Hình có tâm đối xứng là gì?

Trong thực tế, nhiều hình ảnh xung quanh ta như mặt trống đồng Đông Sơn, giao lộ nhìn từ trên cao hay hình cỏ bốn lá đều mang lại cảm giác cân đối, hài hoà. Sự cân đối ấy đôi khi không đến từ trục đối xứng, mà đến từ một điểm đặc biệt gọi là tâm đối xứng.

Hãy tưởng tượng ta đặt một chiếc chong chóng hai cánh lên mặt giấy, ghim cố định tại điểm $O$ ở giữa, rồi quay chong chóng đúng một nửa vòng (tức $180°$). Khi đó, chong chóng sẽ trùng khít hoàn toàn với vị trí ban đầu của nó.

Từ quan sát trên, ta có định nghĩa:

Nếu một hình có một điểm $O$ sao cho khi quay hình đó quanh điểm $O$ đúng nửa vòng ($180°$), hình thu được trùng khít với hình ban đầu, thì hình đó được gọi là hình có tâm đối xứng. Điểm $O$ được gọi là tâm đối xứng của hình.

Ví dụ nhanh:

• Hình tròn: quay $180°$ quanh tâm → trùng khít ✔️ → có tâm đối xứng.
• Chong chóng bốn cánh: quay $180°$ quanh tâm → trùng khít ✔️ → có tâm đối xứng.
• Chong chóng ba cánh: quay $180°$ quanh tâm → không trùng khít ❌ → không có tâm đối xứng.

⚠️ Lưu ý: Chong chóng ba cánh tuy trông rất cân đối, nhưng khi quay $180°$ thì không chồng khít (nó cần quay $120°$ mới khớp, mà $120° \neq 180°$). Vì vậy, không phải hình nào nhìn “đẹp mắt” cũng có tâm đối xứng — ta phải kiểm tra bằng phép quay nửa vòng.

Tâm đối xứng của một số hình phẳng quen thuộc

Đoạn thẳng

Đoạn thẳng là hình đơn giản nhất có tâm đối xứng. Khi ta quay một đoạn thẳng $180°$ quanh trung điểm của nó, hai đầu mút đổi chỗ cho nhau và đoạn thẳng trùng khít với chính nó.

→ Tâm đối xứng của đoạn thẳng chính là trung điểm của nó.

Hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông

Bốn hình này đều có chung một đặc điểm: khi quay $180°$ quanh giao điểm của hai đường chéo, hình sẽ trùng khít với vị trí ban đầu.

→ Tâm đối xứng của hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông là giao điểm hai đường chéo.

Hình lục giác đều

Hình lục giác đều có ba đường chéo chính (nối hai đỉnh đối diện). Ba đường chéo này cắt nhau tại một điểm duy nhất, và điểm đó chính là tâm đối xứng.

→ Tâm đối xứng của hình lục giác đều là giao điểm các đường chéo chính.

Đường tròn

Đường tròn có tính đối xứng rất cao — quay bao nhiêu độ quanh tâm cũng trùng khít. Do đó:

→ Tâm đối xứng của đường tròn là tâm của đường tròn.

Một số hình không có tâm đối xứng

Không phải hình nào cũng có tâm đối xứng. Các hình sau là ví dụ điển hình:

• Hình tam giác đều: có 3 trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng.
• Hình thang cân: có trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng.
• Ngôi sao năm cánh: có trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng.

Chữ cái in hoa có tâm đối xứng

Trong bảng chữ cái in hoa, những chữ có tâm đối xứng (khi quay $180°$ vẫn trùng khít) gồm:

$$H, ; I, ; N, ; O, ; S, ; X, ; Z$$

Tâm đối xứng của mỗi chữ là điểm nằm chính giữa chữ đó.

Các chữ như $K, ; M, ; A, ; B, ; C, ; D, ; E$ đều không có tâm đối xứng.

Bảng tóm tắt

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết hình có tâm đối xứng

Phương pháp

Để xác định một hình có tâm đối xứng hay không, ta thực hiện theo các bước:

• Bước 1: Xác định điểm trung tâm (điểm “giữa”) của hình.
• Bước 2: Tưởng tượng (hoặc thực hành) quay hình $180°$ quanh điểm đó.
• Bước 3: Nếu hình sau khi quay trùng khít với hình ban đầu → có tâm đối xứng. Nếu không → không có tâm đối xứng.

Mẹo nhanh: Xoay ngược tờ giấy $180°$ (lật đầu xuống). Nếu hình trông giống hệt ban đầu thì hình đó có tâm đối xứng.

Bài mẫu 1

Đề bài: Trong các hình dưới đây, hình nào có tâm đối xứng?

Lời giải chi tiết:

Ta lần lượt kiểm tra từng hình bằng cách hình dung phép quay $180°$:

Hình 1 – Chữ X: Chữ X gồm hai nét chéo cắt nhau tại trung tâm. Khi quay $180°$ quanh giao điểm đó, nét chéo trái – phải đổi chỗ cho nhau, hình vẫn trùng khít. → ✔️ Có tâm đối xứng.

