Định nghĩa nghiệm: Nếu thay $x = x_0$ và $y = y_0$ vào phương trình $ax + by = c$ mà ta được một khẳng định đúng (tức là $ax_0 + by_0 = c$), thì cặp số $(x_0; y_0)$ được gọi là một nghiệm của phương trình.

Số nghiệm của PT bậc nhất hai ẩn:

Xét phương trình $x + 2y = 5$. Ta biểu diễn $y$ theo $x$:

Với mỗi giá trị của $x$ ta chọn, luôn tính được đúng một giá trị $y$ tương ứng. Vì $x$ có thể lấy bất kỳ số thực nào, nên:

Nghiệm tổng quát: Cách viết tất cả các nghiệm. Với phương trình $x + 2y = 5$, nghiệm tổng quát là:

Một vài nghiệm cụ thể của phương trình $x + 2y = 5$:

Mỗi nghiệm $(x; y)$ của PT bậc nhất hai ẩn tương ứng với toạ độ của một điểm trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Khi biểu diễn tất cả các nghiệm, ta thu được một đường thẳng.

Tuỳ vào hệ số $a, b$, đường thẳng có 3 dạng:

1

$a \neq 0$ và $b \neq 0$ — Đường thẳng xiên

Đường thẳng cắt cả hai trục toạ độ.
Ví dụ: $x + 2y = 3 \Leftrightarrow y = -0{,}5x + 1{,}5$. Cho $x = 0 \Rightarrow y = 1{,}5$ → điểm $A(0; 1{,}5)$. Cho $y = 0 \Rightarrow x = 3$ → điểm $B(3; 0)$.

Hình 1.1a — Đường thẳng $x + 2y = 3$

2

$a = 0$ — Đường thẳng song song trục hoành

Phương trình $0x + by = c$ viết gọn là $y = \dfrac{c}{b}$ (giá trị $y$ luôn bằng hằng số).
Ví dụ: $0x + y = -2$, viết gọn $y = -2$. Nghiệm tổng quát: $(x; -2)$ với $x \in \mathbb{R}$.
Đường thẳng song song với $Ox$, cắt $Oy$ tại $(0; -2)$.

Hình 1.1b — Đường thẳng $y = -2$

3

$b = 0$ — Đường thẳng song song trục tung

Phương trình $ax + 0y = c$ viết gọn là $x = \dfrac{c}{a}$ (giá trị $x$ luôn bằng hằng số).
Ví dụ: $x + 0y = 3$, viết gọn $x = 3$. Nghiệm tổng quát: $(3; y)$ với $y \in \mathbb{R}$.
Đường thẳng song song với $Oy$, cắt $Ox$ tại $(3; 0)$.

Hình 1.1c — Đường thẳng $x = 3$

Định nghĩa: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn, thường viết dưới dạng:

Nghiệm của hệ phương trình: Cặp số $(x_0; y_0)$ được gọi là nghiệm của hệ nếu nó đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.

Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn biểu diễn một đường thẳng. Khi xét hệ gồm hai phương trình, nghiệm của hệ — nếu có — chính là toạ độ giao điểm hai đường thẳng tương ứng.

Trong ví dụ trên, đường thẳng $d_1: 2x - y = 0$ và $d_2: x + y = 3$ cắt nhau tại điểm $M(1; 2)$. Toạ độ giao điểm $M$ chính là nghiệm của hệ.

Hình 1.2 — Giao điểm $M(1; 2)$ là nghiệm của hệ

🔵 Dạng 1 — Viết nghiệm tổng quát và biểu diễn hình học:

🟢 Dạng 2 — Kiểm tra một cặp số có là nghiệm của hệ:

🟣 Dạng 3 — Lập hệ PT từ bài toán thực tế: