Hình có trục đối xứng là gì?

Trong thiên nhiên và đời sống, chúng ta bắt gặp rất nhiều hình ảnh đẹp mắt, cân đối — từ đôi cánh bướm, mặt hồ phản chiếu, cho đến các công trình kiến trúc nổi tiếng như Khuê Văn Các hay tháp Eiffel.

Điểm chung của những hình ảnh này là sự cân đối, hài hoà. Vậy điều gì tạo nên sự cân đối đó?

Hãy quan sát hình con bướm: khi gập hai cánh bướm lại, chúng chồng khít lên nhau. Tương tự, nếu vẽ một hình tròn trên giấy rồi gấp đôi theo đường kính, hai nửa hình tròn cũng chồng khít lên nhau.

Những hình như vậy có chung một tính chất: tồn tại một đường thẳng $d$ chia hình thành hai phần, nếu “gấp” hình theo đường thẳng $d$ thì hai phần đó chồng khít lên nhau.

Định nghĩa: Hình có một đường thẳng $d$ chia hình thành hai phần mà khi gấp theo $d$, hai phần đó chồng khít lên nhau, thì hình đó gọi là hình có trục đối xứng. Đường thẳng $d$ được gọi là trục đối xứng của hình.

Trục đối xứng của một số hình thường gặp

Bằng cách gấp giấy, ta có thể tìm được trục đối xứng của các hình quen thuộc:

Hình tròn

Mỗi đường thẳng đi qua tâm của hình tròn đều là một trục đối xứng. Do đó hình tròn có vô số trục đối xứng.

Hình thoi

Mỗi đường chéo của hình thoi là một trục đối xứng. Hình thoi có 2 trục đối xứng.

Hình chữ nhật

Mỗi đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đối diện là một trục đối xứng. Hình chữ nhật có 2 trục đối xứng.

Hình vuông

Hình vuông có 4 trục đối xứng: 2 đường chéo và 2 đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đối diện.

Một số hình khác

📌 Nhận xét: Một hình có thể có nhiều trục đối xứng. Hình càng “đều” thì số trục đối xứng càng nhiều.

Ứng dụng tính đối xứng để cắt chữ bằng giấy

Nếu một chữ cái có trục đối xứng, ta có thể gấp đôi tờ giấy theo trục đối xứng đó, chỉ cần cắt một nửa chữ cái. Khi mở giấy ra, ta nhận được chữ cái hoàn chỉnh.

Ví dụ: Cắt chữ A bằng cách gấp giấy.

• Bước 1: Chuẩn bị một mảnh giấy hình chữ nhật (khoảng 3 cm × 5 cm).
• Bước 2: Gấp đôi mảnh giấy theo chiều dọc.
• Bước 3: Vẽ nửa chữ A trên mặt giấy gấp, cắt theo nét vẽ.
• Bước 4: Mở giấy ra, ta được chữ A hoàn chỉnh.

Tương tự, ta có thể cắt được các chữ cái khác có trục đối xứng dọc như A, E, T, M, U, V, W, Y…

Chữ cái nào có trục đối xứng?

Trong các chữ cái in hoa, một số chữ có trục đối xứng:

• Trục đối xứng dọc (trục đứng): A, M, T, U, V, W, Y
• Trục đối xứng ngang (trục nằm ngang): B, C, D, E, K
• Cả hai trục (dọc và ngang): H, I, O, X

Một số chữ cái không có trục đối xứng: F, G, J, L, N, P, Q, R, S, Z.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Nhận biết hình có trục đối xứng trong thực tế

Phương pháp giải:

Dựa vào khái niệm hình có trục đối xứng, quan sát các hình ảnh và tưởng tượng: nếu “gấp” hình theo một đường thẳng nào đó mà hai nửa chồng khít lên nhau, thì hình đó có trục đối xứng. Đường thẳng đó chính là trục đối xứng.

Các công trình kiến trúc, hình ảnh thiên nhiên thường có trục đối xứng là đường thẳng đứng đi qua chính giữa.

Bài mẫu 1: Các hình ảnh tại một số địa danh du lịch nổi tiếng thế giới sau đây có trục đối xứng không? Nếu có, em hãy chỉ ra trục đối xứng của hình ảnh đó.

Lời giải:

Quan sát từng hình ảnh, ta tưởng tượng kẻ một đường thẳng đứng đi qua chính giữa:

• Hình (a) — công trình kiến trúc: hai nửa trái và phải cân đối với nhau. Có trục đối xứng là đường thẳng đứng qua giữa công trình.
• Hình (b) — Taj Mahal: mặt trước đối xứng rõ ràng qua đường thẳng đứng ở giữa. Có trục đối xứng.
• Hình (c) — ngôi nhà hiện đại: hai phần trái và phải không giống nhau. Không có trục đối xứng.

Vậy hình (a) và (b) có trục đối xứng, hình (c) không có.

Bài mẫu 2: Các hình ảnh tại một số địa danh du lịch tại một số ngôi chùa của Việt Nam sau đây có trục đối xứng không?

