Menu Học Tập

Bài tập Toán 9 Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai (25 bài tập)

Lớp 9 · Toán Bài 7

Căn Bậc Hai Và Căn Thức Bậc Hai

Khái niệm căn bậc hai, căn thức bậc hai và các hằng đẳng thức

1
Khái niệm căn bậc hai
▼

Định nghĩa: Căn bậc hai của một số thực không âm $a$ là số thực $x$ sao cho $x^2 = a$.

Định nghĩa
$x$ là căn bậc hai của $a$ ($a \geq 0$) $\Leftrightarrow x^2 = a$

🔵 Số căn bậc hai của một số:

!
Số âm ($a < 0$): KHÔNG có căn bậc hai
Vì bình phương của mọi số thực luôn không âm: $x^2 \geq 0$ với mọi $x$. Ví dụ: $\sqrt{-4}$ không tồn tại.
0
Số 0: có đúng một căn bậc hai là $0$
$\sqrt{0} = 0$ vì $0^2 = 0$.
+
Số dương ($a > 0$): có đúng hai căn bậc hai đối nhau
$\sqrt{a}$ — căn bậc hai số học (luôn dương).
$-\sqrt{a}$ — căn bậc hai âm.
Ví dụ: $25$ có hai CBH là $5$ và $-5$, vì $5^2 = 25$ và $(-5)^2 = 25$.
⚠️Phân biệt cực kỳ quan trọng:
• Hai căn bậc hai của $25$ là $5$ và $-5$ (hai giá trị).
• Kí hiệu $\sqrt{25}$ chỉ trả về giá trị dương: $\sqrt{25} = 5$ (KHÔNG phải $\pm 5$).
$\sqrt{a}$ luôn không âm với $a \geq 0$.
Ví dụ 1 — Tìm căn bậc hai của số chính phương

Tìm các căn bậc hai của $64$.

→Ta có $\sqrt{64} = 8$ (vì $8^2 = 64$).
→$64$ có hai căn bậc hai: $\sqrt{64} = 8$ và $-\sqrt{64} = -8$.
🧮Dùng máy tính cầm tay: Bấm phím $\sqrt{\phantom{x}}$ rồi nhập số $a$, bấm $=$ để xem kết quả. Nhớ làm tròn theo yêu cầu đề bài.
Ví dụ 2 — Dùng MTCT

Tính căn bậc hai của $13{,}5$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

→Bấm MTCT: $\sqrt{13{,}5} \approx 3{,}67423...$
→Làm tròn: $\sqrt{13{,}5} \approx 3{,}67$.
→Vậy $13{,}5$ có hai căn bậc hai (làm tròn) là $3{,}67$ và $-3{,}67$.
2
Hằng đẳng thức $\sqrt{a^2} = |a|$
▼

Với mọi số thực $a$, ta có hằng đẳng thức quan trọng:

Hằng đẳng thức
$\sqrt{a^2} = |a|$
Căn bậc hai số học của $a^2$ luôn bằng giá trị tuyệt đối của $a$

🔵 Cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

$a \geq 0$ thì $|a| = a$
$a < 0$ thì $|a| = -a$ (đổi dấu)
⚠️Sai lầm cực kỳ phổ biến: Nhiều bạn viết $\sqrt{(-3)^2} = -3$ — SAI!
Phải là: $\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$. Kết quả của $\sqrt{...}$ luôn không âm.
Ví dụ 3 — Áp dụng hằng đẳng thức

a) Tính $\sqrt{6^2}$ và $\sqrt{(-5)^2}$.

→$\sqrt{6^2} = |6| = 6$ (vì $6 \geq 0$).
→$\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$ (vì $-5 < 0$ nên $|-5| = -(-5) = 5$).

b) Tính $3 - \sqrt{5} + \sqrt{(3 + \sqrt{5})^2}$.

→$\sqrt{(3 + \sqrt{5})^2} = |3 + \sqrt{5}|$.
→Vì $3 + \sqrt{5} > 0$ nên $|3 + \sqrt{5}| = 3 + \sqrt{5}$.
→Biểu thức: $3 - \sqrt{5} + (3 + \sqrt{5}) = 6$.

