Đoạn thẳng là gì?

Trong đời sống, ta bắt gặp hình ảnh của đoạn thẳng ở khắp nơi: cây bút chì, chiếc đũa, quãng đường thẳng nối hai địa điểm,… Tất cả đều có chung đặc điểm: có điểm đầu và điểm cuối rõ ràng.

Hãy tưởng tượng một người đi xe đạp trên đoạn đường thẳng từ điểm $A$ đến điểm $B$. Mọi vị trí mà người đó đi qua đều nằm giữa $A$ và $B$. Tập hợp tất cả các vị trí đó cùng với hai điểm $A$, $B$ chính là một đoạn thẳng.

Đoạn thẳng $AB$ (hay đoạn thẳng $BA$) là hình gồm hai điểm $A$, $B$ và tất cả các điểm nằm giữa $A$ và $B$.

Hai điểm $A$, $B$ được gọi là hai đầu mút (hay mút) của đoạn thẳng $AB$.

Phân biệt đoạn thẳng, đường thẳng và tia:

Lưu ý quan trọng: Một điểm $C$ thuộc đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $C$ trùng với $A$, trùng với $B$, hoặc $C$ nằm giữa $A$ và $B$. Nếu $C$ nằm ngoài (không nằm giữa $A$, $B$ và cũng không trùng đầu mút) thì $C$ không thuộc đoạn thẳng $AB$.

Độ dài đoạn thẳng

Đo độ dài đoạn thẳng

Mỗi đoạn thẳng đều có một độ dài xác định. Để đo, ta dùng thước có vạch chia: đặt một đầu mút trùng với vạch $0$ của thước, đọc số ở đầu mút còn lại — đó chính là độ dài đoạn thẳng.

Khi chọn một đơn vị đo thì độ dài của mỗi đoạn thẳng được biểu diễn bằng một số dương, thường viết kèm đơn vị. Ví dụ: $AB = 23 \text{ mm}$, $CD = 4 \text{ cm}$.

Độ dài đoạn thẳng $AB$ còn được gọi là khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$. Quy ước: khoảng cách giữa hai điểm trùng nhau bằng $0$.

Đo đoạn thẳng dài hơn thước

Khi đoạn thẳng dài hơn chiếc thước, ta có thể chọn một điểm $M$ nằm giữa hai đầu mút $A$, $B$, đo riêng từng đoạn rồi cộng lại:

$$AB = AM + MB$$

Tính chất cộng độ dài

Đây là tính chất then chốt của bài:

Nếu điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$, thì: $AC = AB + BC$

Ngược lại, nếu $AB + BC = AC$ thì $B$ nằm giữa $A$ và $C$.

So sánh độ dài hai đoạn thẳng

Sau khi đo, ta có thể so sánh độ dài của hai đoạn thẳng:

• Nếu $AB$ và $EG$ có cùng độ dài → ta viết $AB = EG$ và nói hai đoạn thẳng bằng nhau.
• Nếu $AB$ có độ dài nhỏ hơn $CD$ → ta viết $AB < CD$ (hoặc $CD > AB$) và nói $AB$ ngắn hơn $CD$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết đoạn thẳng và đếm số đoạn thẳng

Phương pháp

• Đoạn thẳng được xác định bởi hai đầu mút. Vì vậy, mỗi cặp hai điểm cho ta một đoạn thẳng.
• Để đếm số đoạn thẳng trong hình, ta liệt kê tất cả các cặp hai điểm.
• Với $n$ điểm, số đoạn thẳng tối đa là: $\dfrac{n \times (n – 1)}{2}$.
• Một điểm thuộc đoạn thẳng $AB$ khi nó là đầu mút hoặc nằm giữa $A$ và $B$. Điểm nằm ngoài đoạn $AB$ (dù cùng đường thẳng) thì không thuộc đoạn thẳng $AB$.

Bài mẫu 1

Đề bài: Trên đường thẳng $a$ lấy 4 điểm phân biệt $A$, $B$, $C$, $D$ (theo thứ tự $A – B – C – D$).

a) Hỏi có mấy đoạn thẳng? Gọi tên các đoạn thẳng ấy.

b) Trên hình vẽ có điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

c) Trên hình vẽ có điểm nào thuộc đoạn thẳng $AC$, điểm nào không thuộc đoạn thẳng $AC$?

Lời giải chi tiết:

Câu a) Mỗi đoạn thẳng được xác định bởi hai đầu mút. Ta liệt kê tất cả các cặp hai điểm từ bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$:

• Cặp có $A$: $AB$, $AC$, $AD$ → 3 đoạn thẳng.
• Cặp có $B$ (chưa kể): $BC$, $BD$ → 2 đoạn thẳng.
• Cặp có $C$ (chưa kể): $CD$ → 1 đoạn thẳng.

