Bài toán mở đầu

Trong Vật lí, quãng đường $S$ (mét) của một vật rơi tự do được cho bởi công thức $S = 4{,}9t^2$, trong đó $t$ là thời gian rơi (giây). Hỏi sau bao nhiêu giây thì vật sẽ chạm đất nếu được thả rơi tự do từ độ cao 122,5 mét?

Để trả lời câu hỏi này, ta cần tìm $t$ sao cho $4{,}9t^2 = 122{,}5$, tức là $t^2 = 25$. Vậy $t$ bằng bao nhiêu? Đây chính là bài toán tìm căn bậc hai — khái niệm trung tâm của bài học hôm nay.

1. Căn bậc hai

Khái niệm căn bậc hai

Căn bậc hai của số thực không âm $a$ là số thực $x$ sao cho $x^2 = a$.

Nhận xét:

• Số âm không có căn bậc hai (vì bình phương của mọi số thực đều không âm).
• Số 0 có đúng một căn bậc hai là $0$.
• Số dương $a$ có đúng hai căn bậc hai đối nhau: $\sqrt{a}$ (căn bậc hai số học, mang giá trị dương) và $-\sqrt{a}$.

Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của $64$.

Giải: Ta có $\sqrt{64} = 8$ nên $64$ có hai căn bậc hai là $8$ và $-8$.

Tính căn bậc hai của một số bằng máy tính cầm tay

Để tính căn bậc hai của số $a > 0$, ta chỉ cần tính $\sqrt{a}$ bằng MTCT. Cụ thể, bấm phím $\sqrt{\phantom{x}}$ rồi nhập số $a$, bấm $=$ để hiển thị kết quả.

Ví dụ 2. Sử dụng MTCT, tính căn bậc hai của $13{,}5$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Giải: Bấm $\sqrt{\phantom{x}}$ $1$ $3$ $.$ $5$ $=$ , màn hình hiện kết quả $3{,}67423…$ Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai: $\sqrt{13{,}5} \approx 3{,}67$.

Vậy căn bậc hai của $13{,}5$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) là $3{,}67$ và $-3{,}67$.

Tính chất của căn bậc hai

Với mọi số thực $a$, ta có hằng đẳng thức:

$$\sqrt{a^2} = |a|$$

Nói cách khác, căn bậc hai số học của $a^2$ luôn bằng giá trị tuyệt đối của $a$, chứ không nhất thiết bằng $a$.

Chẳng hạn: $\sqrt{3^2} = |3| = 3$, nhưng $\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$ (không phải $-3$).

Ví dụ 3. Không sử dụng MTCT, tính:

a) $3 – \sqrt{5} + \sqrt{(3 + \sqrt{5})^2}$

b) $\sqrt{(-7)^2} + 7$

Giải:

a) Ta có $\sqrt{(3 + \sqrt{5})^2} = |3 + \sqrt{5}|$. Vì $3 + \sqrt{5} > 0$ nên $|3 + \sqrt{5}| = 3 + \sqrt{5}$.

Do đó: $3 – \sqrt{5} + \sqrt{(3 + \sqrt{5})^2} = 3 – \sqrt{5} + (3 + \sqrt{5}) = 6$.

b) Ta có $\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7$.

Do đó: $\sqrt{(-7)^2} + 7 = 7 + 7 = 14$.

2. Căn thức bậc hai

Căn thức bậc hai

Xét tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ với $AB = 3$ cm, $AC = x$ cm. Theo định lí Pythagore: $BC = \sqrt{x^2 + 9}$. Biểu thức $\sqrt{x^2 + 9}$ chính là một căn thức bậc hai.

Định nghĩa. Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng $\sqrt{A}$, trong đó $A$ là một biểu thức đại số. $A$ được gọi là biểu thức dưới dấu căn (hay biểu thức lấy căn).

Điều kiện xác định của căn thức bậc hai

$\sqrt{A}$ chỉ xác định khi $A$ lấy giá trị không âm, tức là $A \geq 0$. Ta gọi $A \geq 0$ là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa) của $\sqrt{A}$.

Ví dụ 4. Xét căn thức $\sqrt{3x – 2}$.

a) Tìm điều kiện xác định của căn thức.

b) Tính giá trị của căn thức tại $x = 1$ và $x = 6$.

