Góc là gì?

Trong đời sống, ta thường nghe đến các khái niệm như góc nhìn, góc sút trong bóng đá, góc bắn trong quân sự,… Tất cả đều liên quan đến khái niệm góc trong Hình học.

Định nghĩa

Góc là hình gồm hai tia chung gốc. Gốc chung của hai tia gọi là đỉnh của góc, hai tia gọi là hai cạnh của góc.

Ví dụ: Góc $xOy$ (kí hiệu $\widehat{xOy}$) gồm hai tia $Ox$ và $Oy$ chung gốc $O$. Trong đó $O$ là đỉnh, $Ox$ và $Oy$ là hai cạnh.

Cách đọc tên và kí hiệu góc

Một góc có thể được gọi bằng nhiều tên:

• Gọi theo hai cạnh: góc $xOy$ hoặc góc $yOx$.
• Gọi theo ba điểm: góc $AOB$ hoặc góc $BOA$ (điểm ở giữa luôn là đỉnh).
• Gọi theo đỉnh: góc $O$ (chỉ dùng khi tại đỉnh $O$ chỉ có một góc duy nhất).

Kí hiệu: $\widehat{xOy}$, $\widehat{AOB}$, $\widehat{O}$.

Người ta thường dùng vòng cung nhỏ nối hai cạnh để đánh dấu góc trên hình vẽ.

Góc bẹt

Khi hai cạnh của góc là hai tia đối nhau, ta có góc bẹt.

Nói cách khác, góc bẹt là góc mà hai cạnh cùng nằm trên một đường thẳng và ngược hướng nhau.

Điểm trong của góc

Với một góc $\widehat{xOy}$ (không phải góc bẹt), ta gọi điểm $M$ là điểm trong (hay điểm nằm trong) góc $\widehat{xOy}$ nếu $M$ nằm ở vùng bên trong giới hạn bởi hai cạnh $Ox$ và $Oy$.

Những điểm nằm trên hai cạnh của góc hoặc nằm bên ngoài vùng giới hạn bởi hai cạnh thì không phải là điểm trong của góc.

Cách nhận biết: Nếu tia $OM$ nằm giữa hai tia $Ox$ và $Oy$ (tức là tia $OM$ cắt đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hai cạnh tại một điểm nằm giữa), thì $M$ là điểm trong của góc $\widehat{xOy}$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết góc — đọc tên, xác định đỉnh và cạnh

Phương pháp

Để đọc tên và viết kí hiệu góc:

• Bước 1: Xác định đỉnh (gốc chung của hai tia) và hai cạnh (hai tia).
• Bước 2: Viết kí hiệu: chữ cái ở giữa là đỉnh, hai chữ cái hai bên chỉ hướng của hai cạnh.

Lưu ý: Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm, chúng tạo ra 4 góc (không kể góc bẹt) và 2 góc bẹt.

Bài mẫu 1

Đề bài: Điền vào chỗ trống:

a) Góc tạo bởi hai tia $Om$ và … gọi là góc $mOn$, kí hiệu …

b) Góc $MNP$ có đỉnh là … và hai cạnh là …, … Kí hiệu là …

c) Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại điểm $O$. Các góc khác góc bẹt là: …

Lời giải chi tiết:

Câu a) Góc $mOn$ gồm hai tia $Om$ và $On$ chung gốc $O$.

→ Góc tạo bởi hai tia $Om$ và $On$ gọi là góc $mOn$, kí hiệu $\widehat{mOn}$.

Câu b) Trong tên “$MNP$”, chữ cái ở giữa là $N$ → $N$ là đỉnh. Hai cạnh là hai tia xuất phát từ $N$ đi qua $M$ và $P$.

→ Góc $MNP$ có đỉnh là $N$ và hai cạnh là $NM$, $NP$. Kí hiệu là $\widehat{MNP}$.

Câu c) Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $O$ tạo ra 4 tia: $OA$, $OB$, $OC$, $OD$. Trong đó $OA$ đối $OB$, $OC$ đối $OD$.

Các góc khác góc bẹt (ghép từng cặp tia không đối nhau):

→ $\widehat{AOC}$, $\widehat{COB}$, $\widehat{BOD}$, $\widehat{AOD}$.

