Chu vi và diện tích của hình vuông, hình chữ nhật, hình thang

Ở Tiểu học, các em đã được học công thức tính chu vi và diện tích của hình vuông, hình chữ nhật và hình thang. Dưới đây là bảng tổng hợp lại các công thức quan trọng.

Hình vuông (cạnh $a$)

$$C = 4a \qquad S = a^2$$

Hình chữ nhật (chiều dài $a$, chiều rộng $b$)

$$C = 2(a + b) \qquad S = a \cdot b$$

Hình thang (đáy lớn $a$, đáy nhỏ $b$, các cạnh bên $c, d$, chiều cao $h$)

$$C = a + b + c + d \qquad S = \dfrac{1}{2}(a + b) \cdot h$$

(Kí hiệu: $C$ là chu vi, $S$ là diện tích)

Ví dụ 1: Một cửa hàng cần treo đèn trang trí xung quanh mép một tấm biển quảng cáo hình chữ nhật có chiều rộng $4$ m, chiều dài $12$ m. Chi phí cho mỗi mét dài của đèn là $50\ 000$ đồng. Hỏi cửa hàng phải chi bao nhiêu tiền để mua đèn?

Giải:

Chu vi của biển quảng cáo hình chữ nhật là:

$$C = 2(4 + 12) = 2 \cdot 16 = 32 \text{ (m)}$$

Số tiền cửa hàng cần chi:

$$50\ 000 \cdot 32 = 1\ 600\ 000 \text{ (đồng)}$$

Ví dụ 2: Bác Hùng muốn lát nền cho một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài $8$ m, chiều rộng $6$ m. Loại gạch sử dụng là gạch hình vuông cạnh $40$ cm. Hỏi cần bao nhiêu viên gạch (coi mạch vữa không đáng kể)?

Giải:

Diện tích nền căn phòng:

$$S_{\text{phòng}} = 8 \cdot 6 = 48 \text{ (m}^2\text{)}$$

Diện tích một viên gạch (đổi $40$ cm $= 0{,}4$ m):

$$S_{\text{gạch}} = 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}16 \text{ (m}^2\text{)}$$

Số viên gạch cần dùng:

$$48 : 0{,}16 = 300 \text{ (viên)}$$

Chu vi và diện tích của hình bình hành, hình thoi

Chu vi

Hình bình hành (hai cạnh $a$ và $b$):

$$C = 2(a + b)$$

Hình thoi (cạnh $m$):

$$C = 4m$$

Ví dụ 3: Tính chu vi hình bình hành có hai cạnh là $4$ cm và $7$ cm.

Giải:

$$C = 2(4 + 7) = 2 \cdot 11 = 22 \text{ (cm)}$$

Diện tích hình bình hành

Khi cắt hình bình hành theo đường cao rồi ghép lại, ta được một hình chữ nhật có chiều dài bằng cạnh đáy và chiều rộng bằng chiều cao của hình bình hành. Do đó:

$$S = a \cdot h$$

Trong đó $a$ là cạnh đáy, $h$ là chiều cao tương ứng với cạnh đáy đó.

Ví dụ 4: Một mảnh gỗ có dạng hình bình hành với chiều cao $15$ cm và cạnh đáy tương ứng $25$ cm. Tính diện tích mảnh gỗ.

Giải:

$$S = 25 \cdot 15 = 375 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Diện tích hình thoi

Khi cắt hình thoi theo hai đường chéo rồi ghép lại, ta được một hình chữ nhật có chiều dài bằng đường chéo lớn và chiều rộng bằng một nửa đường chéo nhỏ. Do đó:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

Trong đó $a, b$ là độ dài hai đường chéo.

📌 Lưu ý: Ta cũng có thể tính diện tích hình thoi theo công thức diện tích hình bình hành $S = a \cdot h$ (vì hình thoi là trường hợp đặc biệt của hình bình hành).

Ví dụ 5: Tính diện tích hình thoi ABCD có hai đường chéo $AC = 10$ cm và $BD = 8$ cm.

Giải:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Bảng tổng hợp công thức

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Tính chu vi và diện tích (áp dụng trực tiếp công thức)

Phương pháp giải:

Xác định hình cần tính, đọc các số đo đề bài cho, sau đó thay trực tiếp vào công thức tương ứng. Lưu ý đổi đơn vị cho thống nhất trước khi tính.

Bài mẫu 1: Tính chu vi, diện tích hình vuông có cạnh:

a) $9$ cm   b) $15$ dm   c) $5$ m

Lời giải:

a) Chu vi hình vuông: $C = 4 \cdot 9 = 36$ (cm)

Diện tích hình vuông: $S = 9 \cdot 9 = 81$ (cm²)

b) Chu vi hình vuông: $C = 4 \cdot 15 = 60$ (dm)

Diện tích hình vuông: $S = 15 \cdot 15 = 225$ (dm²)

c) Chu vi hình vuông: $C = 4 \cdot 5 = 20$ (m)

Diện tích hình vuông: $S = 5 \cdot 5 = 25$ (m²)

Bài mẫu 2: Tính chu vi, diện tích hình chữ nhật có:

a) Chiều dài $18$ cm, chiều rộng $16$ cm

b) Chiều dài $4$ dm, chiều rộng $15$ cm

c) Chiều dài $800$ cm, chiều rộng $6$ m

Lời giải:

a) Chu vi: $C = 2 \cdot (18 + 16) = 2 \cdot 34 = 68$ (cm)

Diện tích: $S = 18 \cdot 16 = 288$ (cm²)

b) Đổi $4$ dm $= 40$ cm để cùng đơn vị với chiều rộng.