Lời giải:

• Hình (a) — chùa Khmer: mặt chính diện cân đối. Có trục đối xứng là đường thẳng đứng qua giữa.
• Hình (b) — chùa Thiên Mụ: cổng tam quan và tháp nhìn chính diện đối xứng. Có trục đối xứng.
• Hình (c) — chiếc lá: hình chiếc lá không hoàn toàn đối xứng (gân lá, mép lá hai bên không chồng khít). Không có trục đối xứng (hoặc chỉ gần đối xứng).

Vậy hình (a) và (b) có trục đối xứng.

Dạng 2. Xác định trục đối xứng của một số hình phẳng

Phương pháp giải:

Dựa vào khái niệm hình có trục đối xứng, quan sát các hình vẽ để tìm ra đường thẳng mà khi gấp theo đường thẳng đó, hai phần hình chồng khít lên nhau. Có thể dùng cách gấp giấy để kiểm tra thực tế.

Một số gợi ý:

• Hình có các cạnh và góc bằng nhau → thường có trục đối xứng.
• Trục đối xứng thường đi qua trung điểm của các cạnh đối diện hoặc đi qua đỉnh và trung điểm cạnh đối diện.

Bài mẫu 1: Em hãy chỉ ra trục đối xứng của hình thang cân sau.

Lời giải:

Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau và hai đáy song song.

Khi gấp hình thang cân theo đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đáy, hai nửa hình thang chồng khít lên nhau.

Vậy hình thang cân có 1 trục đối xứng, đó là đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy (đường thẳng vuông góc với hai đáy tại trung điểm).

Bài mẫu 2: Tam giác đều sau đây có bao nhiêu trục đối xứng? Hãy chỉ ra các trục đối xứng đó.

Lời giải:

Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau và 3 góc bằng nhau (mỗi góc $60°$).

Khi gấp tam giác đều theo đường thẳng đi qua một đỉnh và trung điểm cạnh đối diện, hai nửa tam giác chồng khít lên nhau. Vì tam giác đều có 3 đỉnh, nên ta tìm được 3 đường gấp như vậy.

Vậy tam giác đều có 3 trục đối xứng. Mỗi trục đối xứng là đường thẳng đi qua một đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh đó.

Bài mẫu 3: Tam giác ABC cân tại A có bao nhiêu trục đối xứng? Hãy chỉ ra các trục đối xứng đó.

Lời giải:

Tam giác cân tại A có hai cạnh bên $AB = AC$ và cạnh đáy $BC$.

Khi gấp theo đường thẳng đi qua đỉnh A và trung điểm cạnh BC, hai nửa tam giác chồng khít (vì $AB = AC$).

Tuy nhiên, nếu gấp theo bất kì đường nào khác, hai nửa không chồng khít (vì cạnh đáy khác cạnh bên).

Vậy tam giác cân tại A có 1 trục đối xứng, đó là đường thẳng đi qua đỉnh A và trung điểm cạnh BC.

Dạng 3. Ứng dụng của trục đối xứng trong cắt chữ và cắt hình

Phương pháp giải:

Để cắt một chữ cái hoặc một hình có trục đối xứng, ta thực hiện các bước:

• Bước 1: Chuẩn bị mảnh giấy hình chữ nhật.
• Bước 2: Gấp đôi mảnh giấy theo trục đối xứng của chữ (hoặc hình) cần cắt.
• Bước 3: Vẽ một nửa chữ (hoặc hình) trên mặt giấy đã gấp.
• Bước 4: Cắt theo nét vẽ, mở giấy ra ta được chữ (hoặc hình) hoàn chỉnh.

Bài mẫu 1: Ứng dụng trục đối xứng để cắt chữ A.

Lời giải:

Chữ A có trục đối xứng là đường thẳng đứng đi qua giữa chữ.

• Bước a: Chuẩn bị mảnh giấy hình chữ nhật.
• Bước b: Gấp đôi mảnh giấy theo chiều dọc (theo trục đối xứng đứng).
• Bước c: Vẽ nửa bên phải của chữ A trên mặt giấy gấp, rồi cắt theo nét vẽ.
• Bước d: Mở giấy ra, ta được chữ A hoàn chỉnh.

Bài mẫu 2: Ứng dụng trục đối xứng để cắt chữ T.

Lời giải:

Chữ T có trục đối xứng là đường thẳng đứng đi qua giữa chữ.

• Bước a: Chuẩn bị mảnh giấy hình chữ nhật.
• Bước b: Gấp đôi theo chiều dọc.
• Bước c: Vẽ nửa bên phải của chữ T (gồm nửa thanh ngang phía trên và thanh dọc phía dưới), rồi cắt theo nét vẽ.
• Bước d: Mở giấy ra, ta được chữ T hoàn chỉnh.

Bài mẫu 3: Ứng dụng trục đối xứng để cắt chữ E.

Lời giải:

Chữ E có trục đối xứng là đường thẳng ngang đi qua giữa chữ (trục nằm ngang).

• Bước a: Chuẩn bị mảnh giấy hình chữ nhật.
• Bước b: Gấp đôi theo chiều ngang (theo trục đối xứng ngang của chữ E).
• Bước c: Vẽ nửa trên của chữ E trên mặt giấy gấp, rồi cắt theo nét vẽ.
• Bước d: Mở giấy ra, ta được chữ E hoàn chỉnh.

Sai lầm thường gặp

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du