Lớp 9 · Toán
Bài 31
Hình Trụ Và Hình Nón
Khái niệm, các yếu tố, diện tích xung quanh và thể tích
1
Hình trụ — Khái niệm và các yếu tố
▼
Trong đời sống, nhiều đồ vật có dạng hình trụ như đèn lồng, hộp sữa, lon nước ngọt, ống cống, cây nến, …
📐 Định nghĩa hình trụ
Hình trụ được tạo thành khi quay một hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh cố định.
Hình 1: Hình trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật $O'ABO$ quanh cạnh $OO'$
Cụ thể, khi quay hình chữ nhật $O'ABO$ một vòng quanh cạnh $OO'$ cố định, ta được một hình trụ trong đó:
→Hai đáy là hai hình tròn bằng nhau: $(O';\,O'A)$ và $(O;\,OB)$.
→Đường sinh là mỗi vị trí của cạnh $AB$ khi quay. Hình trụ có vô số đường sinh bằng nhau.
→Bán kính đáy: $R = O'A = OB$.
→Chiều cao: $h = OO'$ (khoảng cách giữa hai đáy).
🔵 Bảng tóm tắt các yếu tố:
| Yếu tố | Kí hiệu | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| Chiều cao | $h = OO'$ | Khoảng cách giữa hai đáy |
| Bán kính đáy | $R = OB$ | Bán kính của hình tròn đáy |
| Đường sinh | $l = AB$ | Đoạn nối hai điểm tương ứng trên hai đáy |
📌Chú ý quan trọng: Ở hình trụ, đường sinh luôn bằng chiều cao:
$l = h$
$l = h$
🔵 Hình khai triển của hình trụ: Nếu cắt rời hai đáy và cắt mặt bên theo một đường sinh rồi trải phẳng, ta được:
①Hai hình tròn bằng nhau (hai đáy), bán kính $R$.
②Một hình chữ nhật (mặt xung quanh): một cạnh bằng chiều cao $h$, cạnh còn lại bằng chu vi đáy $2\pi R$.
2
Diện tích xung quanh và thể tích hình trụ
▼
Vì mặt xung quanh khi trải phẳng là hình chữ nhật có hai cạnh bằng $2\pi R$ và $h$, nên:
⭐ Diện tích xung quanh hình trụ
$S_{xq} = 2\pi R h$
⭐ Thể tích hình trụ
$V = S_{\text{đáy}} \cdot h = \pi R^2 h$
⭐ Diện tích toàn phần hình trụ
Bao gồm mặt xung quanh + 2 đáy:
$S_{tp} = S_{xq} + 2 S_{\text{đáy}}$
$= 2\pi R h + 2\pi R^2 = 2\pi R(h + R)$
$= 2\pi R h + 2\pi R^2 = 2\pi R(h + R)$
Ví dụ — Thùng chứa hình trụ
Bác Hùng dự định sơn lại một thùng chứa đồ có dạng hình trụ (sơn mặt ngoài và một đáy là nắp) có bán kính đáy $R = 9$ cm, chiều cao $h = 25$ cm. Tính diện tích phần cần sơn và thể tích thùng.
①$S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 9 \cdot 25 = 450\pi$ (cm²)
②$S_{\text{đáy}} = \pi R^2 = \pi \cdot 9^2 = 81\pi$ (cm²)
③Diện tích cần sơn (mặt xung quanh + 1 đáy):
$S = 450\pi + 81\pi = 531\pi$ (cm²)
$S = 450\pi + 81\pi = 531\pi$ (cm²)
④Thể tích: $V = \pi R^2 h = \pi \cdot 81 \cdot 25 = 2025\pi \approx 6362$ (cm³)
3
Hình nón — Khái niệm và các yếu tố
▼
Trong đời sống, nhiều đồ vật có dạng hình nón như nón lá, kem ốc quế, mũ sinh nhật, đống muối thành đống trên cánh đồng, …
📐 Định nghĩa hình nón
Hình nón được tạo thành khi quay một tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định.
Hình 2: Hình nón tạo thành khi quay $\triangle SOA$ vuông tại $O$ quanh cạnh $SO$
Cụ thể, khi quay tam giác $SOA$ vuông tại $O$ một vòng quanh cạnh $SO$, ta được một hình nón đỉnh $S$ trong đó:
→Đỉnh: điểm $S$ (đỉnh hình nón).
→Đáy là hình tròn $(O;\,OA)$.
→Bán kính đáy: $r = OA$.
→Đường sinh là mỗi vị trí của cạnh $SA$ khi quay. Hình nón có vô số đường sinh bằng nhau, $l = SA$.
→Đường cao (chiều cao): $h = SO$ — khoảng cách từ đỉnh $S$ đến tâm $O$ của đáy.
🔵 Bảng tóm tắt các yếu tố:
| Yếu tố | Kí hiệu | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| Đỉnh | $S$ | Điểm trên cùng của hình nón |
| Chiều cao | $h = SO$ | Khoảng cách từ đỉnh $S$ đến tâm đáy $O$ |
| Đường sinh | $l = SA$ | Đoạn nối từ đỉnh $S$ đến điểm trên đường tròn đáy |
| Bán kính đáy | $r = OA$ | Bán kính đường tròn đáy |
⚡ Hệ thức Pythagore quan trọng
Tam giác $SOA$ vuông tại $O$, theo định lí Pythagore:
$l^2 = h^2 + r^2$
⚡ Bộ ba Pythagore quen thuộc
Khi gặp hình nón, các bộ ba $(r, h, l)$ thường gặp:
Nhận ra bộ ba giúp tính nhanh mà không cần khai căn.
$(3,\,4,\,5)$
$(5,\,12,\,13)$
$(6,\,8,\,10)$
$(8,\,15,\,17)$
$(9,\,12,\,15)$
🔵 Hình khai triển của hình nón: Nếu cắt rời đáy và cắt mặt xung quanh theo một đường sinh rồi trải phẳng, ta được:
①Một hình tròn (đáy), bán kính $r$.
②Một hình quạt tròn (mặt xung quanh): bán kính bằng đường sinh $l$, độ dài cung bằng chu vi đáy $2\pi r$.
4
Diện tích xung quanh và thể tích hình nón
▼
⭐ Diện tích xung quanh hình nón
(dùng đường sinh $l$, không phải $h$):
$S_{xq} = \pi r l$
⭐ Thể tích hình nón
(dùng chiều cao $h$, có hệ số $\dfrac{1}{3}$):
$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
⭐ Diện tích toàn phần hình nón
Bao gồm mặt xung quanh + 1 đáy:
$S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r)$
⚠️Lưu ý quan trọng — đừng quên hệ số $\dfrac{1}{3}$:
Thể tích hình nón bằng $\dfrac{1}{3}$ thể tích hình trụ có cùng bán kính đáy và chiều cao. Nhiều bạn quên hệ số này dẫn đến kết quả sai.
Thể tích hình nón bằng $\dfrac{1}{3}$ thể tích hình trụ có cùng bán kính đáy và chiều cao. Nhiều bạn quên hệ số này dẫn đến kết quả sai.
💡Phân biệt $l$ và $h$ trong hình nón:
• $S_{xq} = \pi r \mathbf{l}$ — dùng đường sinh.
• $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \mathbf{h}$ — dùng chiều cao.
• Khi đề cho thiếu, dùng $l^2 = h^2 + r^2$ để tính yếu tố còn lại.
• $S_{xq} = \pi r \mathbf{l}$ — dùng đường sinh.
• $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \mathbf{h}$ — dùng chiều cao.
• Khi đề cho thiếu, dùng $l^2 = h^2 + r^2$ để tính yếu tố còn lại.
Ví dụ — Hình nón biết $r$ và $l$
Cho hình nón có đường sinh $l = 15$ cm, bán kính đáy $r = 9$ cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích.
①$S_{xq} = \pi r l = \pi \cdot 9 \cdot 15 = 135\pi$ (cm²)
②Tìm $h$ qua Pythagore: $h^2 = l^2 - r^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$ $\Rightarrow h = 12$ cm.
→(Bộ ba Pythagore $(9, 12, 15)$ — nhân ba của $(3, 4, 5)$.)
③$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 81 \cdot 12 = 324\pi$ (cm³)
5
So sánh hình trụ – hình nón & Bảng tổng hợp
▼
🔵 So sánh nhanh hình trụ và hình nón:
⬛ Hình trụ
Tạo bởiQuay hình chữ nhật quanh 1 cạnh
Có2 đáy bằng nhau (hai hình tròn)
Đường sinh$l = h$ (bằng chiều cao)
$S_{xq}$$2\pi R h$
$V$$\pi R^2 h$
$S_{tp}$$2\pi R(h + R)$
▲ Hình nón
Tạo bởiQuay tam giác vuông quanh 1 cạnh góc vuông
Có1 đỉnh + 1 đáy (hình tròn)
Đường sinh$l^2 = h^2 + r^2$ (Pythagore)
$S_{xq}$$\pi r l$
$V$$\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
$S_{tp}$$\pi r(l + r)$
🔵 Bảng tổng hợp công thức:
| Công thức | Hình trụ | Hình nón |
|---|---|---|
| Diện tích xung quanh | $S_{xq} = 2\pi R h$ | $S_{xq} = \pi r l$ |
| Thể tích | $V = \pi R^2 h$ | $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ |
| Diện tích toàn phần | $S_{tp} = 2\pi R(h + R)$ | $S_{tp} = \pi r(l + r)$ |
⚡ Mối liên hệ thể tích trụ – nón
Hình trụ và hình nón có cùng bán kính đáy, cùng chiều cao thì:
$V_{\text{nón}} = \dfrac{1}{3} V_{\text{trụ}}$
Đây là cách kiểm tra nhanh: nếu tính ra $V_{\text{nón}} > V_{\text{trụ}}$ thì chắc chắn sai!
🔵 Hình ghép trụ – nón (đồ vật thực tế):
💡Nhiều dụng cụ trong đời sống được ghép từ hình trụ và hình nón (ví dụ: lọ thí nghiệm, bình nước, mũ kem). Khi tính:
• Thể tích: $V = V_{\text{trụ}} + V_{\text{nón}}$.
• Diện tích mặt ngoài: chỉ cộng các mặt thực sự lộ ra ngoài, KHÔNG tính mặt ghép giữa trụ và nón (mặt này nằm bên trong).
• Thể tích: $V = V_{\text{trụ}} + V_{\text{nón}}$.
• Diện tích mặt ngoài: chỉ cộng các mặt thực sự lộ ra ngoài, KHÔNG tính mặt ghép giữa trụ và nón (mặt này nằm bên trong).
6
Phương pháp giải các dạng toán
▼
🔵 Dạng 1 — Nhận biết các yếu tố hình trụ / hình nón
1
Đọc đề: hình trụ tạo bởi quay hình chữ nhật; hình nón tạo bởi quay tam giác vuông.
2
Xác định trục quay $\Rightarrow$ chiều cao; cạnh vuông góc với trục $\Rightarrow$ bán kính đáy.
3
Với hình nón: cạnh huyền $\Rightarrow$ đường sinh $l$. Quan hệ $l^2 = h^2 + r^2$.
🔵 Dạng 2 — Tính $S_{xq}$, $V$, $S_{tp}$ hình trụ
Xác định
$R$, $h$
$R$, $h$
→
Áp dụng
$2\pi Rh$
$2\pi Rh$
→
Áp dụng
$\pi R^2 h$
$\pi R^2 h$
→
$2\pi R(h+R)$
📌Bài toán ngược: đề cho $S_{xq}$ hoặc $V$, yêu cầu tìm $h$ hoặc $R$ $\Rightarrow$ thay vào công thức và giải phương trình.
Ví dụ: $S_{xq} = 192\pi$, $R = 8$ $\Rightarrow$ $192\pi = 2\pi \cdot 8 \cdot h$ $\Rightarrow$ $h = 12$ cm.
Ví dụ: $S_{xq} = 192\pi$, $R = 8$ $\Rightarrow$ $192\pi = 2\pi \cdot 8 \cdot h$ $\Rightarrow$ $h = 12$ cm.
🔵 Dạng 3 — Tính $S_{xq}$, $V$ hình nón (cần Pythagore)
1
Xác định 2 trong 3 yếu tố $r$, $h$, $l$ từ đề bài.