Chu vi: $C = 2 \cdot (40 + 15) = 2 \cdot 55 = 110$ (cm)

Diện tích: $S = 40 \cdot 15 = 600$ (cm²)

c) Đổi $800$ cm $= 8$ m để cùng đơn vị với chiều rộng.

Chu vi: $C = 2 \cdot (8 + 6) = 2 \cdot 14 = 28$ (m)

Diện tích: $S = 8 \cdot 6 = 48$ (m²)

Bài mẫu 3: Tính diện tích hình thoi biết độ dài hai đường chéo lần lượt là:

a) $3$ cm và $5$ cm   b) $12$ cm và $2$ dm   c) $4$ m và $68$ dm

Lời giải:

a) Diện tích hình thoi:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = \dfrac{15}{2} = 7{,}5 \text{ (cm²)}$$

b) Đổi $2$ dm $= 20$ cm.

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 20 = \dfrac{240}{2} = 120 \text{ (cm²)}$$

c) Đổi $4$ m $= 40$ dm.

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 40 \cdot 68 = \dfrac{2720}{2} = 1360 \text{ (dm²)}$$

Bài mẫu 4: Tính diện tích hình bình hành có:

a) Đường cao $3$ m, cạnh đáy tương ứng $5$ m

b) Đường cao $2{,}5$ m, cạnh đáy tương ứng $200$ cm

c) Đường cao $4$ dm, cạnh đáy tương ứng $2$ m

Lời giải:

a) $S = 3 \cdot 5 = 15$ (m²)

b) Đổi $2{,}5$ m $= 25$ dm và $200$ cm $= 20$ dm.

$$S = 25 \cdot 20 = 500 \text{ (dm²)}$$

c) Đổi $2$ m $= 20$ dm.

$$S = 4 \cdot 20 = 80 \text{ (dm²)}$$

Bài mẫu 5: Tính diện tích hình thang có:

a) Chiều cao $3$ cm, đáy nhỏ $5$ cm, đáy lớn $8$ cm

b) Chiều cao $15$ cm, đáy nhỏ $20$ cm, đáy lớn $5$ dm

c) Chiều cao $2$ m, đáy nhỏ $25$ dm, đáy lớn $4$ m

Lời giải:

a) Áp dụng công thức:

$$S = \dfrac{1}{2}(5 + 8) \cdot 3 = \dfrac{1}{2} \cdot 13 \cdot 3 = \dfrac{39}{2} = 19{,}5 \text{ (cm²)}$$

b) Đổi $5$ dm $= 50$ cm.

$$S = \dfrac{1}{2}(20 + 50) \cdot 15 = \dfrac{1}{2} \cdot 70 \cdot 15 = \dfrac{1050}{2} = 525 \text{ (cm²)}$$

c) Đổi $2$ m $= 20$ dm và $4$ m $= 40$ dm.

$$S = \dfrac{1}{2}(25 + 40) \cdot 20 = \dfrac{1}{2} \cdot 65 \cdot 20 = \dfrac{1300}{2} = 650 \text{ (dm²)}$$

Dạng 2. Tính các yếu tố cần thiết rồi tính chu vi, diện tích

Phương pháp giải:

Khi đề bài không cho trực tiếp các số đo cần thiết, ta phải tìm chúng trước rồi mới áp dụng công thức. Các bước thường gặp:

• Bước 1: Tính các yếu tố chưa biết (cạnh, chiều cao, đường chéo…) từ dữ kiện đề bài.
• Bước 2: Thay các số đo vào công thức để tính chu vi hoặc diện tích.

Bài mẫu 1: Một hình chữ nhật có chiều dài $60$ cm, chiều rộng bằng $\dfrac{1}{3}$ chiều dài. Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật đó.

Lời giải:

Bước 1: Tính chiều rộng.

$$\text{Chiều rộng} = \dfrac{1}{3} \cdot 60 = 20 \text{ (cm)}$$

Bước 2: Tính chu vi và diện tích.

$$C = 2 \cdot (60 + 20) = 2 \cdot 80 = 160 \text{ (cm)}$$

$$S = 60 \cdot 20 = 1200 \text{ (cm²)}$$

Bài mẫu 2:

a) Tính chu vi hình vuông biết diện tích của nó là $16$ cm².

b) Tính diện tích hình vuông biết chu vi của nó là $224$ cm.

Lời giải:

a) Diện tích hình vuông bằng $16$ cm², mà $S = a^2$, nên $a^2 = 16$.