Tổng cộng: $3 + 2 + 1 = 6$ đoạn thẳng. (Hoặc dùng công thức: $\dfrac{4 \times 3}{2} = 6$.)

→ Có 6 đoạn thẳng: $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$.

Câu b) Thứ tự các điểm trên đường thẳng là $A – B – C – D$. Ta xét từng điểm:

• Điểm $B$ nằm giữa $A$ và $C$; nằm giữa $A$ và $D$.
• Điểm $C$ nằm giữa $A$ và $D$; nằm giữa $B$ và $D$.

→ Điểm $B$ nằm giữa $(A, C)$ và $(A, D)$. Điểm $C$ nằm giữa $(A, D)$ và $(B, D)$.

Câu c) Đoạn thẳng $AC$ gồm: điểm $A$, điểm $C$, và tất cả các điểm nằm giữa $A$ và $C$.

• Điểm $B$ nằm giữa $A$ và $C$ → $B$ thuộc đoạn thẳng $AC$.
• Điểm $D$ nằm ngoài $A$ và $C$ (ở phía bên phải $C$) → $D$ không thuộc đoạn thẳng $AC$.

→ Điểm $B$ thuộc đoạn thẳng $AC$. Điểm $C$ (là đầu mút) thuộc đoạn thẳng $AC$. Điểm $D$ không thuộc đoạn thẳng $AC$.

Bài mẫu 2

Đề bài: Cho hình vẽ bên (hình bình hành $MNPQ$ với $O$ là giao điểm hai đường chéo).

a) Trên hình vẽ có bao nhiêu đoạn thẳng?

b) Điểm $M$ có nằm giữa hai điểm $Q$ và $N$ không?

c) Điểm $N$ có nằm trên đoạn thẳng $PQ$ không?

Lời giải chi tiết:

Câu a) Hình có 5 điểm: $M$, $N$, $P$, $Q$, $O$. Ta đếm tất cả các cặp hai điểm:

Số đoạn thẳng = $\dfrac{5 \times 4}{2} = 10$.

Liệt kê: $MN$, $NP$, $PQ$, $QM$, $MO$, $OQ$, $MP$, $NQ$, $NO$, $OP$.

→ Có 10 đoạn thẳng.

Câu b) Quan sát hình: $M$, $Q$, $N$ không cùng nằm trên một đường thẳng (vì $M$, $Q$ là hai đỉnh kề, không thẳng hàng với $N$). Mà “nằm giữa” chỉ xảy ra khi ba điểm thẳng hàng.

→ Điểm $M$ không nằm giữa hai điểm $Q$ và $N$ (vì ba điểm $M$, $Q$, $N$ không thẳng hàng).

Câu c) Đoạn thẳng $PQ$ gồm điểm $P$, điểm $Q$ và tất cả các điểm nằm giữa $P$, $Q$. Điểm $N$ là đỉnh khác của hình bình hành, nằm ngoài đoạn $PQ$.

→ Điểm $N$ không nằm trên đoạn thẳng $PQ$.

Bài mẫu 3

Đề bài: Cho $n$ điểm phân biệt ($n \geq 2$). Cứ qua hai điểm ta kẻ một đoạn thẳng.

a) Nếu $n = 26$ thì có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành?

b) Nếu có $300$ đoạn thẳng tạo thành thì $n$ bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

Câu a) Áp dụng công thức đếm số đoạn thẳng từ $n$ điểm:

$$\text{Số đoạn thẳng} = \dfrac{n \times (n – 1)}{2}$$

Thay $n = 26$:

$$\dfrac{26 \times 25}{2} = \dfrac{650}{2} = 325$$

→ Có 325 đoạn thẳng.

Câu b) Ta cần tìm $n$ sao cho:

$$\dfrac{n(n – 1)}{2} = 300$$

$$n(n – 1) = 600$$

Ta thử: $25 \times 24 = 600$ ✔️

→ $n = 25$.

Dạng 2: Nhận biết đoạn thẳng cắt đoạn thẳng, cắt đường thẳng

Phương pháp

• Một đường thẳng và một đoạn thẳng cắt nhau khi chúng có điểm chung.
• Hai đoạn thẳng cắt nhau khi chúng có điểm chung.
• Hai đoạn thẳng không cắt nhau khi chúng không có điểm chung nào.

Cách kiểm tra: Quan sát hình vẽ, xác định xem đường thẳng (hoặc đoạn thẳng) có đi qua điểm nào thuộc đoạn thẳng kia hay không.

