tất cả các ước của số nguyên $a$, ta tìm các ước dương của $|a|$ trước, sau đó lấy thêm số đối của mỗi ước dương đó.

Ví dụ: Tìm các ước của $8$ và các ước của $-10$.

• Các ước dương của $8$ là: $1; 2; 4; 8$. Vậy tất cả các ước của $8$ là: $1; -1; 2; -2; 4; -4; 8; -8$.
• Các ước dương của $|-10| = 10$ là: $1; 2; 5; 10$. Vậy tất cả các ước của $-10$ là: $1; -1; 2; -2; 5; -5; 10; -10$.

Số lượng ước nguyên của một số luôn gấp đôi số lượng ước tự nhiên (dương) của nó.

Ước chung

Nếu một số vừa là ước của $a$, vừa là ước của $b$, thì số đó gọi là ước chung của $a$ và $b$.

Ví dụ: Từ kết quả trên, các số $1; -1; 2; -2$ vừa là ước của $8$, vừa là ước của $-10$. Chúng là các ước chung của $8$ và $-10$.

Cách tìm bội của một số nguyên

Để tìm các bội của số nguyên $b$, ta lần lượt nhân $b$ với $0; 1; -1; 2; -2; 3; -3; \ldots$

Ví dụ: Tìm các bội của $5$.

Nhân $5$ lần lượt với $0; 1; -1; 2; -2; 3; -3; \ldots$ ta được:

$$B(5) = {0; \ 5; \ -5; \ 10; \ -10; \ 15; \ -15; \ldots}$$

Tập hợp các bội của một số nguyên có vô số phần tử. Lưu ý rằng $B(b) = B(-b)$, tức các bội của $b$ và $-b$ là như nhau.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Tìm ước và bội của số nguyên

Phương pháp giải:

• Tìm ước: Tìm tất cả ước dương của phần số tự nhiên, sau đó ghép thêm số đối của mỗi ước.
• Tìm bội: Nhân số đó lần lượt với $0; \pm 1; \pm 2; \pm 3; \ldots$ Nếu đề yêu cầu bội trong một khoảng, ta chỉ liệt kê các bội nằm trong khoảng đó.
• Tìm ước chung: Tìm ước của từng số, rồi lấy phần chung. Hoặc tìm ƯCLN rồi liệt kê các ước của ƯCLN (kèm số đối).

Bài mẫu 1: Tìm tất cả các ước của $-2;\ 4;\ 13;\ 15;\ 1$.

Lời giải:

Với mỗi số, ta tìm các ước dương trước, rồi ghép thêm số đối:

• Ước dương của $|-2| = 2$: $1; 2$. Vậy $Ư(-2) = {-2; -1; 1; 2}$.
• Ước dương của $4$: $1; 2; 4$. Vậy $Ư(4) = {-4; -2; -1; 1; 2; 4}$.
• $13$ là số nguyên tố nên ước dương chỉ có $1; 13$. Vậy $Ư(13) = {-13; -1; 1; 13}$.
• Ước dương của $15$: $1; 3; 5; 15$. Vậy $Ư(15) = {-15; -5; -3; -1; 1; 3; 5; 15}$.
• Ước dương của $1$: chỉ có $1$. Vậy $Ư(1) = {-1; 1}$.

Bài mẫu 2: Tìm năm bội của $3$ và $-3$.

Lời giải:

Cả $3$ và $-3$ đều có chung các bội dạng $3 \cdot m$ với $m \in \mathbb{Z}$, tức là: $0; \ \pm 3; \ \pm 6; \ \pm 9; \ldots$

Chẳng hạn, năm bội của $3$ (và cũng của $-3$): $3; 6; 9; 12; 15$.

Bài mẫu 3: Tìm tập hợp $ƯC(-12;\ 16)$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm ƯCLN của $12$ và $16$.

Phân tích: $12 = 2^2 \cdot 3$, $16 = 2^4$.

$$ƯCLN(12;\ 16) = 2^2 = 4$$

Bước 2: Các ước dương của $4$ là: $1; 2; 4$.

Bước 3: Ghép thêm số đối:

$$ƯC(-12;\ 16) = {-4; -2; -1; 1; 2; 4}$$

Bài mẫu 4: Tìm các bội của $-24$ nằm trong khoảng từ $100$ đến $200$.