Suy ra cạnh hình vuông: $a = 4$ cm (vì $4 \times 4 = 16$).

Chu vi hình vuông:

$$C = 4 \cdot 4 = 16 \text{ (cm)}$$

b) Chu vi hình vuông bằng $224$ cm, mà $C = 4a$, nên:

$$a = 224 : 4 = 56 \text{ (cm)}$$

Diện tích hình vuông:

$$S = 56 \cdot 56 = 3136 \text{ (cm²)}$$

Bài mẫu 3: Cho hình thoi có tổng độ dài hai đường chéo bằng $210$ cm, đường chéo thứ nhất gấp đôi đường chéo thứ hai. Tính diện tích hình thoi.

Lời giải:

Bước 1: Tìm hai đường chéo.

Gọi đường chéo thứ hai là $1$ phần, thì đường chéo thứ nhất là $2$ phần. Tổng số phần: $2 + 1 = 3$ phần.

Đường chéo thứ hai: $210 : 3 = 70$ (cm)

Đường chéo thứ nhất: $210 – 70 = 140$ (cm)

Bước 2: Tính diện tích.

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 140 \cdot 70 = \dfrac{9800}{2} = 4900 \text{ (cm²)}$$

Bài mẫu 4: Cho hình bình hành có chu vi $480$ cm, cạnh đáy gấp $5$ lần cạnh bên và gấp $8$ lần chiều cao. Tính diện tích hình bình hành.

Lời giải:

Bước 1: Tìm cạnh đáy.

Nửa chu vi hình bình hành: $480 : 2 = 240$ (cm)

Nửa chu vi bằng tổng hai cạnh kề: cạnh đáy + cạnh bên = $240$ cm.

Coi cạnh bên là $1$ phần thì cạnh đáy là $5$ phần. Tổng: $5 + 1 = 6$ phần.

Cạnh đáy: $240 : 6 \times 5 = 200$ (cm)

Bước 2: Tìm chiều cao.

Cạnh đáy gấp $8$ lần chiều cao, nên:

$$h = 200 : 8 = 25 \text{ (cm)}$$

Bước 3: Tính diện tích.

$$S = 200 \cdot 25 = 5000 \text{ (cm²)}$$

Bài mẫu 5: Tính diện tích hình thang biết đáy lớn $54$ m, đáy bé bằng $\dfrac{2}{3}$ đáy lớn và bằng $\dfrac{3}{2}$ chiều cao.

Lời giải:

Bước 1: Tìm đáy bé.

$$\text{Đáy bé} = \dfrac{2}{3} \cdot 54 = 36 \text{ (m)}$$

Bước 2: Tìm chiều cao.

Đáy bé bằng $\dfrac{3}{2}$ chiều cao, tức $36 = \dfrac{3}{2} \cdot h$, suy ra:

$$h = 36 : \dfrac{3}{2} = 36 \cdot \dfrac{2}{3} = 24 \text{ (m)}$$

Bước 3: Tính diện tích.

$$S = \dfrac{1}{2}(54 + 36) \cdot 24 = \dfrac{1}{2} \cdot 90 \cdot 24 = \dfrac{2160}{2} = 1080 \text{ (m²)}$$

Bài mẫu 6: Một mảnh vườn hình bình hành có cạnh đáy $20$ m. Giữa vườn đào một cái ao hình vuông cạnh $3$ m. Biết chiều cao hình bình hành gấp đôi cạnh hình vuông. Tính diện tích còn lại của vườn sau khi đào ao.

Lời giải:

Bước 1: Tìm chiều cao hình bình hành.

$$h = 3 \cdot 2 = 6 \text{ (m)}$$

Bước 2: Tính diện tích mảnh vườn (hình bình hành).

$$S_{\text{vườn}} = 20 \cdot 6 = 120 \text{ (m²)}$$

Bước 3: Tính diện tích ao (hình vuông).

$$S_{\text{ao}} = 3 \cdot 3 = 9 \text{ (m²)}$$

Bước 4: Tính diện tích còn lại.

$$S_{\text{còn lại}} = 120 – 9 = 111 \text{ (m²)}$$

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Hình vuông là trường hợp đặc biệt của cả hình chữ nhật, hình bình hành và hình thoi. Nên tất cả công thức của các hình đó đều áp dụng được cho hình vuông.
• Hình thoi có hai cách tính diện tích: theo đường chéo ($S = \frac{1}{2} d_1 d_2$) hoặc theo cạnh và chiều cao ($S = a \cdot h$). Chọn cách nào tuỳ dữ kiện đề bài cho.
• Luôn đổi đơn vị trước khi tính. Kiểm tra xem tất cả số đo đã cùng đơn vị chưa — đây là lỗi phổ biến nhất trong các bài toán hình học.
• Khi đề cho chu vi để tìm cạnh: Với hình vuông thì chia $4$, với hình chữ nhật thì chia $2$ trước rồi tách tổng hai cạnh.
• Diện tích hình thang nhớ “nửa tổng hai đáy nhân chiều cao”: Cụm “nửa tổng” giúp nhớ phải chia $2$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du