Điểm và đường thẳng là gì?

Khi dùng bút chì kẻ dọc theo thước thẳng trên giấy, vệt mực tạo ra chính là hình ảnh của một đường thẳng. Còn mỗi dấu chấm nhỏ mà đầu bút để lại là hình ảnh của một điểm. Có thể nói, đường thẳng được tạo thành từ vô số các điểm như vậy.

Trong hình học, ta dùng chữ cái in hoa để đặt tên cho điểm (ví dụ: điểm $A$, điểm $B$, điểm $M$,…) và dùng chữ cái thường để đặt tên cho đường thẳng (ví dụ: đường thẳng $a$, đường thẳng $d$,…).

Điểm thuộc và không thuộc đường thẳng

Hình ảnh quả bóng nằm ngay trên vạch vôi sân cỏ giúp ta hình dung được một điểm nằm trên một đường thẳng.

Quan sát hình vẽ sau, ta thấy điểm $M$ nằm ngay trên đường thẳng $d$, còn điểm $N$ nằm ngoài đường thẳng $d$.

Cách diễn đạt và kí hiệu:

• Điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$, kí hiệu: $M \in d$.
• Điểm $N$ không thuộc đường thẳng $d$, kí hiệu: $N \notin d$.

Khi $M \in d$, ta cũng có thể nói: “Điểm $M$ nằm trên đường thẳng $d$” hoặc “Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$”. Tất cả đều mang cùng một ý nghĩa.

Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

Nếu ta đánh dấu hai điểm $A$ và $B$ trên giấy, rồi dùng thước kẻ nối chúng lại, ta sẽ được một đường thẳng. Dù kẻ bằng bút chì hay bút mực, kết quả luôn cho ra cùng một đường thẳng. Từ đó ta rút ra nhận xét quan trọng:

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$ được gọi là đường thẳng $AB$ (hoặc đường thẳng $BA$ — thứ tự không quan trọng).

Chú ý: Để nhấn mạnh hai phía của đường thẳng, đôi khi ta dùng hai chữ cái thường đặt tên, chẳng hạn đường thẳng $xy$ (hay $yx$).

Ba điểm thẳng hàng

Khái niệm

Khi ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng, ta nói chúng thẳng hàng. Ngược lại, nếu không tồn tại đường thẳng nào chứa cả ba điểm đó, ta nói chúng không thẳng hàng.

Ví dụ trực quan: Khi nhìn qua các lỗ hổng trên nhiều tấm bìa xếp thẳng hàng, ta có thể thấy ngọn nến phía sau. Điều này chứng tỏ các lỗ hổng cùng nằm trên một đường thẳng — tức là chúng thẳng hàng.

Điểm nằm giữa hai điểm

Khi ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng và điểm $B$ nằm ở giữa $A$ và $C$ (tức là $B$ ở khoảng giữa, không phải ở đầu mút), ta nói điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$.

Hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau

Khi xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta có ba trường hợp:

Hai đường thẳng song song

Hai đường thẳng $a$ và $b$ không có điểm chung nào (dù kéo dài mãi cũng không gặp nhau) thì được gọi là hai đường thẳng song song. Kí hiệu: $a // b$.

Hình ảnh thực tế: hai thanh ray đường tàu hoả luôn chạy song song, không bao giờ giao nhau.

Hai đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng $a$ và $b$ có đúng một điểm chung $P$ thì được gọi là hai đường thẳng cắt nhau tại $P$. Điểm $P$ được gọi là giao điểm của hai đường thẳng.

Hình ảnh thực tế: hai con đường giao nhau tại một ngã tư.

Hai đường thẳng trùng nhau

Nếu hai đường thẳng có nhiều hơn một điểm chung (tức là có ít nhất hai điểm chung), thì theo nhận xét “chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt”, chúng phải là cùng một đường thẳng — ta nói hai đường thẳng đó trùng nhau.

Tóm tắt

Lưu ý: Hai đường thẳng phân biệt (tức không trùng nhau) thì chỉ có thể song song hoặc cắt nhau — không có trường hợp nào khác.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết điểm thuộc / không thuộc đường thẳng

Phương pháp

• Quan sát hình vẽ: nếu điểm nằm ngay trên đường thẳng → điểm đó thuộc đường thẳng, dùng kí hiệu $\in$.
• Nếu điểm nằm ngoài đường thẳng → điểm đó không thuộc đường thẳng, dùng kí hiệu $\notin$.
• Khi hai đường thẳng cắt nhau, điểm chung (giao điểm) thuộc cả hai đường thẳng.

Bài mẫu 1

Đề bài: Cho hình vẽ. Cho biết điểm $A$ và điểm $B$ thuộc hay không thuộc đường thẳng $xy$. Điền kí hiệu $\in$, $\notin$ vào chỗ trống: $A \square xy$ ; $B \square xy$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Quan sát hình vẽ, ta xác định vị trí từng điểm so với đường thẳng $xy$.

• Điểm $A$: nằm phía trên (hoặc phía ngoài) đường thẳng $xy$, không nằm trên đường thẳng.
• Điểm $B$: nằm ngay trên đường thẳng $xy$.

Bước 2: Kết luận bằng lời:

• Điểm $A$ không thuộc đường thẳng $xy$.
• Điểm $B$ thuộc đường thẳng $xy$.

Bước 3: Điền kí hiệu:

$$A \notin xy ;;; B \in xy$$

Bài mẫu 2

Đề bài: Cho hình vẽ với hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau, cùng các điểm $K$, $P$, $I$, $N$.

a) Các điểm nào thuộc đường thẳng $a$?

b) Các điểm nào thuộc đường thẳng $b$?

c) Điểm nào vừa thuộc đường thẳng $a$ vừa thuộc đường thẳng $b$?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại một điểm. Bây giờ ta xác định từng điểm nằm trên đường thẳng nào.

Bước 2: Kiểm tra từng điểm:

a) Nhìn dọc theo đường thẳng $a$, các điểm nằm trên nó là: $I$ và $P$.

→ Các điểm thuộc đường thẳng $a$: $I$, $P$.

b) Nhìn dọc theo đường thẳng $b$, các điểm nằm trên nó là: $I$ và $N$.

→ Các điểm thuộc đường thẳng $b$: $I$, $N$.

c) Điểm nào xuất hiện ở cả hai câu trên? Đó là điểm $I$ — chính là giao điểm của hai đường thẳng.

→ Điểm vừa thuộc $a$ vừa thuộc $b$: điểm $I$.

Bài mẫu 3

Đề bài: Vẽ hình theo các kí hiệu sau:

a) $M \in a$ ; $N \notin a$

b) $A \in b$ ; $A \in c$

Lời giải chi tiết:

Câu a) Yêu cầu: điểm $M$ nằm trên đường thẳng $a$, điểm $N$ không nằm trên đường thẳng $a$.

• Bước 1: Vẽ đường thẳng $a$.
• Bước 2: Đánh dấu điểm $M$ ngay trên đường thẳng $a$.
• Bước 3: Đánh dấu điểm $N$ ở vị trí bên ngoài đường thẳng $a$ (phía trên hoặc phía dưới đều được).

Câu b) Yêu cầu: điểm $A$ thuộc cả hai đường thẳng $b$ và $c$.

• Bước 1: Vì $A$ phải nằm trên cả $b$ lẫn $c$, nên $A$ là giao điểm của hai đường thẳng.
• Bước 2: Vẽ hai đường thẳng $b$ và $c$ cắt nhau tại điểm $A$.

Dạng 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm và đếm số đường thẳng

Phương pháp

• Qua hai điểm phân biệt luôn vẽ được đúng một đường thẳng.
• Khi có $n$ điểm (trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng), số đường thẳng tạo được bằng cách nối từng cặp điểm là: $\dfrac{n \times (n-1)}{2}$.
• Nếu có một số điểm thẳng hàng, thì các cặp điểm thẳng hàng chỉ tạo ra một đường thẳng chung, nên ta phải trừ bớt.

Bài mẫu 1

Đề bài: Vẽ đường thẳng $a$ đi qua hai điểm $P$ và $Q$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đánh dấu hai điểm $P$ và $Q$ trên giấy.

Bước 2: Đặt thước thẳng sao cho mép thước đi qua cả hai điểm $P$ và $Q$.

Bước 3: Dùng bút kẻ một đường thẳng dọc theo mép thước, kéo dài về hai phía qua $P$ và $Q$. Đặt tên đường thẳng là $a$.

→ Ta được đường thẳng $a$ đi qua $P$ và $Q$. Đường thẳng này cũng có thể gọi là đường thẳng $PQ$ (hoặc $QP$).

Bài mẫu 2

Đề bài: Cho hình vẽ với các điểm $D$, $A$, $C$ nằm trên đường thẳng $d$ và điểm $B$ nằm ngoài $d$.

a) Vẽ các đường thẳng $BD$, $BA$, $BC$.

b) Có tất cả bao nhiêu đường thẳng?

Lời giải chi tiết:

Câu a) Ta lần lượt nối điểm $B$ với từng điểm $D$, $A$, $C$:

• Nối $B$ với $D$ → được đường thẳng $BD$.
• Nối $B$ với $A$ → được đường thẳng $BA$.
• Nối $B$ với $C$ → được đường thẳng $BC$.