🔵 So sánh số $a$ với $\sqrt{b}$: Đưa $a$ về dạng căn $a = \sqrt{a^2}$ rồi so sánh $a^2$ với $b$.

Ví dụ — So sánh $3$ với $\sqrt{10}$
→Đưa $3 = \sqrt{9}$.
→So sánh: $9 < 10 \Rightarrow \sqrt{9} < \sqrt{10}$.
→Vậy $3 < \sqrt{10}$.
3
Căn thức bậc hai và điều kiện xác định
▼

🔵 Tình huống dẫn đến căn thức: Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB = 3$ cm, $AC = x$ cm. Áp dụng định lí Pythagore:

B C A 3 x $\sqrt{x^2+9}$

Ta có $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9 + x^2}$. Biểu thức $\sqrt{x^2 + 9}$ là một căn thức bậc hai.

Định nghĩa
Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng $\sqrt{A}$
trong đó $A$ là một biểu thức đại số.
$A$ được gọi là biểu thức dưới dấu căn (hay biểu thức lấy căn).

🔵 Điều kiện xác định (ĐKXĐ): $\sqrt{A}$ chỉ xác định khi $A$ không âm:

ĐKXĐ của $\sqrt{A}$
$A \geq 0$
📌Cách tìm ĐKXĐ:
Bước 1: Cho biểu thức dưới dấu căn $\geq 0$.
Bước 2: Giải bất phương trình để tìm điều kiện của biến.

Lưu ý: ĐKXĐ là $A \geq 0$ (KHÔNG phải $A > 0$) — tức là $A$ có thể bằng $0$.
Ví dụ 4 — Tìm ĐKXĐ và tính giá trị

Cho căn thức $\sqrt{3x - 2}$.

a) Tìm ĐKXĐ:

→$3x - 2 \geq 0 \Leftrightarrow 3x \geq 2 \Leftrightarrow x \geq \dfrac{2}{3}$.

b) Tính tại $x = 1$ và $x = 6$:

→$x = 1$: thoả ĐKXĐ ($1 \geq \dfrac{2}{3}$). $\sqrt{3 \cdot 1 - 2} = \sqrt{1} = 1$.
→$x = 6$: thoả ĐKXĐ. $\sqrt{3 \cdot 6 - 2} = \sqrt{16} = 4$.
4
Hằng đẳng thức với căn thức bậc hai — Rút gọn biểu thức
▼

Khi $A$ là một biểu thức đại số, ta có hai hằng đẳng thức then chốt để rút gọn:

Khi $A \geq 0$
$(\sqrt{A})^2 = A$
Bình phương của căn → bằng chính biểu thức dưới dấu căn
Với mọi $A$
$\sqrt{A^2} = |A|$
Căn của bình phương → bằng giá trị tuyệt đối
💡Cách phân biệt 2 hằng đẳng thức:
• Nếu thấy $(\sqrt{...})^2$ → căn ở trong, bình phương ở ngoài → dùng $(\sqrt{A})^2 = A$.
• Nếu thấy $\sqrt{(...)^2}$ → bình phương ở trong, căn ở ngoài → dùng $\sqrt{A^2} = |A|$.

🔵 Quy trình rút gọn biểu thức chứa $\sqrt{A^2}$:

1
Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng $A^2$ (dùng hằng đẳng thức đáng nhớ: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$).
2
Áp dụng $\sqrt{A^2} = |A|$.
3
Xét dấu $A$ theo điều kiện đề bài để bỏ trị tuyệt đối: $A \geq 0 \Rightarrow |A| = A$; $A < 0 \Rightarrow |A| = -A$.
Ví dụ 5 — Rút gọn cơ bản

a) Rút gọn $(\sqrt{3 - x})^2$ với $x < 0$.

→Vì $x < 0$ nên $3 - x > 3 > 0$ (biểu thức dưới dấu căn không âm).
→Áp dụng $(\sqrt{A})^2 = A$ với $A = 3 - x$:
→$(\sqrt{3 - x})^2 = 3 - x$.

b) Rút gọn $\sqrt{9 - 6x + x^2}$ với $x > 4$.