Giải:

a) Điều kiện xác định: $3x – 2 \geq 0$, hay $x \geq \dfrac{2}{3}$.

b) Tại $x = 1$ (thoả mãn điều kiện): $\sqrt{3 \cdot 1 – 2} = \sqrt{1} = 1$.

Tại $x = 6$ (thoả mãn điều kiện): $\sqrt{3 \cdot 6 – 2} = \sqrt{16} = 4$.

Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$

Tương tự như với số thực, khi $A$ là một biểu thức đại số, ta cũng có:

• Với $A \geq 0$: $\sqrt{A} \geq 0$ và $(\sqrt{A})^2 = A$.
• Với mọi biểu thức $A$: $\sqrt{A^2} = |A|$.

Ba công thức này là công cụ chính để rút gọn các biểu thức chứa căn.

Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $(\sqrt{3 – x})^2$ với $x < 0$.

b) $\sqrt{9 – 6x + x^2}$ với $x > 4$.

Giải:

a) Vì $x < 0$ nên $3 – x > 0$, tức biểu thức dưới dấu căn không âm.

Áp dụng hằng đẳng thức $(\sqrt{A})^2 = A$ với $A = 3 – x \geq 0$:

$$(\sqrt{3 – x})^2 = 3 – x$$

b) Nhận thấy $9 – 6x + x^2 = (3 – x)^2$. Áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$:

$$\sqrt{9 – 6x + x^2} = \sqrt{(3 – x)^2} = |3 – x|$$

Vì $x > 4$ nên $3 – x < 0$, suy ra $|3 – x| = -(3 – x) = x – 3$.

Vậy $\sqrt{9 – 6x + x^2} = x – 3$ với $x > 4$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số

Phương pháp giải:

• Nếu $a$ là số chính phương (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121…): tính nhẩm $\sqrt{a}$, rồi kết luận hai căn bậc hai là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$.
• Nếu $a$ không phải số chính phương: dùng MTCT để tính $\sqrt{a}$, làm tròn theo yêu cầu.
• Nhớ: số âm không có căn bậc hai.

Bài tập 1 (Luyện tập 1 – SGK). Tìm căn bậc hai của $121$.

Lời giải:

Ta có $\sqrt{121} = 11$ nên $121$ có hai căn bậc hai là $11$ và $-11$.

Bài tập 2 (Luyện tập 2 – SGK). Sử dụng MTCT, tìm căn bậc hai của $\dfrac{7}{11}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải:

Bấm MTCT: $\sqrt{7 \div 11}$, kết quả $\approx 0{,}7977…$

Làm tròn: $\sqrt{\dfrac{7}{11}} \approx 0{,}80$.

Vậy căn bậc hai của $\dfrac{7}{11}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) là $0{,}80$ và $-0{,}80$.

Bài tập 3 (Bài 3.1 – SGK). Tìm căn bậc hai của mỗi số sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

a) $24{,}5$

b) $\dfrac{9}{10}$

Lời giải:

a) Bấm MTCT: $\sqrt{24{,}5} \approx 4{,}9497… \approx 4{,}95$.

Căn bậc hai của $24{,}5$ là $4{,}95$ và $-4{,}95$.

b) Bấm MTCT: $\sqrt{9 \div 10} \approx 0{,}9486… \approx 0{,}95$.

Căn bậc hai của $\dfrac{9}{10}$ là $0{,}95$ và $-0{,}95$.

Bài tập 4 (Trắc nghiệm). Tìm căn bậc hai của $5$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

A. $2{,}2$ $\qquad$ B. $2{,}3$ $\qquad$ C. $2{,}1$ $\qquad$ D. $2{,}0$

Lời giải:

Bấm MTCT: $\sqrt{5} \approx 2{,}2360… \approx 2{,}2$.

Đáp án: A.

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp giải:

• Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{a^2} = |a|$ để bỏ dấu căn.
• Xét dấu của biểu thức bên trong trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
  • Nếu $a \geq 0$: $|a| = a$.
  • Nếu $a < 0$: $|a| = -a$.
• Để so sánh $a$ với $\sqrt{b}$: đưa $a$ về dạng căn, tức $a = \sqrt{a^2}$, rồi so sánh $a^2$ với $b$.