Lời giải:

Bội của $-24$ cũng chính là bội của $24$ (vì $B(-24) = B(24)$).

Ta tìm các số chia hết cho $24$ trong khoảng $100$ đến $200$:

• $24 \cdot 5 = 120$ ✓
• $24 \cdot 6 = 144$ ✓
• $24 \cdot 7 = 168$ ✓
• $24 \cdot 8 = 192$ ✓
• $24 \cdot 9 = 216 > 200$ ✗

Vậy các bội cần tìm là: $120; 144; 168; 192$.

Dạng 2. Vận dụng tính chất chia hết của số nguyên

Phương pháp giải:

Để chứng minh biểu thức $A$ chia hết cho số nguyên $a$, ta dùng các cách sau:

• Nếu $A$ là tích $m \cdot n \cdot p$: chỉ ra ít nhất một thừa số chia hết cho $a$.
• Nếu $A$ là tổng $m + n + p$: chỉ ra tất cả các số hạng đều chia hết cho $a$.
• Nếu $A$ là hiệu $m – n$: chỉ ra $m$ và $n$ chia cho $a$ có cùng số dư.
• Kĩ thuật thường dùng: nhóm các số hạng lại để xuất hiện thừa số chung chia hết cho $a$.

Bài mẫu 1: Chứng minh rằng $S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8$ chia hết cho $-6$.

Lời giải:

Nhận thấy $S$ chia hết cho $-6$ khi và chỉ khi $S$ chia hết cho $6$ (vì $a \vdots (-6) \Leftrightarrow a \vdots 6$).

Nhóm các số hạng thành từng cặp liên tiếp:

$$S = (2 + 2^2) + (2^3 + 2^4) + (2^5 + 2^6) + (2^7 + 2^8)$$

Tính từng nhóm bằng cách đặt thừa số chung:

• $2 + 2^2 = 2(1 + 2) = 2 \cdot 3 = 6$
• $2^3 + 2^4 = 2^3(1 + 2) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$, mà $24 = 4 \cdot 6$ nên $24 \vdots 6$
• $2^5 + 2^6 = 2^5(1 + 2) = 2^5 \cdot 3$, tức $= 2^4 \cdot 6 \vdots 6$
• $2^7 + 2^8 = 2^7(1 + 2) = 2^7 \cdot 3 = 2^6 \cdot 6 \vdots 6$

Viết gọn lại:

$$S = 6 + 2^2 \cdot 6 + 2^4 \cdot 6 + 2^6 \cdot 6 = 6(1 + 2^2 + 2^4 + 2^6)$$

Mỗi số hạng của $S$ đều chia hết cho $6$, nên $S \vdots 6$, suy ra $S \vdots (-6)$. (đpcm)

Bài mẫu 2: Chứng minh rằng $S = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7 + 3^8 + 3^9$ chia hết cho $(-39)$.

Lời giải:

Ta cần chứng minh $S \vdots 39$ (vì $S \vdots (-39) \Leftrightarrow S \vdots 39$).

Nhóm mỗi 3 số hạng liên tiếp thành một nhóm:

$$S = (3 + 3^2 + 3^3) + (3^4 + 3^5 + 3^6) + (3^7 + 3^8 + 3^9)$$

Tính nhóm đầu:

$$3 + 3^2 + 3^3 = 3 + 9 + 27 = 39$$

Đặt thừa số chung ở các nhóm sau:

• Nhóm 2: $3^4 + 3^5 + 3^6 = 3^3(3 + 3^2 + 3^3) = 3^3 \cdot 39$
• Nhóm 3: $3^7 + 3^8 + 3^9 = 3^6(3 + 3^2 + 3^3) = 3^6 \cdot 39$

Vậy:

$$S = 39 + 3^3 \cdot 39 + 3^6 \cdot 39 = 39 \cdot (1 + 3^3 + 3^6)$$

Rõ ràng $S \vdots 39$, suy ra $S \vdots (-39)$. (đpcm)

Dạng 3. Tìm số nguyên $x$ thỏa mãn điều kiện về chia hết

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất: nếu $a + b$ chia hết cho $c$ và $a$ chia hết cho $c$, thì $b$ cũng chia hết cho $c$.

