Phép cộng, trừ số thập phân

Ở Tiểu học, các em đã biết cộng và trừ hai số thập phân dương. Khi mở rộng sang số thập phân âm, ta áp dụng các quy tắc tương tự như với số nguyên.

Cộng hai số thập phân âm

Khi cộng hai số thập phân cùng âm, ta cộng hai giá trị tuyệt đối rồi đặt dấu “$-$” trước kết quả:

$$(-a) + (-b) = -(a + b) \quad \text{với } a, b > 0$$

Ví dụ: $(-1{,}25) + (-3{,}48) = -(1{,}25 + 3{,}48) = -4{,}73$

Cộng hai số thập phân khác dấu

Khi cộng hai số thập phân khác dấu, ta lấy giá trị tuyệt đối lớn hơn trừ giá trị tuyệt đối nhỏ hơn, rồi đặt dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn:

$$(-a) + b = b – a \quad \text{nếu } 0 < a \leq b$$

$$(-a) + b = -(a – b) \quad \text{nếu } a > b > 0$$

Ví dụ: $(-3{,}7) + 8{,}2 = 8{,}2 – 3{,}7 = 4{,}5$ (vì $8{,}2 > 3{,}7$, kết quả mang dấu dương).

Ví dụ: $(-9{,}4) + 5{,}1 = -(9{,}4 – 5{,}1) = -4{,}3$ (vì $9{,}4 > 5{,}1$, kết quả mang dấu âm).

Phép trừ số thập phân

Phép trừ được đưa về phép cộng với số đối:

$$a – b = a + (-b)$$

Ví dụ: $15{,}3 – 28{,}7 = 15{,}3 + (-28{,}7) = -(28{,}7 – 15{,}3) = -13{,}4$

Phép nhân số thập phân

Khi nhân hai số thập phân, ta xác định dấu rồi nhân giá trị tuyệt đối như nhân hai số thập phân dương.

Quy tắc dấu

• Cùng dấu → kết quả dương: $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$
• Khác dấu → kết quả âm: $(-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -(a \cdot b)$

Ví dụ: $(-3{,}5) \cdot (-1{,}2) = 3{,}5 \cdot 1{,}2 = 4{,}2$ (cùng âm → dương).

Ví dụ: $2{,}4 \cdot (-1{,}5) = -(2{,}4 \cdot 1{,}5) = -3{,}6$ (khác dấu → âm).

Phép chia số thập phân

Tương tự phép nhân, khi chia hai số thập phân, ta xác định dấu rồi chia giá trị tuyệt đối.

Quy tắc dấu

• Cùng dấu → thương dương: $(-a) : (-b) = a : b$
• Khác dấu → thương âm: $(-a) : b = a : (-b) = -(a : b)$

Ví dụ: $(-7{,}2) : (-1{,}8) = 7{,}2 : 1{,}8 = 4$ (cùng âm → dương).

Ví dụ: $15{,}6 : (-2{,}4) = -(15{,}6 : 2{,}4) = -6{,}5$ (khác dấu → âm).

Tính giá trị biểu thức với số thập phân

Phép cộng và phép nhân số thập phân cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối như với số nguyên và phân số. Nhờ đó, ta có thể tính giá trị biểu thức một cách hợp lý.

Thứ tự thực hiện phép tính

• Không có ngoặc: Lũy thừa → Nhân, chia → Cộng, trừ.
• Có ngoặc: $(;) \rightarrow [;] \rightarrow {;}$.

Ví dụ: Tính hợp lý: $4{,}25 – 7{,}3 + 5{,}75$

$$= (4{,}25 + 5{,}75) – 7{,}3 = 10 – 7{,}3 = 2{,}7$$

Ví dụ: Tính hợp lý: $(3{,}4 – 3{,}4 \cdot 5) : (2{,}153 + 0{,}847)$

$$= (3{,}4 \cdot 1 – 3{,}4 \cdot 5) : 3 = 3{,}4 \cdot (1 – 5) : 3 = 3{,}4 \cdot (-4) : 3$$

Nhưng ta thấy mẫu $2{,}153 + 0{,}847 = 3$, nên:

$$= \dfrac{3{,}4 \cdot (1 – 5)}{3} = \dfrac{3{,}4 \cdot (-4)}{3} = \dfrac{-13{,}6}{3} \approx -4{,}53$$

Hoặc theo cách sách trình bày:

$$= 3{,}4 \cdot (1 – 5) : 3 = 3{,}4 \cdot (-4) : 3$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Phương pháp:

• Xác định dấu kết quả trước (cùng dấu → dương, khác dấu → âm).
• Thực hiện phép tính với giá trị tuyệt đối như số thập phân dương.
• Trong biểu thức nhiều phép tính: nhân, chia trước → cộng, trừ sau.

Bài mẫu 1: Tính $21{,}42 + 8{,}38 \cdot 0{,}5$.

Lời giải:

Theo thứ tự phép tính, nhân trước, cộng sau:

$$8{,}38 \cdot 0{,}5 = 4{,}19$$

$$21{,}42 + 4{,}19 = 25{,}61$$

Vậy $21{,}42 + 8{,}38 \cdot 0{,}5 = 25{,}61$.

Bài mẫu 2: Tính $45{,}3 \cdot 2{,}5 – (-33{,}92) : 3{,}2$.

Lời giải:

Thực hiện nhân và chia trước:

$$45{,}3 \cdot 2{,}5 = 113{,}25$$

$$(-33{,}92) : 3{,}2 = -10{,}6$$

Trừ: $113{,}25 – (-10{,}6) = 113{,}25 + 10{,}6 = 123{,}85$.

Vậy $45{,}3 \cdot 2{,}5 – (-33{,}92) : 3{,}2 = 123{,}85$.

Bài mẫu 3: Tính $(-23{,}45) + 16{,}4 : 0{,}4$.

Lời giải:

Chia trước: $16{,}4 : 0{,}4 = 41$.

Cộng: $(-23{,}45) + 41 = 41 – 23{,}45 = 17{,}55$.

Vậy $(-23{,}45) + 16{,}4 : 0{,}4 = 17{,}55$.

Bài mẫu 4: Tính $(-6{,}8) \cdot 4{,}2 – 121{,}25 : 9{,}7$.

Lời giải:

Nhân: $(-6{,}8) \cdot 4{,}2 = -(6{,}8 \cdot 4{,}2) = -28{,}56$ (khác dấu → âm).

Chia: $121{,}25 : 9{,}7 = 12{,}5$.

Trừ: $(-28{,}56) – 12{,}5 = -(28{,}56 + 12{,}5) = -41{,}06$.

Vậy $(-6{,}8) \cdot 4{,}2 – 121{,}25 : 9{,}7 = -41{,}06$.

Bài mẫu 5: Tính $2{,}6 – 1{,}8 + 1{,}5 \cdot 4 – 1{,}25 \cdot 4$.

Lời giải:

Nhân trước:

$$1{,}5 \cdot 4 = 6;\qquad 1{,}25 \cdot 4 = 5$$

Thay vào: $2{,}6 – 1{,}8 + 6 – 5 = (2{,}6 + 6) – (1{,}8 + 5) = 8{,}6 – 6{,}8 = 1{,}8$.

Dạng 2: Tìm x

Phương pháp:

• Nếu biểu thức chỉ có $x$ ở vế trái: áp dụng quy tắc chuyển vế (chuyển vế đổi dấu).
• Muốn tìm thừa số → lấy tích chia cho thừa số đã biết.
• Muốn tìm số bị chia → lấy thương nhân với số chia.
• Muốn tìm số chia → lấy số bị chia chia cho thương.
• Nếu vế phải có phép tính → tính vế phải trước, rồi tìm $x$.

Bài mẫu 1: Tìm $x$, biết $x – 3{,}25 = 9{,}6$.

Lời giải:

$$x = 9{,}6 + 3{,}25 = 12{,}85$$

Vậy $x = 12{,}85$.

Bài mẫu 2: Tìm $x$, biết $x + 4{,}5 = 12{,}3$.

Lời giải:

$$x = 12{,}3 – 4{,}5 = 7{,}8$$

Vậy $x = 7{,}8$.

Bài mẫu 3: Tìm $x$, biết $2{,}5 \cdot x = 14{,}2$.

Lời giải:

Muốn tìm thừa số, ta lấy tích chia cho thừa số đã biết:

$$x = 14{,}2 : 2{,}5 = 5{,}68$$

Vậy $x = 5{,}68$.

Bài mẫu 4: Tìm $x$, biết $2x – 3{,}25 = 9{,}6$.

Lời giải:

Chuyển $-3{,}25$ sang vế phải:

$$2x = 9{,}6 + 3{,}25 = 12{,}85$$

Chia cả hai vế cho $2$:

$$x = 12{,}85 : 2 = 6{,}425$$

Vậy $x = 6{,}425$.

Bài mẫu 5: Tìm $x$, biết $4{,}5 + (2x + 0{,}5) = 12{,}3$.

Lời giải:

Chuyển $4{,}5$ sang vế phải:

$$2x + 0{,}5 = 12{,}3 – 4{,}5 = 7{,}8$$

Chuyển $0{,}5$ sang vế phải:

$$2x = 7{,}8 – 0{,}5 = 7{,}3$$

Chia cả hai vế cho $2$:

$$x = 7{,}3 : 2 = 3{,}65$$

Vậy $x = 3{,}65$.

Bài mẫu 6: Tìm $x$, biết $2{,}5 \cdot (x – 1{,}2) = 14{,}2$.

Lời giải:

Chia cả hai vế cho $2{,}5$:

$$x – 1{,}2 = 14{,}2 : 2{,}5 = 5{,}68$$

Chuyển $-1{,}2$ sang vế phải:

$$x = 5{,}68 + 1{,}2 = 6{,}88$$

Vậy $x = 6{,}88$.

Bài mẫu 7: Tìm $x$, biết $x + 3{,}12 = 14{,}6 – 8{,}5$.

Lời giải:

Tính vế phải trước: $14{,}6 – 8{,}5 = 6{,}1$.

$$x + 3{,}12 = 6{,}1$$

$$x = 6{,}1 – 3{,}12 = 2{,}98$$

Vậy $x = 2{,}98$.

Bài mẫu 8: Tìm $x$, biết $31{,}5 – x = (18{,}6 – 12{,}3) : 3$.

Lời giải:

Tính vế phải trước:

$$18{,}6 – 12{,}3 = 6{,}3;\qquad 6{,}3 : 3 = 2{,}1$$

$$31{,}5 – x = 2{,}1$$

$$x = 31{,}5 – 2{,}1 = 29{,}4$$

Vậy $x = 29{,}4$.

Dạng 3: Tính nhanh, tính hợp lý

Phương pháp:

• Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp để nhóm các số cho ra kết quả tròn.
• Sử dụng quy tắc bỏ ngoặc (dấu “$-$” trước ngoặc → đổi dấu tất cả số hạng trong ngoặc).
• Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để đặt nhân tử chung.

Tính nhanh phép cộng, trừ

Bài mẫu 1: Tính nhanh $25{,}7 + 9{,}48 + 14{,}3$.

Lời giải:

Nhóm hai số cho tổng tròn (tính chất giao hoán, kết hợp):

$$= (25{,}7 + 14{,}3) + 9{,}48 = 40 + 9{,}48 = 49{,}48$$

Bài mẫu 2: Tính nhanh $[(-2{,}34) + 4{,}8] + (25{,}2 + 2{,}34)$.

Lời giải:

Bỏ ngoặc, nhóm lại:

$$= (-2{,}34) + 4{,}8 + 25{,}2 + 2{,}34$$

$$= [(-2{,}34) + 2{,}34] + (4{,}8 + 25{,}2) = 0 + 30 = 30$$

Bài mẫu 3: Tính nhanh $(13{,}56 – 9{,}2) – (3{,}56 – 19{,}2)$.