B1.Nhận thấy $9 - 6x + x^2 = (3 - x)^2$ (HĐT $a^2 - 2ab + b^2$).
B2.$\sqrt{(3 - x)^2} = |3 - x|$.
B3.Vì $x > 4$ nên $3 - x < 0 \Rightarrow |3 - x| = -(3 - x) = x - 3$.
→Vậy $\sqrt{9 - 6x + x^2} = x - 3$ với $x > 4$.
Ví dụ 6 — Rút gọn biểu thức nhiều hạng tử

Rút gọn $x + \sqrt{4x^2 - 4x + 1}$ tại $x = -2{,}5$.

B1.$4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2$ → $\sqrt{(2x-1)^2} = |2x - 1|$.
B2.Tại $x = -2{,}5$: $2x - 1 = -6 < 0 \Rightarrow |2x - 1| = 1 - 2x$.
B3.Biểu thức: $x + (1 - 2x) = 1 - x$. Thay $x = -2{,}5$: $1 - (-2{,}5) = 3{,}5$.
5
Bài toán vận dụng thực tế
▼

Căn bậc hai xuất hiện rất nhiều trong các bài toán thực tế (chuyển động, vật lý, hình học...). Đặc biệt khi cần tìm một đại lượng từ công thức có chứa bình phương của nó.

1
Đọc kỹ đề, xác định công thức liên quan có chứa bình phương của ẩn cần tìm.
2
Biến đổi công thức để đưa ẩn về dạng $t = \sqrt{\text{biểu thức}}$.
3
Thay số liệu, tính kết quả (dùng MTCT nếu cần). Chọn nghiệm dương vì các đại lượng thực tế ($t, r, S$...) đều dương.
Ví dụ 7 — Vật rơi tự do

Quãng đường $S$ (mét) của một vật rơi tự do được cho bởi $S = 4{,}9 t^2$ ($t$ là thời gian rơi tính bằng giây). Hỏi sau bao nhiêu giây vật chạm đất nếu được thả từ độ cao $122{,}5$ mét?

Bước 1 — Lập công thức tính $t$:

→Từ $S = 4{,}9 t^2 \Rightarrow t^2 = \dfrac{S}{4{,}9}$.
→Vì $t > 0$ (thời gian dương) nên $t = \sqrt{\dfrac{S}{4{,}9}}$.

Bước 2 — Thay $S = 122{,}5$:

→$t = \sqrt{\dfrac{122{,}5}{4{,}9}} = \sqrt{25} = 5$ (giây).

Kết luận: Sau 5 giây vật chạm đất.

Ví dụ 8 — Tìm bán kính từ diện tích hình tròn

Một hình tròn có diện tích $2$ m². Hỏi đường kính của hình tròn đó khoảng bao nhiêu mét? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

B1.Diện tích hình tròn: $S = \pi r^2 = 2 \Rightarrow r^2 = \dfrac{2}{\pi}$.
B2.$r > 0$ nên $r = \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}$ (m).
B3.Đường kính: $d = 2r = 2\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \approx 1{,}60$ (m).
6
Tổng kết & ôn tập thêm
▼
Khái niệmNội dung chính
Căn bậc hai của $a \geq 0$Là số $x$ sao cho $x^2 = a$. Số dương có hai CBH: $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$.
Căn thức bậc haiBiểu thức $\sqrt{A}$ với $A$ là biểu thức đại số.
ĐKXĐ của $\sqrt{A}$$A \geq 0$.
Hằng đẳng thức then chốt$\sqrt{A^2} = |A|$ và $(\sqrt{A})^2 = A$ (khi $A \geq 0$).
📚 Để ôn lại đầy đủ kiến thức, công thức, mẹo giải và các thông tin chi tiết khác, các em xem bài lý thuyết tại:
🔗 Xem bài lý thuyết chi tiết
1
—
Điểm: 0/25
√

Luyện tập căn bậc hai nào!

25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du

Bài tập Toán 9 Bài 32: Hình cầu (20 bài tập) ( 03/05 )

Bài tập Toán 9 Bài 31: Hình trụ và hình nón (20 bài tập) ( 03/05 )

Bài tập Toán 9 Bài 30: Đa giác đều (20 bài tập) ( 03/05 )

Bài tập Toán 9 Bài 29: Tứ giác nội tiếp (20 bài tập) ( 02/05 )

Bài tập Toán 9 Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác (20 bài tập) ( 02/05 )