Một Số Hệ Thức Giữa Cạnh, Góc Trong Tam Giác Vuông Và Ứng Dụng
Định lí 1, Định lí 2, giải tam giác vuông và bài toán thực tế
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với cạnh huyền $BC = a$, hai cạnh góc vuông $AC = b$, $AB = c$.
Từ định nghĩa tỉ số lượng giác: $\sin B = \dfrac{b}{a}$ và $\cos C = \dfrac{b}{a}$, suy ra:
Một trực thăng bay với vận tốc $600$ km/h, đường bay tạo với phương ngang một góc $30°$. Hỏi sau $2$ phút, trực thăng lên cao bao nhiêu km theo phương thẳng đứng?
Bước 1 — Tính quãng đường bay $AB$:
Bước 2 — Áp dụng Định lí 1:
Kết luận: Sau $2$ phút, trực thăng lên cao được $10$ km.
Vẫn xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ như trên. Từ định nghĩa: $\tan B = \dfrac{b}{c}$ và $\cot C = \dfrac{b}{c}$, suy ra:
• $\tan, \cot$ chỉ liên hệ hai cạnh góc vuông.
• $\sin, \cos$ liên hệ cạnh góc vuông với cạnh huyền (Định lí 1).
Tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc $40°$. Bóng của một cột đèn trên mặt đất dài $12$ m. Tính chiều cao của cột đèn (làm tròn đến mét).
Bước 1 — Phân tích:
Bước 2 — Áp dụng:
Kết luận: Chiều cao cột đèn khoảng $10$ m.
Giải tam giác vuông là bài toán tìm tất cả các cạnh và góc còn lại khi biết trước hai yếu tố (hai cạnh, hoặc một cạnh và một góc nhọn).
🔵 Bảng cách giải theo từng trường hợp:
| Cho biết | Cách tìm các yếu tố còn lại |
|---|---|
| Hai cạnh góc vuông $b$ và $c$ | $\tan B = \dfrac{b}{c}$ → tìm $\widehat{B}$ → $\widehat{C} = 90° - \widehat{B}$ → $a = \sqrt{b^2 + c^2}$ |
| Cạnh huyền $a$ và một cạnh góc vuông $b$ | $\sin B = \dfrac{b}{a}$ → tìm $\widehat{B}$ → $\widehat{C} = 90° - \widehat{B}$ → $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ |
| Một cạnh góc vuông $c$ và một góc nhọn $\widehat{B}$ | $\widehat{C} = 90° - \widehat{B}$ → $b = c \cdot \tan B$ → $a = \dfrac{c}{\cos B}$ |
| Cạnh huyền $a$ và một góc nhọn $\widehat{B}$ | $\widehat{C} = 90° - \widehat{B}$ → $b = a \sin B$ → $c = a \cos B$ |
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6$, $AC = 10$. Tính cạnh $BC$ và các góc $B$, $C$ (góc làm tròn đến độ).
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5$, $\widehat{B} = 50°$. Tính góc $C$ và các cạnh $AC$, $BC$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
Các bài toán đo chiều cao, tính khoảng cách, tính góc nghiêng... thường được mô hình hoá bằng tam giác vuông.
🔵 Phương pháp giải 4 bước:
Tính góc nghiêng $\alpha$ của thùng xe chở rác, biết cạnh xiên của thùng dài $5$ m và cạnh đáy nằm ngang dài $4$ m (làm tròn đến độ).
Kết luận: Góc nghiêng thùng xe khoảng $37°$.
Để đo chiều cao một toà lâu đài, người ta đặt giác kế tại $M$ ngắm đỉnh $P'$ dưới góc $\alpha = 27°$. Lùi ra điểm $N$ với $NM = 20$ m, ngắm đỉnh dưới góc $\beta = 19°$. Biết chiều cao giác kế là $1{,}6$ m. Tính chiều cao toà lâu đài (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Bước 1 — Lập hệ thức:
Bước 2 — Tính $P'H$:
Bước 3 — Cộng chiều cao giác kế:
Kết luận: Toà lâu đài cao khoảng $22{,}84$ m.
| Định lí | Công thức (tam giác $ABC$ vuông tại $A$) |
|---|---|
| Định lí 1 — cạnh huyền | $b = a \sin B = a \cos C$ $c = a \sin C = a \cos B$ |
| Định lí 2 — hai cạnh góc vuông | $b = c \tan B = c \cot C$ $c = b \tan C = b \cot B$ |
| Dạng bài | Kiến thức áp dụng |
|---|---|
| Tính cạnh khi biết cạnh huyền + góc | Định lí 1 ($\sin$, $\cos$) |
| Tính cạnh khi biết cạnh góc vuông + góc | Định lí 2 ($\tan$, $\cot$) |
| Giải tam giác vuông | Pythagore + Định lí 1, 2 + TSLG |
| Bài toán thực tế | Mô hình hoá → tam giác vuông → áp dụng định lí phù hợp |
Luyện tập hệ thức cạnh-góc tam giác vuông!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du