Lời giải:

Bỏ ngoặc (dấu “$-$” trước ngoặc → đổi dấu):

$$= 13{,}56 – 9{,}2 – 3{,}56 + 19{,}2$$

Nhóm lại:

$$= (13{,}56 – 3{,}56) + (19{,}2 – 9{,}2) = 10 + 10 = 20$$

Bài mẫu 4: Tính nhanh $15{,}27 – 4{,}91 – 2{,}09$.

Lời giải:

Nhóm hai số trừ lại:

$$= 15{,}27 – (4{,}91 + 2{,}09) = 15{,}27 – 7 = 8{,}27$$

Bài mẫu 5: Tính nhanh $60 – 26{,}75 – 13{,}25$.

Lời giải:

$$= 60 – (26{,}75 + 13{,}25) = 60 – 40 = 20$$

Bài mẫu 6: Tính nhanh $[72{,}69 – (-18{,}47)] – (8{,}47 + 22{,}69)$.

Lời giải:

$$= 72{,}69 + 18{,}47 – 8{,}47 – 22{,}69$$

Nhóm:

$$= (72{,}69 – 22{,}69) + (18{,}47 – 8{,}47) = 50 + 10 = 60$$

Tính nhanh phép nhân

Bài mẫu 7: Tính nhanh $4{,}86 \cdot 0{,}25 \cdot (-40)$.

Lời giải:

Nhóm $0{,}25 \cdot (-40)$ trước (vì $0{,}25 \cdot 40 = 10$):

$$= 4{,}86 \cdot [0{,}25 \cdot (-40)] = 4{,}86 \cdot (-10) = -48{,}6$$

Bài mẫu 8: Tính nhanh $96{,}28 \cdot (-3{,}527) + (-3{,}527) \cdot 3{,}72$.

Lời giải:

Đặt nhân tử chung $(-3{,}527)$ (tính chất phân phối):

$$= (-3{,}527) \cdot (96{,}28 + 3{,}72) = (-3{,}527) \cdot 100 = -352{,}7$$

Bài mẫu 9: Tính nhanh $(-0{,}8) \cdot 96 – 1{,}6 \cdot 2$.

Lời giải:

Nhận thấy $1{,}6 \cdot 2 = 3{,}2$ và $(-0{,}8) \cdot 2 = -1{,}6$, nên ta viết:

$$= (-0{,}8) \cdot 96 – (-0{,}8) \cdot (-2) \cdot 2$$

Cách khác, đơn giản hơn:

$$(-0{,}8) \cdot 96 – 1{,}6 \cdot 2 = (-0{,}8) \cdot 96 – 0{,}8 \cdot 2 \cdot 2 = (-0{,}8) \cdot 96 + (-0{,}8) \cdot 4$$

Nhưng $1{,}6 = 0{,}8 \cdot 2$, nên:

$$= (-0{,}8) \cdot 96 – 0{,}8 \cdot 2 \cdot 2 = (-0{,}8) \cdot 96 – 0{,}8 \cdot 4 = (-0{,}8) \cdot (96 + 4) = (-0{,}8) \cdot 100 = -80$$

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Xác định dấu trước, tính sau: Trước khi tính, hãy xác định dấu kết quả (cùng dấu → dương, khác dấu → âm), rồi mới tính giá trị tuyệt đối.

Nhóm số tròn: Khi tính nhanh, tìm các cặp số cho tổng tròn chục ($25{,}7 + 14{,}3 = 40$) hoặc tổng bằng $0$ ($-2{,}34 + 2{,}34 = 0$).

Đặt nhân tử chung: Khi có dạng $a \cdot x + a \cdot y$, đặt $a$ ra ngoài: $a \cdot (x + y)$.

Nhân/chia với $0{,}1$; $0{,}01$; $0{,}001$: Chỉ cần dịch dấu phẩy sang trái 1, 2, 3 chữ số (khi nhân) hoặc sang phải (khi chia).

Kiểm tra nhanh bằng ước lượng: Trước khi tính chi tiết, ước lượng kết quả bằng cách làm tròn. Nếu kết quả tính ra khác xa so với ước lượng, khả năng cao đã tính sai.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du