Hình 2 – Mặt trăng khuyết: Hình này có phần miệng mở về một phía. Khi quay $180°$, miệng mở sẽ hướng sang phía ngược lại, không trùng khít với ban đầu. → ❌ Không có tâm đối xứng.

Hình 3 – Ngôi sao năm cánh: Ngôi sao năm cánh có 5 cánh. Khi quay $180°$, các cánh không trùng vào vị trí cũ (vì $360° \div 5 = 72°$, mà $180°$ không chia hết cho $72°$). → ❌ Không có tâm đối xứng.

Hình 4 – Ngôi sao sáu cánh: Ngôi sao sáu cánh có 6 cánh đều nhau. Khi quay $180°$, mỗi cánh trùng vào vị trí cánh đối diện (vì $180° = 3 \times 60°$). → ✔️ Có tâm đối xứng.

Hình 5: ❌ Không có tâm đối xứng.

Kết luận: Hình 1, hình 4 có tâm đối xứng.

Bài mẫu 2

Đề bài: Trong các chữ sau, chữ cái nào có tâm đối xứng?

a) N, E, W, S

b) H, A, N, O, I

Lời giải chi tiết:

Ta kiểm tra từng chữ bằng cách xoay ngược $180°$:

Câu a) N, E, W, S:

• Chữ N: Quay $180°$ → hình chữ N lật ngược vẫn trùng khít với chính nó. → ✔️
• Chữ E: Quay $180°$ → các nét ngang của E chuyển sang phía đối diện, hình không trùng khít. → ❌
• Chữ W: Quay $180°$ → chữ W trở thành hình giống chữ M, không trùng khít với W. → ❌
• Chữ S: Quay $180°$ → chữ S lật ngược vẫn có hình dạng giống S. → ✔️

→ Đáp án câu a: Chữ N và S có tâm đối xứng.

Câu b) H, A, N, O, I:

• Chữ H: Hai nét dọc đối xứng, nét ngang ở giữa. Quay $180°$ → trùng khít. → ✔️
• Chữ A: Quay $180°$ → chữ A lật ngược trông khác hẳn (đỉnh nhọn hướng xuống). → ❌
• Chữ N: Như phân tích trên → ✔️
• Chữ O: Hình chữ O đối xứng mọi hướng. Quay $180°$ → trùng khít. → ✔️
• Chữ I: Quay $180°$ → trùng khít. → ✔️

→ Đáp án câu b: Chữ H, N, O, I có tâm đối xứng.

Bài mẫu 3

Đề bài: Trong các hình: hình trái tim (♥), hình quả rô (♦), hình cỏ ba lá (♣), hình bích (♠), hình nào có tâm đối xứng?

Lời giải chi tiết:

• Hình trái tim (♥): Phần trên tròn, phần dưới nhọn. Quay $180°$ → phần nhọn lên trên, phần tròn xuống dưới → không trùng khít. → ❌
• Hình quả rô (♦): Hình thoi đều, phần trên và phần dưới giống nhau, phần trái và phần phải giống nhau. Quay $180°$ → trùng khít hoàn toàn. → ✔️
• Hình cỏ ba lá (♣): Có 3 lá và 1 cuống ở dưới. Quay $180°$ → cuống hướng lên trên, không trùng khít. → ❌
• Hình bích (♠): Phần trên nhọn, phần dưới có cuống. Quay $180°$ → không trùng khít. → ❌

→ Đáp án: Chỉ có hình quả rô (♦) có tâm đối xứng.

Dạng 2: Xác định tâm đối xứng của hình

Phương pháp

Sau khi biết hình có tâm đối xứng, ta cần xác định tâm đối xứng nằm ở đâu. Cách làm:

• Với đoạn thẳng: tâm đối xứng là trung điểm.
• Với hình bình hành / hình thoi / hình vuông / hình chữ nhật: tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo → vẽ hai đường chéo, giao điểm chính là tâm.
• Với đường tròn: tâm đối xứng là tâm đường tròn.
• Với chữ cái: tâm đối xứng nằm ở chính giữa chữ.

Bài mẫu 1

Đề bài: Cho đoạn thẳng $MO = 2\text{cm}$. Em hãy vẽ đoạn thẳng $MN$ sao cho $O$ là tâm đối xứng.

Lời giải chi tiết:

Phân tích đề bài: Ta cần tìm điểm $N$ sao cho khi quay đoạn thẳng $MN$ một góc $180°$ quanh $O$, đoạn thẳng trùng khít với chính nó.

Bước 1: Để $O$ là tâm đối xứng của đoạn thẳng $MN$, thì $O$ phải là trung điểm của $MN$.

Bước 2: Vì $O$ là trung điểm nên $OM = ON = 2\text{cm}$.

Bước 3: Vẽ điểm $N$ nằm trên đường thẳng đi qua $M$ và $O$, phía đối diện với $M$ qua $O$, sao cho $ON = 2\text{cm}$.

Cách vẽ cụ thể: Vẽ đường tròn tâm $O$, bán kính $2\text{cm}$. Đường tròn này cắt đường thẳng $MO$ tại hai điểm: một điểm là $M$ (đã biết) và điểm còn lại chính là $N$.