Câu b) Đếm tất cả các đường thẳng:

• Đường thẳng $d$ đi qua $D$, $A$, $C$ (ba điểm $D$, $A$, $C$ thẳng hàng nên chỉ tạo 1 đường thẳng duy nhất, chính là $d$).
• Đường thẳng $BD$.
• Đường thẳng $BA$.
• Đường thẳng $BC$.

→ Có tất cả 4 đường thẳng.

Bài mẫu 3

Đề bài: Cho bốn điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ tất cả các đường thẳng có thể. Đó là những đường thẳng nào?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Vì không có ba điểm nào thẳng hàng, mỗi cặp hai điểm sẽ cho ta một đường thẳng riêng biệt.

Bước 2: Liệt kê tất cả các cặp hai điểm có thể chọn từ 4 điểm:

• Từ $Q$: nối với $M$, $N$, $P$ → đường thẳng $QM$, $QN$, $QP$.
• Từ $M$: nối với $N$, $P$ (đã nối với $Q$ rồi) → đường thẳng $MN$, $MP$.
• Từ $N$: nối với $P$ (đã nối với $Q$, $M$ rồi) → đường thẳng $NP$.

Bước 3: Đếm: $3 + 2 + 1 = 6$ đường thẳng.

Hoặc dùng công thức: $\dfrac{4 \times 3}{2} = 6$.

→ Có tất cả 6 đường thẳng: $QM$, $QN$, $QP$, $MN$, $MP$, $NP$.

Dạng 3: Nhận biết ba điểm thẳng hàng và không thẳng hàng

Phương pháp

• Ba điểm thẳng hàng khi cả ba cùng nằm trên một đường thẳng. Cách kiểm tra: dùng thước thẳng đặt qua hai điểm, nếu điểm thứ ba cũng nằm trên mép thước → thẳng hàng.
• Ba điểm không thẳng hàng khi không tồn tại đường thẳng nào chứa cả ba.
• Khi vẽ ba điểm thẳng hàng với điều kiện “một điểm nằm giữa hai điểm kia”, cần chú ý có thể có nhiều trường hợp hình vẽ (vì đề không quy định thứ tự trái-phải).

Bài mẫu 1

Đề bài: Vẽ ba điểm $M$, $N$ và $K$ thẳng hàng sao cho $M$ nằm giữa $N$ và $K$. Có mấy trường hợp hình vẽ?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Ba điểm $M$, $N$, $K$ thẳng hàng → cả ba nằm trên cùng một đường thẳng.

Bước 2: Điều kiện “$M$ nằm giữa $N$ và $K$” có nghĩa là $M$ ở giữa $N$ và $K$, tức thứ tự trên đường thẳng là: $N – M – K$ hoặc $K – M – N$.

Bước 3: Vẽ hình:

Trường hợp 1: $K$ ở bên trái, $M$ ở giữa, $N$ ở bên phải.

Trường hợp 2: $N$ ở bên trái, $M$ ở giữa, $K$ ở bên phải.

Thực chất hai trường hợp này chỉ khác nhau ở chiều nhìn (trái–phải đảo ngược), nhưng ta vẫn liệt kê cả hai vì hình vẽ khác nhau.

→ Có hai trường hợp hình vẽ.

Bài mẫu 2

Đề bài: Cho hình vẽ với bốn điểm $M$, $N$, $P$ nằm trên một đường thẳng và $Q$ nằm ngoài đường thẳng đó.

a) Tìm bộ ba điểm thẳng hàng.

b) Tìm bộ ba điểm không thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

Câu a) Bộ ba điểm thẳng hàng là ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng.

Quan sát hình vẽ: $M$, $N$, $P$ cùng nằm trên một đường thẳng.

→ Bộ ba điểm thẳng hàng: $M$, $N$ và $P$.

(Điểm $Q$ nằm ngoài đường thẳng nên không thẳng hàng với bất kỳ hai điểm nào trong ba điểm trên.)

Câu b) Bộ ba điểm không thẳng hàng là ba điểm mà không có đường thẳng nào chứa cả ba.

Vì $Q$ nằm ngoài đường thẳng chứa $M$, $N$, $P$, nên bất kỳ bộ ba nào có chứa $Q$ cùng với hai trong ba điểm $M$, $N$, $P$ đều không thẳng hàng:

• $M$, $N$ và $Q$ → không thẳng hàng.
• $M$, $P$ và $Q$ → không thẳng hàng.
• $N$, $P$ và $Q$ → không thẳng hàng.

→ Các bộ ba điểm không thẳng hàng: ($M$, $N$, $Q$); ($M$, $P$, $Q$); ($N$, $P$, $Q$).