Bài mẫu 2

Đề bài: Gọi $O$ là giao điểm của ba đường thẳng $xx’$, $yy’$, $zz’$.

a) Có bao nhiêu góc bẹt đỉnh $O$? Kể tên.

b) Kể tên các góc có chung đỉnh $O$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Ba đường thẳng đi qua $O$ tạo ra 6 tia: $Ox$, $Ox’$, $Oy$, $Oy’$, $Oz$, $Oz’$.

Câu a) Góc bẹt tạo bởi hai tia đối nhau. Mỗi đường thẳng cho một cặp tia đối nhau:

• $Ox$ và $Ox’$ → góc bẹt $\widehat{xOx’}$.
• $Oy$ và $Oy’$ → góc bẹt $\widehat{yOy’}$.
• $Oz$ và $Oz’$ → góc bẹt $\widehat{zOz’}$.

→ Có 3 góc bẹt đỉnh $O$.

Câu b) Tổng số góc tạo từ 6 tia chung gốc: $\dfrac{6 \times 5}{2} = 15$ góc (bao gồm cả 3 góc bẹt).

→ Có 15 góc có chung đỉnh $O$ (gồm 3 góc bẹt và 12 góc không bẹt).

Dạng 2: Đếm số góc tạo thành từ các tia chung gốc

Phương pháp

Có hai cách:

• Cách 1: Vẽ hình và liệt kê từng góc (phù hợp khi số tia ít, đề yêu cầu kể tên).
• Cách 2: Dùng công thức: Số góc tạo từ $n$ tia chung gốc = $\dfrac{n(n-1)}{2}$.

Lưu ý: Nếu đề cho đường thẳng thay vì tia, thì mỗi đường thẳng đi qua gốc tạo ra 2 tia. Ví dụ: 15 đường thẳng cùng cắt nhau tại một điểm → $15 \times 2 = 30$ tia chung gốc.

Bài mẫu 1

Đề bài:

a) Trên đường thẳng $xy$ lấy điểm $O$. Hai điểm $M$, $N$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $xy$. Vẽ tia $OM$, $ON$. Có tất cả bao nhiêu góc tạo thành? Kể tên.

b) Cho góc bẹt $\widehat{xOy}$. Các tia $Oa$, $Ob$ thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ $xy$. Có tất cả bao nhiêu góc tạo thành? Kể tên.

Lời giải chi tiết:

Câu a) Điểm $O$ trên đường thẳng $xy$ tạo ra 2 tia: $Ox$, $Oy$. Thêm 2 tia $OM$, $ON$. Tổng cộng có 4 tia chung gốc $O$.

Số góc = $\dfrac{4 \times 3}{2} = 6$.

Liệt kê 6 góc: $\widehat{xOM}$, $\widehat{xON}$, $\widehat{xOy}$, $\widehat{MON}$, $\widehat{MOy}$, $\widehat{NOy}$.

→ Có 6 góc.

Câu b) Góc bẹt $\widehat{xOy}$ cho 2 tia: $Ox$, $Oy$. Thêm 2 tia $Oa$, $Ob$. Tổng cộng có 4 tia chung gốc $O$.

Số góc = $\dfrac{4 \times 3}{2} = 6$.

Liệt kê: $\widehat{xOa}$, $\widehat{xOb}$, $\widehat{xOy}$, $\widehat{aOb}$, $\widehat{aOy}$, $\widehat{bOy}$.

→ Có 6 góc.

Bài mẫu 2

Đề bài:

a) Có bao nhiêu góc tạo thành từ 20 tia chung gốc?

b) Có bao nhiêu góc tạo thành từ 10 tia chung gốc?

Lời giải chi tiết:

Câu a) Áp dụng công thức với $n = 20$:

$$\text{Số góc} = \dfrac{20 \times (20 – 1)}{2} = \dfrac{20 \times 19}{2} = 190 \text{ (góc)}$$

→ Có 190 góc.

Câu b) Áp dụng công thức với $n = 10$:

$$\text{Số góc} = \dfrac{10 \times (10 – 1)}{2} = \dfrac{10 \times 9}{2} = 45 \text{ (góc)}$$

→ Có 45 góc.

Bài mẫu 3

Đề bài: Cho 15 đường thẳng cùng cắt nhau tại một điểm. Chúng tạo thành bao nhiêu góc?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi đường thẳng đi qua gốc chung tạo ra 2 tia. Vậy 15 đường thẳng tạo ra:

$$15 \times 2 = 30 \text{ tia chung gốc}$$

Bước 2: Áp dụng công thức với $n = 30$:

$$\text{Số góc} = \dfrac{30 \times 29}{2} = 435 \text{ (góc)}$$

→ Có 435 góc.

