Biến Đổi Đơn Giản Và Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Thức Bậc Hai
Bốn kỹ thuật biến đổi: đưa ra ngoài, đưa vào trong, khử mẫu, trục căn thức
Ý tưởng: Tách phần "bình phương hoàn hảo" ra khỏi dấu căn để giữ lại phần đơn giản hơn bên trong.
Phải là $\sqrt{(-2)^2 \cdot 5} = |-2|\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ (kết quả luôn không âm).
🔵 Quy trình thực hiện:
a) Đưa $\sqrt{80}$ về dạng đơn giản.
b) Đưa $\sqrt{192a}$ về dạng đơn giản (với $a \geq 0$).
🔵 Khử mẫu của biểu thức lấy căn: Khi biểu thức dưới dấu căn có mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với mẫu để mẫu trở thành bình phương, rồi đưa ra ngoài.
Khử mẫu: $\sqrt{\dfrac{9}{11}}$.
Ý tưởng: Phép biến đổi ngược lại với "đưa ra ngoài". Đưa hệ số vào trong dấu căn (bằng cách bình phương nó).
Phải là $-3\sqrt{5} = -\sqrt{9 \cdot 5} = -\sqrt{45}$. Dấu trừ giữ nguyên ở ngoài căn.
a) Đưa $7\sqrt{3}$ vào trong dấu căn.
b) Đưa $-3\sqrt{a}$ vào trong dấu căn (với $a \geq 0$).
🔵 Ứng dụng — So sánh hai biểu thức chứa căn: Đưa cả hai về dạng $\sqrt{\ldots}$ rồi so sánh biểu thức dưới dấu căn.
So sánh $a = 5\sqrt{2}$ và $b = 3\sqrt{5}$.
Mục đích: Biến đổi sao cho mẫu không còn chứa căn, giúp tính toán dễ hơn. Có 3 dạng chính:
Tích của một biểu thức và liên hợp của nó luôn cho kết quả không còn căn — nhờ HĐT $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Trục căn $\dfrac{3}{5\sqrt{2}}$.
Trục căn $\dfrac{b}{2 - \sqrt{3}}$.
Trục căn $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.
Khi rút gọn biểu thức chứa căn, ta phối hợp tất cả các kỹ thuật đã học theo quy trình:
Rút gọn $A = 3\sqrt{2} - \sqrt{50} + \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2}$.
Rút gọn $\dfrac{5\sqrt{48} - 3\sqrt{27} + 2\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$.
🔵 Rút gọn biểu thức có chứa biến: Cần xác định điều kiện xác định, sau đó quy đồng mẫu, trục căn, giản ước.
Rút gọn $A = \sqrt{x}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} - \dfrac{1}{3 - \sqrt{x}}\right)$ với $x \geq 0, x \neq 9$.
| Phép biến đổi | Công thức / Cách làm |
|---|---|
| Đưa thừa số ra ngoài | $\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}$ (với $b \geq 0$) |
| Đưa thừa số vào trong | $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ nếu $a \geq 0$; $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 b}$ nếu $a < 0$ |
| Khử mẫu trong dấu căn | $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{ab}}{b}$ (với $b > 0$) |
| Trục căn (mẫu $\sqrt{B}$) | $\dfrac{A}{\sqrt{B}} = \dfrac{A\sqrt{B}}{B}$ |
| Trục căn (mẫu $\sqrt{A} \pm B$) | Nhân với liên hợp $\sqrt{A} \mp B$ |
| Trục căn (mẫu $\sqrt{A} \pm \sqrt{B}$) | Nhân với liên hợp $\sqrt{A} \mp \sqrt{B}$ |
Luyện tập biến đổi căn thức nào!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du