Bài tập 5 (Luyện tập 3a – SGK). Không sử dụng MTCT, tính:

$\sqrt{6^2}$ ; $\quad$ $\sqrt{(-5)^2}$ ; $\quad$ $\sqrt{5} – \sqrt{(\sqrt{5} – 1)^2}$

Lời giải:

$\sqrt{6^2} = |6| = 6$.

$\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$.

$\sqrt{5} – \sqrt{(\sqrt{5} – 1)^2} = \sqrt{5} – |\sqrt{5} – 1|$.

Vì $\sqrt{5} \approx 2{,}236 > 1$ nên $\sqrt{5} – 1 > 0$, suy ra $|\sqrt{5} – 1| = \sqrt{5} – 1$.

Do đó: $\sqrt{5} – (\sqrt{5} – 1) = 1$.

Bài tập 6 (Luyện tập 3b – SGK). So sánh $3$ với $\sqrt{10}$ bằng hai cách.

Lời giải:

Cách 1 — Sử dụng MTCT: Bấm $\sqrt{10} \approx 3{,}162…$, suy ra $3 < \sqrt{10}$.

Cách 2 — Sử dụng tính chất: Ta có $3 = \sqrt{9}$. Vì $9 < 10$ nên $\sqrt{9} < \sqrt{10}$, tức $3 < \sqrt{10}$.

Bài tập 7 (Bài 3.4 – SGK). Tính:

$\sqrt{5{,}1^2}$ ; $\quad$ $\sqrt{(-4{,}9)^2}$ ; $\quad$ $-\sqrt{(-0{,}001)^2}$

Lời giải:

$\sqrt{5{,}1^2} = |5{,}1| = 5{,}1$.

$\sqrt{(-4{,}9)^2} = |-4{,}9| = 4{,}9$.

$-\sqrt{(-0{,}001)^2} = -|-0{,}001| = -0{,}001$.

Bài tập 8 (Trắc nghiệm). Tính giá trị của biểu thức $3x^2 – 1$ tại $x = 5$.

A. $-74$ $\qquad$ B. $75$ $\qquad$ C. $74$ $\qquad$ D. $-75$

Lời giải:

Thay $x = 5$: $3 \cdot 5^2 – 1 = 3 \cdot 25 – 1 = 75 – 1 = 74$.

Đáp án: C.

Dạng 3: Tìm điều kiện xác định và tính giá trị căn thức bậc hai

Phương pháp giải:

• Tìm ĐKXĐ: Cho biểu thức dưới dấu căn $\geq 0$, giải bất phương trình tìm điều kiện của biến.
• Tính giá trị: Kiểm tra giá trị đã cho có thoả mãn ĐKXĐ không, rồi thay vào tính.

Bài tập 9 (Luyện tập 4 – SGK). Cho căn thức $\sqrt{5 – 2x}$.

a) Tìm điều kiện xác định của căn thức.

b) Tính giá trị của căn thức tại $x = 2$.

Lời giải:

a) ĐKXĐ: $5 – 2x \geq 0$, suy ra $5 \geq 2x$, tức $x \leq \dfrac{5}{2}$.

b) Tại $x = 2$ (thoả mãn vì $2 \leq \dfrac{5}{2}$):

$$\sqrt{5 – 2 \cdot 2} = \sqrt{1} = 1$$

Bài tập 10 (Bài 3.3 – SGK). Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{x + 10}$ và tính giá trị của căn thức tại $x = -1$.

Lời giải:

ĐKXĐ: $x + 10 \geq 0$, suy ra $x \geq -10$.

Tại $x = -1$ (thoả mãn vì $-1 \geq -10$):

$$\sqrt{-1 + 10} = \sqrt{9} = 3$$

Bài tập 11 (Trắc nghiệm). Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{4x – 2}$.

A. $x \geq 2$ $\qquad$ B. $x \geq \dfrac{1}{2}$ $\qquad$ C. $x \geq -\dfrac{1}{2}$ $\qquad$ D. $x \geq -2$

Lời giải:

ĐKXĐ: $4x – 2 \geq 0 \Leftrightarrow 4x \geq 2 \Leftrightarrow x \geq \dfrac{1}{2}$.

Đáp án: B.

Bài tập 12 (Trắc nghiệm). Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{\dfrac{1}{x^2 + 1}}$.