Bài mẫu 1

Đề bài: Cho hình vẽ với đoạn thẳng $AB$, đường thẳng $xx’$ đi qua điểm $M$ (nằm giữa $A$ và $B$), đường thẳng $aa’$ đi qua $B$, đường thẳng $bb’$ đi qua $A$, và đường thẳng $OB$.

a) Đường thẳng $xx’$ có cắt đoạn $AB$ không?

b) Trong hai đường thẳng $aa’$, $bb’$, đường thẳng nào cắt đoạn thẳng $AB$?

c) Đường thẳng $xx’$ có cắt đoạn $OA$ không?

d) Đường thẳng $OB$ có cắt đoạn thẳng $MA$ không?

Lời giải chi tiết:

Câu a) Ta kiểm tra: đường thẳng $xx’$ và đoạn $AB$ có điểm chung không?

Quan sát hình, đường thẳng $xx’$ đi qua điểm $M$, mà $M$ nằm giữa $A$ và $B$ nên $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$.

→ Đường thẳng $xx’$ và đoạn $AB$ có điểm $M$ chung → Chúng cắt nhau.

Câu b) Kiểm tra từng đường thẳng:

• Đường thẳng $bb’$: đi qua điểm $A$. Mà $A$ là đầu mút của đoạn $AB$, nên $A$ thuộc đoạn $AB$. → Đường thẳng $bb’$ cắt đoạn $AB$.
• Đường thẳng $aa’$: đi qua điểm $B$. Mà $B$ là đầu mút của đoạn $AB$, nên $B$ thuộc đoạn $AB$. → Đường thẳng $aa’$ cắt đoạn $AB$.

→ Cả hai đường thẳng $aa’$ và $bb’$ đều cắt đoạn thẳng $AB$.

Câu c) Đường thẳng $xx’$ đi qua điểm $O$. Mà $O$ là đầu mút của đoạn $OA$, nên $O$ thuộc đoạn $OA$.

→ Đường thẳng $xx’$ và đoạn $OA$ có điểm $O$ chung → Chúng cắt nhau.

Câu d) Quan sát hình: đường thẳng $OB$ không đi qua bất kỳ điểm nào thuộc đoạn thẳng $MA$ (không có điểm chung).

→ Đường thẳng $OB$ không cắt đoạn thẳng $MA$.

Bài mẫu 2

Đề bài: Cho hình vẽ gồm hai đường thẳng cắt nhau tại $O$, trên đó có các điểm $A$, $B$, $C$, $D$.

a) Hình vẽ có mấy đoạn thẳng?

b) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau?

c) Đường thẳng $AB$ cắt những đoạn thẳng nào?

Lời giải chi tiết:

Câu a) Hình có 5 điểm: $A$, $O$, $B$, $C$, $D$. Nhưng không phải cặp nào cũng tạo ra đoạn thẳng riêng biệt trên hình. Dựa vào hình vẽ, ta liệt kê các đoạn thẳng xuất hiện:

$AB$, $CD$, $AO$, $OB$, $OC$, $OD$, $AD$, $CB$.

→ Có 8 đoạn thẳng.

Câu b) Hai đoạn thẳng không cắt nhau khi không có điểm chung. Quan sát hình:

• Đoạn $AD$ nằm ở phía trái-dưới, đoạn $CB$ nằm ở phía phải-trên. Chúng không gặp nhau.

→ Hai đoạn thẳng $AD$ và $CB$ không cắt nhau (vì không có điểm chung).

Câu c) Đường thẳng $AB$ là đường thẳng ngang đi qua $A$, $O$, $B$. Ta kiểm tra từng đoạn thẳng:

• Đoạn $CD$: đường thẳng $AB$ đi qua $O$, mà $O$ nằm giữa $C$ và $D$ nên $O$ thuộc đoạn $CD$. → Cắt đoạn $CD$ (tại $O$).
• Đoạn $CB$: đường thẳng $AB$ đi qua $B$, mà $B$ là đầu mút của đoạn $CB$. → Cắt đoạn $CB$ (tại $B$).
• Đoạn $OC$: đường thẳng $AB$ đi qua $O$. → Cắt đoạn $OC$ (tại $O$).
• Đoạn $OD$: tương tự. → Cắt đoạn $OD$ (tại $O$).
• Đoạn $AD$: đường thẳng $AB$ đi qua $A$, mà $A$ là đầu mút của đoạn $AD$. → Cắt đoạn $AD$ (tại $A$).

→ Đường thẳng $AB$ cắt các đoạn thẳng: $CD$, $CB$, $OC$, $OD$, $AD$.