→ Ta được đoạn thẳng $MN = MO + ON = 2 + 2 = 4\text{cm}$ với $O$ là tâm đối xứng.

Bài mẫu 2

Đề bài: Trong các hình: hình vuông, hình thoi, hình thang cân, đường tròn — hình nào có tâm đối xứng? Xác định tâm đối xứng của chúng.

Lời giải chi tiết:

Ta kiểm tra lần lượt từng hình:

Hình vuông: Vẽ hai đường chéo của hình vuông, chúng cắt nhau tại điểm $O$. Khi quay hình vuông $180°$ quanh $O$, mỗi đỉnh chuyển đến vị trí đỉnh đối diện → hình trùng khít.

→ ✔️ Có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo (điểm $O$).

Hình thoi: Tương tự hình vuông, hai đường chéo cắt nhau tại điểm $I$. Quay $180°$ quanh $I$ → hình trùng khít.

→ ✔️ Có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo (điểm $I$).

Hình thang cân: Hình thang cân có hai đáy không bằng nhau (một đáy lớn, một đáy nhỏ). Khi quay $180°$, đáy lớn sẽ chuyển lên vị trí đáy nhỏ và ngược lại → hai đáy khác nhau nên hình không trùng khít.

→ ❌ Không có tâm đối xứng.

Đường tròn: Quay $180°$ quanh tâm đường tròn → đường tròn trùng khít hoàn toàn.

→ ✔️ Có tâm đối xứng là tâm của đường tròn (điểm $J$).

Kết luận: Hình vuông, hình thoi và đường tròn có tâm đối xứng. Hình thang cân không có tâm đối xứng.

Dạng 3: Vẽ thêm để hoàn thành hình có tâm đối xứng cho trước

Phương pháp

Khi đề bài cho một phần của hình và yêu cầu vẽ thêm để hình nhận điểm $O$ là tâm đối xứng, ta làm như sau:

• Bước 1: Xác định các đỉnh (hoặc điểm đặc biệt) của phần hình đã cho.
• Bước 2: Với mỗi đỉnh $A$ đã biết, tìm điểm $A’$ đối xứng với $A$ qua $O$ bằng cách: kéo dài đoạn $AO$ thêm một đoạn bằng $AO$ về phía bên kia, ta được $A’$. (Tức là $O$ là trung điểm của $AA’$.)
• Bước 3: Nối các điểm $A’$ lại để hoàn thành phần hình còn thiếu.

Trên giấy ô vuông: Đếm số ô từ đỉnh đến $O$, rồi đếm bằng chừng đó ô theo hướng đối diện để xác định điểm đối xứng.

Bài mẫu

Đề bài: Vẽ lại hình bên vào giấy kẻ ô vuông, rồi vẽ thêm để được một hình nhận điểm $O$ là tâm đối xứng.

Lời giải chi tiết (hướng dẫn cách làm chung):

Bước 1: Đánh dấu tất cả các đỉnh của phần hình đã cho. Giả sử hình có các đỉnh $A$, $B$, $C$.

Bước 2: Tìm điểm đối xứng của từng đỉnh qua $O$:

• Từ đỉnh $A$: đếm số ô theo chiều ngang và chiều dọc từ $A$ đến $O$. Ví dụ, $A$ nằm ở phía trên – bên trái $O$, cách $O$ là 3 ô sang trái và 2 ô lên trên. Thì điểm $A’$ sẽ nằm ở phía dưới – bên phải $O$, cách $O$ là 3 ô sang phải và 2 ô xuống dưới.
• Làm tương tự với $B$, $C$ để tìm $B’$, $C’$.

Bước 3: Nối $A’$, $B’$, $C’$ theo đúng thứ tự tương ứng với $A$, $B$, $C$. Ghép phần mới vẽ với phần cũ, ta được hình hoàn chỉnh nhận $O$ là tâm đối xứng.

Kiểm tra: Hình dung quay toàn bộ hình $180°$ quanh $O$ xem có trùng khít không.

Sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ nhanh

Phân biệt trục đối xứng và tâm đối xứng:

• Trục đối xứng: Gấp đôi hình theo một đường thẳng → hai nửa trùng khít.
• Tâm đối xứng: Quay hình $180°$ quanh một điểm → hình trùng khít.

Cách kiểm tra nhanh không cần cắt giấy: Xoay ngược tờ giấy (hoặc xoay ngược hình trên màn hình) $180°$. Nếu hình trông giống hệt ban đầu → có tâm đối xứng.

Ghi nhớ chữ cái có tâm đối xứng: $H, I, N, O, S, X, Z$ — có thể nhớ qua cụm: “HI! NOS XZ”.

Quy tắc cho hình có số cánh đều: Một hình có $n$ cánh (hoặc $n$ phần bằng nhau) sẽ có tâm đối xứng khi $n$ là số chẵn ($n = 2, 4, 6, …$). Nếu $n$ lẻ ($n = 3, 5, 7, …$) thì không có tâm đối xứng.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du