A. $x \geq 0$ $\qquad$ B. $x \neq 1$ $\qquad$ C. $x \geq 0$ và $x \neq 1$ $\qquad$ D. $x \in \mathbb{R}$

Lời giải:

Ta cần $\dfrac{1}{x^2 + 1} \geq 0$.

Vì $x^2 \geq 0$ với mọi $x$ nên $x^2 + 1 \geq 1 > 0$, do đó $\dfrac{1}{x^2 + 1} > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Vậy căn thức xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Đáp án: D.

Dạng 4: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Phương pháp giải:

Sử dụng hai hằng đẳng thức then chốt:

• $(\sqrt{A})^2 = A$ (khi $A \geq 0$): dùng khi biểu thức có dạng “bình phương của căn”.
• $\sqrt{A^2} = |A|$: dùng khi biểu thức dưới dấu căn viết được thành bình phương.

Quy trình rút gọn:

• Bước 1: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng $A^2$ (dùng hằng đẳng thức đáng nhớ nếu cần).
• Bước 2: Áp dụng $\sqrt{A^2} = |A|$.
• Bước 3: Xét dấu $A$ theo điều kiện đề bài để bỏ trị tuyệt đối.

Bài tập 13 (Luyện tập 5a – SGK). Rút gọn biểu thức $x\sqrt{x^6}$ với $x < 0$.

Lời giải:

Ta có $\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$.

Vì $x < 0$ nên $x^3 < 0$, suy ra $|x^3| = -x^3$.

Do đó: $x\sqrt{x^6} = x \cdot (-x^3) = -x^4$.

Bài tập 14 (Luyện tập 5b – SGK). Rút gọn và tính giá trị của biểu thức $x + \sqrt{4x^2 – 4x + 1}$ tại $x = -2{,}5$.

Lời giải:

Nhận thấy: $4x^2 – 4x + 1 = (2x – 1)^2$.

Suy ra: $\sqrt{4x^2 – 4x + 1} = \sqrt{(2x – 1)^2} = |2x – 1|$.

Tại $x = -2{,}5$: $2(-2{,}5) – 1 = -6 < 0$ nên $|2x – 1| = -(2x – 1) = 1 – 2x$.

Biểu thức rút gọn: $x + (1 – 2x) = -x + 1$.

Thay $x = -2{,}5$: $-(-2{,}5) + 1 = 2{,}5 + 1 = 3{,}5$.

Bài tập 15 (Bài 3.5 – SGK). Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{(2 – \sqrt{5})^2}$

b) $3\sqrt{x^2} – x + 1$ với $x < 0$

c) $\sqrt{x^2 – 4x + 4}$ với $x < 2$

Lời giải:

a) $\sqrt{(2 – \sqrt{5})^2} = |2 – \sqrt{5}|$.

Vì $\sqrt{5} \approx 2{,}236 > 2$ nên $2 – \sqrt{5} < 0$, suy ra $|2 – \sqrt{5}| = \sqrt{5} – 2$.

Vậy $\sqrt{(2 – \sqrt{5})^2} = \sqrt{5} – 2$.

b) Ta có $\sqrt{x^2} = |x|$. Vì $x < 0$ nên $|x| = -x$.

Suy ra: $3\sqrt{x^2} – x + 1 = 3(-x) – x + 1 = -3x – x + 1 = -4x + 1$.

c) Nhận thấy $x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2$.

$\sqrt{x^2 – 4x + 4} = \sqrt{(x – 2)^2} = |x – 2|$.

Vì $x < 2$ nên $x – 2 < 0$, suy ra $|x – 2| = -(x – 2) = 2 – x$.

Vậy $\sqrt{x^2 – 4x + 4} = 2 – x$ với $x < 2$.

Bài tập 16 (Bài 3.6 – SGK). Không dùng MTCT, chứng tỏ biểu thức $A$ có giá trị là số nguyên:

$$A = \sqrt{(1 + 2\sqrt{2})^2} – \sqrt{(1 – 2\sqrt{2})^2}$$

Lời giải:

Áp dụng $\sqrt{A^2} = |A|$:

$$A = |1 + 2\sqrt{2}| – |1 – 2\sqrt{2}|$$

Xét dấu:

• $2\sqrt{2} \approx 2{,}828$ nên $1 + 2\sqrt{2} > 0$, suy ra $|1 + 2\sqrt{2}| = 1 + 2\sqrt{2}$.
• $1 – 2\sqrt{2} < 0$ (vì $2\sqrt{2} > 1$), suy ra $|1 – 2\sqrt{2}| = 2\sqrt{2} – 1$.

