Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
Định nghĩa, công thức nghiệm $\Delta$, công thức thu gọn $\Delta'$ và bài toán thực tế
Phương trình bậc hai một ẩn (gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:
🔵 Vai trò các hệ số:
(của $x^2$)
(của $x$)
(không chứa $x$)
🔵 Đưa PT về dạng chuẩn $ax^2 + bx + c = 0$: Khi PT chưa ở dạng chuẩn, ta cần khai triển, chuyển vế, thu gọn để đưa về dạng chuẩn.
Đưa PT $3x^2 + 2x - 1 = x^2 - x$ về dạng $ax^2 + bx + c = 0$.
Khi PT bậc hai khuyết một số hạng, ta có thể giải nhanh dựa trên hai nguyên tắc:
① Nếu $A \cdot B = 0$ thì $A = 0$ hoặc $B = 0$.
② Nếu $A^2 = B$ ($B \geq 0$) thì $A = \sqrt{B}$ hoặc $A = -\sqrt{B}$.
🔵 Công thức nghiệm tổng quát: Cho PT $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$). Tính biệt thức:
Số nghiệm của PT phụ thuộc dấu của $\Delta$:
a) $x^2 - 8x + 16 = 0$: $\Delta = 64 - 64 = 0$ → nghiệm kép $x = 4$.
b) $3x^2 + 2x + 4 = 0$: $\Delta = 4 - 48 = -44 < 0$ → vô nghiệm.
🔵 Công thức nghiệm thu gọn (khi $b$ chẵn): Nếu $b = 2b'$, đặt:
• Khi $b$ là số chẵn (chia hết cho 2).
• Khi $b$ chứa $\sqrt{\;\;}$ mà chia 2 ra gọn hơn.
→ Tính nhanh hơn so với dùng $\Delta$ thông thường.
🔵 PT bậc hai chứa tham số: Để tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho PT có nghiệm/vô nghiệm/nghiệm kép, ta tính $\Delta$ theo $m$ rồi xét dấu.
Tìm $m$ để PT $x^2 - 3x + 2m = 0$ vô nghiệm.
🔵 Sử dụng máy tính cầm tay (MTCT): Bấm chuỗi phím để chuyển sang chế độ giải PT bậc hai:
Sau đó nhập lần lượt 3 hệ số $a, b, c$, mỗi lần bấm $\boxed{=}$.
🔵 Phương pháp giải bài toán thực tế bằng PT bậc hai:
Mảnh đất hình chữ nhật kích thước $28$ m × $16$ m. Người ta làm một bể bơi có đường đi xung quanh. Tìm bề rộng đường đi để diện tích bể bơi là $288$ m².
Bước 1 — Gọi ẩn: Gọi $x$ (m) là bề rộng đường đi. Điều kiện $0 < x < 8$.
Bước 2 — Lập PT: Bể bơi có chiều dài $28 - 2x$ và chiều rộng $16 - 2x$. Diện tích = $288$:
Bước 3 — Giải PT: $\Delta = 484 - 160 = 324 = 18^2$.
Kết luận: Bề rộng đường đi là $2$ m.
| Nội dung | Công thức / Kiến thức |
|---|---|
| Định nghĩa PT bậc hai | $ax^2 + bx + c = 0$ với $a \neq 0$ |
| Biệt thức $\Delta$ | $\Delta = b^2 - 4ac$ |
| $\Delta > 0$ | Hai nghiệm: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ |
| $\Delta = 0$ | Nghiệm kép: $x = -\dfrac{b}{2a}$ |
| $\Delta < 0$ | Vô nghiệm |
| Công thức thu gọn (khi $b$ chẵn) | $\Delta' = b'^2 - ac$, nghiệm: $x = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}$ |
| Dạng PT đặc biệt | Cách giải nhanh |
|---|---|
| Khuyết $c$: $ax^2 + bx = 0$ | Đặt nhân tử chung $x$: $x(ax + b) = 0$ |
| Khuyết $b$: $ax^2 + c = 0$ | Đưa về $x^2 = k$, xét dấu $k$ |
| Dạng $(x + p)^2 = q$ ($q \geq 0$) | $x = -p \pm \sqrt{q}$ |
| Hoàn thành bình phương | Cộng $\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$ vào hai vế |
Luyện tập PT bậc hai một ẩn nào!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du