Phép cộng hai phân số

Cộng hai phân số cùng mẫu

Ở Tiểu học, các em đã biết cộng hai phân số có tử và mẫu dương. Quy tắc đó vẫn đúng khi tử và mẫu là các số nguyên.

Quy tắc: Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu:

$$\dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{m} = \dfrac{a + b}{m}$$

Ví dụ:

$$\dfrac{-3}{11} + \dfrac{5}{11} = \dfrac{(-3) + 5}{11} = \dfrac{2}{11}$$

$$\dfrac{-5}{9} + \dfrac{-7}{9} = \dfrac{(-5) + (-7)}{9} = \dfrac{-12}{9} = \dfrac{-4}{3}$$

Lưu ý: Sau khi cộng, nên kiểm tra xem kết quả có rút gọn được không.

Cộng hai phân số không cùng mẫu

Khi hai phân số có mẫu khác nhau, ta cần quy đồng mẫu trước rồi mới cộng.

Quy tắc: Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung.

Ví dụ: Tính $\dfrac{-3}{8} + \dfrac{5}{6}$.

Giải:

Quy đồng mẫu: $\text{BCNN}(8, 6) = 24$.

$$\dfrac{-3}{8} = \dfrac{(-3) \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{-9}{24};\qquad \dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 4}{6 \times 4} = \dfrac{20}{24}$$

Cộng hai phân số cùng mẫu:

$$\dfrac{-9}{24} + \dfrac{20}{24} = \dfrac{(-9) + 20}{24} = \dfrac{11}{24}$$

Số đối

Hai số được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng $0$.

Số đối của phân số $\dfrac{a}{b}$ được kí hiệu là $-\dfrac{a}{b}$.

$$\dfrac{a}{b} + \left(-\dfrac{a}{b}\right) = 0$$

Ta có: $-\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b}$

Ví dụ: Số đối của $\dfrac{3}{7}$ là $-\dfrac{3}{7} = \dfrac{-3}{7}$.

Ví dụ: Số đối của $\dfrac{-2}{5}$ là $-\dfrac{-2}{5} = \dfrac{2}{5}$.

Chú ý: Số đối của $0$ chính là $0$ (vì $0 + 0 = 0$).

Tính chất của phép cộng phân số

Phép cộng phân số có các tính chất tương tự phép cộng số nguyên:

Nhờ các tính chất này, khi tính tổng nhiều phân số, ta có thể đổi chỗ và nhóm các phân số một cách hợp lý để tính nhanh hơn.

Ví dụ: Tính một cách hợp lý: $A = \dfrac{-2}{7} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{7} + \dfrac{-4}{9}$

Giải:

Áp dụng tính chất giao hoán, đổi chỗ các số hạng:

$$A = \dfrac{-2}{7} + \dfrac{2}{7} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{-4}{9}$$

Áp dụng tính chất kết hợp, nhóm các cặp phân số có cùng mẫu:

$$A = \left(\dfrac{-2}{7} + \dfrac{2}{7}\right) + \left(\dfrac{1}{9} + \dfrac{-4}{9}\right)$$

$$A = 0 + \dfrac{1 + (-4)}{9} = \dfrac{-3}{9} = \dfrac{-1}{3}$$

Phép trừ hai phân số

Trừ hai phân số cùng mẫu

Quy tắc: Muốn trừ hai phân số cùng mẫu, ta lấy tử số của phân số thứ nhất trừ đi tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu:

$$\dfrac{a}{m} – \dfrac{b}{m} = \dfrac{a – b}{m}$$

Ví dụ:

$$\dfrac{11}{17} – \dfrac{15}{17} = \dfrac{11 – 15}{17} = \dfrac{-4}{17}$$

Trừ hai phân số không cùng mẫu

Muốn trừ hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu hai phân số rồi trừ.

Ví dụ: Tính $\dfrac{7}{10} – \dfrac{-2}{15}$.

Giải:

Quy đồng mẫu: $\text{BCNN}(10, 15) = 30$.

$$\dfrac{7}{10} = \dfrac{7 \times 3}{10 \times 3} = \dfrac{21}{30};\qquad \dfrac{-2}{15} = \dfrac{(-2) \times 2}{15 \times 2} = \dfrac{-4}{30}$$

Trừ hai phân số cùng mẫu:

$$\dfrac{21}{30} – \dfrac{-4}{30} = \dfrac{21 – (-4)}{30} = \dfrac{21 + 4}{30} = \dfrac{25}{30} = \dfrac{5}{6}$$

Trừ bằng cách cộng với số đối

Nhận xét: Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta có thể cộng số bị trừ với số đối của số trừ:

$$\dfrac{a}{b} – \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} + \left(-\dfrac{c}{d}\right)$$

Ví dụ: $\dfrac{7}{8} – \dfrac{-1}{4} = \dfrac{7}{8} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{9}{8}$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Phép cộng các phân số

Phương pháp:

• Cùng mẫu: Cộng tử, giữ nguyên mẫu: $\dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{m} = \dfrac{a+b}{m}$. Rút gọn kết quả nếu có thể.
• Khác mẫu: Quy đồng mẫu rồi cộng tử, giữ nguyên mẫu chung. Nếu phân số có mẫu âm, đưa về mẫu dương trước. Nếu phân số chưa tối giản, rút gọn trước khi quy đồng.

Bài mẫu – Cộng phân số cùng mẫu

Bài mẫu 1: Tính $\dfrac{1}{6} + \dfrac{-5}{6}$.

Lời giải:

Hai phân số cùng mẫu $6$, ta cộng tử và giữ nguyên mẫu:

$$\dfrac{1}{6} + \dfrac{-5}{6} = \dfrac{1 + (-5)}{6} = \dfrac{-4}{6}$$

Rút gọn: $\dfrac{-4}{6} = \dfrac{(-4) : 2}{6 : 2} = \dfrac{-2}{3}$

Vậy $\dfrac{1}{6} + \dfrac{-5}{6} = \dfrac{-2}{3}$.

Bài mẫu 2: Tính $\dfrac{7}{-25} + \dfrac{-8}{25}$.

Lời giải:

Trước hết, đưa phân số $\dfrac{7}{-25}$ về mẫu dương:

$$\dfrac{7}{-25} = \dfrac{7 \times (-1)}{(-25) \times (-1)} = \dfrac{-7}{25}$$

Bây giờ hai phân số cùng mẫu $25$:

$$\dfrac{-7}{25} + \dfrac{-8}{25} = \dfrac{(-7) + (-8)}{25} = \dfrac{-15}{25}$$

Rút gọn: $\dfrac{-15}{25} = \dfrac{(-15) : 5}{25 : 5} = \dfrac{-3}{5}$

Vậy $\dfrac{7}{-25} + \dfrac{-8}{25} = \dfrac{-3}{5}$.

Bài mẫu 3: Tính $\dfrac{6}{13} + \dfrac{-15}{39}$.

Lời giải:

Trước hết, rút gọn $\dfrac{-15}{39}$:

$$\dfrac{-15}{39} = \dfrac{(-15) : 3}{39 : 3} = \dfrac{-5}{13}$$

Bây giờ hai phân số cùng mẫu $13$:

$$\dfrac{6}{13} + \dfrac{-5}{13} = \dfrac{6 + (-5)}{13} = \dfrac{1}{13}$$

Vậy $\dfrac{6}{13} + \dfrac{-15}{39} = \dfrac{1}{13}$.

Bài mẫu – Cộng phân số khác mẫu

Bài mẫu 4: Tính $\dfrac{3}{5} + \dfrac{-7}{4}$.

Lời giải:

Hai phân số khác mẫu. Quy đồng mẫu: $\text{BCNN}(5, 4) = 20$.

Thừa số phụ: $20 : 5 = 4$ và $20 : 4 = 5$.

$$\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{12}{20};\qquad \dfrac{-7}{4} = \dfrac{(-7) \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{-35}{20}$$

Cộng hai phân số cùng mẫu:

$$\dfrac{12}{20} + \dfrac{-35}{20} = \dfrac{12 + (-35)}{20} = \dfrac{-23}{20}$$

Vậy $\dfrac{3}{5} + \dfrac{-7}{4} = \dfrac{-23}{20}$.

Bài mẫu 5: Tính $(-2) + \dfrac{-5}{8}$.

Lời giải:

Viết số nguyên $(-2)$ dưới dạng phân số: $(-2) = \dfrac{-2}{1}$.

Quy đồng mẫu: $\text{BCNN}(1, 8) = 8$.

$$\dfrac{-2}{1} = \dfrac{(-2) \times 8}{1 \times 8} = \dfrac{-16}{8}$$

Cộng hai phân số cùng mẫu:

$$\dfrac{-16}{8} + \dfrac{-5}{8} = \dfrac{(-16) + (-5)}{8} = \dfrac{-21}{8}$$

Vậy $(-2) + \dfrac{-5}{8} = \dfrac{-21}{8}$.

Bài mẫu 6: Tính $\dfrac{-18}{24} + \dfrac{15}{21}$.

Lời giải:

Trước hết, rút gọn cả hai phân số:

$$\dfrac{-18}{24} = \dfrac{(-18) : 6}{24 : 6} = \dfrac{-3}{4};\qquad \dfrac{15}{21} = \dfrac{15 : 3}{21 : 3} = \dfrac{5}{7}$$

Quy đồng mẫu: $\text{BCNN}(4, 7) = 28$.

$$\dfrac{-3}{4} = \dfrac{(-3) \times 7}{4 \times 7} = \dfrac{-21}{28};\qquad \dfrac{5}{7} = \dfrac{5 \times 4}{7 \times 4} = \dfrac{20}{28}$$

Cộng:

$$\dfrac{-21}{28} + \dfrac{20}{28} = \dfrac{(-21) + 20}{28} = \dfrac{-1}{28}$$

Vậy $\dfrac{-18}{24} + \dfrac{15}{21} = \dfrac{-1}{28}$.

Bài mẫu – Tính hợp lý

Bài mẫu 7: Tính một cách hợp lý: $A = \dfrac{-3}{11} + \dfrac{11}{8} + \dfrac{-3}{8} + \dfrac{-8}{11}$

Lời giải:

Áp dụng tính chất giao hoán, nhóm các phân số cùng mẫu lại:

$$A = \left(\dfrac{-3}{11} + \dfrac{-8}{11}\right) + \left(\dfrac{11}{8} + \dfrac{-3}{8}\right)$$

Tính từng nhóm:

$$\dfrac{-3}{11} + \dfrac{-8}{11} = \dfrac{(-3) + (-8)}{11} = \dfrac{-11}{11} = -1$$

$$\dfrac{11}{8} + \dfrac{-3}{8} = \dfrac{11 + (-3)}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$$

Vậy: $A = (-1) + 1 = 0$.

Bài mẫu – Tìm x

Bài mẫu 8: Tìm $x$, biết: $x + \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{11}$.

Lời giải:

Chuyển $\dfrac{1}{5}$ sang vế phải, đổi dấu:

$$x = \dfrac{2}{11} – \dfrac{1}{5}$$

Quy đồng mẫu: $\text{BCNN}(11, 5) = 55$.

$$x = \dfrac{2 \times 5}{11 \times 5} – \dfrac{1 \times 11}{5 \times 11} = \dfrac{10}{55} – \dfrac{11}{55} = \dfrac{10 – 11}{55} = \dfrac{-1}{55}$$

Vậy $x = \dfrac{-1}{55}$.

Bài mẫu 9: Tìm $x$, biết: $x + \dfrac{7}{8} = \dfrac{13}{12}$.

Lời giải:

Chuyển $\dfrac{7}{8}$ sang vế phải, đổi dấu:

$$x = \dfrac{13}{12} – \dfrac{7}{8}$$

Quy đồng mẫu: $\text{BCNN}(12, 8) = 24$.

$$x = \dfrac{13 \times 2}{12 \times 2} – \dfrac{7 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{26}{24} – \dfrac{21}{24} = \dfrac{26 – 21}{24} = \dfrac{5}{24}$$

Vậy $x = \dfrac{5}{24}$.