Do đó:

$$A = (1 + 2\sqrt{2}) – (2\sqrt{2} – 1) = 1 + 2\sqrt{2} – 2\sqrt{2} + 1 = 2$$

Vậy $A = 2$ là số nguyên (đpcm).

Bài tập 17 (Trắc nghiệm). Rút gọn biểu thức $\sqrt{x^2 – 2x + 1}$ với $x < 0$ ta được:

A. $1 – x$ $\qquad$ B. $x – 1$ $\qquad$ C. $x + 1$ $\qquad$ D. $-1 + x$

Lời giải:

$\sqrt{x^2 – 2x + 1} = \sqrt{(x – 1)^2} = |x – 1|$.

Vì $x < 0$ nên $x – 1 < 0$, suy ra $|x – 1| = -(x – 1) = 1 – x$.

Đáp án: A.

Dạng 5: Bài toán vận dụng thực tế

Phương pháp giải:

• Đọc kỹ đề, xác định công thức liên quan chứa bình phương của ẩn cần tìm.
• Biến đổi công thức để đưa ẩn về dạng $t = \sqrt{\text{biểu thức}}$.
• Thay số liệu, tính kết quả (dùng MTCT nếu cần).

Bài tập 18 (Vận dụng – SGK). Trở lại tình huống mở đầu.

a) Viết công thức tính thời gian $t$ (giây) cần thiết để vật rơi được quãng đường $S$ (mét).

b) Sử dụng công thức tìm được, trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

a) Từ $S = 4{,}9t^2$, ta suy ra $t^2 = \dfrac{S}{4{,}9}$.

Vì $t > 0$ (thời gian dương) nên:

$$t = \sqrt{\dfrac{S}{4{,}9}}$$

b) Vật rơi từ độ cao 122,5 m nên $S = 122{,}5$:

$$t = \sqrt{\dfrac{122{,}5}{4{,}9}} = \sqrt{25} = 5 \text{ (giây)}$$

Vậy sau 5 giây vật chạm đất.

Bài tập 19 (Bài 3.2 – SGK). Để chuẩn bị trồng cây trên vỉa hè, người ta để lại những ô đất hình tròn có diện tích khoảng 2 m². Em hãy ước lượng (với độ chính xác 0,005) đường kính của các ô đất đó khoảng bao nhiêu mét?

Lời giải:

Gọi $r$ (m) là bán kính ô đất hình tròn. Diện tích hình tròn: $S = \pi r^2$.

Theo đề: $\pi r^2 = 2$, suy ra $r^2 = \dfrac{2}{\pi}$, tức $r = \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}$ (m).

Đường kính: $d = 2r = 2\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}$.

Dùng MTCT: $d = 2\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \approx 1{,}596$ (m).

Vậy đường kính các ô đất khoảng 1,6 mét.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Nhận dạng hằng đẳng thức nhanh: Khi gặp biểu thức dưới dấu căn có dạng ba số hạng ($a^2 \pm 2ab + b^2$), hãy nghĩ ngay đến $(a \pm b)^2$. Ví dụ: $x^2 – 6x + 9 = (x – 3)^2$.

Mẹo 2 — Quy tắc xét dấu khi bỏ trị tuyệt đối: Đọc kỹ điều kiện đề bài cho (ví dụ $x < 0$, $x > 2$…) rồi suy luận dấu của biểu thức bên trong $|\cdot|$. Nếu biểu thức âm thì thêm dấu trừ phía trước.

Mẹo 3 — So sánh nhanh $a$ với $\sqrt{b}$: Đưa cả hai về dạng căn: $a = \sqrt{a^2}$, rồi so sánh $a^2$ với $b$. Ví dụ: so sánh $3$ với $\sqrt{10}$ → so sánh $9$ với $10$ → $9 < 10$ → $3 < \sqrt{10}$.

Mẹo 4 — Phân biệt hai hằng đẳng thức:

• $(\sqrt{A})^2 = A$: dùng khi căn bị bình phương → kết quả bằng chính biểu thức dưới dấu căn.
• $\sqrt{A^2} = |A|$: dùng khi biểu thức dưới dấu căn là bình phương → kết quả là trị tuyệt đối.

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du