Dạng 3: Xác định điểm nằm trong góc

Phương pháp

Để xác định điểm $M$ có nằm trong góc $\widehat{AOB}$ hay không:

• Bước 1: Vẽ tia $OM$ (từ đỉnh góc đi qua $M$).
• Bước 2: Kiểm tra xem tia $OM$ có cắt đoạn thẳng $AB$ (nối hai điểm thuộc hai cạnh) tại một điểm nằm giữa $A$ và $B$ hay không.
• Bước 3: Nếu có → $M$ nằm trong góc. Nếu không → $M$ không nằm trong góc.

Ngoài ra, các điểm nằm trên cạnh của góc cũng không được xem là điểm trong.

Bài mẫu 1

Đề bài: Cho các điểm $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $G$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Điểm $O$ nằm ngoài đường thẳng $AG$. Kể tên các điểm:

a) Là điểm trong của $\widehat{BOE}$.

b) Không là điểm trong của $\widehat{BOE}$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định góc $\widehat{BOE}$. Góc này có đỉnh $O$, hai cạnh là tia $OB$ và tia $OE$.

Bước 2: Trên đường thẳng, thứ tự các điểm là $A – B – C – D – E – G$.

Các điểm nằm giữa $B$ và $E$ trên đường thẳng là $C$ và $D$. Khi vẽ tia $OC$, tia này cắt đoạn $BE$ tại $C$ (nằm giữa $B$ và $E$) → $C$ nằm trong góc $\widehat{BOE}$. Tương tự với $D$.

Bước 3: Kiểm tra các điểm còn lại:

• Điểm $A$: nằm ngoài đoạn $BE$ (bên trái $B$) → tia $OA$ không cắt đoạn $BE$ tại điểm nằm giữa → không là điểm trong.
• Điểm $B$: nằm trên cạnh $OB$ → không là điểm trong (điểm trên cạnh không tính).
• Điểm $E$: nằm trên cạnh $OE$ → không là điểm trong.
• Điểm $G$: nằm ngoài đoạn $BE$ (bên phải $E$) → không là điểm trong.

→ a) $C$ và $D$ là điểm trong của $\widehat{BOE}$.

→ b) $A$, $B$, $E$, $G$ không là điểm trong của $\widehat{BOE}$.

Bài mẫu 2

Đề bài: Cho điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$. Lấy điểm $O$ nằm ngoài đường thẳng đi qua $A$, $B$. Vẽ tia $OA$, $OB$, $OM$. Hỏi điểm $M$ có nằm trong góc $\widehat{AOB}$ hay không?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Vẽ hình theo đề bài. Ba tia $OA$, $OB$, $OM$ cùng chung gốc $O$.

Bước 2: Tia $OM$ cắt đoạn thẳng $AB$ tại điểm $M$.

Bước 3: Theo đề bài, $M$ nằm giữa $A$ và $B$, tức là $M$ nằm trên đoạn $AB$ và nằm giữa hai đầu mút.

Bước 4: Vì tia $OM$ cắt đoạn thẳng $AB$ (nối hai điểm thuộc hai cạnh $OA$ và $OB$) tại một điểm nằm giữa $A$ và $B$, nên theo định nghĩa, $M$ nằm trong góc $\widehat{AOB}$.

→ Điểm $M$ nằm trong góc $\widehat{AOB}$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ nhanh

Đỉnh ở giữa: Khi đọc tên góc ba chữ cái, chữ ở giữa luôn là đỉnh. Ví dụ: $\widehat{ABC}$ → đỉnh $B$.

Đếm nhanh số góc: $n$ tia chung gốc → $\dfrac{n(n-1)}{2}$ góc. Đường thẳng = 2 tia, nên nhớ nhân đôi trước.

Nhận biết điểm trong: Hình dung đứng tại đỉnh góc nhìn ra: nếu điểm nằm “bên trong” vùng nhìn giới hạn bởi hai cạnh thì đó là điểm trong.

Góc bẹt = hai tia đối nhau: Bất cứ khi nào thấy hai tia đối nhau (tạo thành đường thẳng) → đó là góc bẹt.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du