2
Tính yếu tố còn thiếu bằng Pythagore:
• Có $r, l$: $h = \sqrt{l^2 - r^2}$
• Có $r, h$: $l = \sqrt{h^2 + r^2}$
• Có $h, l$: $r = \sqrt{l^2 - h^2}$
• Có $r, l$: $h = \sqrt{l^2 - r^2}$
• Có $r, h$: $l = \sqrt{h^2 + r^2}$
• Có $h, l$: $r = \sqrt{l^2 - h^2}$
3
Áp dụng: $S_{xq} = \pi r l$ (dùng $l$); $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ (dùng $h$).
🔵 Dạng 4 — Quay hình phẳng tạo hình trụ / hình nón
→Quay hình chữ nhật quanh 1 cạnh $\Rightarrow$ hình trụ. Cạnh trên trục quay = chiều cao; cạnh kề = bán kính.
→Quay tam giác vuông quanh 1 cạnh góc vuông $\Rightarrow$ hình nón. Cạnh góc vuông trên trục = chiều cao; cạnh góc vuông kia = bán kính; cạnh huyền = đường sinh.
🔵 Dạng 5 — Bài toán thực tế
1
Đọc kĩ đề: thùng chứa, lon nước, bóng đèn, cây lăn sơn… đều là dạng hình trụ.
2
Nếu đề cho đường kính $d$, phải lấy bán kính $R = \dfrac{d}{2}$.
3
Đổi đơn vị về cùng hệ: $1$ m $= 100$ cm; $1$ m³ $= 1\,000\,000$ cm³ $= 1000$ lít.
4
Hình trụ khít trong hộp chữ nhật đáy vuông $\Rightarrow$ đường kính đáy $=$ cạnh hộp; chiều cao trụ $=$ chiều dài hộp.
🔵 Dạng 6 — Hình ghép trụ + nón
1
Tách dụng cụ thành phần trụ và phần nón. Xác định kích thước từng phần.
2
Tính riêng từng phần: $V_{\text{trụ}} = \pi R^2 h_1$, $V_{\text{nón}} = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h_2$.
3
$V_{\text{toàn bộ}} = V_{\text{trụ}} + V_{\text{nón}}$. Diện tích mặt ngoài = $S_{xq,\text{trụ}} + S_{xq,\text{nón}}$ + đáy lộ ra (nếu có), không tính mặt ghép.
⚡Tổng kết Bài 31:
• Hình trụ: $S_{xq} = 2\pi R h$, $V = \pi R^2 h$, $S_{tp} = 2\pi R(h+R)$.
• Hình nón: $S_{xq} = \pi r l$, $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$, $S_{tp} = \pi r(l+r)$.
• Hình nón: $l^2 = h^2 + r^2$ — luôn dùng Pythagore khi thiếu yếu tố.
• Lưu ý đặc biệt: thể tích hình nón có hệ số $\dfrac{1}{3}$, $S_{xq}$ hình nón dùng $l$ (không phải $h$).
• $V_{\text{nón}} = \dfrac{1}{3} V_{\text{trụ}}$ khi cùng đáy, cùng chiều cao.
📚
Xem thêm: Lý thuyết đầy đủ + Mẹo giải nhanh + Sai lầm thường gặp tại Edus.vn
• Hình trụ: $S_{xq} = 2\pi R h$, $V = \pi R^2 h$, $S_{tp} = 2\pi R(h+R)$.
• Hình nón: $S_{xq} = \pi r l$, $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$, $S_{tp} = \pi r(l+r)$.
• Hình nón: $l^2 = h^2 + r^2$ — luôn dùng Pythagore khi thiếu yếu tố.
• Lưu ý đặc biệt: thể tích hình nón có hệ số $\dfrac{1}{3}$, $S_{xq}$ hình nón dùng $l$ (không phải $h$).
• $V_{\text{nón}} = \dfrac{1}{3} V_{\text{trụ}}$ khi cùng đáy, cùng chiều cao.
1
—
Điểm: 0/20
🎯
Cùng luyện tập về Hình trụ & Hình nón!
20 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/20
💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du