Bài mẫu 10: Tìm $x$, biết: $|x| + \dfrac{1}{4} = \dfrac{6}{18}$.

Lời giải:

Rút gọn vế phải: $\dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}$.

$$|x| = \dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{4}$$

Quy đồng mẫu: $\text{BCNN}(3, 4) = 12$.

$$|x| = \dfrac{4}{12} – \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{12}$$

Vì $|x| = \dfrac{1}{12}$ nên $x = \dfrac{1}{12}$ hoặc $x = \dfrac{-1}{12}$.

Bài mẫu – Bài toán thực tế

Bài mẫu 11: Hai người cùng làm chung một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất 4 giờ, người thứ hai phải mất 7 giờ mới xong công việc. Hỏi nếu làm chung thì mỗi giờ cả hai người làm được mấy phần công việc?

Lời giải:

Coi toàn bộ công việc là $1$ đơn vị.

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được $\dfrac{1}{4}$ công việc.

Trong 1 giờ, người thứ hai làm được $\dfrac{1}{7}$ công việc.

Vậy trong 1 giờ, cả hai cùng làm thì được số phần công việc là:

$$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{7} = \dfrac{7}{28} + \dfrac{4}{28} = \dfrac{11}{28} \text{ (công việc)}$$

Dạng 2: Phép trừ các phân số

Phương pháp: Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ:

$$\dfrac{a}{b} – \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} + \left(-\dfrac{c}{d}\right)$$

Nếu hai phân số cùng mẫu, ta trừ tử trực tiếp: $\dfrac{a}{m} – \dfrac{b}{m} = \dfrac{a – b}{m}$.

Nếu khác mẫu, quy đồng mẫu rồi trừ. Nếu có mẫu âm, đưa về mẫu dương trước.

Bài mẫu – Trừ phân số

Bài mẫu 1: Tính $\dfrac{7}{-15} – \dfrac{-8}{15}$.

Lời giải:

Đưa phân số $\dfrac{7}{-15}$ về mẫu dương:

$$\dfrac{7}{-15} = \dfrac{7 \times (-1)}{(-15) \times (-1)} = \dfrac{-7}{15}$$

Bây giờ hai phân số cùng mẫu $15$, thực hiện phép trừ:

$$\dfrac{-7}{15} – \dfrac{-8}{15} = \dfrac{(-7) – (-8)}{15} = \dfrac{(-7) + 8}{15} = \dfrac{1}{15}$$

Vậy $\dfrac{7}{-15} – \dfrac{-8}{15} = \dfrac{1}{15}$.

Bài mẫu 2: Tính $\dfrac{3}{5} – \dfrac{-7}{4}$.

Lời giải:

Trừ bằng cách cộng với số đối: $\dfrac{3}{5} – \dfrac{-7}{4} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{7}{4}$.

Quy đồng mẫu: $\text{BCNN}(5, 4) = 20$.

$$\dfrac{3}{5} + \dfrac{7}{4} = \dfrac{3 \times 4}{5 \times 4} + \dfrac{7 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{12}{20} + \dfrac{35}{20} = \dfrac{12 + 35}{20} = \dfrac{47}{20}$$

Vậy $\dfrac{3}{5} – \dfrac{-7}{4} = \dfrac{47}{20}$.

Bài mẫu 3: Tính $\dfrac{-18}{24} – \dfrac{15}{21}$.

Lời giải:

Rút gọn cả hai phân số trước:

$$\dfrac{-18}{24} = \dfrac{-3}{4};\qquad \dfrac{15}{21} = \dfrac{5}{7}$$

Quy đồng mẫu: $\text{BCNN}(4, 7) = 28$.

$$\dfrac{-3}{4} – \dfrac{5}{7} = \dfrac{(-3) \times 7}{4 \times 7} – \dfrac{5 \times 4}{7 \times 4} = \dfrac{-21}{28} – \dfrac{20}{28} = \dfrac{(-21) – 20}{28} = \dfrac{-41}{28}$$

Vậy $\dfrac{-18}{24} – \dfrac{15}{21} = \dfrac{-41}{28}$.

Bài mẫu – Tìm x

Bài mẫu 4: Tìm $x$, biết: $x – \dfrac{-6}{15} = \dfrac{4}{27}$.

Lời giải:

Rút gọn: $\dfrac{-6}{15} = \dfrac{-2}{5}$.

Phương trình trở thành: $x – \dfrac{-2}{5} = \dfrac{4}{27}$, tức là $x + \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{27}$.

Chuyển vế:

$$x = \dfrac{4}{27} – \dfrac{2}{5}$$

Quy đồng mẫu: $\text{BCNN}(27, 5) = 135$.

$$x = \dfrac{4 \times 5}{27 \times 5} – \dfrac{2 \times 27}{5 \times 27} = \dfrac{20}{135} – \dfrac{54}{135} = \dfrac{20 – 54}{135} = \dfrac{-34}{135}$$

Vậy $x = \dfrac{-34}{135}$.

Bài mẫu 5: Tìm $x$, biết: $\dfrac{-7}{5} + x = \dfrac{4}{9}$.

Lời giải:

Chuyển $\dfrac{-7}{5}$ sang vế phải, đổi dấu:

$$x = \dfrac{4}{9} – \dfrac{-7}{5} = \dfrac{4}{9} + \dfrac{7}{5}$$

Quy đồng mẫu: $\text{BCNN}(9, 5) = 45$.

$$x = \dfrac{4 \times 5}{9 \times 5} + \dfrac{7 \times 9}{5 \times 9} = \dfrac{20}{45} + \dfrac{63}{45} = \dfrac{20 + 63}{45} = \dfrac{83}{45}$$

Vậy $x = \dfrac{83}{45}$.

Bài mẫu – Bài toán thực tế

Bài mẫu 6: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước. Trong một giờ, vòi thứ nhất chảy vào được $\dfrac{1}{3}$ bể, vòi thứ hai chảy vào được $\dfrac{2}{5}$ bể. Hỏi vòi nào chảy nhanh hơn và trong một giờ, cả hai vòi chảy được bao nhiêu phần bể?

Lời giải:

Coi toàn bộ bể là $1$ đơn vị.

So sánh hai vòi: $\dfrac{1}{3} – \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{15} – \dfrac{6}{15} = \dfrac{-1}{15} < 0$.

Vì hiệu nhỏ hơn $0$ nên $\dfrac{1}{3} < \dfrac{2}{5}$.

Vậy trong 1 giờ, vòi thứ nhất chảy chậm hơn vòi thứ hai.

Trong 1 giờ, cả hai vòi cùng chảy thì được số phần bể là:

$$\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{15} + \dfrac{6}{15} = \dfrac{11}{15} \text{ (bể)}$$

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Rút gọn trước, tính sau: Trước khi quy đồng, hãy kiểm tra xem phân số nào rút gọn được. Mẫu nhỏ hơn → quy đồng dễ hơn → tính toán nhanh hơn.

Tính hợp lý bằng nhóm cặp: Khi có nhiều phân số, hãy tìm các cặp đối nhau (tổng bằng 0) hoặc cặp cùng mẫu để nhóm lại tính trước.

Trừ = Cộng với số đối: Nếu thấy phép trừ phức tạp, hãy chuyển thành phép cộng với số đối để tránh nhầm dấu.

Kiểm tra nhanh bằng ước lượng: Ước lượng kết quả trước khi tính. Ví dụ: $\dfrac{3}{5} + \dfrac{-7}{4}$ — ta biết $\dfrac{3}{5}$ khoảng $0{,}6$ và $\dfrac{-7}{4}$ khoảng $-1{,}75$, nên kết quả khoảng $-1{,}15$ (tức là phân số âm, tử gần mẫu). Nếu kết quả ra số dương lớn thì biết mình đã tính sai.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du