Dạng 3: So sánh độ dài đoạn thẳng và tính chất cộng độ dài

Phương pháp

• Khi $B$ nằm giữa $A$ và $C$: $AB + BC = AC$.
• Khi $A$ nằm giữa $B$ và $C$: $AB + AC = BC$.
• Khi ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng: $AB + BC > AC$ (bất đẳng thức tam giác).

Tóm lại: tổng hai đoạn thẳng nhỏ bằng đoạn thẳng lớn khi ba điểm thẳng hàng (và điểm ở giữa chia đoạn lớn thành hai đoạn nhỏ). Tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại khi ba điểm tạo thành tam giác.

Bài mẫu 1

Đề bài: Lấy ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng. Vẽ 3 đoạn thẳng $AB$, $BC$, $AC$, hãy đo và so sánh:

a) $AB + AC$ và $BC$

b) $AB – AC$ và $BC$ (với $AB > AC$)

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Vẽ ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng, nối chúng thành tam giác $ABC$.

Bước 2: Dùng thước đo từng đoạn thẳng. Giả sử đo được: $AB = 5\text{ cm}$, $AC = 3\text{ cm}$, $BC = 6\text{ cm}$ (giá trị tuỳ hình vẽ cụ thể).

Câu a) So sánh $AB + AC$ và $BC$:

$$AB + AC = 5 + 3 = 8 \text{ (cm)}$$

$$BC = 6 \text{ cm}$$

$$8 > 6 \Rightarrow AB + AC > BC$$

Dù vẽ hình với kích thước khác, kết quả luôn là: $AB + AC > BC$.

Đây chính là bất đẳng thức tam giác: trong một tam giác, tổng hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn cạnh còn lại.

Câu b) So sánh $AB – AC$ và $BC$ (với $AB > AC$):

$$AB – AC = 5 – 3 = 2 \text{ (cm)}$$

$$BC = 6 \text{ cm}$$

$$2 < 6 \Rightarrow AB – AC < BC$$

→ $AB – AC < BC$. Hiệu hai cạnh luôn nhỏ hơn cạnh còn lại.

Bài mẫu 2

Đề bài: Lấy ba điểm $A$, $B$, $C$ bất kì. Vẽ 3 đoạn thẳng $AB$, $BC$, $AC$, hãy đo và cho biết khi nào:

a) $AB + BC = AC$

b) $AB + AC = BC$

c) $AB + BC > AC$

Lời giải chi tiết:

Ta xét từng trường hợp vị trí của ba điểm:

Câu a) $AB + BC = AC$ xảy ra khi nào?

Đẳng thức $AB + BC = AC$ có nghĩa là đoạn $AC$ được chia thành hai phần $AB$ và $BC$. Điều này chỉ xảy ra khi điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$.

Kiểm tra: Vẽ $A$, $B$, $C$ thẳng hàng với $B$ ở giữa. Đo: ví dụ $AB = 3\text{ cm}$, $BC = 2\text{ cm}$, $AC = 5\text{ cm}$. Ta có $3 + 2 = 5$ ✔️.

→ $AB + BC = AC$ khi $B$ nằm giữa $A$ và $C$.

Câu b) $AB + AC = BC$ xảy ra khi nào?

Tương tự, đẳng thức $AB + AC = BC$ có nghĩa là đoạn $BC$ được chia thành hai phần, với $A$ ở giữa. Điều này xảy ra khi điểm $A$ nằm giữa hai điểm $B$ và $C$.

→ $AB + AC = BC$ khi $A$ nằm giữa $B$ và $C$.

Câu c) $AB + BC > AC$ xảy ra khi nào?

Khi ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng (tức là tạo thành tam giác), tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại.

→ $AB + BC > AC$ khi ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng.

Tổng hợp:

Sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ nhanh

Đếm nhanh số đoạn thẳng: Với $n$ điểm, số đoạn thẳng = $\dfrac{n(n-1)}{2}$. Ví dụ: 3 điểm → 3 đoạn, 4 điểm → 6 đoạn, 5 điểm → 10 đoạn.

Công thức cộng độ dài: Nhớ quy tắc “giữa thì cộng” — nếu $B$ nằm giữa $A$ và $C$ thì $AC = AB + BC$. Hình dung: đoạn lớn = hai đoạn nhỏ ghép lại.

Phân biệt ba khái niệm: Đường thẳng = vô hạn hai phía. Tia = có gốc, vô hạn một phía. Đoạn thẳng = có hai đầu mút, hữu hạn.

Thước gãy: Khi đầu thước không bắt đầu từ vạch $0$, luôn nhớ lấy hiệu hai số đọc được: $AB = b – a$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du