Các bước thường gặp:

• Bước 1: Biến đổi biểu thức sao cho tách được thành dạng: (phần chia hết cho $(x \pm k)$) + (hằng số).
• Bước 2: Điều kiện chia hết quy về: hằng số đó phải chia hết cho $(x \pm k)$, tức $(x \pm k)$ là ước của hằng số.
• Bước 3: Liệt kê tất cả các ước, lập bảng tìm $x$.

Bài mẫu 1: Tìm $x \in \mathbb{Z}$ sao cho $3x + 2$ chia hết cho $x – 1$.

Lời giải:

Bước 1: Biến đổi $3x + 2$ sao cho xuất hiện $(x – 1)$.

Ta tách:

$$3x + 2 = 3x – 3 + 5 = 3(x – 1) + 5$$

Bước 2: Phân tích điều kiện chia hết.

Ta có $3(x – 1)$ luôn chia hết cho $(x – 1)$.

Do đó $3x + 2$ chia hết cho $(x – 1)$ khi và chỉ khi $5$ chia hết cho $(x – 1)$.

Điều này nghĩa là $(x – 1)$ phải là ước của $5$.

Bước 3: Liệt kê ước của $5$ và tìm $x$.

Ước của $5$ gồm: $-5; -1; 1; 5$.

Vậy $x \in {-4;\ 0;\ 2;\ 6}$.

Bài mẫu 2: Tìm $x \in \mathbb{Z}$ sao cho $x^2 + 2x – 7$ chia hết cho $x + 2$.

Lời giải:

Bước 1: Biến đổi biểu thức để xuất hiện $(x + 2)$.

Ta tách:

$$x^2 + 2x – 7 = x(x + 2) – 7$$

Giải thích: $x^2 + 2x = x \cdot x + 2 \cdot x = x(x + 2)$, nên $x^2 + 2x – 7 = x(x + 2) – 7$.

Bước 2: Phân tích điều kiện chia hết.

Ta có $x(x + 2)$ luôn chia hết cho $(x + 2)$.

Do đó $x(x + 2) – 7$ chia hết cho $(x + 2)$ khi và chỉ khi $7$ chia hết cho $(x + 2)$.

Tức $(x + 2)$ là ước của $7$.

Bước 3: Liệt kê ước của $7$ và tìm $x$.

Ước của $7$ gồm: $-7; -1; 1; 7$.

Vậy $x \in {-9;\ -3;\ -1;\ 5}$.

Bài mẫu 3: Tìm các số nguyên $x$ thỏa mãn $(x + 4) \vdots (x + 1)$.

Lời giải:

Bước 1: Biến đổi để xuất hiện $(x + 1)$.

$$x + 4 = (x + 1) + 3$$

Bước 2: Vì $(x + 1)$ luôn chia hết cho chính nó, nên $(x + 4) \vdots (x + 1)$ khi và chỉ khi $3 \vdots (x + 1)$.

Tức $(x + 1)$ là ước của $3$.

Bước 3: Ước của $3$ gồm: $-3; -1; 1; 3$.

Vậy $x \in {-4;\ -2;\ 0;\ 2}$.

Bài mẫu 4: Tìm $x \in \mathbb{Z}$ sao cho $x^2 + x + 1$ chia hết cho $x + 1$.

Lời giải:

Bước 1: Biến đổi biểu thức.

$$x^2 + x + 1 = x(x + 1) + 1$$

Giải thích: $x^2 + x = x(x + 1)$, nên $x^2 + x + 1 = x(x + 1) + 1$.

Bước 2: Vì $x(x + 1) \vdots (x + 1)$, nên $x^2 + x + 1 \vdots (x + 1)$ khi và chỉ khi $1 \vdots (x + 1)$.

Tức $(x + 1)$ là ước của $1$.

Bước 3: Ước của $1$ gồm: $-1; 1$.

Vậy $x \in {-2;\ 0}$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Ước của $a$ và $-a$ giống nhau. Bội của $a$ và $-a$ cũng giống nhau. Nên chỉ cần làm việc với $|a|$.
• Số ước nguyên = 2 × số ước dương. Tìm ước dương xong, nhân đôi danh sách bằng cách thêm số đối.
• Dạng tìm $x$ theo chia hết: luôn tách hằng số. Kĩ thuật cốt lõi là viết lại biểu thức thành dạng (phần chia hết) + hằng số, rồi quy về tìm ước của hằng số.
• Dấu thương giống dấu tích: cùng dấu → dương, khác dấu → âm. Không cần nhớ riêng quy tắc cho phép chia.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du