Bài mẫu 3

Đề bài: Quan sát hình vẽ, cho biết ba điểm nào thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Quan sát hình vẽ, ta tìm những nhóm ba điểm có vẻ cùng nằm trên một đường thẳng.

Bước 2: Dùng thước thẳng kiểm tra từng nhóm:

• Đặt thước qua $A$ và $B$: kiểm tra xem $C$ có nằm trên mép thước không → Có, vậy $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.
• Đặt thước qua $A$ và $D$: kiểm tra xem $E$ có nằm trên mép thước không → Có, vậy $A$, $D$, $E$ thẳng hàng.
• Các bộ ba khác khi kiểm tra đều không nằm trên cùng một đường thẳng.

→ Ba điểm thẳng hàng: ($A$, $B$, $C$) và ($A$, $D$, $E$).

Dạng 4: Nhận biết hai đường thẳng song song và cắt nhau

Phương pháp

• Hai đường thẳng cắt nhau khi chúng có đúng một điểm chung (giao điểm). Nhìn hình vẽ: hai đường thẳng giao nhau tại một điểm.
• Hai đường thẳng song song khi chúng không có điểm chung nào. Nhìn hình vẽ: hai đường thẳng chạy cùng hướng, cách đều nhau.
• Để tìm giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau, ta xác định điểm mà cả hai đường thẳng đều đi qua.

Bài mẫu 1

Đề bài: Cho hình vẽ với hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau, cùng các điểm $K$, $P$, $I$, $N$.

a) Giao điểm của hai đường thẳng $a$ và $b$ là điểm nào?

b) Điểm $K$ thuộc đường thẳng nào và không thuộc đường thẳng nào?

Lời giải chi tiết:

Câu a) Giao điểm là điểm chung duy nhất của hai đường thẳng.

Quan sát hình, ta thấy hai đường thẳng $a$ và $b$ gặp nhau tại một điểm. Điểm đó chính là $I$ — vì $I$ nằm trên cả đường thẳng $a$ (cùng với $P$) lẫn đường thẳng $b$ (cùng với $N$).

→ Giao điểm của $a$ và $b$ là điểm $I$.

Câu b) Nhìn hình:

• Điểm $K$ nằm ngoài cả hai đường thẳng $a$ và $b$ → $K \notin a$ và $K \notin b$.

→ Điểm $K$ không thuộc đường thẳng $a$ ($K \notin a$) và không thuộc đường thẳng $b$ ($K \notin b$).

Bài mẫu 2

Đề bài: Đánh dấu ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng trên giấy.

a) Vẽ các đường thẳng đi qua hai trong ba điểm đó. Đó là những đường thẳng nào?

b) Chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau và giao điểm của chúng.

Lời giải chi tiết:

Câu a) Ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng, ta lần lượt nối từng cặp:

• Nối $A$ với $B$ → đường thẳng $AB$.
• Nối $A$ với $C$ → đường thẳng $AC$.
• Nối $B$ với $C$ → đường thẳng $BC$.

→ Có 3 đường thẳng: $AB$, $AC$, $BC$.

Câu b) Vì ba điểm không thẳng hàng nên ba đường thẳng trên đôi một cắt nhau (bất kỳ hai đường thẳng nào cũng có đúng một giao điểm):

• Đường thẳng $AB$ và đường thẳng $AC$ cắt nhau tại điểm $A$.
• Đường thẳng $AB$ và đường thẳng $BC$ cắt nhau tại điểm $B$.
• Đường thẳng $AC$ và đường thẳng $BC$ cắt nhau tại điểm $C$.

→ Ba đường thẳng đôi một cắt nhau, với các giao điểm lần lượt là $A$, $B$, $C$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ nhanh

Kí hiệu $\in$ và $\notin$: Chữ $\in$ giống chữ “E” trong “Element” (phần tử) — điểm là phần tử của đường thẳng. Gạch chéo qua ($\notin$) nghĩa là “không phải phần tử” → không thuộc.

Đếm nhanh số đường thẳng: Với $n$ điểm không có ba điểm nào thẳng hàng, số đường thẳng = $\dfrac{n \times (n-1)}{2}$. Ví dụ: 3 điểm → $\dfrac{3 \times 2}{2} = 3$ đường thẳng; 4 điểm → $\dfrac{4 \times 3}{2} = 6$ đường thẳng.

Nhớ ba trường hợp vị trí tương đối: Song song = 0 điểm chung, Cắt nhau = 1 điểm chung, Trùng nhau = vô số điểm chung. Ghi nhớ: “0 – 1 – vô số”.

Kiểm tra thẳng hàng bằng thước: Cách đơn giản nhất là đặt mép thước qua hai điểm, rồi xem điểm thứ ba có nằm trên mép thước không.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du